2019-2020学年上海市杨浦区附中高二下期中数学试卷

2019-2020学年上海市杨浦区XX附中高二下期中数学试卷（2020·上海杨浦区·期中）若C10x=C10（2020·上海杨浦区·期中）已知平面α的一个法向量为n=1,2,2，AB=−2,1,0，则直线AB与平面（2020·上海杨浦区·期中）若1+x6=a0+（2020·上海杨浦区·期中）从总体中抽取一个样本是5，6，7，8，9，则总体方差的估计值是．（2020·上海杨浦区·期中）已知球O的半径R，A，B是球面上两点，若线段AB的长为R，则A，B两点间的球面距离为．（2020·上海杨浦区·期中）古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，若球的表面积等于圆柱的侧面积，则球的体积与圆柱的体积之比为．（2020·上海杨浦区·期中）汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，“赵爽弦图”如图所示，由四个全等的直角三角形和一个正方形构成，现有五种不同的颜色可供涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方案有种（用数字作答）．（2020·上海杨浦区·期中）微信中有个“微信运动”，记录一天行走的步数．小王的“微信步数排行榜”里有120个人，今天，他发现步数最少的有0.85万步，最多的有1.79万步，于是，他做了个统计，作表如下，则这天大家平均步数为万步．（2020·上海杨浦区·期中）如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为．（2020·上海杨浦区·期中）盒子里有2020个质地均匀的小球，2019个黑球，1个白球，每次从中随机取出一个球，然后放回一个黑球，则第mm∈R∗（2020·上海杨浦区·期中）在正方体AC1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B①点F的轨迹是一条线段；②A1F与③A1F与④三棱锥F−ABD（2020·上海杨浦区·期中）已知正三棱锥P−ABC的侧棱长为2020，过其底面中心O作动平面α交线段PC于点S，交PA，PB的延长线于M，N两点，则1PS+1（2020·上海杨浦区·期中）已知l是平面α的一条斜线，直线m⫋α，则   A．存在唯一的一条直线m，使得l⊥m B．存在无限多条直线m，使得l⊥m C．存在唯一的一条直线m，使得l∥ D．存在无限多条直线m，使得l∥（2020·上海杨浦区·期中）如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱BB A． B． C． D．（2020·上海杨浦区·期中）一个盒子里装有相同大小的红球、白球共30个，其中白球4个．从中任取两个，则概率为C261 A．没有白球 B．至少有一个白球 C．至少有一个红球 D．至多有一个白球（2020·上海杨浦区·期中）如果空间三条直线a，b，c两两成异面直线，那么与a，b，c都相交的直线有   A．0条 B．1条 C．多于1条但为有限条 D．无数条（2020·上海杨浦区·期中）已知二项式3x2+(1)求3x(2)在1+x+1+x2（2020·上海杨浦区·期中）已知圆柱OO1底面半径为1，高为π，ABCD是圆柱的一个轴截面，动点M从点B出发沿着圆柱的侧面到达点D，其距离最短时在侧面留下的曲线l如图所示．将轴截面ABCD绕着轴OO1逆时针旋转θ0<θ<π后，边(1)求曲线l长度；(2)当θ=π2时，求点C1（2020·上海杨浦区·期中）如图四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，△ACD是边长为2的等边三角形，且AB=BC=2，PA=2，点M(1)求证：平面PAC⊥(2)当线段MB最小时，求直线MB与平面PBD所成角的正弦值．（2020·上海杨浦区·期中）疫情期间，有一批货物需要用汽车从城市甲运至城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且通过这两条公路所用的时间互不影响．据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布如下表：所用时间(1)为进行某项研究，从所用时间为12的60辆汽车中随机抽取6辆，若用分层随机抽样的方法抽取，求从通过公路1和公路2的汽车中各抽取几辆；(2)若从（1）的条件下抽取的6辆汽车中，再任意抽取2辆汽车，求这2辆汽车至少有1辆通过公路1的概率；(3)假设汽车A只能在约定时间的前11 h出发，汽车B只能在约定时间的前12 （2020·上海杨浦区·期中）定义：对棱相等的四面体为等腰四面体．(1)若等腰四面体的每条棱长都是2，求该等腰四面体的体积；(2)求证：等腰四面体每个面的三角形均为锐角三角形；(3)设等腰四面体ABCD的三个侧面与底面所成的角分别为α，β，γ，请判断cosα+

答案1.【答案】3或7【解析】由组合数的性质可得x=3或x+3=10，解得x=3 或【知识点】组合2.【答案】直线AB在平面α上或直线AB与平面α平行【解析】由n⋅AB=1×又向量n为平面α的一个法向量．所以直线AB在平面α上或直线AB与平面α平行．【知识点】利用向量的坐标运算解决立体几何问题3.【答案】64【解析】在1+x6令x=1可得1+16所以a0【知识点】二项式定理中的赋值法4.【答案】2【解析】从总体中抽取一个样本是5，6，7，8，9，样本平均数为x=所以样本方差为s2所以总体方差的估计值是2．【知识点】样本数据的数字特征5.【答案】π3【解析】球O的半径R，A，B是球面上两点，线段AB的长为R，由AB=OB=所以∠AOB=π所以A，B两点间的球面距离为π3【知识点】球面距离6.【答案】23【解析】设球的半径为R，高为h，则圆柱的底面半径为R．由球的表面积等于圆柱的侧面积，有4πR2设球的体积为V1，则V圆柱的体积为V2，则V所以V1【知识点】圆柱的表面积与体积、球的表面积与体积7.【答案】420【解析】由题意，假设五个区域分别为①②③④⑤．对于区域①②③，三个区域两两相邻，共有A5对于区域④⑤，若④与②颜色相同，则⑤有3种情况，若④与②颜色不同，则④有2种情况，⑤有2种情况，共有2×2=4种情况，所以④⑤共有3+4=7种情况，则一共有60×7=420种情况．【知识点】排列、乘法原理8.【答案】1.26【解析】由据频率分布直方图有0.2×0.25+0.50+a+1.25+2.25=1，解得则这天大家平均步数为x=0.2×【知识点】样本数据的数字特征、频率分布直方图9.【答案】60°【解析】如图建立空间直角坐标系．则Aa,0,0，Ba,a,0，D0,0,0故AP=−a,0,a，所以cosAP由AP,BD∈所以异面直线AP，BD所成的角为60∘【知识点】利用向量的坐标运算解决立体几何问题、异面直线所成的角10.【答案】1−2019【解析】若第m次恰好取到白球，则前m−1次均取到黑球，则其概率为P=2019则第m次恰好取到黑球与第m次恰好取到白球互为对立事件．则第m次恰好取到黑球的概率为P=1−2019【知识点】古典概型11.【答案】③【解析】对于①，设平面AD1E与直线BC交于点G，连接AG，EG，则G为BC的中点，分别取B1B，B1C1的中点M，则A1M∥D1所以A1M∥A1M，MN是平面所以平面A由A1F与平面D1AE的垂线段垂直，则A1F∥对于②，由①有点F在线段MN上，所以B，E，F三点在侧面BCC假设A1F与BE不是异面直线，则A1，B，E，F这与在正方体中，显然A1故A1F与对于③，当F与M重合时，A1对于④，MN∥EG，EG∥则点F到平面ABD1的距离等于点M（或点N）到平面设点M（或点N）到平面ABD1的距离为则VM−ABD1在正方体中，S△ABD1，S△ABM，点F到平面ABD1的距离为定值，又所以F−ABD【知识点】棱锥的表面积与体积、平面与平面平行关系的性质、直线与直线的位置关系12.【答案】32020【解析】设PM=x，PN=y，则PA=PAx⋅PM由O为底面△ABC中心，PO=又因为S，M，N，O四点共面，所以PA3x+PB所以20203x+2020即1PS【知识点】空间向量的数乘运算13.【答案】B【解析】因为l是平面α的一条斜线，直线m⫋α，画出图形如下：显然在平面内必存在直线m与直线l垂直，且平面内有无数条直线与直线m平行，故存在无限多条直线m，使得l⊥m．【知识点】直线与直线的位置关系14.【答案】C【解析】在正方体ABCD−A1B1C1D1中，取则AF∥C1E，所以过点A，E，则用过A，E，C1的平面截去该正方体的下半部分，剩余几何体为ABCDF则其正视图为图中粗线部分．【知识点】简单多面体的三视图15.【答案】B【解析】C261C【知识点】古典概型16.【答案】D【解析】在直线a上任意取一点A，点A与直线b确定的平面为α，点A与直线c确定的平面为β，因为A∈平面所以设平面a与平面β的交线为d，此交线与a，b，c皆有公共点，由A的任意性，得证．【知识点】直线与直线的位置关系17.【答案】(1)因为所有奇数项的二项式系数之和为128，所以2n2=1283x2+1x令8−4r3=0，得r=2，则常数项为(2)1+x+1+x2C3【知识点】二项式定理的通项18.【答案】(1)l在侧面展开图中为BD的长，其中AB=AD=π所以l的长为2π(2)当θ=π则有A0,−1,0，B0,1,0，P−1,0,π2，C设平面ABP的法向量为n=x,y,z，则取z=2得n=所以点C1到平面PAB的距离为d=【知识点】点面距离（线面距离、点线距离、面面距离）、圆柱的展开图、利用向量的坐标运算解决立体几何问题19.【答案】(1)因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BD，取AC的中点O，连接OB，OD，因为△ACD是等边三角形，AB=BC，所以AC⊥OB，AC⊥OD，所以点O，B，D共线，从而得AC⊥BD，又PA∩AC=A，所以BD⊥平面因为BD⊂平面所以平面PAC⊥(2)取CP中点E，连接OE，则OE∥所以EO⊥底面所以OC，OD，OE两两垂直，以O为原点如图建立空间直角坐标系Oxyz，则B0,−1,0，C1,0,0，D0,所以BD=0,3设平面PBD的法向量为n=由n⋅得y=0,x=2z,令z=1，得n=设CM=λCP0≤λ≤1所以BM=所以当λ=14时，BM有最小值，且此时BM=设直线MB与平面PBD所成角为θ，则 sin所以直线MB与平面PBD所成角的正弦值为3010【知识点】利用向量的坐标运算解决立体几何问题、线面角20.【答案】(1)由题意，所用时间为12天共有60辆汽车，其中公路1有20辆，公路2有40辆．公路1抽取6×20公路2抽取6×40(2)通过公路1的两辆汽车分别用a，b表示，通过公路2的4辆汽车分别用c，d，e，f表示．任意抽取2辆汽车共有如下15种可能结果：a,b，a,c，a,d，a,e，a,f，b,c，b,d，b,e，b,f，c,d，c,e，c,f，d,e，d,f，e,f，其中至少有1辆经过公路1的有9种．所以这2辆汽车至少有1辆通过公路1的概率P=9(3)根据条件，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频率分布如下表．所用时间10111213公路 1 的频率0.20.40.20.2设事件D1，D2分别表示汽车B在约定时间的前12 h出发选择公路1PC1=0.2+0.4=0.6，P汽车A应选择公路1．PD1=0.2+0.4+0.2=0.8，P汽车B应选择公路2．【知识点】古典概型21.【答案】(1)由条件，四面体的对棱相等，则可以将四面体放到长方体中去，如图．当等腰四面体的每条棱长都是2时，长方体是正方体，且正方体的棱长为2．此时该等腰四面体的体积为正方体的体积减去4个角上的4个全等的小三棱锥的体积．所以V=2(2)设长方体的长、宽、高分别为a，b，c．则CD2=AB2=在面ABC中，co