2019-2020学年山东省淄博市博山区淄博市第高一下5月月考数学试卷

2019-2020学年度第二学期高一阶段测试数学试题命题人周祖国2020.5一.单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)．1.如图,过点M(1,0)的直线与函数y=sinx(0x2)的图象交于A,B两点,则eq\O(OM,\s\up8())(eq\O(OA,\s\up8())+eq\O(OB,\s\up8()))=()A．1 B．2 C．3 D．42.如图,在△ABC中,|eq\O(BA,\s\up8())|=|eq\O(BC,\s\up8())|,延长CB到D,使AC⊥AD.若eq\O(AD,\s\up8())=eq\O(AB,\s\up8())+eq\O(AC,\s\up8()),则-=()A．1 B．2 C．3 D．43.下列命题:①向量eq\O(a,\s\up8())与eq\O(b,\s\up8())都是单位向量,则eq\O(a,\s\up8())=eq\O(b,\s\up8());②在△ABC中,必有eq\O(AB,\s\up8())+eq\O(BC,\s\up8())+eq\O(CA,\s\up8())=eq\O(0,\s\up8());③四边形ABCD是平行四边形,则eq\O(AB,\s\up8())=eq\O(DC,\s\up8());④若向量eq\O(a,\s\up8())与eq\O(b,\s\up8())共线,则存在唯一的实数使eq\O(b,\s\up8())=eq\O(a,\s\up8()).其中正确的是（）A．①② B．②③ C．③④D．①④4.函数y=tan(eq\f(,4)x-eq\f(,2))的部分图象如图,则(eq\O(OA,\s\up8())+eq\O(OB,\s\up8()))eq\O(AB,\s\up8())=()A．4B．6C．1D．25.已知eq\O(e1,\s\up8()),eq\O(e2,\s\up8())是夹角为600的两个单位向量,则eq\O(a,\s\up8())=2eq\O(e1,\s\up8())+eq\O(e2,\s\up8())与eq\O(b,\s\up8())=-3eq\O(e1,\s\up8())+2eq\O(e2,\s\up8())夹角的余弦值是()A．eq\f(1,2) B．-eq\f(1,2) C．eq\f(eq\r(3),2) D．-eq\f(eq\r(3),2)6.设l是直线,,是两个不同的平面()A．若l∥,l∥,则∥ B．若l∥,l⊥,则⊥C．若⊥,l⊥,则l⊥ D．若⊥,l∥,则l⊥7.长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=1,E为CC1的中点,则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为()A．eq\f(eq\r(10),10)B．eq\f(eq\r(30),10)C．eq\f(2eq\r(15),10)D．eq\f(3eq\r(10),10)8.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()A.eq\f(eq\r(6),3) B.eq\f(2eq\r(5),5) C.eq\f(eq\r(15),5) D.eq\f(eq\r(10),5)二.多项选择题(本大题共4个小题.每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分.选对但不全的得3分,有选错的得0分.)9.下列命题中正确的是()A.非零向量eq\O(a,\s\up8()),eq\O(b,\s\up8())满足|eq\O(a,\s\up8())|=|eq\O(b,\s\up8())|=|eq\O(a,\s\up8())-eq\O(b,\s\up8())|,则eq\O(a,\s\up8())与eq\O(a,\s\up8())+eq\O(b,\s\up8())的夹角为300;B.eq\O(a,\s\up8())eq\O(b,\s\up8())>0,则eq\O(a,\s\up8())与eq\O(b,\s\up8())的夹角为锐角;C.若eq\O(AB,\s\up8())2=eq\O(AB,\s\up8())eq\O(AC,\s\up8())+eq\O(BA,\s\up8())eq\O(BC,\s\up8())+eq\O(CA,\s\up8())eq\O(CB,\s\up8()),则△ABC一定是直角三角形D.△ABC的外接圆的圆心为O,半径为1,若eq\O(AB,\s\up8())+eq\O(AC,\s\up8())=2eq\O(AO,\s\up8()),且|eq\O(OA,\s\up8())|=|eq\O(CA,\s\up8())|,则向量eq\O(BA,\s\up8())在向量eq\O(BC,\s\up8())方向上的投影向量为eq\f(3,2)(eq\f(eq\O(BC,\s\up8()),|eq\O(BC,\s\up8())|))10.已知复数z0=1+2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P0,复数z满足|z-1|=|z-i|,下列结论正确的是()A.P0点的坐标为(1,2)B.复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于虚轴对称C.复数z对应的点Z在一条直线上 D.z0eq\O(z0,\s\up8(－))R11.一个正方形纸盒展开后如图所示,在原正方形纸盒中有如下结论：①AB⊥EF②AB与CM所成的角为600③EF与MN是异面直线④MN∥CD.以上四个命题中,正确的是()A.①B.②C.③D.④12.若复数z满足(1-i)z=3+i(i是虚数单位),则()A.z的实部是2 B.z的虚部是2i C.eq\O(z,\s\up8(－))=1-2i D.|z|=eq\r(5)三填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.复数乘法(x+yi)(cos+isin)(x,yR,i为虚数单位)的几何意义是:将复数x+yi在复平面内对应的点(x,y)绕原点逆时针旋转角,则将点(4,2)绕原点逆时针方向旋转eq\f(,3)得到的点的坐标为__.14.阿基米德逝世后,有人为他建了一块墓碑,在墓碑上刻了一个如图所示的图案,图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等,圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心,圆锥的底面是圆柱的下底面.则图案中圆锥、球、圆柱的体积比是________.15.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C,有如下四个结论:①AC⊥BD②△ACD是等边三角形③AB与平面BCD成600的角④AB与CD所成的角是600其中正确结论的序号是________16.已知l,m是平面外的两条不同直线.给出下列三个论断：①l⊥m②m∥③l⊥．以其中两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题：__________．四.解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(本题12分)如图,在平行四边形ABCD中,|eq\O(AB,\s\up8())|=3,|eq\O(BC,\s\up8())|=2,eq\O(e1,\s\up8())=eq\f(eq\O(AB,\s\up8()),|eq\O(AB,\s\up8())|),eq\O(e2,\s\up8())=eq\f(eq\O(AD,\s\up8()),|eq\O(AD,\s\up8())|),eq\O(AB,\s\up8())与eq\O(AD,\s\up8())的夹角为eq\f(,3).(1)若eq\O(AC,\s\up8())=xeq\O(e1,\s\up8())+yeq\O(e2,\s\up8()),求x,y的值;(2)求eq\O(AC,\s\up8())与eq\O(BD,\s\up8())的夹角的余弦值．18.(本题10分)已知2i-3是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根,求实数p-q的值.19.(本题12分)如图,一个封闭的圆锥型容器,当顶点在上面时,放置于锥体内的水面高度为h1,且水面高是锥体高的eq\f(1,3),即h1=eq\f(1,3)h,若将锥顶倒置,底面向上时,水面高为h2,求h2的大小.20.(本题12分)在边长为4cm的正方形ABCD中,E、F分别为BC、CD的中点,M、N分别为AB、CF的中点,现沿AE、AF、EF折叠,使B、C、D三点重合,重合后的点记为B,构成一个三棱锥.(1)请判断MN与平面AEF的位置关系,并给出证明;(2)证明:AB⊥平面BEF;(3)求四棱锥E-AFNM的体积.21.(本题12分)已知平面向量eq\O(m,\s\up8())=(sinx,eq\r(3)sinx),eq\O(n,\s\up8())=(sinx,-cosx),设函数f(x)=eq\O(m,\s\up8())eq\O(n,\s\up8()).(1)求函数f(x)的单调增区间;(2)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,角A为锐角,若f(A)+sin(2A-eq\f(,6))=1,b+c=7,△ABC的面积为2eq\r(3),求a.22.(本题12分)设z1是虚数,z2=z1+eq\f(1,z1)是实数,且-1z21.(1)求|z1|及z2的实部的取值范围；(2)若=eq\f(1-z1,1+z1)求证:为纯虚数;参考答案选择题BCBBBBBD多选题ACDACDACCD填空题(2-eq\r(3),2+eq\r(3))；1:2:3；①②④；③②①解答题17.解析:(1)eq\O(AC,\s\up8())=eq\O(AB,\s\up8())+eq\O(AD,\s\up8())=3eq\O(e1,\s\up8())+2eq\O(e2,\s\up8()),即x=3,y=2.(2)eq\O(BD,\s\up8())=eq\O(AD,\s\up8())-eq\O(AB,\s\up8())=-3eq\O(e1,\s\up8())+2eq\O(e2,\s\up8()),∴eq\O(BD,\s\up8())eq\O(AC,\s\up8())=(-3eq\O(e1,\s\up8())+2eq\O(e2,\s\up8()))(3eq\O(e1,\s\up8())+2eq\O(e2,\s\up8()))=4eq\O(e2,\s\up8())2-9eq\O(e1,\s\up8())2=-5,eq\O(e1,\s\up8())eq\O(e2,\s\up8())=coseq\f(,3)=eq\f(1,2),|eq\O(AC,\s\up8())|=eq\r((3eq\O(e1,\s\up8())+2eq\O(e2,\s\up8()))2)=eq\r(9eq\O(e1,\s\up8())2+12eq\O(e1,\s\up8())eq\O(e2,\s\up8())+4eq\O(e2,\s\up8())2)=eq\r(19),|eq\O(BD,\s\up8())|=eq\r((-3eq\O(e1,\s\up8())+2eq\O(e2,\s\up8()))2)=eq\r(9eq\O(e1,\s\up8())2-12eq\O(e1,\s\up8())eq\O(e2,\s\up8())+4eq\O(e2,\s\up8())2)=eq\r(7)∴cos=eq\f(eq\O(AC,\s\up8())eq\O(BD,\s\up8()),|eq\O(AC,\s\up8())||eq\O(BD,\s\up8())|)=eq\f(-5,eq\r(19)eq\r(7))=-eq\f(5eq\r(133),133)本题考查平面向量基本定理、数量积运算、向量夹角.18.解析:由题意知,2(2i-3)2+p(2i-3)+q=0,整理得,2(5-12i)+p(-3+2i)+q=0,即(10-3p+q)+(-24+2p)i=0,故p=12,q=26.p-q=-14.本题考查复数运算、复数相等.19.解析:当锥顶向上时,设圆锥底面半径为r,水的体积为:V=eq\f(1,3)r2h-eq\f(1,3)(eq\f(2,3)r)2(eq\f(2,3)h)=eq\f(19,81)r2h.当锥顶向下时,设水面圆半径为r,则V=eq\f(1,3)r2h2根据三角形相似知r=eq\f(rh2,h),此时V=eq\f(1,3)h2(eq\f(rh2,h))2∴eq\f(1,3)h2(eq\f(rh2,h))2=eq\f(19,81)r2h,故h2=eq\f(eq\r(3,19),3)h本题考查圆锥、圆台的体积计算.20.解析:(1)MN∥平面AEF.证明:(1)∵MA=MB,NF=NB∴MN∥AF又∵AF平面AEF,MN平面AEF∴MN∥平面AEF(2)∵在正方形ABCD中,AB⊥BE,AD⊥DF∴在三棱锥中AB⊥BE,AB⊥DF,又∵BE∩BF=B∴AB⊥平面BEF(3)由题意得,S△BEF=S△CEF=eq\f(1,2)CECF=eq\f(1,2)22=2,VE-ABF=VA-BEF=eq\f(1,3)S△BEFAB=eq\f(8,3)∵MN∥AF,MN=eq\f(1,2)AF∴S梯形MNAF=eq\f(3,4)S△ABF,∴VE-MNAF=eq\f(3,4)VA-BEF=2本题考查线面平行、线面垂直、棱锥的体积计算.21.解析:(1)f(x)=eq\O(m,\s\up8())eq\O(n,\s\up8())=sin2x-eq\r(3)sinxcosx=eq\f(1-cos2x,2)-eq\f(eq\r(3),2)sin2x=eq\f(1,2)-(eq\f(eq\r(3),2)sin2x+eq\f(1,2)cos2x)=eq\f(1,2)-sin(2x+eq\f(,6))由2k+eq\f(,2)2x+eq\f(,6)2k+eq\f(3,2)(kZ)得,k+eq\f(,6)xk+eq\f(2,3)(kZ)∴函数f(x)的单调增区间为[k+eq\f(,6),k+eq\f(2,3)],(kZ)(2)由题意得,eq\f(1,2)-sin(2A+