2020-2021学年北京市朝阳区高二下期末数学试卷

北京市朝阳区2020-2021学年高二下学期期末考试数学试题一、单选题（共10题；共50分）1.设x∈R，则“x<1”是“0<x<1”的（

）A.

充分不必要条件

B.

必要不充分条件

C.

充要条件

D.

既不充分也不必要条件2.(x−1x)A.

-20

B.

-10

C.

10

D.

203.函数f(x)=13xA.

−43

B.

1

C.

7

D.

2834.袋子里有8个红球和4个黄球，从袋子里有放回地随机抽取4个球，用X表示取到红球的个数，则D(X)=（

）A.

29

B.

89

C.

169

D.

85.设随机变量X服从正态分布N(μ,σ2)，若P(x≤2)=0.2，P(2<x<4)=0.6A.

1

B.

2

C.

3

D.

46.从4名高一学生和5名高二学生中，选3人参加社区垃圾分类宣传活动，其中至少有1名高二学生参加宣传活动的不同选法种数为（

）A.

50

B.

70

C.

80

D.

1407.小王同学进行投篮练习，若他第1球投进，则第2球投进的概率为23；若他第1球投不进，则第2球投进的概率为13.若他第1球投进概率为A.

59

B.

23

C.

78.为了研究某校男生的脚长x(单位；cm)和身高y(单位：cm)的关系，从该校随机抽取20名男生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系.设y关于x的经验回归方程为y=bx+a.已知i=120xiA.

164cm

B.

168cm

C.

172cm

D.

1769.已知f(x)=x①对任意实数x，存在k，使得f(x)>0；②对任意k，存在实数x，使得f(x)>0；③对任意实数k，x，均有f(x)>0成立；④对任意实数k，x，均有f(x)<0成立.其中所有正确的命题是（

）A.

①②

B.

②③

C.

①③

D.

②④10.一个圆的周上有8个点，连接任意两点画出弦.如果有一对弦不相交且没有共同的端点，我们称它们为一组“自由弦对”.则此圆上的“自由弦对”总组数为（

）A.

70

B.

140

C.

210

D.

280二、填空题（共6题；共30分）11.判断对错，并在相应横线处划“√”或“×”.①样本相关系数r>0时，称成对数据正相关，r<0时，称成对数据负相关________.②样本相关系数的绝对值|r|越接近于1，线性相关程度越弱，|r|越接近于0，线性相关程度越强________.12.某单位工会组织75名会员观看《光荣与梦想》､《觉醒年代》､《跨过鸭绿江》三部建党百年优秀电视，对这三部剧的观看情况统计如下：观看情况观看人数只看过《光荣与梦想》12只看过《觉醒年代》11只看过《跨过鸭绿江》8只看过《光荣与梦想》和《觉醒年代》7只看过《光荣与梦想》和《跨过鸭绿江》4只看过《觉醒年代》和《跨过鸭绿江》5同时看过《光荣与梦想》､《觉醒年代》和《跨过鸭绿江》21则会员中看过《跨过鸭绿江》的共有________人，三部电视剧中，看过至少一部的有________人.13.我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》里，出现了图1这张表.杨辉三角的发现比欧洲早500年左右.如图2，杨辉三角的第n行的各数就是(a+b)n则第10行共有________个奇数；第100行共有________个奇数.14.函数f(x)=cos15.已知a>1，则a+216.为了唤起全民对睡眠重要性的认识，国际精神卫生组织于2001年发起了一项全球性的活动——将每年的3月54日定为“世界睡眠日”.现从某中学初一至高三学生中随机抽取部分学生进行睡眠质量调查，采用睡眠质量指数量表统计结果如下：性别人数睡眠质量好睡眠质量一般睡眠质量差男220999031女2505012080合计470149210111假设所有学生睡眠质量的程度是相互独立的.以调查结果的频率估计概率，现从该中学男生和女生各随机抽取1人，二人中恰有一人睡眠质量好的概率是________.三、解答题（共5题；共70分）17.已知集合A={x|x2−5x−6（1）若m=0，全集U=A∪B，求∁U（2）从条件①和条件②选择一个作为已知，求实数m的取值范围.条件①：若A∪B=A；条件②：若A∩B=∅.如果选择条件①､条件②分别解答，则按第一个解答计分.18.设函数f(x)=ex−kx−1，（1）求f(x)的单调递增区间；（2）当k=1，a≤12时，求证：19.根据国家电影局发布的数据，2020年中国电影总票房为204.17亿，年度票房首度超越北美，成为2020年全球第一大电影市场.国产历史战争题材影片《八佰》和《金刚川》合力贡献了国内全年票房的15（1）记C表示事件：“观看电影《八佰》的观众年龄低于30岁”，根据图1的数据，估计C的概率；（2）现从参与调查的电影《金刚川》的100名购票观众中随机抽取两名依次进行电话回访，求在第1次抽到男性观众的条件下，第2次仍抽到男性观众的概率.（3）填写下面的2×2列联表，并根据小概率值α=0.01的独立性检验，分析男性观众与女性观众对这两部历史战争题材影片的选择是否有差异？影片女性观众男性观众总计《八佰》100《金刚川》100总计861142000.10.050.010.0012.7063.8416.63510.828附：x20.某工厂生产的10件产品有8件优等产品，2件不合格产品.（1）若从这10件产品中不放回地抽取两次，每次随机抽取一件，求第二次取出的是不合格产品的概率；（2）若从这10件产品中随机抽取3件，设抽到的不合格产品件数为X，求X的分布列和数学期望；（3）某工作人员在不知情的情况下，从这10件产中随机抽取了3件产品销售给了下级经销商.现该工厂针对3件已销售产品中可能出现的不合格产品，提出以下两种处理方案：方案一：将不合格产品返厂再加工，不合格产品的再加工费用为每件200元，所有返厂产品的运输费用为一次性80元；方案二：将不合格产品就地销毁，每件不合格产品损失成本300元.若以返厂再加工费用与运输费用之和的期望值为决策依据，要使损失最小，应选择哪种方案处理不合格产品？21.已知函数f(x)=x−ln（1）求f(x)的极值；（2）已知t∈Z，且xlnx+x>t(x−1)对任意的x>1恒成立，求（3）设g(x)=f(x+1)−e+3的零点为m(m>1)，当x1，x2∈(m,+∞)，且x

答案解析部分一、单选题（共10题；共50分）1.设x∈R，则“x<1”是“0<x<1”的（

）A.

充分不必要条件

B.

必要不充分条件

C.

充要条件

D.

既不充分也不必要条件【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】∵{x|x<1}Ý{x|0<x<1}，因此，“x<1”是“0<x<1”的必要不充分条件.故答案为：B.

【分析】根据不等式的范围可得所对应集合的关系，然后根据充分条件、必要条件的定义进行判断，即可得出答案。2.(x−1x)A.

-20

B.

-10

C.

10

D.

20【答案】C【考点】二项式定理【解析】【解答】Tr+1令5−2r=1，解得r=2.所以x的系数为(−1)2故答案为：C

【分析】先求出二项展开式的通项公式，通过通项公式确定x的系数.3.函数f(x)=13xA.

−43

B.

1

C.

7

D.

283【答案】D【考点】利用导数研究函数的极值【解析】【解答】依题意：f'(x)=x于是得−3≤x<−2或2<x≤3时，f'(x)>0，−2<x<2时，x=−2时f(x)取得极大值f(−2)=283，x=2时f(x)取得极小值而f(−3)=7,f(3)=1，283所以f(x)最大值为283故答案为：D

【分析】求导，令导数为零,再求f

(x)

>0.得到单调增区间，令f’(x)

<0，得到单调减区间，判定函数在给定的区间x∈[-3,

3]上，先增再减再增，利用极值和端点值函数值的大小比较可得最值.4.袋子里有8个红球和4个黄球，从袋子里有放回地随机抽取4个球，用X表示取到红球的个数，则D(X)=（

）A.

29

B.

89

C.

169

D.

8【答案】B【考点】极差、方差与标准差【解析】【解答】袋子里有8个红球和4个黄球，从袋子里随机抽取一个球，该球为红球的概率为812所以，X∼B(4,23)故答案为：B.

【分析】求出从袋子里随机抽取一个球，该球为红球的概率，再由X∼B(4,25.设随机变量X服从正态分布N(μ,σ2)，若P(x≤2)=0.2，P(2<x<4)=0.6A.

1

B.

2

C.

3

D.

4【答案】C【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【解析】【解答】P(x<4)=P(2<x<4)+P(x≤2)=0.6+0.2=0.8，所以P(x≥4)=1−0.8=0.2，即P(x≥4)=P(x≤2).所以μ=2+4故答案为：C

【分析】根据随机变量

X

服从正态分布

N(μ,σ2)，P(x≥4)=1−0.8=0.26.从4名高一学生和5名高二学生中，选3人参加社区垃圾分类宣传活动，其中至少有1名高二学生参加宣传活动的不同选法种数为（

）A.

50

B.

70

C.

80

D.

140【答案】C【考点】组合及组合数公式【解析】【解答】由于选取的3人无顺序性，求不同选法种数的问题是组合问题，又3人中至少有1名高二学生，其对立事件是没有高二学生，所求不同选法种数，先从9人中任选3人有种C93选法，没有高二学生的选法种数是所以不同选法种数为C故答案为：C

【分析】先从9人中任选3人有种C93选法，没有高二学生的选法种数是7.小王同学进行投篮练习，若他第1球投进，则第2球投进的概率为23；若他第1球投不进，则第2球投进的概率为13.若他第1球投进概率为A.

59

B.

23

C.

7【答案】A【考点】互斥事件的概率加法公式【解析】【解答】第2球投进的事件M是第一球投进，第2球投进的事件M1与第一球没投进，第2球投进的事件M2的和，M1与M2互斥，P(M1)=23所以第2球投进的概率为59故答案为：A

【分析】第2球投进的事件M是第一球投进，第2球投进的事件M1与第一球没投进，第2球投进的事件M2的和，M1与M2互斥，根据互斥事件的概率公式可得答案。8.为了研究某校男生的脚长x(单位；cm)和身高y(单位：cm)的关系，从该校随机抽取20名男生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系.设y关于x的经验回归方程为y=bx+a.已知i=120xiA.

164cm

B.

168cm

C.

172cm

D.

176【答案】C【考点】线性回归方程【解析】【解答】由题知：x=46020又因为回归直线为y=4x+a，所以162=4×23+a即回归直线为y=4x+70所该男身高为4×25.5+70=172cm.故答案为：C

【分析】由已知求得x=46020=23，y=9.已知f(x)=x①对任意实数x，存在k，使得f(x)>0；②对任意k，存在实数x，使得f(x)>0；③对任意实数k，x，均有f(x)>0成立；④对任意实数k，x，均有f(x)<0成立.其中所有正确的命题是（

）A.

①②

B.

②③

C.

①③

D.

②④【答案】A【考点】二次函数的性质【解析】【解答】令f(x)=x记Δ=(2k)因为f(x)为开口向上的二次函数，所以对任意k，总存在x使得f(x)>0，故②正确④错误；因为当k∈(−∞,12)∪(1,+∞)时，Δ=−4(2k−1)(k−1)<0所以f(x)=x因为当k∈[12,1]时，Δ=−4(2k−1)(k−1)≥0所以对任意x，f(x)>0不恒成立，故③错误；故答案为：A.

【分析】根据二次函数的性质以及根的情况，逐项进行判断，即可得出答案。10.一个圆的周上有8个点，连接任意两点画出弦.如果有一对弦不相交且没有共同的端点，我们称它们为一组“自由弦对”.则此圆上的“自由弦对”总组数为（

）A.

70

B.

140

C.

210

D.

280【答案】B【考点】组合及组合数公式【解析】【解答】因顺次连接一组“自由弦对”的两条弦的4个端点构成的四边形是圆内接四边形，并且这个四边形的每一组对边都是一组“自由弦对”，从而得每个圆内接四边形都有两组“自由弦对”，从圆周上8个点中任取4点可以构成C8所以圆上的“自由弦对”总组数为2C故答案为：B.

【分析】因顺次连接一组“自由弦对”的两条弦的4个端点构成的四边形是圆内接四边形，并且这个四边形的每一组对边都是一组“自由弦对”，从而得每个圆内接四边形都有两组“自由弦对”，由组合数的运算可得答案。二、填空题（共6题；共30分）11.判断对错，并在相应横线处划“√”或“×”.①样本相关系数r>0时，称成对数据正相关，r<0时，称成对数据负相关________.②样本相关系数的绝对值|r|越接近于1，线性相关程度越弱，|r|越接近于0，线性相关程度越强________.【答案】√；×【考点】两个变量的线性相关【解析】【解答】由成对数据正负相关与相关系数的对应关系知，①正确，在横线处划“√”；因样本相关系数的绝对值|r|越接近于1，线性相关程度越强，|r|越接近于0，线性相关程度越弱，则②不正确，在横线处划“×”.故答案为：√；×

【分析】根据线性回归中，相关系数的定义，利用相关系数r进行判断，而且|r|越接近于1,相关程度越强;

|r越接近于0，相关程度越弱，即可得答案.12.某单位工会组织75名会员观看《光荣与梦想》､《觉醒年代》､《跨过鸭绿江》三部建党百年优秀电视，对这三部剧的观看情况统计如下：观看情况观看人数只看过《光荣与梦想》12只看过《觉醒年代》11只看过《跨过鸭绿江》8只看过《光荣与梦想》和《觉醒年代》7只看过《光荣与梦想》和《跨过鸭绿江》4只看过《觉醒年代》和《跨过鸭绿江》5同时看过《光荣与梦想》､《觉醒年代》和《跨过鸭绿江》21则会员中看过《跨过鸭绿江》的共有________人，三部电视剧中，看过至少一部的有________人.【答案】38；68【考点】Venn图表达集合的关系及运算【解析】【解答】解：根据题意，将数据利用韦恩图表示，如图所示：由图可知看过《跨过鸭绿江》的共有21+4+5+8=38人；三部电视剧中，看过至少一部的有12+7+21+4+8+5+11=68人.故答案为：38；68.

【分析】根据题意，将数据利用韦恩图表示，即可得出答案。13.我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》里，出现了图1这张表.杨辉三角的发现比欧洲早500年左右.如图2，杨辉三角的第n行的各数就是(a+b)n则第10行共有________个奇数；第100行共有________个奇数.【答案】4；4【考点】归纳推理【解析】【解答】由杨辉三角可得如下表：第1行，2个；第2行，2个；第3行，4个；第4行，2个；第5行，4个；第6行，4个；第7行，8个；第8行，2个；第9行，4个；第10行，4个；第11行，8个；第12行，4个；第13行，8个；第14行，8个；第15行，16个；第16行，2个；第17行，4个；第18行，4个；第19行，8个；第20行，4个；第21行，8个；第22行，8个；第23行，16个；……第88行，2个；第89行，4个；第90行，4个；第91行，8个；第92行，4个；第93行，8个；第94行，8个；第95行，16个；第96行，2个；第97行，4个；第98行，4个；第99行，8个；第100行，4个；第101行，8个；第102行，8个；第103行，16个；故答案为：4；4

【分析】利用题中所给的规律进行推理，即可得出答案。14.函数f(x)=cos【答案】{x∈R|x≠kπ2【考点】利用导数研究函数的极值，余弦函数的定义域和值域【解析】【解答】依题意得cos2x≠0，即2x≠kπ+π2所以函数f(x)=cosxcosf'由f'(x)=0，即sinx=02kπ−π4<x<2kπ(k∈Z)时，f'(x)<0，2kπ<x<2kπ+π42kπ+π4<x<2kπ+3π4(k∈Z)时2kπ+3π4<x<(2k+1)π(k∈Z)时，f'(x)>0，(2k+1)π<x<2kπ+5π4所以极大值点的集合为{x|x=(2k−1)π,k∈Z}.故答案为：{x∈R|x≠kπ2

【分析】依题意得cos2x≠0，即2x≠kπ+π2,k∈Z，求解可得函数15.已知a>1，则a+2【答案】2【考点】基本不等式【解析】【解答】因为a>1，则a+2当且仅当a−1=2a−1时，即所以a+2a−1的最小值为故答案为：2

【分析】由a+2a−1=a−1+2a−116.为了唤起全民对睡眠重要性的认识，国际精神卫生组织于2001年发起了一项全球性的活动——将每年的3月54日定为“世界睡眠日”.现从某中学初一至高三学生中随机抽取部分学生进行睡眠质量调查，采用睡眠质量指数量表统计结果如下：性别人数睡眠质量好睡眠质量一般睡眠质量差男220999031女2505012080合计470149210111假设所有学生睡眠质量的程度是相互独立的.以调查结果的频率估计概率，现从该中学男生和女生各随机抽取1人，二人中恰有一人睡眠质量好的概率是________.【答案】0.47【考点】互斥事件的概率加法公式，相互独立事件的概率乘法公式【解析】【解答】从该中学男生中随机抽取1人，这个人睡眠质量好的概率为99220从该中学女生中随机抽取1人，这个人睡眠质量好的概率为50250因此，该中学男生和女生各随机抽取1人，二人中恰有一人睡眠质量好的概率是P=9故答案为：0.47.

【分析】根据相互独立的概率公式求解，即可得出答案。三、解答题（共5题；共70分）17.已知集合A={x|x2−5x−6（1）若m=0，全集U=A∪B，求∁U（2）从条件①和条件②选择一个作为已知，求实数m的取值范围.条件①：若A∪B=A；条件②：若A∩B=∅.如果选择条件①､条件②分别解答，则按第一个解答计分.【答案】（1）因为x2−5x−6<0，所以又B={x|−2<x<0}，所以U=A∪B={x|−2<x<6}，所以∁U

（2）若选①：因为A∪B=A，所以B⊆A，又因为m−2<m恒成立，所以B≠∅，所以{m−2≥−1m≤6，所以即m的取值范围是{m|1≤m≤6}；若选②：因为m−2<m恒成立，所以B≠∅，又因为A∩B=∅，m≤−1或m−2≥6，所以m≤−1或m≥8，即m的取值范围是{m|m≤−1或m≥8}.【考点】并集及其运算，补集及其运算，子集与交集、并集运算的转换【解析】【分析】（1）解一元二次不等式，求得A，化简B，根据补集的定义即可求得∁UB

；

（2）若选①：因为

A∪B=A

，所以

B⊆A

，得{m−2≥−1m≤6

，求解可得

m

的取值范围

；若选②：因为

m−2<m

恒成立，所以

B≠∅

，由A∩B=∅

求解可得18.设函数f(x)=ex−kx−1，（1）求f(x)的单调递增区间；（2）当k=1，a≤12时，求证：【答案】（1）∵f①当k⩽0时，f'(x)⩾0在∴f(x)在(0,+∞)单调递增；②当k>0时，f'(x)>0⇒x>ln∴f(x)在(ln综上，当k⩽0时，f(x)的单调递增区间是(0,+∞)，当k>0时，f(x)的单调递增区间是(ln

（2）因为a≤12，要证f(x)≥ax设g(x)=f(x)−1g'(x)=e所以u(x)在[0,+∞)上单调递增，所以u(x)≥u(0)=0，即g'所以g(x),x∈[0,+∞)单调递增，g(x)≥g(0)=0，即g(x)=f(x)−1【考点】利用导数研究函数的单调性，分析法和综合法【解析】【分析】（1）求导得f'(x)=ex−k

，分k⩽0

，k>0

讨论函数的单调性可得f(x)

的单调递增区间；

（2）要证

f(x)≥ax2

，只需证

f(x)≥12x2

，设

g(x)=f(x)−119.根据国家电影局发布的数据，2020年中国电影总票房为204.17亿，年度票房首度超越北美，成为2020年全球第一大电影市场.国产历史战争题材影片《八佰》和《金刚川》合力贡献了国内全年票房的15（1）记C表示事件：“观看电影《八佰》的观众年龄低于30岁”，根据图1的数据，估计C的概率；（2）现从参与调查的电影《金刚川》的100名购票观众中随机抽取两名依次进行电话回访，求在第1次抽到男性观众的条件下，第2次仍抽到男性观众的概率.（3）填写下面的2×2列联表，并根据小概率值α=0.01的独立性检验，分析男性观众与女性观众对这两部历史战争题材影片的选择是否有差异？影片女性观众男性观众总计《八佰》100《金刚川》100总计861142000.10.050.010.0012.7063.8416.63510.828附：x【答案】（1）由图1知，“观看电影《八佰》的观众年龄低于30岁”的频率为0.07+0.26+0.24=0.57，由此估计事件C的概率为P(C)=0.57；

（2）由图2知，参与调查的电影《金刚川》的100名购票观众中男性有61人，从100名观众中依次抽两名，在第一次抽到男性的条件下，第二次仍抽到男性的事件B，相当于从含60名男性观众的99名观众中任抽1人，抽到男性的事件，其概率为P(B)=60

（3）观察图2得2×2列联表如下：影片女性观众男性观众总计《八佰》4753100《金刚川》3961100总计86114200则x2的观测值为x由独立性检验知，没有99%的把握认为对这两部历史战争题材影片的选择与性别有关.【考点】独立性检验的基本思想，古典概型及其概率计算公式【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图计算平均数即可;

（2）根据古典概率的计算公式可得；

（3）根据列联表中的数据，计算K2的观测值，对照临界值即可得出结论.20.某工厂生产的10件产品有8件优等产品，2件不合格产品.（1）若从这10件产品中不放回地抽取两次，每次随机抽取一件，求第二次取出的是不合格产品的概率；（2）若从这10件产品中随机抽取3件，设抽到的不合格产品件数为