2020-2021学年安徽省池州市东至县东至二中高二下3月月考数学试卷(文)

2020-2021学年安徽省池州市东至二中高二（下）月考数学试卷（文科）（3月份）一、选择题（共12小题）.1．已知f（x）＝lnx，则f′（e）的值为（）A．1 B．﹣1 C．e D．2．设命题p：方程x2+3x﹣1＝0的两根符号不同；命题q：方程x2+3x﹣1＝0的两根之和为3，判断命题“￢p”、“￢q”、“p∧q”、“p∨q”为假命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．33．“a＞b＞0”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不允分也不必要条件4．物体的运动位移方程是S＝10t﹣t2（S的单位：m；t的单位：s），则物体在t＝2s的速度是（）A．2m/s B．6m/s C．4m/s D．8m/s5．椭圆+＝1的焦距为2，则m的值等于（）A．3 B．5 C．8 D．5或36．抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（）A． B． C． D．07．已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线平行于直线x+2y﹣3＝0，则该双曲线的离心率为（）A．5或 B．或 C．或 D．5或8．若不等式|x﹣1|＜a成立的充分条件是0＜x＜4，则实数a的取值范围是（）A．a≤1 B．a≤3 C．a≥1 D．a≥39．设f（x）在x0可导，则等于（）A．2f'（x0） B．f'（x0） C．3f'（x0） D．4f'（x0）10．已知动点P（x，y）满足10＝|3x+4y+2|，则动点P的轨迹是（）A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．无法确定11．已知P是椭圆上的一点，O是坐标原点，F是椭圆的左焦点且＝（），||＝4，则点P到该椭圆左准线的距离为（）A．6 B．4 C．3 D．12．若动点A（x1，y1），B（x2，y2）分别在直线l1：x+y﹣7＝0和l2：x+y﹣5＝0上移动，则线段AB的中点M到原点的距离的最小值为（）A．2 B．3 C．3 D．4二、填空题（每小题5分，共20分）13．写出命题“∃x∈R，x2﹣x+1＝0”的否定：．14．若双曲线x2﹣4y2＝4的焦点是F1，F2过F1的直线交左支于A、B，若|AB|＝5，则△AF2B的周长是．15．写出导函数是f'（x）＝x+的一个函数为．16．以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A、B为两个定点，k为正常数，，则动点P的轨迹为椭圆；②双曲线与椭圆有相同的焦点；③方程2x2﹣5x+2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④和定点A（5，0）及定直线的距离之比为的点的轨迹方程为．其中真命题的序号为．三、解答题（本大题共6小题，共55分）17．已知命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：双曲线的离心率e∈（1，2），若p，q只有一个为真，求实数m的取值范围．18．设t≠0，点P（t，0）是函数f（x）＝x3+ax与g（x）＝bx2+c的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线．试用t表示a，b，c．19．（1）已知双曲线的一条渐近线方程是y＝﹣x，焦距为2，求此双曲线的标准方程；（2）求以双曲线﹣＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆标准方程．20．双曲线＝1（a＞1，b＞0）的焦点距为2c，直线l过点（a，0）和（0，b），且点（1，0）到直线l的距离与点（﹣1，0）到直线l的距离之和．求双曲线的离心率e的取值范围．21．如图所示，在直角梯形ABCD中，|AD|＝3，|AB|＝4，|BC|＝，曲线段DE上任一点到A、B两点的距离之和都相等．（1）建立适当的直角坐标系，求曲线段DE的方程；（2）过C能否作一条直线与曲线段DE相交，且所得弦以C为中点，如果能，求该弦所在的直线的方程；若不能，说明理由．22．若直线l：x+my+c＝0与抛物线y2＝2x交于A、B两点，O点是坐标原点．（1）当m＝﹣1，c＝﹣2时，求证：OA⊥OB；（2）若OA⊥OB，求证：直线l恒过定点；并求出这个定点坐标．（3）当OA⊥OB时，试问△OAB的外接圆与抛物线的准线位置关系如何？证明你的结论．

参考答案一、选择题（小题5分，共60分）1．已知f（x）＝lnx，则f′（e）的值为（）A．1 B．﹣1 C．e D．解：∵，∴．故选：D．2．设命题p：方程x2+3x﹣1＝0的两根符号不同；命题q：方程x2+3x﹣1＝0的两根之和为3，判断命题“￢p”、“￢q”、“p∧q”、“p∨q”为假命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3解：命题P为真，命题q为假，故“￢p”为假、“￢q”为真、“p∧q”为假、“p∨q”为真，故选：C．3．“a＞b＞0”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不允分也不必要条件解：由a＞b＞0能推出；但反之不然，因此平方不等式的条件是a，b∈R且a≠b．故选：A．4．物体的运动位移方程是S＝10t﹣t2（S的单位：m；t的单位：s），则物体在t＝2s的速度是（）A．2m/s B．6m/s C．4m/s D．8m/s解：∵质点的运动方程为s＝﹣t2+10t∴s′＝﹣2t+10∴该质点在t＝2秒的瞬时速度为|﹣2×2+10|＝6．故选：B．5．椭圆+＝1的焦距为2，则m的值等于（）A．3 B．5 C．8 D．5或3解：由椭圆得：2c＝2得c＝1．依题意得4﹣m＝1或m﹣4＝1解得m＝3或m＝5∴m的值为3或5故选：D．6．抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（）A． B． C． D．0解：∵抛物线的标准方程为，∴，准线方程为，令M（x0，y0），则由抛物线的定义得，，即故选：B．7．已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线平行于直线x+2y﹣3＝0，则该双曲线的离心率为（）A．5或 B．或 C．或 D．5或解：对称轴为坐标轴的双曲线的标准方程可设为或（a，b＞0）．可得渐近线方程为或．∵有一条渐近线平行于直线x+2y﹣3＝0，∴一条渐近线方程为x+2y＝0．∴．∴该双曲线的离心率e＝＝＝．故选：B．8．若不等式|x﹣1|＜a成立的充分条件是0＜x＜4，则实数a的取值范围是（）A．a≤1 B．a≤3 C．a≥1 D．a≥3解：∵不等式|x﹣1|＜a成立的充分条件是0＜x＜4，设不等式的解集为A，则（0，4）⫋A当a≤0时，A＝∅，不满足要求；当a＞0时，A＝（1﹣a，1+a）若（0，4）⫋A则解得a≥3故选：D．9．设f（x）在x0可导，则等于（）A．2f'（x0） B．f'（x0） C．3f'（x0） D．4f'（x0）解：∵f（x）在x0可导，∴f′（x0）＝．∴＝＝+＝f′（x0）+3＝f′（x0）+3f′（x0）＝4f′（x0），故选：D．10．已知动点P（x，y）满足10＝|3x+4y+2|，则动点P的轨迹是（）A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．无法确定解：∵10＝|3x+4y+2|，即，其几何意义为点P（x，y）到定点（1，2）的距离等于到定直线3x+4y+2＝0的距离的，由椭圆的定义，点P的轨迹为以（1，2）为焦点，以直线3x+4y+2＝0为准线的椭圆，故选：A．11．已知P是椭圆上的一点，O是坐标原点，F是椭圆的左焦点且＝（），||＝4，则点P到该椭圆左准线的距离为（）A．6 B．4 C．3 D．解：因为且＝（），所以∴Q是线段PF的中点，∵由P在椭圆上且，设P（a，b），F（﹣4，0），Q（），∴，∴．因为椭圆左准线x＝﹣，所以点P到该椭圆左准线的距离．故选：D．12．若动点A（x1，y1），B（x2，y2）分别在直线l1：x+y﹣7＝0和l2：x+y﹣5＝0上移动，则线段AB的中点M到原点的距离的最小值为（）A．2 B．3 C．3 D．4解：由题意知，M点的轨迹为平行于直线l1、l2且到l1、l2距离相等的直线l，故其方程为x+y﹣6＝0，∴M到原点的距离的最小值为d＝＝3．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．写出命题“∃x∈R，x2﹣x+1＝0”的否定：∀x∈R，x2﹣x+1≠0．解：∵特称命题的否定是全称命题，∴命题“∃x∈R，x2﹣x+1＝0”的否定：∀x∈R，x2﹣x+1≠0．故答案为：∀x∈R，x2﹣x+1≠0．14．若双曲线x2﹣4y2＝4的焦点是F1，F2过F1的直线交左支于A、B，若|AB|＝5，则△AF2B的周长是18．解：根据题意，|AF2|﹣|AF1|＝2a＝4①|BF2﹣|BF1|＝2a＝4②而|AB|＝5①+②得：|AF2|+|BF2|＝13∴周长为18故答案为：1815．写出导函数是f'（x）＝x+的一个函数为f（x）＝x2+lnx，（答案不唯一）．解：根据题意，（x2）′＝x，（lnx）′＝，则若f（x）的导数为f'（x）＝x+，则f（x）可以为f（x）＝x2+lnx，故答案为：f（x）＝x2+lnx，（答案不唯一）．16．以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A、B为两个定点，k为正常数，，则动点P的轨迹为椭圆；②双曲线与椭圆有相同的焦点；③方程2x2﹣5x+2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④和定点A（5，0）及定直线的距离之比为的点的轨迹方程为．其中真命题的序号为②③④．解：根据椭圆的定义，当k＞|AB|时是椭圆，∴①不正确；双曲线与椭圆有相同的焦点，焦点在x轴上，焦点坐标为（±，0），∴②正确；方程2x2﹣5x+2＝0的两根为或2，可分别作为椭圆和双曲线的离心率，∴③正确；④由双曲线的第二定义可知：点的轨迹是双曲线，直线为双曲线的准线，且a＝4，b＝3，c＝5，则双曲线的方程，∴④正确；故②③④正确．故答案为：②③④．三、解答题（本大题共6小题，共55分）17．已知命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：双曲线的离心率e∈（1，2），若p，q只有一个为真，求实数m的取值范围．解：若方程表示焦点在y轴上的椭圆，即+＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则得，得0＜m＜，即p：0＜m＜，∵双曲线的离心率e∈（1，2），∴a2＝5，b2＝m＞0，c2＝5+m，∵e∈（1，2），∴e2∈（1，4），即1＜＜4，得0＜m＜15，即q：0＜m＜15∵p，q只有一个为真，∴若p真q假，则，此时无解若p假q真，则，得，综上．18．设t≠0，点P（t，0）是函数f（x）＝x3+ax与g（x）＝bx2+c的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线．试用t表示a，b，c．解：因为函数f（x），g（x）的图象都过点（t，0），所以f（t）＝0，即t3+at＝0．因为t≠0，所以a＝﹣t2．g（t）＝0，即bt2+c＝0，所以c＝ab．又因为f（x），g（x）在点（t，0）处有相同的切线，所以f′（t）＝g′（t）．而f′（x）＝3x2+a，g′（x）＝2bx，所以3t2+a＝2bt．将a＝﹣t2代入上式得b＝t．因此c＝ab＝﹣t3．故a＝﹣t2，b＝t，c＝﹣t3．19．（1）已知双曲线的一条渐近线方程是y＝﹣x，焦距为2，求此双曲线的标准方程；（2）求以双曲线﹣＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆标准方程．解：（1）根据题意，由于双曲线的渐近线方程为，可设双曲线方程为；分两种情况讨论：①当λ＞0时，其方程为：﹣＝1，焦点在x轴上，则有4λ+9λ＝13，解可得λ＝1，则双曲线方程为﹣＝1，②当λ＜0时，方程为﹣＝1，则有（﹣9λ）+（﹣4λ）＝1，解可得λ＝﹣1，则双曲线方程为﹣＝1，综上所述，双曲线方程为﹣＝1或﹣＝1；（2）已知双曲线﹣＝1，所以该双曲线的焦点坐标为（0，5）和（0，﹣5），顶点为（0，4）和（0，﹣4）．所以椭圆的焦点坐标是（0，4）和（0，﹣4），顶点为（0，5）和（0，﹣5）所以该椭圆的标准方程为+＝1．20．双曲线＝1（a＞1，b＞0）的焦点距为2c，直线l过点（a，0）和（0，b），且点（1，0）到直线l的距离与点（﹣1，0）到直线l的距离之和．求双曲线的离心率e的取值范围．解：直线l的方程为，即bx+ay﹣ab＝0．由点到直线的距离公式，且a＞1，得到点（1，0）到直线l的距离，同理得到点（﹣1，0）到直线l的距离．由，即．于是得，即4e4﹣25e2+25≤0．解不等式，得．由于e＞1＞0，所以e的取值范围是．21．如图所示，在直角梯形ABCD中，|AD|＝3，|AB|＝4，|BC|＝，曲线段DE上任一点到A、B两点的距离之和都相等．（1）建立适当的直角坐标系，求曲线段DE的方程；（2）过C能否作一条直线与曲线段DE相交，且所得弦以C为中点，如果能，求该弦所在的直线的方程；若不能，说明理由．解：（1）以直线AB为x轴，线段AB的中点为原点建立直角坐标系，则A（﹣2，0），B（2，0），C（2，），D（﹣2，3）．依题意，曲线段DE是以A、B为焦点的椭圆的一部分．∵a＝＝12，∴所求方程为．（2）设这样的弦存在，其方程y﹣＝k（x﹣2），即y＝k（x﹣2）+，将其代入＝1得k﹣36＝0设弦的端点为M（x1，y1），N（x2，y2），则由＝2，知x1+x2＝4，∴﹣＝4，解得k＝﹣．∴弦MN所在直线方程为y＝﹣，验证得知，这时适合条件．故这样的直线存在，其方程为y＝﹣．22．若直线l：x+my+c＝0与抛物线y2＝2x交于A、B两点，O点是坐标原点．（1）当m＝﹣1，c＝﹣2时，求证：OA⊥OB；（2）若OA⊥OB，求证：直线l恒过定点；并求出这个定点坐标．（3）当OA⊥OB时，试问△OAB的外接圆与抛物线的准线位置关系如何？证明你的结论．解：设A