2025-2026学年河北省衡水二中高二（下）期中数学试卷（含答案）

第=page22页，共=sectionpages22页2025-2026学年河北省衡水二中高二（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.某班有男生5人、女生4人，现要从中选出2人参加活动，要求恰好1男1女，则不同的选法共有（）A.9种 B.14种 C.20种 D.40种2.在二项式的展开式中，常数项是（）A.-240 B.240 C.-160 D.1603.已知随机变量X的分布列为：X123Pa+baa+2b则P（X≥2）=（）A. B. C. D.4.鲁班锁是中国古代传统智力玩具，又称“孔明锁”，蕴含深厚的数学几何与组合逻辑，其拼接部件的搭配蕴含概率思想.现有一副经典鲁班锁，由8个拼接部件组成，分为三种类型：4个长部件、2个中部件、2个短部件，所有部件除尺寸外完全相同.现从这8个部件中随机抽取2个（不放回抽取），已知抽取的2个部件中至少有1个长部件，则这2个部件均为长部件的概率为（）A. B. C. D.5.已知函数f（x）=x2-tx+lnx是增函数，则t的取值范围为（）A.[3，+∞） B.（-∞，3] C. D.6.某工厂有甲、乙两条生产线生产同一种零件，产量分别占总产量的60%和40%.已知甲生产线次品率为2%，乙生产线次品率为5%.现从该厂产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品来自甲生产线的概率为（）A.0.375 B.0.429 C.0.571 D.0.6257.已知，则a,b,c的大小关系为（）A.a＞b＞c B.a＞c＞b C.b＞a＞c D.c＞a＞b8.已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，双曲线C右支上任意一点P处的切线为l,过F2作切线l的垂线，垂足为M，O为坐标原点，若|OM|=b,则双曲线C的离心率为（）A. B. C. D.2二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.已知，且第3项与第4项的二项式系数相等，则（）A.n=5 B.展开式的二项式系数和为26

C.展开式的各项系数和为1 D.10.已知袋子中放有大小、质地完全相同的3个红球和2个白球，则下列说法正确的有（）A.若从袋子中有放回地依次随机摸球，X为第1个红球被摸出所需的摸球次数，则

B.若从袋子中不放回地依次随机摸出3个球，Y为摸出的球中红球的个数，则

C.若从袋子中有放回地依次随机摸出5个球，Z为摸出红球的次数与摸出白球的次数之差，则

D.若从袋子中不放回地依次随机摸球，W为第3个红球被摸出所需的摸球次数，则11.现有10枚相同金币进行如下操作，则下列说法正确的是（）A.分成4份，每份至少1枚，则共有9种分法

B.分给4人，每人至少1枚，则共有9种分法

C.分给4人，每人至少1枚，且每人所得数目互不相同，则共有24种分法

D.分给4人，允许有人1枚都没分到，若甲至少1枚，乙至少2枚，丙至多3枚，则共有100种分法三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知离散型随机变量X的期望E（X）=4，随机变量Y=3X-1，则E（Y）=

.13.若直线y=x+a与曲线y=ln（x+b）相切，则b-a=

.14.如图，质点需从5×4网格A点沿着网格线移动到D点，每次仅能向右或向下移动一格，且不经过B，C两点，则不同的路径共有

条.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

某人工智能模型进行指令识别训练，每次识别成功的概率为，失败的概率为，各次识别相互独立.现对该模型进行5次独立测试，设识别成功的次数为随机变量X.

（1）求在第二次识别成功的条件下，5次中恰有3次识别成功的概率；

（2）求X的分布列与数学期望E（X）.16.(本小题15分)

如图，在三棱锥A-BCD中，E是CD的中点，且EA=EB=EC=ED=2，AB⊥BD.

（1）证明：平面ABC⊥平面ABD.

（2）若，当△ABC面积最大时，求二面角A-CD-B余弦值的大小.17.(本小题15分)

椭圆的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2，点A，B在椭圆上，AF1∥BF2，当AF1与x轴垂直时，.

（1）求C的方程；

（2）若四边形AF1F2B的面积为，求直线AF1的方程.18.(本小题17分)

已知函数f（x）=e2x+ax2+bx,曲线y=f（x）在处的切线经过点.

（1）求a；

（2）当b≥-2时，讨论f（x）的单调性；

（3）记h（x）=f（x）-2x3-1，若h（x）在区间[0，+∞）上存在3个零点，求b的取值范围.19.(本小题17分)

某科技公司研发一款智能机器人，内置了若干种不同的服务技能，机器人在每次服务技能测试时，会随机同时激活多个独立技能单元，每个技能单元会随机启动一种服务技能，每个服务技能被启动的概率都相等，且每个技能单元启动何种技能相互独立.

（1）若同时激活4个独立技能单元且内置了3种不同服务技能，求恰好启动了2种不同服务技能的概率.

（2）假设该款机器人内置了3种服务技能.现有两种测试方案：

方案一：同时激活4个独立技能单元，若启动了至少两项服务技能，则通过测试；

方案二：同时激活6个独立技能单元，若启动了所有服务技能，则通过测试.

试判断该机器人测试时，应选择哪种方案进行测试更容易通过，并说明理由.

（3）为了进一步完善该款智能机器人性能，该公司对该机器人进行不同场景的服务训练：共有四种不同的场景，其中两种常见场景，两种特定场景.每次让不同的人选择一种场景进行训练，每个人选择何种场景相互独立，直到两种常见场景都至少训练一次，才停止训练，记训练的总次数为Y，求E（Y）.

1.【答案】C

2.【答案】C

3.【答案】C

4.【答案】C

5.【答案】D

6.【答案】A

7.【答案】D

8.【答案】B

9.【答案】AD

10.【答案】ABD

11.【答案】ACD

12.【答案】11．

13.【答案】1

14.【答案】42．

15.【答案】

X的分布列为：X012345P

16.【答案】证明：在△BCD中，E是CD的中点，且EB=EC=ED，

因此∠EBC=∠ECB，∠EBD=∠EDB，

又因为∠EBC+∠ECB+∠EBD+∠EDB=π，即2∠CBD=π，故，

因此BD⊥BC，

又因为BD⊥AB，AB∩BC=B，AB、BC⊂平面ABC，

因此BD⊥平面ABC，因为BD⊂平面ABD，

因此平面ABC⊥平面ABD

17.【答案】

x-y+1=0或x+y+1=0

18.【答案】a=-2

由（1）可得：f（x）=e2x-2x2+bx，则f′（x）=2e2x-4x+b，

设g（x）=f′（x），则g′（x）=4e2x-4；令g′（x）=0，解得x=0；当x＞0时，g′（x）＞0，此时g（x）单调递增；当x＜0时，g′（x）＜0，此时g（x）单调递减；所以g（x）在x=0处取最小值，

所以g（x）≥g（0）=2+b，

因为b≥-2，所以g（x）≥0，即f′（x）≥0，

所以函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递增

19.【答案】

应选择方案一进行测试更容易通过，：若3种服务技能全部启动，

则