高一数学第四课时　余弦定理、正弦定理应用举例

第四课时余弦定理、正弦定理应用举例课标要求1.能利用余弦定理、正弦定理解决简单的生产、生活中的实际问题.2.巩固深化余弦定理、正弦定理有关知识与方法.【引入】在实践中，我们经常会遇到测量距离、高度、角度等实际问题，解决这类问题，通常需要借助经纬仪以及卷尺等测量角和距离的工具进行测量.具体测量时，我们常常遇到“不能到达”的困难，这就需要设计恰当的测量方案，把要求的距离、高度、角度等问题转化成解三角形的四类问题，然后利用正弦定理或余弦定理解决实际问题.一、测量距离问题例1(链接教材P49例9)为加快推进“5G＋光网”双千兆城市建设，如图，在东北某地地面有四个5G基站A，B，C，D.已知C，D两个基站建在松花江的南岸，距离为10eq\r(3)km；基站A，B在江的北岸，测得∠ACB＝75°，∠ACD＝120°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，则A，B两个基站的距离为()A.10eq\r(6)km B.30(eq\r(3)－1)kmC.30(eq\r(2)－1)km D.10eq\r(5)km答案D解析在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝120°，所以∠CAD＝30°，则有∠ADC＝∠CAD，所以AC＝CD＝10eq\r(3).又∠ACB＝75°，所以∠BCD＝45°，在△BDC中，∠CBD＝180°－(30°＋45°＋45°)＝60°，由正弦定理，得BC＝eq\f(10\r(3)sin75°,sin60°)＝5eq\r(2)＋5eq\r(6).在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB＝(10eq\r(3))2＋(5eq\r(2)＋5eq\r(6))2－2×10eq\r(3)×(5eq\r(2)＋5eq\r(6))×eq\f(（\r(6)－\r(2)）,4)＝500，所以AB＝10eq\r(5)，即A，B两个基站之间的距离为10eq\r(5)km.思维升华求两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把问题转化为求三角形的边长问题，基本方法：(1)认真理解题意，正确作出图形，根据条件和图形特点寻找可解的三角形.(2)把实际问题中的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边和角，利用正、余弦定理求解.训练1一艘轮船以18海里/时的速度沿北偏东40°的方向直线航行，在行驶到某处时，该轮船南偏东20°方向上10海里处有一灯塔，继续行驶20分钟后，轮船与灯塔的距离为()A.17海里 B.16海里C.15海里 D.14海里答案D解析记轮船行驶到某处的位置为A，灯塔的位置为B，20分钟后轮船的位置为C，如图所示.则AB＝10，AC＝6，∠CAB＝120°，所以在△ABC中，由余弦定理得BC2＝102＋62－2×10×6×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝196，所以BC＝14.故20分钟后，轮船与灯塔的距离为14海里.二、测量高度问题例2(链接教材P49例10)某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为35°，沿倾斜角为20°的斜坡前进1000m后到达D处，又测得山顶的仰角为65°，求此山的高度.(精确到1m，参考数据：sin35°≈0.5736，eq\r(2)＝1.414)解如图，过点D作DE∥AC交BC于E，因为∠DAC＝20°，所以∠ADE＝160°，于是∠ADB＝360°－160°－65°＝135°.又∠BAD＝35°－20°＝15°，所以∠ABD＝30°.在△ABD中，由正弦定理，得AB＝eq\f(ADsin∠ADB,sin∠ABD)＝eq\f(1000·sin135°,sin30°)＝1000eq\r(2)(m).在Rt△ABC中，BC＝ABsin35°≈811(m).所以此山的高度约为811m.思维升华求解底部不可到达的物体的高度问题，一般是把问题转化为解直角三角形的边长问题，基本方法：(1)分清仰角和俯角，根据已知和所求，正确作出图形；(2)理清边角关系，利用正、余弦定理解直角三角形.训练2如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从点A测得点M的仰角∠MAN＝60°，点C的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°，从点C测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100m，则山高MN＝________.答案150m解析由题意可知AB＝BC＝100m，所以AC＝100eq\r(2)m，在△ACM中，由正弦定理得AM＝eq\f(AC,sin45°)·sin60°＝100eq\r(3)(m)，所以MN＝AMsin60°＝100eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝150(m).三、测量角度问题例3(链接教材P50例11)甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时eq\r(3)a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？解如图所示.设经过t小时两船在C点相遇，则在△ABC中，BC＝at海里，AC＝eq\r(3)at海里，B＝180°－60°＝120°，由eq\f(BC,sin∠CAB)＝eq\f(AC,sinB)，得sin∠CAB＝eq\f(BCsinB,AC)＝eq\f(at×sin120°,\r(3)at)＝eq\f(\f(\r(3),2),\r(3))＝eq\f(1,2)，∵0°<∠CAB<60°，∴∠CAB＝30°，∴∠DAC＝60°－30°＝30°，∴甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇.思维升华测量角度问题的基本思路测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解.训练3北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度(轨道高度是指卫星到地球表面的距离)为h.将地球看作是一个球心O，半径为r的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数.如果地球表面上某一观测点与该卫星在同一条子午线(经线)所在的平面，且在该观测点能直接观测到该卫星.若该观测点的纬度值为α，观测该卫星的仰角为β，则下列关系一定成立的是()A.eq\f(r＋h,cosβ)＝eq\f(r,cos（α＋β）) B.eq\f(h,cosβ)＝eq\f(r,cos（α＋β）)C.eq\f(r＋h,sinβ)＝eq\f(r,sin（α＋β）) D.eq\f(h,sinβ)＝eq\f(r,sin（α＋β）)答案A解析如图所示，B＝eq\f(π,2)－α－β，由正弦定理可得eq\f(OA,sinB)＝eq\f(OB,sin∠OAB)，即eq\f(r,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α－β)))＝eq\f(r＋h,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋β)))，化简得eq\f(r,cos（α＋β）)＝eq\f(r＋h,cosβ).【课堂达标】1.从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为()A.α>β B.α＝βC.α＋β＝90° D.α＋β＝180°答案B解析根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图所示.由图知α＝β.2.如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者与A在河的同侧，在所在的河岸边先确定一点C，测出A，C的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，可以计算出A，B两点的距离为()A.50eq\r(2)m B.50eq\r(3)mC.25eq\r(2)m D.eq\f(25\r(2),2)m答案A解析∠ABC＝180°－45°－105°＝30°，在△ABC中，由eq\f(AB,sin45°)＝eq\f(50,sin30°)，得AB＝100×eq\f(\r(2),2)＝50eq\r(2)(m).3.如图，要测出山上一座天文台BC的高，从山腰A处测得AC＝60m，天文台最高处B的仰角为45°，天文台底部C的仰角为15°，则天文台BC的高为()A.20eq\r(2)m B.30eq\r(2)mC.20eq\r(3)m D.30eq\r(3)m答案B解析由题图，可得B＝45°，∠BAC＝30°，故BC＝eq\f(AC·sin∠BAC,sinB)＝eq\f(60sin30°,sin45°)＝30eq\r(2)(m).4.当太阳光线与水平面的倾斜角为60°时，一根长为2m的竹竿，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角α＝________.答案30°解析作出示意图如图所示，设竹竿的影子长为xm，依据正弦定理可得eq\f(2,sin60°)＝eq\f(x,sin（120°－α）)，所以x＝eq\f(4,\r(3))×sin(120°－α)，因为0°＜120°－α＜120°，所以要使x最大，只需sin(120°－α)＝1，即120°－α＝90°，所以当α＝30°时，影子最长.一、基础巩固1.如图所示，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°方向上，灯塔B在观察站南偏东60°方向上，则灯塔A在灯塔B的()A.北偏东10°方向上B.北偏西10°方向上C.南偏东80°方向上D.南偏西80°方向上答案D解析由条件及题图可知，∠BAC＝∠ABC＝40°.又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°方向上.2.学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4m，A＝30°，则其跨度AB的长为()A.12m B.8mC.2eq\r(3)m D.4eq\r(3)m答案D解析在△ABC中，已知可得BC＝AC＝4，C＝180°－30°×2＝120°.由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°＝42＋42－2×4×4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝48，∴AB＝4eq\r(3)(m).3.一艘海盗船从C处以30km/h的速度沿着南偏东40°的方向前进，在C点北偏东20°且距离为30km的A处有一海警船，沿着南偏东10°的方向快速拦截，若要拦截成功，则海警船速度至少为()A.30km/h B.40km/hC.50km/h D.30eq\r(3)km/h答案D解析如图，设在B处两船相遇，则由题意可得∠ACB＝120°，A＝30°，则B＝30°，△ABC是等腰三角形，则BC＝30，所以海盗船需1h到达B处.在△ABC中，由余弦定理得AB＝eq\r(302＋302－2×30×30×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))＝30eq\r(3)，则海警船每小时至少航行30eq\r(3)km，即速度至少为30eq\r(3)km/h.4.江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距()A.20m B.eq\r(30)mC.30m D.30eq\r(3)m答案C解析如图，过炮台顶部A作水平面的垂线，垂足为B，设A处观测小船C的俯角为45°，A处观测小船D的俯角为30°，连接BC，BD，在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，可得BC＝AB＝30m，在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，可得BD＝eq\r(3)AB＝30eq\r(3)m，在△BCD中，BC＝30m，BD＝30eq\r(3)m，∠CBD＝30°，由余弦定理，得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos30°＝900.∴CD＝30m，即两船相距30m.5.为捍卫国家南海主权，我海军在南海海域进行例行巡逻.某天，一艘巡逻舰从海岛A出发，沿南偏东70°的方向航行40海里后到达海岛B，然后再从海岛B出发，沿北偏东35°的方向航行了40eq\r(2)海里到达海岛C.若巡逻舰从海岛A出发沿直线到达海岛C，则航行的方向和路程(单位：海里)分别为()A.北偏东80°，20(eq\r(6)＋eq\r(2))B.北偏东65°，20(eq\r(3)＋2)C.北偏东65°，20(eq\r(6)＋eq\r(2))D.北偏东80°，20(eq\r(3)＋2)答案C解析据题意知，在△ABC中，∠ABC＝70°＋35°＝105°，AB＝40海里，BC＝40eq\r(2)海里，所以AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos∠ABC＝402＋(40eq\r(2))2－2×40×40eq\r(2)×eq\f(\r(2)－\r(6),4)＝3200＋1600eq\r(3)，所以AC＝eq\r(3200＋1600\r(3))＝20(eq\r(6)＋eq\r(2))(海里).又eq\f(40\r(2),sin∠CAB)＝eq\f(20（\r(6)＋\r(2)）,sin105°)，所以sin∠CAB＝eq\f(\r(2),2)，又因为∠CAB为锐角，所以∠CAB＝45°，所以航行的方向和路程分别为北偏东65°，20(eq\r(6)＋eq\r(2))海里.6.一架飞机在海拔8000m的高度飞行，在空中测出前下方海岛两侧海岸的俯角分别是30°和45°，则这个海岛的宽度为________m.(精确到0.1m)答案5856.4解析宽＝eq\f(8000,tan30°)－eq\f(8000,tan45°)≈5856.4(m).7.一艘船以每小时15km的速度向正东方向航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°方向上，行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°方向上，这时船与灯塔间的距离为________km.答案30eq\r(2)解析如图所示，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝105°，则∠ABC＝45°，AC＝15×4＝60(km)，根据正弦定理，得BC＝eq\f(ACsin∠BAC,sin∠ABC)＝eq\f(60sin30°,sin45°)＝30eq\r(2)(km).8.如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB＝BC＝60m，则建筑物的高度为________m.答案30eq\r(6)解析设建筑物的高度为hm.由题图知，PA＝2h，PB＝eq\r(2)h，PC＝eq\f(2\r(3),3)h.在△PBA和△PBC中，由余弦定理得，cos∠PBA＝eq\f(602＋2h2－4h2,2×60×\r(2)h)，①cos∠PBC＝eq\f(602＋2h2－\f(4,3)h2,2×60×\r(2)h).②∵∠PBA＋∠PBC＝180°，∴cos∠PBA＋cos∠PBC＝0.③由①②③，解得h＝30eq\r(6)或h＝－30eq\r(6)(舍去).即建筑物的高度为30eq\r(6)m.9.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距6nmile，渔船乙以5nmile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2h追上.(1)求渔船甲的速度；(2)求sinα.解(1)依题意，知∠BAC＝120°，AB＝6，AC＝5×2＝10.在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cos∠BAC＝62＋102－2×6×10×cos120°＝196，解得BC＝14，v甲＝eq\f(BC,2)＝7，所以渔船甲的速度为7nmile/h.(2)在△ABC中，AB＝6，∠BAC＝120°，BC＝14，∠BCA＝α.由正弦定理，得eq\f(AB,sinα)＝eq\f(BC,sin120°)，即sinα＝eq\f(ABsin120°,BC)＝eq\f(6×\f(\r(3),2),14)＝eq\f(3\r(3),14).10.如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径：一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.山路AC长为1260m，经测量，cosA＝eq\f(12,13)，cosC＝eq\f(3,5)，求索道AB的长.解在△ABC中，因为cosA＝eq\f(12,13)，cosC＝eq\f(3,5)，所以sinA＝eq\f(5,13)，sinC＝eq\f(4,5).从而sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝eq\f(5,13)×eq\f(3,5)＋eq\f(12,13)×eq\f(4,5)＝eq\f(63,65).由eq\f(AB,sinC)＝eq\f(AC,sinB)，得AB＝eq\f(AC,sinB)·sinC＝eq\f(1260,\f(63,65))×eq\f(4,5)＝1040(m).所以索道AB的长为1040m.二、综合运用11.某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C处(点C在水平地面下方，O为CH与水平地面ABO的交点)进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察地A，B相距100米，∠BAC＝60°，其中A到C的距离比B到C的距离远40米.在A地测得该仪器在C处的俯角∠OAC＝15°，在A地测得最高点H的仰角∠HAO＝30°，则该仪器的垂直弹射高度CH为()A.210(eq\r(6)＋eq\r(2))米 B.140eq\r(6)米C.210eq\r(2)米 D.20(eq\r(6)－eq\r(2))米答案B解析在△ABC中，设AC＝x，则BC＝x－40，由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2·AC·AB·cos∠BAC，即(x－40)2＝x2＋1002－100x，解得x＝420.在△ACH中，AC＝420，∠CAH＝15°＋30°＝45°，∠CHA＝90°－30°＝60°.由正弦定理得eq\f(CH,sin∠CAH)＝eq\f(AC,sin∠CHA)，即eq\f(CH,sin45°)＝eq\f(420,sin60°)，解得CH＝140eq\r(6).12.已知甲船位于小岛A的南偏西30°的B处，乙船位于小岛A处，AB＝20千米，甲船沿eq\o(BA,\s\up6(→))的方向以每小时6千米的速度行驶，同时乙船以每小时8千米的速度沿正东方向匀速行驶，当甲、乙两船相距最近时，他们行驶的时间为________小时.答案eq\f(10,13)解析设甲、乙两船相距最近时，他们行驶的时间为t(t>0)小时，如图所示.若在甲船到达A处之前两船相距最近，则有AC＝20－6t，AD＝8t，0<t<eq\f(10,3).在△ACD中，由余弦定理可得CD2＝(20－6t)2＋(8t)2－2(20－6t)·8tcos120°＝52t2－80t＋400＝52eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(10,13)))eq\s\up12(2)＋eq\f(4800,13)，故当t＝eq\f(10,13)时，CD取最小值.若在甲船到达A处时，两船相距最近，此时t＝eq\f(10,3)，点C与A重合，CD＝eq\f(10,3)×8＝eq\f(80,3).若甲船过A处之后两船相距最近，则有AC′＝6t－20，AD＝8t，t>eq\f(10,3).在△AC′D中，由余弦定理可得C′D2＝(6t－20)2＋(8t)2－2(6t－20)·8tcos60°＝52t2－80t＋400＝52eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(10,13)))eq\s\up12(2)＋eq\f(4800,13).因为t>eq\f(10,3)，所以此时C′D2无最小值.综上所述，因为eq\f(80,3)>eq\r(\f(4800,13))，所以当t＝eq\f(10,13)时，CD取得最小值.即当甲、乙两船相距最近时，他们行驶的时间为eq\f(10,13)小时.13.如图，游客从景点A下山至C有两种路径：一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A下山.甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C.已知缆车从A到B要8min，AC长为1260m，若cosA＝eq\f(12,13)，sinB＝eq\f(63,65).为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min，求乙步行的速度v(m/min)的取值范围.解在△ABC中，∵cosA＝eq\f(12,13)，sinB＝eq\f(63,65)，∴sinA＝eq\r(1－cos2A)＝eq\r(1－\b\lc