2020-2021学年上海市闵行区上海市高二上期末数学试卷

2020-2021学年上海市闵行区上海市XX中学高二上期末数学试卷（2021·上海闵行区·期末）复数z1，z2在复平面内对应的点关于直线y=x对称，且z1=3+2i（2021·上海闵行区·期末）复数a−2i1+2i（i是虚数单位）是纯虚数，则实数a（2021·上海闵行区·期末）抛物线x2=16y的准线方程是（2021·上海闵行区·期末）已知复数z=2+4i．其中i是虚数单位，ω=z−12z+1（2021·上海闵行区·期末）设E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，若AC⊥BD，则四边形EFGH的形状是．（2021·上海闵行区·期末）直线l与抛物线y2=4x交于两点Ax1,y1，Bx2（2021·上海闵行区·期末）已知点F1，F2分别是椭圆x2+2y2=2（2021·上海闵行区·期末）设F1，F2是双曲线x25−y24=1（2021·上海闵行区·期末）已知矩形ABCD的边AB=a，BC=2，PA⊥平面ABCD，①a=1②a=1；③a=3④a=2；⑤a=4，当在BC边上存在点Q，使PQ⊥QD时，则a可以取．（填上一个正确的数据序号即可）（2021·上海闵行区·期末）在所有经过正方体ABCD−A1B1C1D1的任意两个顶点的直线中任取（2021·上海闵行区·期末）在平面几何里，有勾股定理“设△ABC的两边AC，AB互相垂直，则AB2+AC2=BC2．”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，若三棱锥A−BCD的三个侧面（2021·上海闵行区·期末）过双曲线x2−y215=1的右支上一点P，分别向圆C1:x+42+（2021·上海闵行区·期末）“a>0，b>0”是“方程ax2+b A．充要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既不充分也不必要条件（2021·上海闵行区·期末）已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则   A．β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直 B．β内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直 C．β内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直 D．β内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直（2021·上海闵行区·期末）正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为CC A．B1G∥EF C．B1G与AE相交 D．（2021·上海闵行区·期末）已知直线l：3x+y+2=0与椭圆Γ：x225+y216=1交于A，B两点，直线l1与椭圆Γ交于M，N两点，有下列直线l：①3x−y−2=0；②x+3y−2=0；③ A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④（2021·上海闵行区·期末）已知复数z1，z2是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0的两根，且复数z(1)求复数z1，z(2)若复数z满足∣z∣=1，求∣z−z（2021·上海闵行区·期末）唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登上望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣的“将军饮马”问题，这是一个数学问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使得总路程最短？在平面直角坐标系中，将军从点A3,0处出发，河岸线所在直线方程为x+y=4(1)若军营所在区域为Ω:x(2)若军营所在区域为Ω:∣x∣+2∣y∣≤2，求“将军饮马”的最短总路程．（2021·上海闵行区·期末）如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D(1)证明：BD⊥平面(2)若A1P和A1B与平面（2021·上海闵行区·期末）已知直线l：x=my+1过椭圆C：x2a2+y23=1的右焦点F，且直线l交椭圆C于A，B两点，点A，F，B在直线lʹ：(1)求椭圆C的方程．(2)若直线l交y轴于点M，且MA=λ1AF，MB=λ2(3)连接AE，BD，试探究当m变化时，直线AE与BD是否相交于顶点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由．（2021·上海闵行区·期末）已知平面内到定点A1,0的距离与到定直线x=−1的距离之和为3的动点M的轨迹是Γ(1)求曲线Γ与x轴的交点P的坐标．(2)求曲线Γ的方程．(3)设Ba,1（a为常数），求MA+MB

答案1.【答案】2+3i【解析】复数z1在复平面内关于直线y=x对称的点表示的复数z【知识点】复数的几何意义2.【答案】4【解析】复数a−2i若复数a−2i则a−45解得：a=4．【知识点】复数的乘除运算3.【答案】y=−4【解析】抛物线x2=16y，可知抛物线的开口向上，所以抛物线的准线方程是：y=−4．【知识点】抛物线的概念与方程4.【答案】175【解析】因为复数z=2+4i，其中i是虚数单位，所以zω=则ω=【知识点】复数的几何意义、复数的乘除运算5.【答案】矩形【解析】如图所示，因为E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，所以EF=12AC，EF∥AC所以EF=HG，EF∥所以四边形EFGH是平行四边形．又AC⊥BD，所以EF⊥EH．则四边形EFGH的形状是矩形．【知识点】空间的平行关系6.【答案】4【解析】直线l与抛物线y2=4x，（x≥0）交于两点Ax可得y12=4所以16x1xO为坐标原点，若OA⋅可得x1x2解得x1x2【知识点】直线与抛物线的位置关系7.【答案】2【解析】设Px,y，则x2+2y2所以F1−1,0,F2所以PFPF因为0≤y2≤1，所以P【知识点】椭圆中的动态参数问题8.【答案】12【解析】设F1，F2是双曲线F1−3,0，F2因为∣PF所以设∣PF2∣=x由双曲线的性质知∣2x−x∣=25，解得x=2所以∣PF1∣=4所以cos∠F1所以△PF1F故答案为：12．【知识点】双曲线的简单几何性质9.【答案】①或②或②【解析】连接AQ，因为PQ⊥QD，根据三垂线定理可得AQ⊥QD，在平面ABCD内，直径所对的圆周角为直角，所以Q点在以AD为直径的圆上，故当BC与以AD为直径的圆有公共点时，在BC边上存在点Q，使PQ⊥QD，因此AB≤12AD=1故答案为：①或②．【知识点】直线与直线的位置关系10.【答案】4【解析】正方体共有8个顶点，若选出的k条线两两异面，则不能共顶点，即至多可选出4条，又可以选出4条两两异面的线（如图DB，B1C，A1故所求k的最大值是4．【知识点】直线与直线的位置关系11.【答案】S△ABC【解析】“设△ABC的两边AC，AB互相垂直，则AB拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，若三棱锥A−BCD的三个侧面ABC，ACD，ADB两类互相垂直，则有由边对应着面，边长对应着面积，由类比可得：S△ABC【知识点】类比推理12.【答案】13【解析】圆C1:x+42+圆C2:x−42+设双曲线x2−y215连接PF1，PF2，可得PM2当且仅当P为右顶点时，取得等号，即最小值13．【知识点】双曲线的简单几何性质13.【答案】C【解析】a>0，b>0，方程ax2+b反之，若方程ax2+by2所以“a>0，b>0”是“方程ax【知识点】椭圆的概念与方程14.【答案】C【解析】如图，若平面β内的直线与α，β的交线a平行，则有m与之垂直，但在β内不一定有与m平行的直线，只有当α⊥β时才存在．故选C．【知识点】空间的垂直关系、空间的平行关系15.【答案】C；D【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，不妨取AD=2．A．B1G与B．A12,0,0，H2,2,1，EA1H=因为A1H⋅EF=0+0+1≠0C．因为GE∥DC所以GE∥AB1，因此B1G与D．连接BC1，则BC1∥可得平面AEF∩【知识点】利用空间向量判定面面的垂直、平行关系、利用空间向量判定线线的垂直、平行关系16.【答案】B【解析】由于椭圆具有轴对称和中心对称的性质，把直线l向右平移到l1为：3此时△OAB与△OMN的面积相等，当线l：3x+y+2=0与原点对称时，即此时直线l1为此时满足△OAB与△OMN的面积相等，再把直线3x−y−2=0向左平移到3此时满足△OAB与△OMN的面积相等，故满足直线为①③④．【知识点】椭圆中的弦长与面积17.【答案】(1)设z1则z2由z1得a+bi所以3a=12，b=3，即a=4，b=3．所以z1=4+3i(2)满足∣z1∣=1的复数z而∣z所以∣z−z1∣的最大值为6【知识点】复数的几何意义、实系数一元二次方程（沪教版）18.【答案】(1)由题知点A3,0设点A3,0关于直线x+y=4的对称点为Aʹ则AAʹ的中点Ma+32,则有a+32+b即Aʹ4,1若军营所在区域为Ω:x作图如下：设将军饮马点为P，到达营区点为B，则总路程∣PB∣+∣PA∣=∣PB∣+∣PAʹ∣，要使得路程最短，只需要∣PB∣+∣PAʹ∣最短，即点Aʹ到军营的距离最短，即点Aʹ到x2+y(2)若军营所在区域为Ω:∣x∣+2∣y∣≤2，作图如下：联立y=−1解得x=2，y=0，即B2,0所以点Aʹ到区域Ω最短距离∣AʹB∣=4−2【知识点】直线与圆的综合问题、直线相关对称问题、两直线交点坐标与两点间距离公式19.【答案】(1)连接AC，由正方体的几何特征，得AC⊥BD，AA1⊥所以AA又AA所以BD⊥平面(2)A1B与平面ABCD所成的角为A1P与平面ABCD所成的角为所以tan∠即A1所以AB=AP，所以点P的轨迹为，以A为圆心AB为半径的圆的14所以点P的轨迹长度为14【知识点】线面角、直线与平面垂直关系的判定20.【答案】(1)直线l：x=my+1过定点1,0，所以椭圆C：x2a2所以C=1，所以a2所以椭圆C方程为x2(2)易知，m≠0，且l与y轴的焦点为M0,−1m，设直线l交椭圆于A由x=my+1,x24所以Δ=6m所以y1+y又由MA=所以x1所以λ1=−1−1所以λ1因为1y所以λ1所以λ1+λ(3)由（2）知Ax1,所以D4,y1所以直线AE方程为：y−y当x=5y=所以点N52,0同理可证，点N52,0所以m变化时，直线AE与直线BD相交于定点52【知识点】椭圆中的动态性质证明21.【答案】(1)设点M坐标为x,y，因为动点M到定点A1,0的距离到定直线x=−1的距离之和为3所以x−12当y=0时，代入求得x=±3所以曲线Γ与x轴的交点P的坐标±3(2)由（1）知曲线Γ方程为x−12当x<−4时，因为x+1>3当−4≤x≤−1时，化为x−12+y当x>−1时，化为x−12+y综上可得，曲线方程为y2=10x+15−(3)当−32≤x≤−1时，曲线Γ当−1<x≤32时，曲线Γ化为令y=1则10x+15=1或−