空间向量及其线性运算（自主学习双减增效）（解析版）

L1.1空间向量及其线性运算（自主预习）

目录

第一部分：脉络导图（总览全局）

第二部分：知识点精准记忆

第三部分，典型例题剖析

重点题型一：空间向量及有关概念

重点题型二：空间向量的线性运算

重点题型三：空间向量的共线问题

重点题型四：空间向量的共面问题

第四部分：自主预习成果检测

第一部分：脉络导图总览全局

课标要求：

1.了解空间向量的概念.（数学抽象）

2.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程.（逻辑推理）

3.掌握空间向量线性运算的法则和运算律.（数学运算）

4.掌握共线向量定理和共面向量定理，会证明空间三点共线、四点共面.（数学抽象）

空间向量及

其线性运算

第二部分：知识点精准记忆

1.空间向量的概念及表示方法

（1）概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量：如空间中的位移速度、力等.

（2）表示方法：和平面向量一样，空间向量有两种表示方法：

①几何表示法：用有向线段A8来表示，A叫向量的起点，B叫向量的终点；

②字母表示法：用兄儿c表示.向量”的起点是A，终点是B,则向量〃也可以记作43,其模记为。或

AB.

2.几类特殊的空间向量

名称定义及表示

零向量长度为0的向量叫做零向量，记为0

单位向量模为1的向量称为单位向量

相反向量与向量4长度相等而方向相反的向量，称为G的相反向量，记为-4

共线向量如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫

（平行向量）做共线向量或平行向量.规定：对于任意向量都有

相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量

拓展

（I）在平面内，若以两个向量对边可构成平行四边形，则这两个向量相等，在空间，这个结论同样成立.

（2）和平面向量一样，空间向量也不能比较大小.

（3）和平面向量一样，若两个空间向量相等，则他们的方向相同，且模相等，但起点、终点未必相同.

3.空间向量的加减运算

已知空间向量。⑦，可以把它们平移到同一平面。内，以任意点。为起

点，作向量OA=a，OB=b

量空间向量的位置

作向量AC=/＞，则向量oc叫做

空间向量的加法运算（首尾相接首

向量a.b的和.记作a+b，即

尾连）

OC=AC=a+b

空间向量的减法运算（共起点，连向量而叫做a与力差，记作

终点，指向被减向量）a—b，BA=OA-OB=a-b/4/

加法交换律a+h=b+a

空间向量的加法运算律

加法结合律a+b+c=a+^b+cj

对于空间向量的加法和减法运算，也们与平面向量的加减运算是有联系的.

（1）空间任意两个向量都可以平移到同一个平面向量内，成为同一个平面内的两个向量，因而空间任意两

个向量是共面的，它们的加减法运算类似于平面向量的加减法运算.

（2）向量加减的平行四边形法则在空间中仍适用，在运用三角形法则时或平行四边形法则求两个向量的和

或差时，要注意起点和终点；4-8表示从向量b的终点指向向黄〃的终点的向量

4.空间向量的数乘运算

（1）空间向量的数乘运算的定义

与平面向量一样，实数4与空间向量〃的乘积2〃仍然是一个向量，称为向量的数乘运算.

（2）数乘向量力〃与向旱〃的关系

义的范围ka的方向北的模

2>0与向量〃的方向相同

2=()Na=0，其方向是任意的

2<0与向量a的方向相反

拓展可以从以下几个方面更加深入地理解空间向量的数乘运算：

（1）可以把向量4模扩大（当|4|>1时），也可缩小（当1/<1时）；可以不改变向量。的方向（当几>0

时），也可以改变向量〃的方向［当4v0时）.

（2）实数与向量的积的特殊情况：当4=0时，％〃=（）;当Z工。时，若G=则京/=0.

（3）实数与向量可以求积，但是不能进行加减，例如，2+〃，丸-〃没有意义，无法运算.

5.共线（平行）向量的定义

5.1定义：

若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，若。与人是

共线向量,则记为〃〃讥

在正确理解共线向鼠的定义时，要注意以下两点：

或者等价于：对空间任意一点。，空间一点尸位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对（xy）,使

OP=OA+xAB+yAC,该式称为空间平面ABC的向量表示式，由此可知，空间中任意平面臼空间一点及

两个不共线向量唯一确定.

拓展

对于空间任意一点0，四点p,c,A,8共面（其中C,A,B不共线）的充要条件是OP=x（）C+yOA+z（）B（其

中x+y+z=l）.

第三部分：典型例题剖析

题型一：空间向量及有关概念

1.（2022・全国•高二课时练习）空间向量

（1）定义：在空间，我们把具有和的量叫做空间向量.

（2）长度：空间向量的叫做空间向量的长度或.

【答案】大小方向大小模

2.（2022・全国•高二课时练习）判断正误

（1）若向量4是向量力的相反向量，则向=M.（）

（2）空间向量就是空间中的一条有向线段.（）

（3）若空间向量〃?，”，p满足〃?=〃，n=p,则〃i=〃.（）

【答案】VxV

（1）根据相反向量的定义可知，正确；

（2）向量不等同于有向线段，向量跟它的起点无关；

（3）若〃?=〃，〃=〃，则〃[=〃，正确.

3.（2022•全国•高二课时练习）直线的方向向量

（1）如图，。是直线/上一点，在直线/上取非零向量〃，则对于直线/上的任意一点P,由数乘向量的定

义及向量共线的充要条件可知，存在实数力,使得O户二%。，把与的向量称为直线/的

方向向量.

（2）直线可以由和它的确定.

【答案】向量〃平行非零其上一点方向向量

4.（2022・全国•高二课时练习）空间向量的表示

（1）字母表不法：用字母a,b,c,…，表木.

（2）几何表示法：用有向线段表示，其长度表示空间向量的模.即若向量〃的起点是A,终点是E,则向

量”也可以记作，其模记为或.

【答案】ABf|网

5.（2022•全国•高二课时练习）下列命题为真命题的是（）

A.若两个空间向量所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量

B.若，卜||，则〃、方的长度相等且方向相同

C.若向量A8、CO满足卜3卜卜0,且48与。。同向，则A8>CO

D.若两个非零向量A8与。。满足AA+S=0，则A8〃CQ.

【答案】D

空间中任意两个向量必然共面，A错误；

若日卜||，则〃的长度相等但方向不确定，B错误；

向量不能比较大小，C错误；

由A4+。。=0可得向量A8与C。长度相等，方向相反，故A8〃CO，D正确.

故选：D.

6.（2022•江苏•高一专题练习）下列命题中正确的个数为（）

①两个有共同始点且相等的向量，其终点可能不同；

②若非零向量A8与CD共线，则A、B、C、。四点共线；

③若非零向品〃与〃共线.贝k=人

④四边形A8CZ）是平行四边形，则必有|AB\=\CIJ\.

⑤aHb,则〃、〃方向相同或相反.

A.。个B.1个C.2个D.3个

【答案】B

①相等向量是大小相等、方向相同的向量，如果两个相等向量起点相同，则由定义知终点必相同，二•命题

①是假命题；

②共线向量是基线平行或重合的向量，若非零向量4〃与CD共线且直线与8平行时，A、B、C、D

四点不共线，，命题②是假命题；

③若非零向量〃与〃共线，则存在非零实数4，使得〃=「•命题③是假命题；

④四边形A8C。是平行四边形，则AB=OC，由相等向量的定义可知卜@=|。4，..・命题④是真命题；

⑤若〃为非零向量，h=0,则〃、人方向无法确定，，命题⑤是假命题.

故选：B.

7.（2019•江西•新余市第一中学高一阶段练习）下列命题中：①第一象限角必是锐角；②相等的角终边必

相同；③模相等的两个平行向量是相等向量；④若〃•/?=〃♦<?，则〃=c;⑤若则a/=0；

⑥若7/方，〃〃。，则a〃c;正确的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

对于①，第一象限角不一定是锐角，所以①错误；

对于②，相等的角终边必定相同，因此②正确；

对于③，模相等的两个平行向量可能是相等向量，也可能是相反向量，所以③错误；

对广④，当山〃时，根据平面向晟的数量积与向量相等的定义知，〃=c不一定成立，所以④错误；

对于⑤，当+〃|=|。-8|时，有（a+〃）2=（〃一力尸，展开化简得〃/=（）,因此⑤正确；

对于⑥，当二〃力，〃〃-时，不一定有a〃c,如〃=（）时，所以⑥错误；

综匕以上正确的命题序号是②⑤.

故选:B.

解题要点：（1）向量的两个要素是大小与方向，两者缺一不可；

⑵单位向量的方向虽然不一定相同，但长度一定为1；

⑶两个向量的模相等,即它们的长度相等,但方向不确定，即两个向量（非零向量）

的模相等是两个向量相等的必要不充分条件；

（4）由于方向不能比较大小,因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的,但

向量的模是可以比较大小的.

题型二：空间向量的线性运算

1.（2022•全国•高二课时练习）亿简PM-PM+MM所得的结果是（）

UUU

A.PNB.NPC.MND.0

【答案】D

PM-PN+MN=NM+MN=NM-NM=0

故选：D

2.（2022•福建省福安市第一中学高二阶段练习）如图所示，在平行六面体A8CD-A4Gq中，M为AG与

的交点,若43=〃，AD=b，A4,=c,贝（）

1-1--1-1r

A.—a——b+cB.—a+—b+c

2222

「1-1r

C.——a——b+cD.——a+—b+c

2222

【答案】D

由题意得，8M==A4,+g（AA-ABj=A4,+g（AD_A8）=_ga+g力+c.

故选:D

3.（2022•江苏省响水中学高二阶段练习）如图，在三棱锥O-A3C中，E为04的中点，点尸在BC上,

满足8b=2/C，记Q4，OB，OC分别为4，。，c，则石尸=（

【答案】A

解：在三棱锥O-A8C中

.•BF=2FC，E为OA的中点

-1-.2-2--2--

£4=5。，AB=OB-OA=b—a,=~=~—OB)=—(c—b)

-1-1-2-

所以EF=EA+AB+BF=-a+b-a+—(c-b)=——a+—b+—c

23233

故选：A

4.(2022・全国•高二课时练习)化简算式：2(3。一人一4。—3(〃-洒+3。)=

［答案】3a+4/?-17c

由题意得2(3a—〃一46?)一3(。一2/?-3c)=6a-2/?-8c-3a+6/?-9(?=3a+4〃-17c.

故答案为：3〃+4〃一17c.

5.(2022・全国•高二课时练习)已知长方体448-A4CQ中，M是对角线AR中点，化简下列表达式:

(1).44,-Cfi；(2)ABl+l3lCi+ClDl；(Sj^AD+^AB-^A.A.

【答案】⑴40⑵4。⑶4M

【解析】

⑴解：AA]-CB=CCl-CB=BCl

(2)解：A4+4G+GA=AC;+CA=AA

(3)解：^AD^AB-AiA=^AD+AB)-^A[A=^AC-AiA

=-AC+-AA=-AC+-CC.=-AC.=AM

22,22121

6.(2022・全国•高二课时练习)如图所示，在长方体A8CO-A8CQ中，E为棱上任意一点.只考虑以长方

体的八个顶点及点E的两点为始点和终点的向量，分别写出：

(1).48的相等向量，虫,的负向量；

⑵用另外两个向量的和或差表示4。：

⑶用三个或三个以上向量的和表示CE（举两个例子）.

【答案】⑴AU，DC，AG；AA,B】B,C,C,D,D

（2）B1A=4A+4A,BQi=B[E+ED；,4/]=84一/）4，8Q=4七一〃石（答案不唯一）

（3）CE=CB+BBi+B、E,C£=C4+/V\+4。+。2+〃£（答案不唯一）

⑴解：A8的相等向量有：A4，DC，RC；；

A4,的负向量即相反向量有：AA，CtC,D、D.

（2）内向量加减运算法则得：BQ广BA+AD，BR=Bg+ED；,4。=44一。人，4。=勺七一。七（答

案不唯一）

⑶由向量加法运算法则得：CE=CB+BB/BF，CE=CA+AAi+A.D+DDl+DiE（答案不唯一）

解题要点：（1）空间向量加法、减法运算的两个技巧

①相反向量：向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键，

灵活应用相反向量可使有关向量首尾相接,从而便于运算.

②平移:利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法、减法运算时,务必要

注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结

果，

题型三：空间向量的共线问题

1.（2022•湖南•商二课时练习）己知向量〃，b»c不共面，AB=4a+5b+3c»AC=2«+3/?+c'»

AD=6a+lb+5c-求证：B，C,。三点共线.

【答案】证明见解析

BC=AC-AB=-2a-2b-2c^而八加一AC=4a+40+4c，

所以CO=-2BC，故A,C,。三点共线.

2.（2022•全国•高二课时练习）如果A,B,C,。是空间中的匹点，且A8=2C。，那么这四个点是否一定

共线？

【答案】不一定

如图所示的梯形中，满足A8=2C。，但4凤C,。四点不共线.

所以AeC,。四个点不一定共线.

AB

D

3.（2022・全国•高二课时练习）如图，四边形ABC。、A8E/都是平行四边形且不共面，M、N分别是AC、"

的中点，判断6与是否共线？

【答案】共线.

因为MN分别是AC、BF的中点，而四边形ABCD、ABEF都是平行四边形，

所以MN=M4+AF+FN=LC4+AF+LFB.

22

又MN=MC+CE+EB+BN=-、CA+CE-AF-LFB,

22

所以」CA+A/+工厂8=—404+（7£：—4尸一，尸8.

2222

所以CE=CA+24/+尸8=2（加4+4尸+FN）=2MN,

即CE=2MN，即CE与MN共线.

4.（2022•湖南•高二课时练习）如图，已知M,N分别为四面体A—BCZ）的面8C。与面ACQ/J重心，G为

AM上一点，且GM:GA=1:3.求证：B,G,N三点共线.

【答案】证明见解析

设AB=a,AC=A,AO=c,

则AM=A8+gxg（5C+3Q）=AB+-（BC+BD）

3

=AB+T（AC-AB+AD-AB）

3

=5（AC+AB+AO）

=g（"+"c）

所以3G=阴+46=胡+：4河=一。+；（"+”+。）=一（。+；8+:。,

BN=BA-k-AN=BA+-（AC+AD\=-a-¥-b+-c

3、）33

「.BN//BG.

又BNcBG=B,G,N三点共线.

解题要素：判断或证明空间中的三点（如P,A,5）是否共线:

①考查是否存在实数2，使PA=4PB

②考查对空间任意一点。，是否有0P=0A+fA8

③考查对空间任意一点。，是否有.OP=xOA^yAB（x+y=l）

题型四：空间向量的共面问题

1.（2022•江苏•高二课时练习）对于空间的任意三个向量a,b，2a-b，它们一定是（）.

A.共面向量B.共线向量

C.不共面向量D.既不共线也不共面的向量

【答案】A

2a-Z?=2rt4-（-l）-Z?>

丁•根据向最共面定理知，2a-bHa,Z?共面.

故选：A

2.(2022•全国•高二)下列条件中，一定使空间四点P、A、4、C共面的是()

LILIULIUUUUlllllLILImiumininn

A.OA+OB+OC=-OPB.OA+OB+OC=OP

miuiwuiuiuim--,—.

C.()A+()B+OC=2()PD.OA+OB+OC=3OP

【答案】D

对于A选项,OP=-OA-OB-OC(-D+(-l)+(-l)=-3*l,所以点P与A、8、C三点不共面;

对于B选项，OP=O4+O8+OC，1+1+1=3^1,所以点P与A、B、C三点不共面；

对于C选项，0「=抑+洒+咨，g+；+g=_|wi,所以点?与A、B、C三点不共面：

对于D选项，OP^OA^OB^OCt!+?+!=1,所以点P与A、B、C三点共面.

333333

故选：D.

3.（2022・全国•高二）已知A,B,。三点不共线，。为平面A8C外一点，下列条件中能确定A,B,

C四点共面的是（）

A.OP=OA+OB+OCB.OP=2OA,-OB-OC

1—1—1

C.OP=-OA+-OB+-OCD.OP=-OA+-OB+-OC

532333

【答案】D

UUUUUUUUUI叫

设8=+zOC，

若点P与点4BC共面,

则x+y+z=l,

对于选项A：x+y+z=\+\+\=3^\,不满足题意；

对于选项B：x+.y+z=2-l-l=0^1,不满足题意；

对于选项C：x+y+z=[+；+；=^wl,不满足题意;

对于选项D：x+y+z=—+—+—=1,满足题意.

JJJ

故选:D.

T3T1T1一

4（2022•江苏•高二课时练习）AB,C三点不共线，对空间内任意一点。，着“”严严

则P,A,B,。四点（）

A.一定不共面B.一定共面C.不一定共面D.无法判断是否共面

【答案】B

-3-*1-*1-*->-»1-*1-*1-*

因为OP=-OA+—O8+-OC,贝IJO尸一OA=——OA+-OB+-OC

488488

^OP-OA=-（OB-OA）+-（OC-OA）

88

-*1f1f

即AP=-AB+-AC

88

由空间向量共面定理可知，崩,八,八2共面，则P，人，从点一定共面

故选:B

5.（2022・全国•高二课时练习）已知在正方体ABC。-中，P,“为空间任意两点，如果

PM=P4+7BA+6AAi-4入口,那么点M必（）

A.在平面8AA内B.在平面B4Q内

C.在平面84Q内D.在平面A8G内

【答案】C

因为PM=PB.+7BA+6A4,一44旦

=尸线+84+6%-4AA=PB[+BA+6%-4AA

=乎+6(&-烟-4(P〃-=119-6PB-4PA,

所以M,B,A，仅四点共面.

故选:C.

解题要素：证明空间三向量共面或四点共面的方法

⑴向量表示:设法证明其中一个向量可以表示成另两个不共线向量的线性组合,

即若〃=m+yh，贝!|向量〃,a,b共面.

⑵若存在有序实数组(％y,z)使得对于空间任一点。,有

OP=xOA+yOB+zOCi且x+y+z=l成立,则P,A,B,C四点共面.

第部分：自主预习成果检测

一、单选题

1.下列说法正确的是()

A.任一空间向量与它的相反向量都不相等

B.将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆

C.模长为3的空间向量大于模长为1的空间向量

D.不相等的两个空间向量的模可能相等

【答案】D

对A,零向量的相反向量是本身，故A错；

对B,终点构成一个球，故B错；

对C,向量不能比较大小，故C错：

对D,相反向量是不相等向量，但它们的模长相等，故D正确；

故选：D

2.如图，四面体/WCO中，设M是C。的中点，则48+g(8D+8C)化简的结果是()

A

A.AMB.BMC.CMD.DM

【答案】A

因为M是CO的中点，所以有A8+g（8O+8C）=八8+8W=/tM,

故选：A

3.下列说法正确的是（）

A.若4=2|,则〃=/?或〃=_/,

B.若4,人为相反向量，贝！Ja+Z?=o

C.零向量是没有方向的向量

D.若〃是两个单位向量，则a=〃

【答案】B

解：若M=M，则它们的方向相同时是相等向量，方向相反时是相反向量，还有可能方向既不相同，也不

相反，A错；

若〃为相反向量，则它们的和为零向量，B对：

零向量的方向是任意的，C错；

两个单位向量只是模都为1，方向不一定相同，D错.

故选：B.

4.若空间向量出。不共线，且-。+（3X-），）力=刈+3），则孙=（）

A.1B.2C.4D.6

【答案】D

因为空间向量d〃不共线，

要使一a+(3x-y)b=xa+3b,

-l=xx=~\

则=>=>xy=6.

3x-y=3j=-6

故透:D.

,_.__._1—

5.如图，在四棱锥尸-ABC。中，底面ABC。是平行四边形，已知PA=〃，PB=b，PC=c，PE=-PDf

贝|」BE=（)

B.-a--b+-c

222

D.L」2c

222

【答案】A

连接8。，如图,

则B£=，(BP+8O)=—LP8+L(BA+8C)=-，P3+，(PA—P8+PC—P8)

2222

I1_、1n।[2]

=——PB+-(PA-2PB+PC]=-PA--PB+-PC=-d--b+-c

22、f222222

故选:A.

6.如图所示空间四边形ABC。，连接AC、BO,设M、G分别满足8M=2MC,DG=2GC,则MG-AB+A。

等于（）

B.4MG

2

C.-GMD.-MG

33

【答案】B

解：在△8CE）中，因为M、G分别满足BM=2MC,DG=2GC,

所以MG//8D,且BO=3MG,

则MG-AB+AD=MG+BA+AD=MG+BD=MG+3MG=4MG.

故选：B.

7.三知A8,C三点不共线，。为平面ABC外一点，若由OM=3Q4-O8+/IOC确定的点M与48,C共面,

则乂的值为（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】B

由点用与A8.C共面，且OM=3OA-O4+/IOC，

可得3-1+4=1,解得：A=-l,

故选：B.

8.有下列说法：

①若p=xa+yb,则p与a,〃共面；

②若P与a，。共面，则p=xa+yb;

③若则P，MA,3共面；

④若P,M,A,8共面，则MP=XM4+）'MB-

其中正确的是（）

A.①②③④

B.①③④

C.①③

D.②④

【答案】C

若a，》共线，由p=xa+.v/?知p一定，a，》共面，

若a，〃不共线，则满足共面定理，〃与〃共面，①对；

同理③对；若〃与°,。共而，且a，Z＞共线，则不•定有p二Wb，故②不对；

同理④不对，

故选:C.

二、多选题

9.以下关于向量的说法正确的有（）

A.若£=.,则卜|=恸

B.若将所有空间单位向肩:的起点放在同一点，则终点围成一个圆

C.若a=—b且b=—c，则a=c

D.若〃与》共线，〃与c共线，则〃与c共线

【答案】AC

若a=b，则〃和力的大小相等，方向相同，故A正确；

将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个球，故B错误；

若”=一〃，〃=-c，则〃=一卜c)=c，故C正确；

若“与〃共线，力与°共线，则当3=0时，无法判断a与c的关系，故D错误.

故选:AC.

10.若A,B,C,。为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是()

A.AB+2BC+2CD+DCB.2AB+2BC+3CD+3DA+AC

C.AB+CA+BDD.AB-CB+CD-AD

【答案】BD

解：A中，A8十28c十2C。十Z)C=+28。十。。=4/3+8力十BO十OC=4O十BC;

B中，2A