线性变换的矩阵课件

线性变换的矩阵一.引入概念

设V是数域P上n维线性空间，ε1,ε2,···,εn是V的一组基，A∈L(V)，则对任意的ξ（∈V），

ξ=x1ε1+x2ε2+···+xnεn,且其中系数是唯一确定的，称为向量ξ在基ε1,ε2,···,εn下的坐标.

由于Aξ=A（x1ε1+x2ε2+···+xnεn

）

=x1A（ε1）+x2

A（ε2）+···+xn

A（εn

）.→故Aξ完全由

A（ε1）,A（ε2）,···,A（εn

）

→有必要研究基ε1,ε2,···,εn与其象

A（ε1）,A（ε2）,···,A（εn

）之间的相互联系.从而得到如下结论：定理1

设ε1,ε2,···,εn是V的基对任意的α1,α2,···,αn∈V,存在唯一的A∈L(V),使得

Aεi

=αi

,

i=1,2,···,n.

分析证明思路：1)存在性：

对任意的α1,α2,···,αn∈V,存在A∈L(V),使得

Aεi

=αi

,

i=1,2,···,n(即P282，2.).2)唯一性：若另存在B∈L(V),Bεi

=αi

,

i=1,2,···,n→

A=B(即P281，1.).

定理意义分析:(2)设ε1,ε2,···,εn是V的基，对任意的ξ∈V，A∈L(V),ξ=x1ε1+x2ε2+···+xnεnAξ=x1Aε1+x2Aε2+···+xnAεn由此看出研究A的特征，关键在于研究εi与Aεi

的关系,这里εi

,Aεi∈V，i=1,2,···,nAL(V)

APn×nV的基ε1,ε2,···,εn下

定理1的意义就在于证明了是满射，从而是双射.这就为引入如下概念奠定了理论基础.Vεm+1,···,εn

A

AWε1,ε2,···,εn·0二的性质

L(V)≌Pn×n,且保持加，减，乘，数乘，可逆性.

Aξξ三线性变换下的坐标变换向量ξ与Aξ在同一基下的坐标变换公式

注意与基变换公式下的坐标变换公式的区别（见P6.4）三

A

(∈L(V))在不同基下的矩阵B=X-1AX定理4

A

(∈L(V))在基ε1,ε2,···,εn下的矩阵是A

A

(∈L(V))在基η1,η2,···,ηn下的矩阵是B(η1,η2,···,ηn)=(ε1,ε2,···,εn)X

AA(η1,η2,···,ηn)=(ε1,ε2,···,εn)XB=X-1AX同一A在不同基下的矩阵之间的关系式是完全由基变换公式所确定的

定义3

A,B∈Pn×n,称A相似B，记A∽B，如果存在可

逆矩阵X∈Pn×n,使得B=X－1AX

相似关系∽的性质：1）自反性：对任意的A∈Pn×n,A∽A.

(存在E∈Pn×n,A=E－1AE)2）对称性：A∽B，则B∽A.

(A∽B→存在可逆阵X∈Pn×n，B=X－1AX→XBX－1=X(X－1AX)X=A,即存在Y=X－1，A=Y－1BY→B∽A）3）传递性：A∽B,B∽C,则A∽C.

(A∽B,B∽C→存在可逆阵X,Y∈Pn×n,B=X－1AX,C=Y－1BY→C=Y－1(X－1AX)Y=(XY)－1A(XY)→A∽C)

矩阵的相似关系是P上的等价关系.4）X－1A1X+···+X－1ArX=X－1(A1+···+Ar)X(X－1AX)(X－1AX)···(X－1AX)=X－1(A1A2···Ar)X

即A1∽B1···Ar∽Br,则

A1+A2+···+Ar∽B1+B2+···+Br,A1A2···Ar∽B1B2···Br.5）X－1(Ar)X=(X－1AX)r(是性质4的特例)6）A∽B,则Ar

∽Br(A∽B→B=X－1AX→据性质5,Br=

(X－1AX)r=

X－1(Ar)X→Ar

∽Br).

据以上性质得：A∽B,则f(A)∽f(B),

f(x)∈Pn×n.

(设f(x)=a0+a1x+···+anxn,因A∽B→Ar∽Ar,r=0,1,···,n,又由B=X－1AX得kB=k(X－1AX)=X－1(kA)X,即

kA∽kB→据性质4知a0

A0+a1A+···+anAn

∽a0B0+a1B+···+anBn

，即f(A)∽f(B）).

7）（定理5）

（1）A(∈L(V))在不同基下矩阵A，B相似；

（2）A∽B（A,B∈Pn×n）,则存在A(∈L(V))，

使A,B是A在不同基下的矩阵.证明：由定理4即知(1)成立.这里仅证(2).A∽B→存在可逆阵X,使B=X－1AX,又据定理1,有A(∈L(V)),

A(ε1,ε2,···,εn

)=(ε1,ε2,···,εn

)A→设

(ε1,ε2,···,εn

)X=(η1,η2,···,ηn)→因X可逆，故

(η1,η2,···,ηn)X－1=(ε1,ε2,···,εn

)→{ε1,ε2,···,εn

}

与{η1,η2,···,ηn}等价→η1,η2,···,ηn

是V的基,且A(η1,η2,···,ηn)=A((ε1,ε2,···,εn

)X)=(A(ε1,ε2,···,εn

))X=(ε1,ε2,···,εn

)AX=((η1,η2,···,ηn)X－1)AX=(η1,η2,···,ηn)X－1AX=(η1,η2,···,ηn)B→A,B分别是在基ε1,ε2,···,εn

和基η1,η2,···,ηn

下的矩阵.□

矩阵的相似关系作为Pn×n上的等价关系把Pn×n分成若干个互不相交的子集→提出问题：

对任意的A∈L(V),找到一个基，使在该基下的矩阵最简单？（这是今后要讨论解决的一个问题