高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册5.2导数的运算（含解析）

人教A版（2019）选择性必修第二册5.2导数的运算一、单选题1．已知曲线在点处的切线方程为，则A． B． C． D．2．下列求导计算正确的是（

）A． B．C． D．3．若，则（

）A． B． C． D．4．函数的导数为（

）A． B． C． D．5．函数在点处的切线方程为（

）A． B．C． D．6．函数y＝x2cos2x的导数为（

）A．y′＝2xcos2x－x2sin2xB．y′＝2xcos2x－2x2sin2xC．y′＝x2cos2x－2xsin2xD．y′＝2xcos2x＋2x2sin2x7．设函数的导函数为，若是奇函数，则曲线在点处切线的斜率为（

）A． B． C．2 D．8．曲线f(x)=在点(-1，-1)处的切线方程为（

）A．y=2x+1B．y=2x-1C．y=-2x-3D．y=-2x-29．设函数，若的导函数是偶函数，则可以是（

）A． B． C． D．10．已知M为抛物线上一点，C在点M处的切线交C的准线于点P，过点P向C再作另一条切线，则的方程为（

）A． B． C． D．11．已知函数的图像在处的切线斜率为，则“”是“”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件12．已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为A． B． C． D．二、填空题13．设f(x)＝aex+blnx，且f′（1）＝e，，则a+b＝__．14．设函数．若，则a=_________．15．若函数，满足，且，则___________.16．已知函数，，则______．17．若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．三、解答题18．求下列函数的导数.(1)；(2)；(3).19．求曲线在处的切线的倾斜角.20．设函数，曲线在点(，f())处的切线与y轴垂直．（1）求b．（2）若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1．21．求下列函数的导数．①；②；③；④；参考答案：1．D通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得．【详解】详解：，将代入得，故选D．本题关键得到含有a，b的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．2．B利用导数的四则运算和复合函数的导数，即得解【详解】，A错误；，B正确；，C错误；，D错误．故选：B．3．C根据导数的运算法则求解．【详解】．故选：C．4．A利用导数的计算公式，直接判断选项.【详解】.故选：A5．A由已知结合导数的几何意义及计算即可求解【详解】，求导得，则当时，，所以切线的斜率为2．又当时，，所以切点为．所以切线方程为．故选：A方法点睛：本题考查了利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程，求切线常见考法：(1)已知切点求斜率k，即求该点处的导数值：．(2)已知斜率k，求切点，即解方程.(3)若求过点的切线方程，可设切点为，由，求解即可．6．B利用复合函数的导数运算法则计算即可．【详解】y′＝(x2)′cos2x＋x2(cos2x)′＝2xcos2x＋x2(－sin2x)·(2x)′＝2xcos2x－2x2sin2x故选：B7．D利用为奇函数求得的值，由此求得的值.【详解】依题意，由于是奇函数，所以，解得，所以，所以.故选：D本小题主要考查函数导数的计算，考查函数的奇偶性，属于基础题.8．A对函数f(x)求导，再算出导函数在x=-1时的值，得切线斜率于是得解.【详解】，曲线f(x)=在点(-1，-1)处的切线斜率，曲线f(x)=在点(-1，-1)处的切线方程为y+1=2(x+1)，即y=2x+1.故选：A9．A求出导函数，根据偶函数的性质得到，，,当时，.【详解】因为，所以，因为为偶函数，所以对任意实数恒成立，所以对任意实数恒成立，所以对任意实数恒成立，所以对任意实数恒成立，所以对任意实数恒成立，所以，所以，.当时，.故选：A本题考查了导数的计算，考查了函数的奇偶性，考查了两角和与差的余弦公式，属于中档题.10．D先根据C在点M处的切线，求出的值，再求得点，然后再求过点抛物线的切线方程.【详解】设，由题意知，，则，C在点M处的切线，所以所以，则，将代入的方程可得，即抛物线的准线方程为：则.设与曲线C的切点为，则，解得或（舍去），则，所以的方程为.故选：D本题考查利用导数求曲线在某点和过某点的切线方程，属于中档题.11．A本题首先可根据得出，然后求解，得出，即可得出结果.【详解】因为，所以，，若，则，解得，故“”是“”的充要条件，故选：A.12．C先判断时，在上恒成立；若在上恒成立，转化为在上恒成立．【详解】∵，即，（1）当时，，当时，，故当时，在上恒成立；若在上恒成立，即在上恒成立，令，则，当函数单增，当函数单减，故，所以．当时，在上恒成立；综上可知，的取值范围是，故选C．本题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法研究函数的单调性，进行综合分析．13．1可求出导函数,然后根据条件可得出关于a，b的方程组，解出a，b即可．【详解】解：∵，∴＝ae+b＝e①，②，联合①②解得，∴a+b＝1．故答案为：1．14．1由题意首先求得导函数的解析式，然后得到关于实数a的方程，解方程即可确定实数a的值【详解】由函数的解析式可得：，则：，据此可得：，整理可得：，解得：.故答案为：.本题主要考查导数的运算法则，导数的计算，方程的数学思想等知识，属于中等题.15．3先求，再对两边求导后令可求的值.【详解】因为函数，满足，且，所以，则，对两边求导，可得，所以，因此.故答案为：316．由题意可得，，，，进而可得周期为4，即可得出结果.【详解】，，故，，，，所以周期为4，故，.故答案为：17．设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围.【详解】∵，∴，设切点为,则,切线斜率,切线方程为：,∵切线过原点，∴,整理得：,∵切线有两条，∴,解得或,∴的取值范围是,故答案为：18．(1)(2)(3)（1）函数可以看作函数和的复合函数，由复合函数的求导法则即可求出结果；（2）函数可以看作函数和的复合函数，由复合函数的求导法则即可求出结果；（3）函数可以看作函数和的复合函数，由复合函数的求导法则即可求出结果.(1)函数可以看作函数和的复合函数，由复合函数的求导法则可得.(2)函数可以看作函数和的复合函数，由复合函数的求导法则可得.(3)函数可以看作函数和的复合函数，由复合函数的求导法则可得.19．求出函数在处的导数，从而可求切线的斜率，据此可得切线的倾斜角.【详解】，故时，即切线的斜率为，故切线的倾斜角为.故答案为：.20．（1）；（2）证明见解析（1）利用导数的几何意义得到，解方程即可；（2）方法一：由（1）可得，易知在上单调递减，在，上单调递增，且，采用反证法，推出矛盾即可.【详解】（1）因为，由题意，，即：，则．（2）［方法一］：通性通法由（1）可得，，令，得或；令，得，所以在上单调递减，在，上单调递增，且，若所有零点中存在一个绝对值大于1的零点，则或，即或.当时，，又，由零点存在性定理知在上存在唯一一个零点，即在上存在唯一一个零点，在上不存在零点，此时不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；当时，，又，由零点存在性定理知在上存在唯一一个零点，即在上存在唯一一个零点，在上不存在零点，此时不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；综上，所有零点的绝对值都不大于1.［方法二］【最优解】：设是的一个零点，且，则．从而．令，由判别式，可知在R上有解，的对称轴是，所以在区间上有一根为，在区间上有一根为，进而有，所以的所有零点的绝对值均不大于1．［方法三］：设是函数的一个绝对值不大于1的零点，且．设，则，显然在区间内单调递减，在区间内单调递增，在区间内单调递减．又，于是的值域为．设为函数的零点，则必有，于是，所以解得，即．综上，的所有零点的绝对值都不大于1．［方法四］：由（1）知，，令，得或．则在区间内递增，在区间内递减，在区间内递增，所以的极大值为的极小值为．（ⅰ）若，即或，有唯一一个零点，显然有，不满足题意；（ⅱ）若，即或，有两个零点，不妨设一个零点为，显然有，此时，，则，另一个零点为1，满足题意；同理，若一个零点为，则另一个零点为．（ⅲ）若，即，有三个零点，易知在区间内有一个零点，不妨设为，显然有，又，，所以在内有一个零点m，显然，同理，在内有一个零点n，有．综上，所有零点的绝对值都不大于1．［方法五］：设是的一个零点且，则是的另一个零点．．则，设，由判别式，所以方程有解．假设实数满足．由，得．与矛盾，假设不成立．所以，所有零点的绝对值都不大于1．【整体点评】（2）方法一：先通过研究函数的单调性，得出零点可能所在区间，再根据反证法思想即可推出矛盾，是通性通法；方法二：利用零点的定义以及零点存在性定理即可求出，是本题的最优解；方法三：利用零点的定义结合题意求出的范围，然后再由零点定义以及的范围即可求出所有零点的范围，从而证出；方法四：由函数的单调性讨论极大值极小值的符号，得出的范围，再结合零点存在性定理即可证出；方法五：设函数的一个零点为，满足，再设另一个零点