高中数学 2.2《直接证明与间接证明》学案（新人教A版选修2-2）

§2.2.1直接证明与间接证明———综合法【学习目标】1会用综合法证明不等式；能说出综合法证明的意义;2．能够记住并说出综合法实质——由因导果；3．熟练记住所学过的重要定义、定理、公理和重要不等式等，并能恰当的利用它们进行证明.【重点难点】重点：会用综合法证明问题；综合法的思考过程.难点：选择适当的条件方法，作为出发点是综合法证明的难点.【知识链接】（1）公理3：两个不重合的平面有一个公共点，那么.（2）重要不等式：，()（3）两个向量的数量积公式：.（4）正弦定理：，(5)余弦定理:，.(6)等差中项：.等比中项：.【知识链接】归纳推理的概念【问题探究】2.综合法的含义和特点：.

【典例分析】AABCPQR例2.若实数，求证： 例4已知a，b∈R，且a+b=1．求证：本题解法很多，请发挥你的才智，用不同方法证明.【目标检测】4.已知，，求证：.5.定义在上的函数在上是增函数,且函数为偶函数,则f(-1),f(4),f()的大小关系是__________________..已知二次函数的导数为,,对于任意实数x,都有,则的最小值为()A3BC2D【总结反思】知识重点能力与思想方法.【自我评价】你完成本学案的情况为()A.很好B.较好C.一般D.较差§2.2.2直接证明与间接证明———分析法【学习目标】1．能够用分析法证明不等式；2．能够记住并说出分析法实质——执果索因；3．提高证明不等式证法灵活性【重点难点】学习重点：分析法的思考过程、特点学习难点：分析法的过程书写【知识链接】一般地，利用已知条件和某些已经学过的定义、定理、公理等，经过一系列的推理、论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。【问题探究】一、新课自学回顾基本不等式：的证明.证法一：因为：证法二：要证：所以只需证：所以只需证：所以成立只需证：因为：成立所以成立1.分析法:一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做分析法．分析法，又叫逆推证法或执果索因法。2．分析法的思考过程、特点：分析法证明的本质是从结论出发逐步寻求使结论成立的充分条件（或必要条件）.【典例分析】例1.求证证明：因为都是正数，所以为了证明只需证明_____________________展开得______________________即________________________因为成立，所以___________________________成立即证明了___________________例2已知a,b是正整数,求证:.证明:例3设a,b,c为一个三角形的三边,且试证：证明:例4.图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足为F,求证：AF⊥SC.证明:要证只需证:只需证:只需证:只需证:只需证:只需证:只需证:所以，AF⊥SC成立总结：分析法和综合法的优缺点分析法的优点：解题方向明确，容易找到解题的思路和方法缺点：思路逆行，叙述较繁.综合法的优点：从条件推出结论，较简捷地解决问题；缺点：不便于思考.注：解题时，一般用分析法寻找解题思路，再用综合法写解题过程【目标检测】1.若x,y∈R+,且x≠y,则下列四个数中最小的一个是()ABCD2.证明下列不等式:(2)(x≥4);3.设a、b是两个正实数，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2．【总结反思】知识重点能力与思想方法.【自我评价】你完成本学案的情况为()A.很好B.较好C.一般D.较差§2.2.3反证法【学习目标】1.能说出间接证明的一种基本方法──反证法；2.能说出反证法的思考过程、特点.【重点难点】学习重点：反证法的思考过程、特点学习难点：反证法的思考过程、特点【学法指导】1.反证法是一种间接证法。2.用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。3．应用反证法的情形：(1)直接证明困难;(2)需分成很多类进行讨论；（3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个”类命题；（4）结论为“唯一”类命题.【问题探究】一、课题导入A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎。则C必定是在撒谎，为什么？二、新课自学1．反证法

假设命题结论的反面成立，经过正确的推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这样的的证明方法叫反证法。因此，反证法是一种间接证法。2．反证法的思维方法：正难则反。3.反证法的基本步骤：（1）反设:假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；（2）归谬:从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（3）结论:从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的。例如：是/不是；存在/不存在；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。

归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。4.归缪矛盾：（1）与已知条件矛盾；（2）与已有公理、定理、定义矛盾；（3）自相矛盾。5.应用反证法的情形(1)直接证明困难;(2)需分成很多类进行讨论．（3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个”---类命题；（4）结论为“唯一”类命题；【典例分析】例1.已知x、y、z是整数，且x2+y2=z2.求证：x、y、z不可能都是奇数.例2.用反证法证明：不是有理数.提示：直接证明一个数是无理数比较困难，所以我们采用反证法。从有理数的定义、表示、性质找突破口，然后利用有理数的运算（律）例3.已知：若均为实数，且求证：至少中有一个大于0.例.设，用反证法证明：议一议：试根据上述几例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？【目标检测】1.求证：不可能成等差数列.2若,且,求证:或中至少有一个成立.3．若，证明：关于的方程与中至少有一个有实数根.4．设，求证：不可能同时大于..设二次函数，求证：中至少有一个不小于.提示：反证法，假设都小于，则，即根据三个不等关系可导出之间存在矛盾.【总结反思】知识