全品高考备战2027年数学一轮教师备用习题62第51讲直线与圆、圆与圆的位置关系

第51讲直线与圆、圆与圆的位置关系【备选理由】例1考查直线与圆相交,考查利用三角形的面积求参数;例2考查点到直线的距离,考查圆的弦长及与圆的切线有关的最值问题;例3考查与圆的切线有关的最值问题;例4考查与圆的切线有关的多角度问题,综合性较强;例5考查圆与圆的位置关系,考查圆的切线问题,难度较大.例1[配例1使用][2023·新课标Ⅱ卷]已知直线x-my+1=0与☉C:(x-1)2+y2=4交于A,B两点,写出满足“△ABC的面积为85”的m的一个值2[解析]方法一:如图,因为直线x-my+1=0过定点(-1,0),且点(-1,0)在圆C上,所以不妨记A(-1,0),C(1,0),设B(xB,yB),则S△ABC=12×2×|yB|=85,即|yB|=85,可得xB=115或xB=-15,又m=xB+1yB方法二:由题意可知☉C的半径为2,圆心为C(1,0).设圆心C到直线x-my+1=0的距离为d,则弦长|AB|=24-d2,所以S△ABC=12×24-d2×d=85,解得d2=45或d2=165,则d=255或d=455.当d=255时,由点到直线的距离公式可得2m2+1=255,解得m=±2;当d=4例2[配例2、例4使用](多选题)[2026·江苏南京期中]在平面直角坐标系xOy中,已知圆O:x2+y2=16,点M(-2,0),则下列说法正确的是 (ACD)A.若圆O上恰有3个点到直线x+3y+b=0的距离为2,则b=±4B.直线x+3y+b=0与圆O交于A,B两点,若|AB|=4,则b=43C.点P在直线2x+y+10=0上运动,过点P作圆O的两条切线,切点分别为A,B,则点M到直线AB的距离的最大值为2D.过点M的直线与圆交于A,B两点,若|MA|=2|MB|,则AB的长为36[解析]因为圆O上恰有3个点到直线x+3y+b=0的距离为2,所以圆心O(0,0)到直线x+3y+b=0的距离为2,所以|b|1+3=2,解得b=4或b=-4,故选项A正确.因为直线x+3y+b=0与圆O交于A,B两点,且|AB|=4,所以圆心O(0,0)到直线x+3y+b=0的距离为16-422=23,所以|b|1+3=23,解得b设P(x0,y0),则2x0+y0+10=0,即y0=-2x0-10(*),由切线的性质可知OA⊥AP,OB⊥BP,所以A,B,O,P四点共圆,且OP为直径,以OP为直径的圆的方程为x(x-x0)+y(y-y0)=0,即x2+y2=x0x+y0y,与圆O:x2+y2=16的方程相减得x0x+y0y-16=0,即两圆的公共弦AB所在直线的方程为x0x+y0y-16=0,将(*)代入可得x0x+(-2x0-10)y-16=0,即x0(x-2y)-(10y+16)=0.由x-2y=0,10y+16=0,解得x=-165,y=-85,即直线AB过定点N-165,-85,所以点设直线AB的参数方程为x=-2+tcosθ,y=tsinθ(t为参数),将其代入圆O的方程得(-2+tcosθ)2+(tsinθ)2=16,化简得t2-4tcosθ-12=0.设A,B对应的参数分别为t1,t2,则t1t2=-12.因为|MA|=2|MB|,所以t1=-2t2,所以-2t2·t2=-12,即t22=6,所以|t2|=6,则|AB|=|t1-t例3[配例4使用](1)[2025·河南许昌模拟]已知点A(-1,0),B(1,0),点P是圆E:(x-3)2+(y-4)2=8上的动点,则∠PAB的最小值为 (B)A.π16 B.π12 C.π10 (2)[2025·辽宁锦州二模]设直线l:y=x+5与x轴交于点A,圆O:x2+y2=10,过l上一点P作圆O的两条切线PC,PD,C,D为切点,设CD的中点为M,则|AM|的取值范围是 (A)A.[17-2,17+2] B.[13-2,13+2]C.[3,5] D.[4,6][解析](1)如图,当AP与圆E相切于点P时,∠PAB取得最小值,连接PE,AE.由题意得,E(3,4),圆E的半径为22,则|AE|=(3+1)2+42=42,所以sin∠EAP=|PE||AE|=2242=12,故∠EAP=π6.过点E作x轴的垂线,垂足为N,则|EN|=|AN|=4,所以∠EAN=π4,所以∠PAB=(2)因为直线l:y=x+5与x轴交于点A,所以A(-5,0).因为P为l上一点,所以设P(t,t+5).设C(x1,y1),D(x2,y2),则OC⊥PC,得直线PC的方程为x1x+y1y=10,故x1t+y1(t+5)=10.同理得直线PD的方程为x2x+y2y=10,即x2t+y2(t+5)=10,故直线CD的方程为tx+(t+5)y=10.因为M为CD的中点,所以OM⊥CD,所以直线OM的方程为ty-(t+5)x=0.由tx+(t+5)y=10,ty-(t+5)x=0,消去t得(x+1)2+(y-1)2=2,所以点M的轨迹是以(-1,1)为圆心,2为半径的圆,其中点A(-5,0)到圆心(-1,1)的距离为(-5+1)2+(0-1)2=17,所以|AM|max=17+2,|例4[补充使用](多选题)下列说法正确的有 (AD)A.设直线系M:(x-2)cosθ+(y-1)sinθ=1(0≤θ<2π),则存在一个圆与M中所有直线相交B.设直线系M:(x-2)cosθ+(y-1)sinθ=1(0≤θ<2π),则用M中直线能围成的任意等边三角形的面积都相等C.若圆G:x2+y2-22ax-22ay+2a2+4=0与圆O:x2+y2=4有四条公切线,则实数a的取值范围是a<-2或a>2D.设直线系M:(x-2)cosθ+(y-1)sinθ=1(0≤θ<2π),圆系N:(x-3m)2+(y-4m)2=4(m∈R),则直线系M中存在一条直线可以作为圆系N中所有圆的公切线[解析]对于A,因为直线系M:(x-2)cosθ+(y-1)sinθ=1,所以点P(2,1)到M中每条直线的距离d=1cos2θ+sin2θ=1,则M为圆P:(x-2)2+(y-1)2=1的全体切线组成的集合,所以存在圆心为(2,1),半径大于1的圆与M中所有直线相交,故A正确;对于B,因为M中的直线与以点(2,1)为圆心,半径为1的圆相切,所以M中的直线所能围成的等边三角形面积不全相等,反例如图,△ABC与△ADE对于C,由圆G的方程为x2+y2-22ax-22ay+2a2+4=0,得圆G的圆心为G(2a,2a),半径r=2a2-4(a2>2),又圆G:x2+y2-22ax-22ay+2a2+4=0与圆O:x2+y2=4有四条公切线,所以两圆外离,故(2a)2+(2a)2>2+2a2-4,解得a≠±2且|a|>2,故C错误;对于D,圆系N中圆的圆心坐标为(3m,4m),所以圆心在直线y=43x上,且圆系N中圆的半径不变,则圆系N中圆的公切线平行于圆心的轨迹,设公切线的方程为y=43x+b,即4x-3y+3b=0,圆心轨迹与切线之间的距离为圆的半径2,所以|3b|5=2,即|3b|=10,所以切线的方程为4x-3y±10=0,又点(2,1)到直线4x-3y-10=0的距离为|8-3-10|5=1,所以由例5[配例5使用]已知P为圆O:x2+y2=1上一动点,过点P作圆O的切线l,交圆C:(x-1)2+(y-4)2=36于点A,B,则|PA||PB|的最大值是[解析]原题等价于已知圆O:x2+y2=1及其上一点P(0,1)处的切线l:y=1,圆C的圆心C到圆O的圆心O的距离d=12+42=17,圆C的半径r=6,且圆C与直线l交于A,B两点,求A,B两点横坐标的绝对值的比的取值范围.如图,设C(17cosθ,17sinθ),则圆C的方程为(x-17cosθ)2+(y-17sinθ)2=36,与直线l的方程联立可得x2-217cosθ·x-18-217sinθ=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),且x1则x1+x2=λx