高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册第四章数列（含解析）

人教A版（2019）选择性必修第二册第四章数列一、单选题1．在等差数列中，，则的值为（

）A．6 B．8 C．12 D．132．等比数列中，，，为的前项和．若，则的值是（

）A．6 B．7 C．8 D．不存在3．我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”根据这一数学思想，所有被3除余2的正整数从小到大排列组成数列，所有被5除余3的正整数从小到大排列组成数列，把与的公共项从小到大排列得到数列，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．4．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（）A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块5．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则=（

）A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–16．已知等差数列的前n项和为，，若，且，则m的值是A．7 B．8 C．9 D．107．已知数列满足：，设表示数列的前项和．则下列结论正确的是（

）A．和都存在 B．和都不存在C．存在，不存在 D．不存在，存在8．已知是公差为d的等差数列，为其前n项和．若，则（

）A． B． C．1 D．29．若数列{an}的前n项和Sn=an-1(a∈R，且a≠0)，则此数列是（

）A．等差数列B．等比数列C．等差数列或等比数列D．既不是等差数列，也不是等比数列10．在数列中，，，若，则（

）A．671 B．672 C．673 D．67411．已知等差数列的前项和，且，，则最小时，的值为（

）.A．2 B．1或2 C．2或3 D．3或412．设数列{an}的通项公式为an＝2n－7，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a15|＝（

）A．139 B．153C．144 D．178二、填空题13．已知等差数列的前n项和为，且，，则的最小值是______．14．将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．15．已知等比数列的前项和为，且，，则_______.16．用数学归纳法证明“”，推证当等式也成立时，只需证明等式____________成立即可．三、解答题17．已知公差不为零的等差数列中，，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，，求证：.18．记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．（1）证明：数列是等差数列;（2）求的通项公式．19．已知数列的前n项和为，，且.（1）求数列的通项；（2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.20．（1）已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋，n∈N*，求通项公式an；（2）设数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，求通项公式an.21．设数列满足，.（1）求数列的通项公式;（2）令，求数列的前项和.参考答案：1．C根据等差数列的下标和性质可求得的值，再根据即可计算出最后结果.【详解】因为，所以，所以，所以，故选：C.【点睛】本题考查等差数列下标和性质的应用，难度一般.在等差数列中，已知，则有.2．A利用基本量代换，求出公比q，再根据前n项和公式，即可求出m.【详解】等比数列中，，，则，则．当时，若，则有，解得；当时，若，则有，整理可得，无整数解．故．故选：A．3．C由等差数列的通项公式依次写出，再依次判断四个选项即可.【详解】根据题意可知，数列是首项为2，公差为3的等差数列，所以，数列是首项为3，公差为5的等差数列，所以，数列与的公共项从小到大排列得到数列，故数列是首项为8，公差为15的等差数列，．对于A，，，，故错误；对于B，，，，故错误；对于C，，，，故正确；对于D，，，，故错误．故选：C．4．C第n环天石心块数为，第一层共有n环，则是以9为首项，9为公差的等差数列，设为的前n项和，由题意可得，解方程即可得到n，进一步得到.【详解】设第n环天石心块数为，第一层共有n环，则是以9为首项，9为公差的等差数列，，设为的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为，因为下层比中层多729块，所以，即即，解得，所以.故选：C【点晴】本题主要考查等差数列前n项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题.5．B根据等比数列的通项公式，可以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最后利用等比数列的通项公式和前项和公式进行求解即可.【详解】设等比数列的公比为，由可得：，所以，因此.故选：B.【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的基本量计算，考查了等比数列前项和公式的应用，考查了数学运算能力.6．C由等差数列性质求出，由等差数列前n项可求得m．【详解】∵是等差数列，∴，，∴，．故选：C．【点睛】本题考查等差数列的性质与前n项公式，掌握等差数列的性质是解题基础．7．A根据数列的通项公式，利用等比数列的前项和公式以及分组求和法即可求解.【详解】数列，对任意的正整数，，设表示数列的前项和，，，，，，，，所以和都存在.故选：A【点睛】本题考查了数列的分组求和、等比数列的前项和公式、数列极限，考查了基本计算能力，属于中档题.8．C根据是公差为d的等差数列，且，利用等差数列的前n项和公式求解.【详解】因为是公差为d的等差数列，且，所以，解得，故选：C9．C当n=1时，求出a1;当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(an-1)-(an-1-1)=an-an-1=an-1(a-1)然后对a-1是否为0讨论即可【详解】当n=1时，a1=S1=a-1;当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(an-1)-(an-1-1)=an-an-1=an-1(a-1).当a-1=0，即a=1时，该数列为等差数列，当a≠1时，该数列为等比数列.故选:C【点睛】等比数列各项都不等于0.10．D分析得到数列是以1为首项，3为公差的等差数列，利用等差数列通项即得解.【详解】∵，，∴∴数列是以1为首项，3为公差的等差数列，∴，解得.故选：D.11．C先由已知条件求出等差数列的首项和公差，从而可表示出，进而利用二次函数的性质可求得结果【详解】解：设等差数列的公差为，因为，，所以，解得，，所以，因为，所以当或时，其有最小值.故选：C【点睛】此题考查等差数列前项和公式的基本量计算，考查等差数列的通项公式，考查二次函数的性质的应用，考查计算能力，属于中档题12．B根据数列的通项公式，可得数列{an}为等差数列，即可求得，进而可得前n项和，所求可化简为，代入公式，即可得答案.【详解】∵an＝2n－7，∴，∴数列{an}为等差数列，且a1＝－5，d＝2.∴前n项和.∴|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝.故选：B13．根据给定条件求出等差数列的首项、公差，探求数列的单调性即可计算作答.【详解】设等差数列的公差为d，由得，解得，因此，，令，解得，于是得数列是递增等差数列，其前6项为负，第7项为0，从第8项开始为正，所以或最小，最小值为．故答案为：14．首先判断出数列与项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果.【详解】因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，数列是以1首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，所以的前项和为，故答案为：.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有两个等差数列的公共项构成新数列的特征，等差数列求和公式，属于简单题目.15．已知为等比数列，，，利用通项公式和前项和公式求出和，根据即可求出.【详解】解：由题可知，为等比数列，，，，由于等比数列中，解得：，，即：，，解得：，，所以.故答案为：.【点睛】本题考查等比数列的通项公式，利用等比数列通项公式和前项和公式求出基本量，考查化简运算能力.16．首先假设时成立，然后再写出时需证明的等式，两式相比较即可得出答案.【详解】假设时成立，即成立，当时，，故只需证明“”成立即可．故答案为：.17．（1）（2）见解析（1）直接利用已知条件建立等量关系求出数列的通项公式；（2）利用累加法和基本不等式的应用，即可求出结果.【详解】解：（1）设公差为，则由题设可得：，解得或（舍去），所以，（2）当时，有，，两式相减得：，即，所以，当时，左边，右边，不等式也成立，综上所述，对于任意都有.【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，叠加法在求通项公式中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力．18．（1）证明见解析；（2）.（1）由已知得,且，取,得,由题意得,消积得到项的递推关系,进而证明数列是等差数列;（2）由（1）可得的表达式,由此得到的表达式,然后利用和与项的关系求得.【详解】（1）[方法一]：由已知得,且，,取,由得,由于为数列的前n项积，所以,所以，所以,由于所以，即,其中所以数列是以为首项，以为公差等差数列;[方法二]【最优解】：由已知条件知

①于是．

②由①②得．

③又，

④由③④得．令，由，得．所以数列是以为首项，为公差的等差数列．[方法三]：

由，得，且，，．又因为，所以，所以．在中，当时，．故数列是以为首项，为公差的等差数列．[方法四]：数学归纳法

由已知，得，，，，猜想数列是以为首项，为公差的等差数列，且．下面用数学归纳法证明．当时显然成立．假设当时成立，即．那么当时，．综上，猜想对任意的都成立．即数列是以为首项，为公差的等差数列．（2）由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，,,当n=1时，,当n≥2时,,显然对于n=1不成立,∴.【整体点评】（1）方法一从得，然后利用的定义，得到数列的递推关系，进而替换相除消项得到相邻两项的关系，从而证得结论；方法二先从的定义，替换相除得到，再结合得到，从而证得结论，为最优解；方法三由，得，由的定义得，进而作差证得结论；方法四利用归纳猜想得到数列，然后利用数学归纳法证得结论．（2）由（1）的结论得到，求得的表达式,然后利用和与项的关系求得的通项公式；19．（1）；（2）.（1）由，结合与的关系，分讨论，得到数列为等比数列，即可得出结论；（2）由结合的结论，利用错位相减法求出，对任意恒成立，分类讨论分离参数，转化为与关于的函数的范围关系，即可求解.【详解】（1）当时，，，当时，由①，得②，①②得，又是首项为，公比为的等比数列，；（2）由，得，所以，，两式相减得，所以，由得恒成立，即恒成立，时不等式恒成立；时，，得；时，，得；所以.【点睛】易错点点睛：（1）已知求不要忽情况；（2）恒成立分离参数时，要注意变量的正负零讨论，如（2）中恒成立，要对讨论，还要注意时，分离参数不等式要变号.20．（1）an＝－(n∈N*)；（2）an＝(n∈N*)．（1）由已知条件可得an＋1－an＝，然后利用累加法可求出通项公式an.（2）由an＝an－1，可得＝，然后利用累乘法可求出通项公式【详解】（1）∵an＋1－an＝，∴a2－a1＝；a3－a2＝；a4－a3＝；…an－an－1＝.以上各式累加得，an－a1＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－.∴an＋1＝1－，∴an＝－(n≥2)．又∵n＝1时，a1＝－1，符合上式，∴an＝－(n∈N*)．（2）∵a1＝1，an＝an－1(n≥2)，