工科应用数学451

工科应用数学第1章微积分文化思想概述第2章函数与极限第3章微分学运算法则第4章导数的应用第5章积分第6章积分方法第7章微元法的应用第8章微分方程第9章多元微积分基础第10章概率论基础第11章Fourier级数第12章积分变换——教学内容工科应用数学数学基础专业基础一元微积分微分方程多元微积分概率基础付里叶级数积分变换——课程考核规则形成性考核平时成绩(50%)作业(20%)期末成绩(50%)期中(20%)表现(10%)期末开卷考试（50%）Ⅰ

函数基础变量的表示函数的定义函数图形与关系复合函数知道不等式的区间表示会求函数的定义域知道常见图形与关系了解复合函数的分解内容提要教学要求基本初等函数知道常用函数分段函数知道分段函数EngineeringAppliedMathematicsⅠBasicKnowledgeofFunctions一、变量的表示在中学数学里，变量的变化范围一般用不等式表示.

课堂讨论2-1.1

试总结出不等式用区间表示的规律：

(1)左小右大，中间用逗号分隔.

(3)缺省补正或负无穷.

(2)带等号用方括号，不带等号用圆括号.

开区间:

(a,b)

；闭区间:

[a,b]

.

二、函数的定义数x数y关系

f中学数学学过的函数？

函数：y=

f

(x)自变量因变量三、基本初等函数1、幂函数：2、指数函数：3、对数函数：4、三角函数：5、反三角函数：——

函数的定义域数x数y关系

f定义域值域1、分母：不为02、偶次根号下：非负3、对数之下：恒正4、反正余弦：绝对值不超过1

练习

1

指出下面函数的定义域：四、函数图形与关系1、幂函数：OxyOxy2、指数函数：Oxy3、对数函数：Oxy4、三角函数：，，，

5、反三角函数：，，，

函数名称表达式等价关系主值区间反正弦反余弦反正切反余切五、复合函数根据函数的定义域，在实数范围内：(对所有实数x可复合)(对实数x不能复合)(限定x∈[－2，2]后可复合）——

可复合的条件

的值域的定义域.一般，若限定x∈I后，有

在I上的值域的定义域，则和可复合出函数——

初等函数

初等函数分类规则函数类分类规则初等函数

①由基本初等函数经过有限次的加、减、乘、除、复合运算所构成；②用或可用一个式子表示．

六、分段函数图2-1.1三角波发生器任务驱动——下次课前完成预习§3极限及其简单计算，完成计算:Ⅱ

极限及其简单计算ⅡLimitsandTheirSimpleCalculation极限的定义极限的代值计算简单∞/∞极限的计算了解极限的描述性定义知道用代值法计算极限会求x→∞情形分式的极限内容提要教学要求简单0/0型极限的计算会计算有理分式的极限EngineeringAppliedMathematics一、极限的定义案例2-3.1

设有一电阻值为

R0

(Ω)

的固定电阻与一电阻值为

r

(Ω)

的可变电阻并联于某一电路中(

如图

),当

r无限增大时，其所在的支路会形，即成短路，电路中只有电阻值为

R0

的电阻，因此，则电路中总电阻满足关系：

总电阻

R会无限地接近

R0.记(1)α无限接近于β为α→β

；

(3)α在正的方向无限增大为α→

+∞

；

(4)α在负的方向无限增大为α→

-∞

.

(2)α无限增大为α→

∞

；引例2-3.1

考察的图形：Oxy0+∞1+∞定义

2-3.1

如果当

x

→

a

时，有

f(x)

→

A

，则称

A

为

f(x)

当

x

→

a

时的极限，记为：小结：x→有限数，函数y可趋向于有限或∞，

x→∞，函数y也可趋向于有限或∞.当且仅当

A

为有限时才称

存在.二、极限的代值计算上述极限也可通过代值方式计算:引例2-3.1

考察的图形：01Oxy问题

1什么样的函数可用代值法求极限？定义

2-3.2

若当

x

→

x0

时，有则称

f(x)

在

x

=

x0

处连续。否则，称之为间断。

从图形上看，曲线没断开的点是函数的连续点，断开了的点则是函数的间断点。

对于连续点x0可用“代值法”求极限：问题

2

函数在哪些点连续？定理

2-3.1

初等函数在其定义区间内的任一点处都连续.例

2-3.1

求下列极限：问题

3

代值是否可拓广至分母为

0

和

∞

情形？引例2-3.2

考察的图形：例

2-3.2

求下列极限:一般结论：对任意非

0

常数有

对任意常数

C

有

三、简单0/0型极限的计算引例2-3.3

考察极限：(1)分解因式：(2)根式有理化：小结：代值为

0/0

时,

(1)多项式分解因式;

(2)根式有理化.约去零因子后，再考虑代值。例

2-3.3

求下列极限:练习2-3.1

求下列极限(1)(0)(0)(-5)(∞)(-2)(2/7)(1/2)(1/6)(1/4)四、简单∞/∞

型极限的计算引例2-3.4

考察极限：分子、分母同提取x

的最高次幂，得小结：有理分式当

x

→∞时的极限的计算方法：分子、分母同提取自变量的最高次幂.

例

2-3.4

求下列极限:练习2-3.2

求下列极限(1)(1/2)(3)(-∞)(0)(0)

一般结论：问题驱动——下次课前完成预习§5两个重要的极限，回答下面问题:(1)两个重要的极限指的是哪两个极限？(2)为什么要称它们为重要极限？Ⅲ

性质与重要极限ⅢPropertiesofLimitsandtheImportantLimits单侧极限与区间连续极限不存在情形两个重要的极限会计算单侧极限知道三种极限的不存在了解重要极限的产生背景内容提要教学要求极限与连续的性质了解极限与连续的性质EngineeringAppliedMathematics无穷大和无穷小知道无穷大和无穷小概念用等价求极限会应用等价求极限一、单侧极限与区间上的连续注意

单侧极限左极限:右极限:例2-4.1

判断是否存在，其中小结左极限：左代值—左边的分支代值；右极限：右代值—右边的分支代值.问题：代出的是0/0或∞/∞怎么办？课堂练习2-4.1

判断下列极限是否存在：（1）（不存在）——

区间上的连续定义

2-4.2

（开区间和闭区间上的连续

）

f

(x)

在

(

a,b

)内的每一点都连续；(2)f

(x)

在闭区间

[

a,b

]上连续

f

(x)

在开区间

(

a,b

)内连续，且(1)f

(x)

在开区间

(

a,b

)内连续二、极限不存在情形振动发散；引例2-4.1

考察极限：左右极限存在但不相等.一般结论：(1)∞

极限；(2)振动发散：如sin

∞

、cos

∞等；(3)左右极限存在却不相等或之一不存在.三、极限与连续的性质性质

1(运算性质)

若和存在，则推论

1

若存在，k

为常数，n

为正整数，则性质

2（保号性）设存在.2、若在点

a

附近有，则

1、若，则在点

a

附近有

性质

3(运算性质)

连续函数的和、差、积、商——连续的性质(分母不为

0

)都是连续的.

性质

4(复合性质)

若(1)

存在，(2)

在连续，则

性质

5(反函数性质)

严格单调的连续函数的反函数也是连续的.

四、两个重要的极限案例诱导

考虑半径为

R

的圆，讨论其内接正

2n

边形的面积无限地接近圆的面积的过程与结果.1、由面积关系建立不等式2、由保号性得的证明步骤:3、换元计算出第二个重要的极限:

复利公式年利率为

r

，一年计息

m

次的

P

元存款，t

年末的累积金额(本利和)为

案例

2一年内无数次计息(即m→+∞)，年利率为

r

的

P

元存款，t

年末的累积金额是否会增加？——推论1、连续复利公式年利率为

r

，按连续复利计息

的

P

元存款，t

年末的累积金额(本利和)为2、五、无穷大和无穷小定义(1)极限为∞的量叫做无穷大(量)．

(2)极限为

0的量叫做无穷小(量)．注

无穷大和无穷小与极限过程有关.定理

在同一极限过程中，

(1)无穷大的倒数为无穷小；

(2)无穷小

(除

0

外)

的倒数为无穷大．六、等价求极限等价的定义

若，则称时与等价，记为x→∞

时多项式～它的最高次项f→0时sinf～ftanf～fef-1～f常用等价关系等价定理

设时若(1)

和不恒为

0

，则(2)

为有限或无穷；例

2-6.2求下列极限：例

2-6.1求下列极限：练习

1

求下列极限练习2

求下列极限问题驱动——下次课前完成预习第3章§1导数与微分，回答下面问题:(2)型极限有什么样的(1)如何计算

?物理、几何和社会生活意义?Ⅳ

导数和微分Ⅳ

DerivativeandDifferential导数的定义导数的几何意义导数基本公式了解定义产生的背景知道切线和法线斜率熟记导数基本公式内容提要教学要求导数的社会生活意义知道变化率概念EngineeringAppliedMathematics微分知道微分计算公式一、导数的定义案例

1

已知公路上行驶的汽车的路程s

=

s

(t)，求汽车在

t

时刻的瞬时速度

v

．案例

2

已知流过导体的电流等于单位时间内q

=

q

(t)，求

t时刻的瞬时电流

i

．通过该导体横截面的电量。若通过导体横截面的电量与时间的关系为

定义

3-1.1

称当且仅当右边的极限值为有限时才称

为

在点

处的导数.

练习

3-1.1

已知直线运动物体在任一时刻

t的速度

v

=

v(t)，问如何用数学式子描述物体在任一时刻

t的加速度？

存在

在点

处可导.或二、导数的几何意义已知曲线和曲线上的点，在

P

点附近取点，则三、导数的社会生活意义案例

3-1.2

如图是深圳市2015年2月5日至4月9日的最高气温折线图，如何用数学式子刻划气温的变化？3月12日3月16日4月7日4月9日2月16日2月5日定义

3-1.2

称为在上的平均变化率.

在上的平均变化率为

令即得导数的社会生活意义：在的变化率为

四、导数基本公式1、幂函数的导数例

1

求练习

1

求2、指数函数的导数例

3

求的导数.练习

2

求3、sin

x

的导数例

4

求的导数.4、导数基本公式

函数类基本公式幂函数指数函数对数函数三角函数反三角函数五、微分

现实生活中，也常遇到这样一些问题，它需要确定函数的改变量对自变量的改变量的依赖关系。案例

3-1.3

求边长为

x

的正方形金属薄片受热后其面积的改变量

．分析：正方形的面积.设受热后边长的改变为

，则其面积的改变当充分小时，主要依赖于称为面积

S

的微分，记为由案例

3-1.3

：定义

5

称

为函数

y

=

f(x)

的微分.注意：若记则有一般有若将

dx

和

dy

视为两个量，则因此，导数又叫做微商——两个微分的商.思考题如何求函数

y

=

f(x)

的在固定点

x0

处的微分.练习习题3.1.任务驱动——下次课前完成预习§3导数和四则运算法则，完成计算:ⅤInexistenceandLinerruleoftheDerivative高阶导数不可导探讨了解高阶导数的记号能用几何图形判断不可导内容提要教学要求线性求导法则会用法则计算导数EngineeringAppliedMathematicsⅤ

导数的不存在和线性法则一、高阶导数例规定课堂练习3-2.1

若，求下面导数：

(1)，求；

(2)，求；

(3)，求；

(4)，求.

二、不可导探讨1、尖角顶点情形y

=

|

x

|在x

=

0的形成尖角顶点左切线

y

=

－x,右切线

y

=

x.左、右切线不能并成一直线——切线.1、用切线的夹角不可导判别1连续函数y

=

f

(x)

在其曲线上的

尖角顶点对应的

x

=

x0

处不可导.2、可导其切线必存在，定义曲线的夹角；从而左、右切线能并成一条直线，即切线.2、竖直切线情形竖直切线的倾角，不存在.不可导判别2连续函数y

=

f

(x)

在其有竖直的左或右切线对应的点处不可导.3、不连续情形不可导判别3若

f

(x)

在

x0

不连续,

则

f

(x)

在

x0

不可导.定理3-2.1若

f

(x)

在

x0

可导，则

f

(x)

在

x0

连续.练习

3-2.2利用图形判断函数在

x

=

0

的可导性：

三、线性求导法则(1)

为一元线性函数；定义设

a、b

为常数，称(2)

为二元线性函数；(3)

为

f

(x)

和

g

(x)

的线性运算.案例

3-3.1

为保护某些濒临灭绝的鲸类，一群海洋生物学家推荐了一系列的测量方法。一个保护性测量显示，在未来

10

年，某类鲸的预期数量为

如何确定这种鲸在

10

年后的增长率呢？

案例

3-3.2

据资料估计，全世界通过母婴方式而感染HIV的小孩数可由下面函数给出(单位：千人)：其中

t

=

0

为

1990

年年初．问

2002

年年初通过母婴方式而感染

HIV

的小孩数的增长速度有多快？

案例分析

由导数的社会生活意义知，求增长率和增长速度都是求导数。而都是幂函数的线性运算函数，因此，问题可转化为幂函数的线性运算函数的导数的计算。定理

3-3.1若和在点可导，为常数，则例3-3.1

(1)，求；(2)，求.线性求导法则

提常系数因子

课堂练习3-3.1

1、求下列函数的导数：2、求下列函数在给定点的导数：分析：10

后的增长率也就是

解求导，得案例

3-3.1

为保护某些濒临灭绝的鲸类，一群海洋生物学家推荐了一系列的测量方法。一个保护性测量显示，在未来

10

年，某类鲸的预期数量为

如何确定这种鲸在

10

年后的增长率呢？

（条/年）案例

3-3.2

据资料估计，全世界通过母婴方式而感染HIV的小孩数可由下面函数给出(单位：千人)：其中

t

=

0

为

1990

年年初．问

2002

年年初通过母婴方式而感染

HIV

的小孩数的增长速度有多快？

解求导，得（万/年）案例

3-3.3

电流是单位时间内流过的电荷量，其基本计算公式为

电容上的电荷是一个积累过程，其电荷量

其中

u

是电容两端的电压，C

为电容的容值大小。将其代入到电流的基本计算公式并由线性法则，得此即为单位时间内流过电容的电流随电压变化的关系.Ⅵ

积商和链式规则ⅥTheProduct,QuotientandChainRules乘法求导法则除法求导法则会求多个函数乘积的导数会求两个函数商的导数内容提要教学要求复合求导法则会求一次复合函数的导数EngineeringAppliedMathematics一、乘法求导法则根据导数基本公式，得？问题：定理

3-3.2若

f

(x)

和

g

(x)

在点

x

可导，则[证明]

[推论]

若

u、v、w

在点

x

可导，则（请总结上面结果的规律）

例

1

求下列函数的导数：例

2

求在

x

=

0

处的导数.课堂练习

3-3.21、求下列函数的导数：2、求下列函数在给定点的导数：二、除法求导法则根据导数基本公式，得？问题：案例3-3.4一个开发商正在计划建造一个包括住宅、办公大楼、商店、学校的新城区，预计从现在开始

t

年后城市的人口(单位：万)如何确定

5

年后新城区人口的增长速度呢？

[分析]问题转化为求型导数.定理3若

g

(x)

在点

x

可导，则[证明]

[推论]若

f

(x)

和

g

(x)

在点

x

可导，则例

3-3.4

求下列函数的导数：课堂练习3-3.3求下列函数的导数：

例

3-3.5

求在

x

=

0

处的导数.课堂练习3-3.3求下列函数在给定点的导数：

案例3-3.4一个开发商正在计划建造一个包括住宅、办公大楼、商店、学校的新城区，预计从现在开始

t

年后城市的人口(单位：万)如何确定

5

年后新城区人口的增长速度呢？

解

（万/年）三、复合求导法则由导数基本公式知：问：案例

3-4.1据统计资料显示，某地女性的预期寿命：

其中

t

=

0

对应

1990

年初，问该地

2015

年年初出生的女性的预期寿命的增长率是多少？

案例

3-4.2据统计资料显示，某品牌汽车在

2000

至2010

间的销售量(单位：万辆)由下面函数给出：：

其中

t

=

0

对应

2000

年底，如果按照这样的趋势，问该品牌汽车在

2015

年的销量的增长速度是多少？[案例分析]

由导数的社会生活意义知，求增长率和增长速度都是求导数。而都是复合函数，因此，问题可转化为复合函数的求导的计算。链式规则若

y

=

f

(u)

在点

u

可导，u

=

u

(x)

在点

x

可导，且构成复合

y

=

f

([u(x)]

，则注

y

作为

x

的函数对

x

求导；

f

作为

u

的函数对

u

求导.例

3-4.1

求下列函数的导数：y

=

f

(u)

，u

=

u

(x)

分解求导法将

y

=

f

(u(x))

分解为则由链式规则，有例

3-4.2

求在

x

=1

处的导数.课堂练习3-4.1

1、求下列函数的导数：2、求下列函数在给定点的导数：Ⅶ

综合计算与高阶导数ⅦSyntheticalCalculationandHigher-OrderDerivatives导数的综合计算二阶导数的计算会综合运用法则求导会计算二阶导数内容提要教学要求EngineeringAppliedMathematics一、导数的综合计算例

1

求的导数.例

2

求在

x

=

1

处的导数.课堂练习3-3.4

1、求下列函数的导数：课堂练习3-3.4

2、求下列函数在给定点的导数：u

=

u

(x)

换元求导法欲求

y

=

f

(u(x))

的导数，令则

y

=

f

(u(x))

变成了

y

=

f

(u)

，由链式规则，有

其中u

=

u

(x)

取使

f

(u)

能用基本公式计算的变换.例

3-4.3

求下列函数的导数：课堂练习3-4.2求下列函数的导数：例

3

求的导数.例

4

求在

x

=

0

处的导数.课堂练习

3-4.3

1、求下列函数的导数：2、求下列函数在给定点的导数：二、高阶导数例

3-5.1

求下列函数的二阶导数：课堂练习3-5.1求下列函数的二阶导数：课堂练习3-5.2求下列函数的二阶导数：例

2课堂练习3-5.2成果项目

1

—

导数的综合计算

参看§3.4、§4.4

、§5.1

，写一篇关于导数综合计算约

3

页左右的求导方法总结报告，你的报告可以通过一个例子展开，但必须包含有下面内容：

1、求导函数含加、减、乘、除和复合；

2、每一步求导方法的总结；

3、求导计算有

1

阶和

2

阶.ⅧTheCalculationofDifferentialandFormulaProving微分的计算参数方程的导数会用定义计算微分会求一阶导数内容提要教学要求EngineeringAppliedMathematics隐函数的导数会求只含y

的项的导数导数基本公式的证明理解基本公式的推导Ⅷ

微分的计算与公式证明一、微分的计算例

1

若，求.例

2

若，求.课堂练习3-5.3

1、求下列函数的微分：2、求在

x

=

0

的微分.二、参数方程确定的函数的导数例

1

若，求.设参数方程确定

y

=

y(x)

，则课堂练习3-6.1

1、，求.2、，求.三、隐函数的导数显函数

明确了自变量与因变量的函数.如隐函数

隐含于方程中的函数.如确定的函数求导方法—

以x

为自变量为例(1)只含x

的项直接用公式求导(2)只含y

的项直接用公式求导后再乘以*既含x

又含y

的项先用法则再遵循(1)、(2)例

1

若

y

=

y(x)

由方程确定，求.例

2

若

y

=

y(x)

由方程确定，求.课堂练习3-6.21、求下列方程所确定的函数

y

=

y(x)

的导数：2、求方程所确定的函数

y

=

y(x)

的导数.Step1

导出Step2

导出四、导数基本公式的证明Step3

导出三角函数的导数公式Step4

导出反三角函数的导数公式微分方程ⅠDifferentialEquationsⅠ内容提要教学要求EngineeringAppliedMathematics基本概念知道阶、解、通解等概念y(n)

=

f

(x)型方程的求解

会求方程的通解一、基本概念引例

8-1.1已知曲线在任一点

(x,y)

的切线斜率为该点横坐标的倒数，并且曲线过

(1

,

2)

点，求曲线方程．建立方程:——含未知函数

y

的

1

阶导数满足条件:——初始条件解方程:——满足方程且含常数解曲线:——由初始条件确定案例

8-1.1

(人口问题)

18

世纪末，英国人马尔萨斯(Malthus)在研究了百余年的人口统计资料后认为，人口自然增长的过程中，净相对增长率是常数。按照Malthus的人口理论建立方程:—含未知函数的

1

阶导数验证等式:—满足方程定义

8-1.1(1)含未知函数导数或微分的方程叫微分方程.(2)满足方程的函数称为微分方程的解.课堂练习

8-1.1

指出方程的解:案例

8-1.2

(RC电路)

如图是一RC串联电路，无电源且假设

uC(0)

=

u0，试给出在任一时刻

t

，电容的电压

uC(t)

相对于时间t的变化规律.案例

8-1.3

(RLC电路)

如图是并联的

RLC

电路，在并联电路中各支路的电压都是同一值，设为

u(t)

，试建立

u(t)

所满足的微分方程.定义

8-1.2未知函数的导数(或微分)的最高阶数叫做微分方程的阶.课堂练习

8-1.2

指出下列微分方程的阶:定义

8-1.3(1)

n

阶微分方程含

n

个独立任意常数的解叫做通解;(2)由初始条件确定出通解中的任意常数得到的解叫做特解.课堂练习

8-1.3

指出方程的通解:二、y(n)

=

f

(x)

型方程的求解引例

8-2.1讨论方程的解的数学表示.方程

的(1)通解为;(2)满足的特解为.例

8-2.1

求方程的通解.课堂练习

8-2.1

求方程的通解.例

8-2.2

求方程满足

y(0)=1

的特解.课堂练习

8-2.2

求方程满足

y(0)=0

的特解.y(n)

=

f

(x)

恒等变形为递推

n

次即可得到方程的通解.例

8-2.3

求方程的通解.课堂练习

8-2.3

求方程的通解.例

8-2.4

求方程满足的特解.

课堂练习

8-2.4

求方程满足的特解.

微分方程ⅡDifferentialEquationsⅡ内容提要教学要求EngineeringAppliedMathematics可分离变量的方程会求通解和特解线性微分方程解的结构知道解的结构一、可分离变量的方程引例

8-3.1考察方程方程1的通解:方程

2、3

不能这样求解.方程

1、2

可分离变量(方程

3

不能):两边积分即得含

1

个任意常数的解.求解方法——分离变量法：即得其隐式通解——隐函数形式给出的通解.可分离变量的方程的一般形式：例

8-3.1

求下面方程的通解:课堂练习

8-3.1

求下列方程的通解:例

8-3.2

求下面方程的通解:课堂练习

8-3.2

求下列方程的通解:例

8-3.3

求下列方程满足初始条件的特解:课堂练习

8-3.3

求下列方程满足初始条件的特解:二、线性微分方程解的结构定义

8-4.1形如的微分方程称为线性微分方程。其中

(1)

f

(x)≡0

时，称为齐次线性微分方程;

(2)

f

(x)

不恒为

0

时，称为非齐次线性微分方程;

(3)

an

(x)

不恒为

0

时，称为

n

阶线性微分方程.的一个解，是其对应齐次方程的通解，则

定理

8-4.1若是方程是方程的通解.例

8-4.1验证是方程的解，

是其对应齐次方程的解，并写出方程的通解.课堂练习

8-4.1若是方程的解，

是其对应齐次方程的解,试写出方程的通解.微分方程ⅢDifferentialEquationsⅢ内容提要教学要求EngineeringAppliedMathematics一阶线性齐次会用公式求通解一阶线性非齐次会用常数变易法求解一、一阶齐次线性微分方程标准形式:通解公式:注意积分常数不要带入通解公式，它已含于

C之中.例

8-5.1

求下列方程的通解:课堂练习

8-5.1

求下列方程的通解:二、一阶非齐次线性微分方程标准形式:对应齐次的通解+非齐次的特解通解结构:1、能观察得出y*情形例

8-5.2

求方程的通解.例

8-5.3

求方程的通解.课堂练习

8-5.2

求下列方程的通解:2、常数变易法求y*情形常数变易法

求方程的通解.(1)求对应齐次方程的通解

;(2)让中的任意常数

C

变易为

C(x)

,代入非齐次方程后求出

C(x)

，即得

y*.例

8-5.4

求方程的通解.课堂练习

8-5.3

用常数变易法求方程的通解.微分方程ⅣDifferentialEquationsⅣ内容提要教学要求EngineeringAppliedMathematics一阶齐次的通解会用特征方程求通解二阶齐次的通解会由特征根得通解非齐次形式会用观察法求通解由初始条件确定的特解会解方程组求得特解一、一阶常系数齐次线性微分方程一般形式:(a、b为实常数，a≠0)特征方程:特征根:方程的通解:例

8-6.1

求下列方程的通解:课堂练习

8-6.1

求下列方程的通解:二、二阶常系数齐次线性微分方程一般形式:(a、b、c为实常数，a≠0)特征方程:有共轭复根r=α±iβ有两个相等的实根r1=r2=r有两个不相等的实根r1，r2

齐次形式的通解特征根的分布例

8-6.2

求下列方程的通解:课堂练习

8-6.2

求下列方程的通解:三、非齐次形式通解例

8-6.4

求下列方程的通解:课堂练习

8-6.4

求方程的通解.例

8-6.5

求下列方程的通解:课堂练习

8-6.5

求下列方程的通解:四、由初始条件确定的特解例

8-6.6

求方程满足条件的特解.课堂练习

8-6.6

求下列方程满足初始条件的特解:ⅨTheRateofChangeand

L'Hopital'srule导数的物理应用导数的几何应用知道速度和加速度的计算会求切线和法线内容提要教学要求EngineeringAppliedMathematics导数的社会生活应用会解变化率问题相关变化率会解隐函数求导问题罗必达法则会应用法则求极限Ⅸ

变化率与罗必达法则——变化率导数的物理意义：在上的平均变化率：

在的变化率为

导数的几何意义：f

(x)在点

x0

的切线和法线斜率一、导数的物理应用例

4-1.1

(高台跳水)已知一运动员在10米高台跳水中相对于水面的高度(m)与起跳后的时间(s)的关系为求该运动员到达水面时的速度和加速度.例

4-1.2

(微分电路)

如图，设电阻

R

和电容

C

串联接入输入电压

uI

，由电阻

R

输出电压

uO

，则电流

iR

=

iC

，且根据KVL定律有－＋－＋当

R

很小时，uO

≈

uR

也很小，于是有再根据电容的电流与电压的关系：，得即输出电压与输入电压的时间微分值成正比.二、导数的几何应用例

4-1.4求

在

x

=

1

的切线和法线方程.课堂练习

4-1.1求

在

x

=

1

的切线和法线方程.课堂讨论

4-1.1若，则

f

(x)

在点

x0

的切线是否存在？若，则

f

(x)

在点

x0

的法线是否存在？三、导数的社会生活应用例4-1.6(消费物价指数)已知某地区的居民消费价格指数CPI(ConsumerPriceIndex)由下面函数描述：其中

t=0

对应

2010

年年底。

(1)问从

2010

年年底至

2015

年年底该地区的CPI的平均增长率是多少？

(2)如果保持这样的趋势，问该地区2016年年底该地区的CPI的增长率有多大？例4-1.7(广告销售)已知某公司的广告花费

x

(千元)与其总销售量

S(x)

之间的关系为问广告费用为

10

万元时，销量的增长率是多少？

四、相关变化率若满足方程：则由隐函数的求导规则，方程两边对

t

求导，即可建立

的函数关系，即它们是互相关联的两个变化率，称之为相关变化率.例4-1.8

设有一底半径为

15cm、高为

20cm

的正圆锥形容器平放于桌面之上，若向容器内以

200cm3/s

的速度注水，问水深为

10cm

时水面上升的速度是多少？五、罗必达法则分解因式后约零因子，得如将上述极限修改为或便不再属简单方式.罗必达法则设

f

(x)

和

g

(x)

在点

a

附近可导，若(1)

代值为或

，则(2)

为有限或

，课堂讨论

4-5.1(1)

代值时不为或

；因此都不能应用罗必达法则，问其极限是否存在？(2)

属型，但不存在例

4-5.1求下列极限：例

4-5.2求下列极限：课堂练习

4-5.1求下列极限：成果项目2

—

极限的综合计算(学生自主学习)参看§5.3，举例说明：(1)如何综合代非

0

值和等价计算极限；(2)如何计算

0·∞

,

∞-∞

,

00

,

1∞

,

∞0

型极限.1、等价求极限等价的定义

若，则称时与等价，记为极限过程等价关系f→0sinf～

ftanf～

fef-1～

fln(1+f

)

～

f1-cosf～f2/2(1+f

)α-1

～α

fx→∞多项式～它的最高次项等价定理

设时若(1)

和不恒为

0

，则(2)

为有限或无穷；例

4-5.3求下列极限：例

4-5.5求下列极限：2、极限的简化计算分子、分母中的乘积型因子

(1)能代出非0值的先代值；

(2)能用等价的先用等价.例

4-5.6求下列极限：3、其它未定型的计算例

4-5.8求极限(1)【∞－∞】型【计算方法】通分化为或型.例

4-5.9求下列极限：(2)【0

·

∞】型【计算方法】将其中一个因子除到分母下面化为或型.例

4-5.10求下列极限：(3)【1∞】型【计算方法】先凑公式，再在指数上求极限.例

4-5.10求下列极限：(4)【00、

∞0

、

1∞

】型幂指函数类【计算方法】先设置变量，再取对数化为

0

·

∞

型.函数的单调性

和极值TheMonotonyAndTheExtremumOfTheFunction不增不减情形单调性和极值的定义知道恒等式的证明方法理解定义的建立内容提要教学要求EngineeringAppliedMathematics单调性的判别理解判别方法的建立极值的判别理解极值点的讨论背景计算会求单调区间和极值一、不增不减情形引例4-2.1(矩形脉冲)

已知矩形脉冲信号f

(t

)

在开区间：内恒为常数，从而不增不减，且满足：.定理

4-2.1若

f

(x)

在

(

a,b

)

内可导，则在

(

a,b

)

内例

4-2.1证明课堂练习

4-2.1证明二、单调性与极值的定义引例4-2.2(三角脉冲)

已知三角脉冲信号x1<

x2→f

(x1)

<

f

(x2)

(不等号同向);

(1)

f

(t

)

在

(

-τ,0

)

内单增：y1<

y2→f

(y1)

>

f

(y2)

(不等号反向).

(2)

f

(t

)

在

(

0

,τ)

内单减：(3)

f

(0)

=

A

比

t

=

0

附近任一点的函数值都大.定义

4-2.1

对

(

a,b

)

内的任意两点

x1

、x2

，若

(1)

x1<x2→f

(x1)

<

f

(x2)

，则称

f

(x)↑；(2)

y1<y2→f

(y1)

>

f

(y2)

，则称

f

(x)

↓.

(3)对

x0

附近的所有

x

恒有

f

(x0)

>

f

(x)，则称

f

(x0)

为极大值，x0

为极大值点.课堂讨论

4-2.1考虑函数：试给出

f

(x0)

为极小值的定义.极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点.三、单调性的判别引例4-2.2(三角脉冲)

已知三角脉冲信号(1)在

(

-τ,0

)

内，f

(t

)↑：(2)在

(

0

,τ)

内，f

(t

)↓：引例4-2.2(钟形脉冲)

已知钟形脉冲信号(1)在

(

-

∞,0

)

内，f

(t

)↑：(2)在

(

0,+∞

)

内，f

(t

)↓：定理

4-2.2

在

(

a,b

)

内，若

f

(x)

可导，且(1)，则;(2)，则.四、极值的判别三角脉冲和钟形脉冲在

t

=

0

取得极大值.(1)三角脉冲：(尖角顶点);(2)钟形脉冲：(水平切线).方程

的根

x

=

x0

称为的驻点.由三角脉冲和钟形脉冲知：驻点和导数不存在的点都可能是极值点.定理4-2.3(极值的必要条件)

若

f

(x)

在

x0

可导，且

f

(x0

)

为极值，则问题：驻点和导数不存在的点是否一定是极值点.课堂讨论4-2.2

考虑单位阶跃函数(1)t=0是导数不存在的点;(3)

所有的点都不是极值点.(2)

除

t=0外所有的点都是驻点;结论：驻点和导数不存在的点需经过判别方可确定是否为极值点.总结1左边单增、右边单减为极大.总结2左边单减、右边单增为极小.极值的判别

设

x0

是驻点或导数不存在的点,

f

(x)

在

x0

连续．若

f

(x)

在

x0

附近，

(1)左边单增、右边单减，则

f

(x0)

是极大值；

(2)左边单减、右边单增，则

f

(x0)

是极小值；

(3)左右两边的单调性不发生改变，则

f

(x0)

不是极值.

【上述结论的逆命题不成立】单边指数信号但左边不增不减，右边单减.

f

(0)

为极大值;3、的驻点为()；1、的单增区间为(),五、计算课堂练习4-2.2

(-1,+∞)单减区间为();

x

=

-1/2

2、的单减区间为();4、在

x

=

1单取得极值，则

a

=

().(-∞,-1

)(

0,+∞)

3求函数

y

=

f

(x)

的单调区间和极值的步骤:1、指出函数的定义域;2、找出可能的极值点—驻点、导数不存在的点:(A)求,(B)整理—多项式分解因式、负指数放至分母,(C)求根—分子取

0

得驻点,分母取

0

得导数不存在的点;3、判别—用驻点和导数不存在的点分割定义域列表:4、结论.第1行—

x

的取值区间,第2行—导数的正负,第3行—函数的增减;例

4-2.2

求函数的单调区间和极值.课堂练习4-2.2求函数

的单调区间和极值.课堂讨论

4-2.4f

(x)

在

(

a,b

)

内的单调性(1)与

[

a,b

]

上的单调性是否一致？(2)什么条件下可以一致？不一致[

a,b

]

上连续课堂讨论

4-2.5极大值是否一定大于极小值？

问题驱动——下次课前完成预习§4最大值最小值问题，解答下面问题:

欲做一个底面为正方形，容积为

108

m3的长方体开口容器，问底面边长和高为多少时所用材料最省？

事件的概率与概率公理TheProbabilityofEevent

andProbabilityAxioms内容提要教学要求EngineeringAppliedMathematics随机事件及其概率了解概念的描述事件间的关系会表示事件间的关系概率的定义了解定义背景概率公理知道公理内容一、随机事件及其概率确定性现象

事前可预言例子

一个标准大气压下，水加热到100℃会沸腾.研究工具

分析、几何、代数、微分方程等.不确定现象含义不确定——模糊现象结果不确定——随机现象例子

身体健康，年老.研究工具

模糊数学.例子

天气.研究工具

概率、统计引例

10-1.1抛硬币可能会出现有数字标识的正面或有花草图案的反面两个结果，事前不确定会出现正面还是反面.引例

10-1.2掷骰子可能会出现

1

到

6

点六个结果，事前不确定会出现几点.引例

10-1.3城市天气预报中，可能的天气有晴、阴、多云、下雨等多个结果，事前也不能确定会出现哪种天气

.引例

10-1.4购买彩票可能会出现中奖和不中奖两个结果，也可能会出现中一、二、三等奖等多个结果，事前也不能确定是否会中奖或中几等奖.定义

10-1.1在对随机现象的观察或试验中，如果每次可能的结果都不止一个，并且事先不能确定哪一个结果会出现，那么这样的观察或试验就称为随机试验.定义

10-1.2在随机试验中，可能出现也可能不出现的事件叫做随机事件，常用大写的英文字母表示.例如(1)在抛

1

枚钱币的随机试验中，事件A=

{出现正面}、B=

{出现反面}；(2)在掷

1

颗骰子的随机试验中，事件Ak=

{出现

k

点}(

k

=

1,…,6

)；(3)在摸奖的随机试验中，事件Ak=

{中

k

等奖}(

k

=

1,2,3

).A=

{中}、B=

{不中}；定义

10-1.3随机试验中的随机事件又叫做样本点,

样本点的全体称为样本空间

.案例

10-1.1(有奖促销)

某商场的促销广告宣称，年终活动的中奖率为

100%，其中一等奖的中奖率是

20%，购买超过

￥2000

元的顾客每

1

万人产生特等奖

￥10

万

1

名，如果用事件来表示：A={中奖}，B={中一等奖}，C={不中奖}，D={中特等奖}，那么商场的促销广告告诉人们的是(1)A是必然会发生的事，其可能性是100%=1;(2)B可能发生也可能不发生，发生的可能性是20%;(3)C是不可能发生的事，其发生的可能性是0;(4)D发生的可能性很小.定义10-1.4事件A发生的可能性大小叫做概率，记为P(A).

P(A)=1，P(B)=0.2，P(C)=0;D为小概率事件.二、事件间的关系案例

10-1.1A={中奖}，B={中一等奖}，C={不中奖}(1)

A

发生：B

不一定发生，C

必不发生；(2)

B

发生：A

必发生，C

必不发生；(3)

C

发生：A、B

都不发生.定义

10-1.4设A、B为随机事件，Ω为必然事件，(1)A

B为“由A发生能推出B发生”；∪(2)A=B为“AB，且BA”；∪∪(3)A+B为“A、B至少有一个发生”；φ为不可能事件.定义

(4)A-B为“A发生，B不发生”；(5)AB为“A、B同时发生”；(6)为“A的对立事件”,(7)A、B互斥(不相容)为“A、B不同时发生”.即

AB=φ即课堂练习

10-1.1

城市天气预报中，A={晴}，B={阴}，C={雨}，试用数学式子表示下列事件：

(1)晴天有雨；(2)阴天有雨；

(3)晴转阴；(4)无雨.课堂练习

10-1.2从一批商品中随机地抽取三件，Ak={第

k

件合格}，试用数学式子表示下列事件：

(1)三件都合格；(2)只有第一件合格；

(3)至少有一件合格；(4)三件都不合格雨.三、概率的定义1、古典概率定义

10-1.5如果随机试验Ω的结果只有有限个，每个事件发生的可能性相等且互不相容，这样的随机试验称为拉普拉斯试验，这样条件下的概率模型叫做古典概型.例

10-1.1抛一枚均匀的硬币2次，若A

=

{

恰有一次是反面

}，求

P(A)．例

10-1.2掷二颗均匀骰子1次，若B

=

{

点数和为7

}，求

P(B)．计算公式1、抛一枚均匀的硬币2次，若A

=

{

恰有一次是反面

}，求P(A)．2、掷二颗均匀骰子1次，若B

=

{

点数和为8}，求P(B)．课堂练习

10-1.33、袋中有

5

个白球、3

个红球，现从中随机地取出

2

球，求下面事件的概率：(1)取出的是

2

只白球；(2)取出的是

1

白

1

红．2、几何概率定义

10-1.6如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度或面积或体积成比例，那么这样的概率模型称为几何概型.几何概率——设Ω是几何点集，μ是它的一个度量指标，G

是Ω的子集。若随机地向Ω中投放一点

M，则

M

落在

G

中的概率

案例

10-1.2(射箭比赛)

奥运会射箭比赛的箭靶涂有五个彩色分环，从外到内分别为白、黑、蓝、红色，靶心为金色——也叫黄心(如图)；靶面直径为

122cm

，靶心直径为

12.2cm

，运动员站在离靶

70m

远位置。假设射箭都能中靶，且射中靶面任一点都是等可能的，问射中黄心的概率有多大？案例

10-1.3(等待报时)某人午睡醒来，发现手表已经停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待时间不超过10分钟的概率．课堂练习

10-1.41、某公共汽车站每隔

15

分钟有一辆汽车到达，且出发前在车站停靠

3

分钟.乘客到达车站的时刻是任意的，求乘客到达车站后候车时间大于

10

分钟的概率？(2/15)2、《广告法》对插播广告的时间有一定的规定，某人对某台的电视节目做了长期的统计后得出结论，他任意时间打开电视机看该台节目，看到广告的概率为0.1，那么该台每小时约有多少分钟的广告？(6)3、统计概率大量独立的试验中，频率的极限值即为统计概率.案例

10-1.4(高尔顿钉板试验)

(试验演示)统计规律——在一定的条件下，对某种现象的大量观测所表现出来的规律.四、概率公理公理10≤P(A)≤1

公理2P(Ω)

=

1

公理3若

AB=φ，则P(A+B)=P(A)+P(B)1933年，俄国数学家柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov)基于集合论建立了概率论的公理化体系：加法和乘法公式theAdditionandtheMultiplicationFormula内容提要教学要求EngineeringAppliedMathematics加法公式会用公式计算概率条件概率会用定义计算概率乘法公式会公式推导及计算事件的独立性理解独立的概念一、加法公式定理

10-2.1

设

A、A1、…

、An

为随机事件，Ω为样本空间，φ为不可能事件，AiAj=φ(i≠j)