全品高考备战2027年数学一轮学生用书01第6讲函数的概念及其表示【正文】听课手册

第二单元函数第6讲函数的概念及其表示【课标要求】1.用集合语言和对应关系刻画函数,建立完整的函数概念,体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.了解构成函数的要素,能求简单函数的定义域.

2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数,理解函数图象的作用.

3.通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用.1.函数的基本概念(1)函数的定义一般地,设A,B是,如果对于集合A中的,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.

(2)函数的三要素函数由、和对应关系三个要素构成.在函数y=f(x),x∈A中,的取值范围(即数集A)叫作函数的,的集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域.非空数集A即为函数的定义域,值域为B的子集.

(3)同一个函数如果两个函数的相同,并且完全一致,即相同的自变量对应的函数值也相同,那么这两个函数是同一个函数.

2.函数的表示法函数的常用表示方法:、、.

3.分段函数若一个函数,在其定义域内,对于自变量的不同取值区间,有不同的,则称其为分段函数.分段函数的定义域等于各段函数定义域的并集,值域等于各段函数值域的并集.各段函数的定义域区间端点应不重不漏.

常用结论1.直线x=a(a是常数)与函数y=f(x)的图象有0个或1个交点.2.常见函数的定义域(1)分式中分母不等于0.(2)偶次根式的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域为R.(4)零次幂的底数不能为0.(5)y=ax(a>0且a≠1),y=sinx,y=cosx的定义域均为R.(6)y=logax(a>0且a≠1)的定义域为{x|x>0}.(7)y=tanx的定义域为xx3.基本初等函数的值域(1)y=kx+b(k≠0)的值域是R.(2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域:当a>0时,值域为4ac-b24(3)y=kx(k≠0)的值域是{y|y≠0}(4)y=ax(a>0且a≠1)的值域是(0,+∞).(5)y=logax(a>0且a≠1)的值域是R.题组一常识题1.[教材改编]下列函数中与函数y=x(x∈R)是同一个函数的是.

①y=(x)2;②u=3v3;③y=x2;④m2.[教材改编]函数f(x)=8-xx3.[教材改编]函数y=x2x+14.[教材改编]设M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},给出下列四个图形,其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是.(填序号)

题组二常错题◆索引:换元法求解析式时忽视新元的取值范围致误;解与分段函数有关的不等式时忘记自变量的取值范围致误;忽略端点位置致误.5.已知f(ex)=ex-1,则f(x)=.

6.已知函数f(x)=x2+1,x≤0,-x+37.函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的定义域是,值域是,其中只有唯一的x值与之对应的y值的取值范围是.

函数的定义域例1(1)函数f(x)=|x-2|-1log2(x-A.(3,4) B.(3,+∞)C.(4,+∞) D.(3,4)∪(4,+∞)(2)求符合下列要求的函数的定义域.①已知函数f(x)的定义域为[1,2],求函数y=f(2x+1)的定义域;②已知函数y=f(2x+1)的定义域为[1,2],求函数f(x)的定义域;③已知函数y=f(2x+1)的定义域为[1,2],求函数y=f(2x-1)的定义域.

总结反思(1)求具体函数的定义域即求使解析式有意义的自变量x的取值集合,如分式的分母不等于0、对数的真数大于0等,所以往往归结为求解自变量满足的不等式(组),不等式(组)的解集即为定义域.(2)对于抽象函数,若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数y=f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出;若复合函数y=f[g(x)]的定义域为[a,b],则函数f(x)的定义域为g(x)(x∈[a,b])的值域.变式题(1)函数f(x)=11-x+log3x(2)已知函数y=f(2x+1)的定义域为[-1,1),则函数y=f(1-x)的定义域为.

(3)已知函数y=f(x-1)的定义域为[1,3],则函数y=f(log3x)的定义域为.

函数的解析式例2(1)已知f(2x+1)=4x2-6x+5,则f(x)的解析式为.

(2)若二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1,则f(x)的解析式为.

(3)已知f(x)满足2f(x)+f(-x)=3x,则f(x)的解析式为.

(4)已知fx+1x=x2+1x2,则f总结反思求函数解析式的常用方法:(1)待定系数法:已知函数的类型(如一次函数、二次函数),可用待定系数法.(2)换元法:已知复合函数y=f[g(x)]的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围.(3)配凑法:由已知条件f[g(x)]=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后用x替换g(x),即得f(x)的解析式.(4)解方程组法:已知f(x)与f1x或f(-x)之间的关系式,可根据已知条件结合赋值思想构造出另外一个等式,两等式组成方程组,通过解方程组求出f(x)变式题(1)已知f(x)是一次函数,且f[f(x)]=4x+3,则f(x)的解析式为.

(2)设函数f(x)对一切非零实数x,均有f(x)+2f2026x=3x成立,则f(x)=(3)已知函数f(x+1)=x-4,则f(x)的解析式为.

以分段函数为背景的问题微点1分段函数求值例3(1)[2025·广西柳州三模]已知函数f(x)=12x,x≤0,logA.116 B.14 C.4 D(2)[2025·江西鹰潭一模]已知函数f(x)=2x2+1,x总结反思分段函数求值的基本原则是分段进行,即自变量的取值属于哪一段范围,就代入这一段的解析式求值,对于复合函数的求值问题,应由里到外依次求值.微点2分段函数与方程、不等式例4(1)[2026·南通9月调考]已知函数f(x)=log3x,x>0,x13,(2)已知f(x)=-x2-2x,x<0,A.(-∞,2) B.(-∞,3)C.[0,3) D.(3,+∞)总结反思(1)若分段函数中含有参数,则直接根据条件选择相应区间上的解析式代入求参;若是求自变量的值,则需要结合分段区间对自变量进行分类讨论,再求值.(2)涉及与分段函数有关的不等式问题,主要表现为解不等式.当自变量的取值不确定时,往往要分类讨论求解.1.已知函数f(x)=2x,x<0,a+3x,x≥0,若A.-178 B.-4或-C.-4 D.22.已知函数