概率论与数理统计-期末复习完全手册（直接使用版+高频考题真题）

概率论与数理统计·期末复习完全手册（直接使用版）第一部分：考试题型与分值分布（通用）题型题量分值主要考查范围策略选择题5-8题15-20分概念辨析、公式选择牢记公式适用条件填空题5-8题15-20分概率计算、数字特征、区间估计熟记常见分布参数计算题5-6题45-50分全概率与贝叶斯、分布函数、期望方差、参数估计步骤完整，公式正确应用题1-2题15-20分中心极限定理、假设检验先判断类型再套公式第二部分：概率论核心公式速查第一章：随机事件与概率基本概念概念符号含义样本空间Ω所有可能结果的集合随机事件A,BΩ的子集必然事件Ω一定发生不可能事件∅一定不发生A的对立事件ĀA不发生A与B的并A∪BA发生或B发生A与B的交A∩B（或AB）A和B同时发生A与B互斥（互不相容）AB=∅不能同时发生A与B独立P(AB)=P(A)P(B)一个发生不影响另一个概率的基本公式公式名称公式条件加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)任意加法公式（互斥）P(A∪B)=P(A)+P(B)A、B互斥减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)任意乘法公式P(AB)=P(A)·P(B|A)P(A)>0全概率公式P(B)=ΣP(A_i)·P(B|A_i)A_i为完备事件组贝叶斯公式P(A_i|B)=P(A_i)·P(B|A_i)/P(B)P(B)>0对立事件概率P(Ā)=1-P(A)任意条件概率P(A|B)=P(AB)/P(B)，其中P(B)>0独立性条件结论P(AB)=P(A)P(B)A与B独立A与B独立Ā与B、A与B̄、Ā与B̄也都独立古典概型P(A)=A包含的基本事件数/Ω中基本事件总数排列组合速查概念公式说明排列（有序）P(n,k)=n!/(n-k)!从n个中取k个排列组合（无序）C(n,k)=n!/[k!(n-k)!]从n个中取k个组合第二章：随机变量及其分布离散型随机变量概念符号/公式分布律P{X=x_k}=p_k性质p_k≥0，Σp_k=1分布函数F(x)=P{X≤x}=Σ(x_k≤x)p_k连续型随机变量概念符号/公式概率密度f(x)≥0性质∫(-∞,∞)f(x)dx=1分布函数F(x)=∫(-∞,x)f(t)dt密度与分布关系f(x)=F'(x)（在连续点处）落在区间(a,b]概率P{a<X≤b}=F(b)-F(a)=∫(a,b)f(x)dx常见离散型分布速查表分布名称参数分布律期望方差0-1分布pP{X=1}=p,P{X=0}=1-ppp(1-p)二项分布B(n,p)n,pP{X=k}=C(n,k)pk(1-p)(n-k)npnp(1-p)泊松分布P(λ)λP{X=k}=λk·e(-λ)/k!λλ几何分布G(p)pP{X=k}=(1-p)^(k-1)·p1/p(1-p)/p²常见连续型分布速查表分布名称参数概率密度期望方差均匀分布U(a,b)a,bf(x)=1/(b-a),x∈[a,b](a+b)/2(b-a)²/12指数分布Exp(λ)λf(x)=λe^(-λx),x>01/λ1/λ²正态分布N(μ,σ²)μ,σ²f(x)=(1/(σ√(2π)))e^[-(x-μ)²/(2σ²)]μσ²正态分布的重要性质性质公式标准化若XN(μ,σ²)，则Z=(X-μ)/σN(0,1)线性组合若XN(μ₁,σ₁²)，YN(μ₂,σ₂²)独立，则aX+bY~N(aμ₁+bμ₂,a²σ₁²+b²σ₂²)P(|X-μ|<σ)≈0.6826P(|X-μ|<2σ)≈0.9544P(|X-μ|<3σ)≈0.9974随机变量函数的分布类型方法离散型：Y=g(X)找出Y所有可能取值，计算对应概率连续型：Y=g(X)公式法：f_Y(y)=f_X(h(y))·|h'(y)|，其中x=h(y)是y=g(x)的反函数第三章：多维随机变量二维离散型概念公式联合分布律P{X=x_i,Y=y_j}=p_ij边缘分布律P{X=x_i}=Σ(j)p_ij，P{Y=y_j}=Σ(i)p_ij独立性p_ij=P{X=x_i}·P{Y=y_j}对所有i,j成立二维连续型概念公式联合密度f(x,y)≥0，∬f(x,y)dxdy=1边缘密度f_X(x)=∫(-∞,∞)f(x,y)dy独立性f(x,y)=f_X(x)·f_Y(y)落在区域D的概率P{(X,Y)∈D}=∬_Df(x,y)dxdy二维正态分布记作(X,Y)~N(μ₁,μ₂,σ₁²,σ₂²,ρ)其中ρ是相关系数。X与Y独立↔ρ=0第四章：随机变量的数字特征数学期望类型公式离散型E(X)=Σ(x_k)·p_k连续型E(X)=∫(-∞,∞)x·f(x)dx函数Y=g(X)E(Y)=Σg(x_k)p_k或∫g(x)f(x)dx二维函数Z=g(X,Y)E(Z)=∬g(x,y)f(x,y)dxdy数学期望的性质序号公式条件1E(C)=CC为常数2E(CX)=C·E(X)3E(X+Y)=E(X)+E(Y)无条件4E(XY)=E(X)·E(Y)X与Y独立方差概念公式定义D(X)=E[(X-E(X))²]计算公式D(X)=E(X²)-[E(X)]²标准差σ=√D(X)方差的性质序号公式条件1D(C)=02D(CX)=C²·D(X)3D(X+Y)=D(X)+D(Y)X与Y独立4D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2Cov(X,Y)一般情况协方差概念公式定义Cov(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]计算公式Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)性质Cov(X,X)=D(X)相关系数ρ_XY=Cov(X,Y)/√[D(X)·D(Y)]性质：-1≤ρ≤1|ρ|=1↔X与Y以概率1线性相关ρ=0↔X与Y不相关独立→不相关，但不相关未必独立（正态分布除外）原点矩与中心矩概念符号公式k阶原点矩m_kE(X^k)k阶中心矩μ_kE[(X-E(X))^k]一阶原点矩m₁=E(X)期望二阶中心矩μ₂=D(X)方差切比雪夫不等式对于任意ε>0：P{|X-E(X)|≥ε}≤D(X)/ε²第五章：大数定律与中心极限定理大数定律定律内容切比雪夫大数定律独立同分布，期望μ方差σ²存在，则样本均值依概率收敛于μ辛钦大数定律独立同分布，期望μ存在，则样本均值依概率收敛于μ伯努利大数定律n_A/n依概率收敛于p（频率收敛于概率）中心极限定理定理内容公式独立同分布中心极限定理独立同分布，E(X_k)=μ,D(X_k)=σ²>0，n充分大时(ΣX_k-nμ)/(σ√n)近似N(0,1)棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理X~B(n,p)，n充分大时(X-np)/√[np(1-p)]近似N(0,1)第六章：数理统计基本概念总体与样本概念说明简单随机样本X₁,X₂,...,X_n独立且与总体同分布样本均值X̄=(1/n)ΣX_i样本方差S²=[1/(n-1)]Σ(X_i-X̄)²样本标准差S=√S²样本k阶原点矩A_k=(1/n)ΣX_i^k样本k阶中心矩B_k=(1/n)Σ(X_i-X̄)^k三大抽样分布分布定义数字特征χ²分布Z₁²+...+Z_n²χ²(n)，其中Z_iN(0,1)独立E[χ²(n)]=n,D[χ²(n)]=2nt分布T=Z/√(χ²/n)~t(n)E[t(n)]=0(n>1)F分布F=(χ₁²/m)/(χ₂²/n)~F(m,n)正态总体样本均值与样本方差的分布条件结论总体X~N(μ,σ²)X̄~N(μ,σ²/n)总体X~N(μ,σ²)X̄与S²独立总体X~N(μ,σ²)(n-1)S²/σ²~χ²(n-1)总体X~N(μ,σ²)(X̄-μ)/(S/√n)~t(n-1)第七章：参数估计点估计方法步骤矩估计法令样本矩=总体矩，解出参数最大似然估计法1.写似然函数L(θ)；2.取对数lnL；3.求导解方程估计量的评价标准标准定义无偏性E(θ̂)=θ有效性D(θ̂₁)<D(θ̂₂)，则θ̂₁比θ̂₂有效相合性θ̂依概率收敛于θ区间估计置信度1-α下，正态总体均值μ的置信区间：条件置信区间σ²已知(X̄-z(α/2)·σ/√n,X̄+z(α/2)·σ/√n)σ²未知(X̄-t(α/2)(n-1)·S/√n,X̄+t(α/2)(n-1)·S/√n)正态总体方差σ²的置信区间：[(n-1)S²/χ²(α/2)(n-1),(n-1)S²/χ²(1-α/2)(n-1)]第八章：假设检验假设检验步骤提出原假设H₀和备择假设H₁选择检验统计量给定显著性水平α，确定拒绝域计算检验统计量的值作出统计决策：若落入拒绝域，拒绝H₀；否则接受H₀正态总体均值检验条件检验统计量拒绝域（双侧）σ²已知Z=(X̄-μ₀)/(σ/√n)~N(0,1)|Z|≥z_(α/2)σ²未知t=(X̄-μ₀)/(S/√n)~t(n-1)|t|≥t_(α/2)(n-1)正态总体方差检验检验统计量：χ²=(n-1)S²/σ₀²~χ²(n-1)备择假设拒绝域σ²≠σ₀²（双侧）χ²≤χ²(1-α/2)或χ²≥χ²(α/2)σ²>σ₀²（右侧）χ²≥χ²_ασ²<σ₀²（左侧）χ²≤χ²_(1-α)两类错误错误类型定义概率第一类错误（拒真）H₀为真但被拒绝P{拒绝H₀|H₀为真}=α第二类错误（取伪）H₀为假但被接受P{接受H₀|H₀为假}=β第三部分：高频计算题完整步骤模板题型一：全概率公式与贝叶斯公式例题：某工厂有三台机器生产同一种零件，产量分别占总量的25%、35%、40%。

三台机器的次品率分别为5%、4%、2%。求：

(1)随机抽取一个零件是次品的概率；

(2)若抽到的是次品，它来自第一台机器的概率。

解：

(1)设A_i={零件来自第i台机器}，i=1,2,3。B={零件是次品}。

P(A₁)=0.25,P(A₂)=0.35,P(A₃)=0.40

P(B|A₁)=0.05,P(B|A₂)=0.04,P(B|A₃)=0.02

由全概率公式：

P(B)=P(A₁)P(B|A₁)+P(A₂)P(B|A₂)+P(A₃)P(B|A₃)

=0.25×0.05+0.35×0.04+0.40×0.02

=0.0125+0.0140+0.0080

=0.0345

(2)由贝叶斯公式：

P(A₁|B)=P(A₁)P(B|A₁)/P(B)=0.0125/0.0345≈0.3623

答：(1)次品率为3.45%；(2)次品来自第一台机器的概率约为36.23%。题型二：求分布函数与概率密度例题：设连续型随机变量X的密度函数为

f(x)={Ax²,0≤x≤1

{0,其他

求：(1)常数A；(2)分布函数F(x)；(3)P{0.2<X<0.8}。

解：

(1)由归一性∫(-∞,∞)f(x)dx=1：

∫(0,1)Ax²dx=A·(x³/3)|(0,1)=A/3=1

∴A=3

(2)分布函数F(x)=∫(-∞,x)f(t)dt

当x<0时：F(x)=0

当0≤x≤1时：F(x)=∫(0,x)3t²dt=x³

当x>1时：F(x)=1

∴F(x)={0,x<0

{x³,0≤x≤1

{1,x>1

(3)P{0.2<X<0.8}=F(0.8)-F(0.2)=0.8³-0.2³=0.512-0.008=0.504

答：(1)A=3；(2)F(x)如上；(3)概率为0.504。题型三：二维离散型随机变量例题：设(X,Y)的联合分布律为：

Y=0Y=1

X=00.20.1

X=10.30.4

求：(1)边缘分布律；(2)判断X与Y是否独立；(3)E(X),E(Y),Cov(X,Y)。

解：

(1)边缘分布律：

P{X=0}=0.2+0.1=0.3,P{X=1}=0.3+0.4=0.7

P{Y=0}=0.2+0.3=0.5,P{Y=1}=0.1+0.4=0.5

(2)检查独立性：

P{X=0,Y=0}=0.2

P{X=0}·P{Y=0}=0.3×0.5=0.15

0.2≠0.15，∴X与Y不独立。

(3)数字特征：

E(X)=0×0.3+1×0.7=0.7

E(Y)=0×0.5+1×0.5=0.5

E(XY)=0×0×0.2+0×1×0.1+1×0×0.3+1×1×0.4=0.4

Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0.4-0.7×0.5=0.4-0.35=0.05

答：X与Y不独立，Cov(X,Y)=0.05。题型四：最大似然估计例题：设总体X~Exp(λ)，即f(x;λ)=λe^(-λx)(x>0)，

X₁,X₂,...,X_n是来自总体X的样本，求λ的最大似然估计。

解：

步骤1：写出似然函数。

L(λ)=Π(i=1,n)λe^(-λX_i)=λ^n·e^(-λΣX_i)

步骤2：取对数。

lnL(λ)=n·lnλ-λ·ΣX_i

步骤3：对λ求导并令导数为0。

d(lnL)/dλ=n/λ-ΣX_i=0

步骤4：解出λ。

λ̂=n/(ΣX_i)=1/X̄

答：λ的最大似然估计为λ̂=1/X̄。题型五：区间估计例题：从某正态总体中抽取容量为16的样本，样本均值X̄=50，

样本标准差S=8，求总体均值μ的置信度为95%的置信区间。

解：

已知σ²未知，用t分布。n=16,X̄=50,S=8,α=0.05。

查表得t_(0.025)(15)=2.1315

置信区间：

X̄±t_(α/2)(n-1)·S/√n

=50±2.1315×8/√16

=50±2.1315×2

=50±4.263

=(45.737,54.263)

答：μ的95%置信区间为(45.74,54.26)。题型六：假设检验例题：某厂生产的零件标准重量为50克。现抽取25件，

测得平均重量为50.6克，样本标准差为1.2克。

问在α=0.05下，零件重量是否显著偏大？（假设重量服从正态分布）

解：

步骤1：提出假设。

H₀:μ=50（重量无显著偏大）

H₁:μ>50（重量显著偏大）→右侧检验

步骤2：确定检验统计量。σ²未知，用t检验。

t=(X̄-μ₀)/(S/√n)~t(24)

步骤3：确定拒绝域。α=0.05，右侧检验。

拒绝域：t≥t_(0.05)(24)=1.7109

步骤4：计算检验统计量。

t=(50.6-50)/(1.2/√25)=0.6/(1.2/5)=0.6/0.24=2.5

步骤5：做出决策。

2.5>1.7109，落入拒绝域，拒绝H₀。

答：在α=0.05下，认为零件重量显著偏大。题型七：中心极限定理应用例题：某保险公司有10000人投保，每人每年索赔概率为0.02，

求一年中索赔人数超过210人的概率。

解：

设X为索赔人数，X~B(10000,0.02)。

E(X)=np=200，D(X)=np(1-p)=200×0.98=196

由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理：

Z=(X-200)/√196=(X-200)/14~近似~N(0,1)

P{X>210}=1-P{X≤210}

=1-P{(X-200)/14≤(210-200)/14}

=1-P{Z≤0.7143}

≈1-Φ(0.7143)

≈1-0.7611=0.2389

答：索赔人数超过210人的概率约为23.89%。第四部分：高频计算题练习（附带最终答案）序号题目答案1掷一枚均匀硬币3次，求恰好2次正面的概率3/82设P(A)=0.5,P(B)=0.4,P(AB)=0.2，求P(A∪B)0.73设P(A)=0.6,P(B)=0.5,A与B独立，求P(A∪B)0.84设P(A)=0.3,P(BA)=0.4,P(B5设X~B(10,0.3)，求E(X)和D(X)E(X)=3,D(X)=2.16设X~P(4)，求E(X)和D(X)E(X)=4,D(X)=47设X~U(2,8)，求E(X)和D(X)E(X)=5,D(X)=38设X~Exp(2)，求E(X)和D(X)E(X)=0.5,D(X)=0.259设X~N(3,4)，求P{1<X<5}≈0.682610设X~N(10,9)，求P{X>13}≈0.158711设X的密度f(x)=2x(0<x<1)，求E(X)2/312设X的密度f(x)=2x(0<x<1)，求D(X)1/1813设X的密度f(x)=3x²(0<x<1)，求P{0<X<0.5}0.12514设D(X)=4,D(Y)=9,ρ_XY=0.5，求Cov(X,Y)315设E(X)=2,D(X)=4,E(Y)=1,D(Y)=9,Cov(X,Y)=-3，求E(XY)-116设X与Y独立，D(X)=2,D(Y)=3，求D(2X-3Y)3517设X₁,...,X_16是来自N(0,1)的样本，X̄是样本均值，求D(X̄)1/1618设总体X~N(μ,9)，样本容量25，X̄=100，求μ的95%置信区间(98.824,101.176)19设总体X~N(μ,σ²)，样本容量16，X̄=50,S=4，求μ的95%置信区间(47.869,52.131)20设总体X~B(1,p)，样本0,1,0,1,1，求p的矩估计3/5=0.621设总体X~Exp(λ)，样本X₁,...,X_n，求λ的矩估计λ̂=1/X̄22设总体X~N(μ,1)，样本X₁,...,X_n，求μ的最大似然估计μ̂=X̄23设样本数据：2,4,6,8,10，求样本均值和样本方差X̄=6,S²=1024设X~B(100,0.5)，用中心极限定理求P{X>55}≈0.135725设总体X~N(μ,σ²)，H₀:μ=100，σ²未知，n=25,X̄=102,S=5，α=0.05，判断是否拒绝H₀（双侧）t=2，拒绝域|t|≥2.064，接受H₀26设P(A)=0.4,P(B)=0.3,P(A∪B)=0.6，求P(AB)0.127设A与B独立，P(A)=0.4,P(B)=0.3，求P(A-B)0.2828设D(X)=9，由切比雪夫不等式求P{|X-E(X)|≥4}的上界≤9/16=0.562529设总体X~P(λ)，样本X₁,...,X_n，求λ的矩估计和最大似然估计都是X̄30设X~U(0,θ)，样本X₁,...,X_n，求θ的矩估计θ̂=2X̄第五部分：常见分布汇总速查表离散型分布速查分布记号参数分布律P{X=k}E(X)D(X)适用场景0-1分布B(1,p)pk=1:p;k=0:1-ppp(1-p)一次试验成败二项分布B(n,p)n,pC(n,k)pk(1-p)(n-k)npnp(1-p)n次独立重复试验泊松分布P(λ)λ>0λk·e(-λ)/k!λλ单位时间事件数几何分布G(p)0<p<1(1-p)^(k-1)·p1/p(1-p)/p²首次成功所需次数连续型分布速查分布记号参数密度函数f(x)E(X)D(X)定义域均匀分布U(a,b)a<b1/(b-a)(a+b)/2(b-a)²/12[a,b]指数分布Exp(λ)λ>0λe^(-λx)1/λ1/λ²x>0正态分布N(μ,σ²)μ∈R,σ²>0(1/(σ√(2π)))e^[-(x-μ)²/(2σ²)]μσ²(-∞,∞)标准正态N(0,1)—(1/√(2π))e^(-x²/2)01(-∞,∞)抽样分布速查分布符号定义ED查表卡方分布χ²(n)ΣZ_i²，Z_i~N(0,1)独立n2n卡方分布表t分布t(n)Z/√(χ²/n)0(n>1)n/(n-2)(n>2)t分布表F分布F(m,n)(χm²/m)/(χn²/n)n/(n-2)(n>2)—F分布表第六部分：常见易错点辨析序号易错点正确理解1P(A∪B)=P(A)+P(B)仅在A、B互斥时成立，一般要减去P(AB)2P(AB)=P(A)·P(B)仅在A、B独立时成立，一般用乘法公式P(AB)=P(A)·P(B|A)3独立与互斥混淆独立：P(AB)=P(A)P(B)；互斥：AB=∅。P(A)>0,P(B)>0时，互斥一定不独立4随机变量是定义在样本空间上的实值函数，不是普通变量5分布函数F(x)是x的函数给定x，F(x)=P{X≤x}是一个概率值6连续型取单点概率连续型随机变量取任何单点值的概率为07D(X±Y)=D(X)+D(Y)仅在X、Y独立时成立，一般有协方差项8相关系数为0表示不相关（无线性关系），不一定独立9正态总体下不相关=独立仅对正态分布成立10样本方差分母n-1S²=Σ(X_i-X̄)²/(n-1)，除以n-1是为了无偏估计11置信区间理解置信度是重复抽样下包含真值的频率，不是概率12假设检验中接受H₀不是证明H₀正确，只是没有充分证据拒绝它13检验中P值P值<α时拒绝H₀；P值是观察到的显著性水平14两类错误α与β不能同时减小（样本量固定时）15矩估计与最大似然估计矩估计简单但不一定最优；最大似然估计有优良性质但需知道分布第七部分：判断题速记（50题）序号题目答案1必然事件的概率为1。对2概率为1的事件一定是必然事件。错（概率为1不意味必定发生）3不可能事件的概率为0。对4概率为0的事件一定是不可能事件。错5若A、B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)。对6若P(AB)=P(A)P(B)，则A、B独立。对7若A、B互斥且P(A)>0,P(B)>0，则A、B独立。错（一定不独立）8P(A|B)+P(Ā|B)=1。对9连续型随机变量的分布函数一定连续。对10分布函数F(x)是单调不减函数。对11若X~B(n,p)，则E(X)=np。对12若X~P(λ)，则E(X)=D(X)=λ。对13正态分布的密度函数关于x=μ对称。对14若XN(μ,σ²)，则(X-μ)/σN(0,1)。对15E(X+Y)=E(X)+E(Y)恒成立。对16E(XY)=E(X)·E(Y)恒成立。错（需独立）17D(X+Y)=D(X)+D(Y)恒成立。错（需独立或不相关）18D(C)=0（C为常数）。对19D(X+C)=D(X)。对20若ρ_XY=0，则X与Y独立。错（不相关未必独立）21若X与Y独立，则ρ_XY=0。对22对于正态分布，不相关等价于独立。对23Cov(X,X)=D(X)。对24样本均值的期望等于总体均值。对25样本方差的期望等于总体方差。对（无偏估计）26t分布关于0对称。对27t分布的极限分布是标准正态分布（n→∞）。对28矩估计的唯一性。错（不一定唯一）29置信区间的长度与样本量n有关，n越大区间越短。对30假设检验中，第一类错误的概率为α。对31假设检验中，P值越小越拒绝H₀。对32两个正态总体均值差的检验，若σ₁²,σ₂²均未知但相等，用t检验。对33卡方分布取值为正。对34F分布取值为正。对35泊松分布是离散型分布。对36指数分布是离散型分布。错（连续型）37均匀分布的密度函数在区间内为常数。对38设X~N(0,1)，则P{X<0}=0.5。对39全概率公式要求事件组为完备事件组。对40贝叶斯公式可计算后验概率。对41大数定律揭示了频率的稳定性。对42中心极限定理说明大量随机变量之和近似服从正态分布。对43设X~B(100,0.5)，可用正态分布近似计算概率。对44抽样分布是统计量的分布。对45χ²(n)的期望为n，方差为2n。对46t(n)的期望为0（n>1）。对47最大似然估计的思想是使样本出现的概率最大。对48无偏估计是指估计量的期望等于被估计的参数。对49相合估计是指样本容量越大，估计量越接近真值。对50假设检验中，检验结论“接受H₀”意味着H₀一定正确。错第八部分：选择题高频题库（50题）模块一：概率基本概念题号题目选项A选项B选项C选项D答案1若P(A)=0.4,P(B)=0.3,P(AB)=0.1，则P(A∪B)=0.70.60.50.4B2若A、B独立，P(A)=0.5,P(B)=0.4，则P(AB)=0.90.20.10.5B3若A、B互斥，P(A)=0.3,P(B)=0.4，则P(A∪B)=0.70.120.581A4已知P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(A|B)=0.8，则下列正确的是A、B互斥A、B独立A包含BB包含AB5掷两枚均匀硬币，至少一枚正面的概率是1/41/23/41C模块二：分布函数与密度函数题号题目选项A选项B选项C选项D答案6下列哪个可以作为概率密度函数f(x)=sinx(0<x<π)f(x)=2x(0<x<1)f(x)=x²(-1<x<2)f(x)=e^x(0<x<1)B7设X的密度f(x)=2x(0<x<1)，则分布函数F(0.5)=0.250.50.1251A8连续型随机变量的分布函数一定可导连续离散常数B9下列哪个是分布函数的性质单调递减右连续有负值无上界B模块三：数字特征题号题目选项A选项B选项C选项D答案10设X~B(10,0.4)，则E(X)=42.4610A11设X~P(3)，则D(X)=39√31/3A12设X~U(0,6)，则D(X)=363612B13设X~N(2,9)，则D(2X+1)=18363719B14若D(X)=4,D(Y)=1,ρ_XY=0.5，则D(X+Y)=5678C15若X与Y独立，则下列一定成立的是E(XY)=E(X)E(Y)D(X+Y)=D(X)+D(Y)Cov(X,Y)=0以上都对D模块四：常见分布题号题目选项A选项B选项C选项D答案16二项分布B(n,p)中，当n很大p很小时近似于正态分布泊松分布均匀分布指数分布B17指数分布具有的性质是无记忆性对称性周期性归一性A18正态分布N(μ,σ²)的密度函数在何处取最大值x=0x=σx=μx=σ²C19若X~N(0,1)，则P{|X|<1.96}≈0.900.950.9750.99B20设XN(3,4)，YN(2,9)独立，则X+Y~N(5,13)N(5,5)N(5,36)N(6,13)A模块五：数理统计题号题目选项A选项B选项C选项D答案21样本方差S²=Σ(X_i-X̄)²/nΣ(X_i-X̄)²/(n-1)ΣX_i²/nΣ(X_i-μ)²/nB22设总体XN(μ,σ²)，X̄为样本均值，则X̄N(μ,σ²)N(μ,σ²/n)N(0,1)t(n-1)B23若ZN(0,1)，χ²χ²(n)独立，则Z/√(χ²/n)~N(0,1)t(n)χ²(1)F(1,n)B24矩估计的基本思想是样本矩=总体矩似然函数最大最小二乘贝叶斯公式A25置信度1-α增大，置信区间长度变短变长不变无法确定B第九部分：考前公式速记纸（进考场前30分钟反复看）概率论与数理统计考前速记═══════════════════════════════════════════

概率论与数理统计考前速记

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【概率公式】

P(A∪B)=P(A)+