全品高考备战2027年数学一轮学生用书05教材拓展5三垂线定理及逆定理的应用【正文】听课手册_第1页
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课本探源三垂线定理:如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直,则它也和这条斜线垂直.[课本探源:人A选择性必修第一册P10,习题1.1的第8题]三垂线定理的逆定理:如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直,则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直.定理证明(三垂线定理)如图,OB是平面α的斜线,O为斜足,AB⊥α,A为垂足,CD⊂α,且CD⊥OA.求证:CD⊥OB.证明:因为CD⊥OA,所以CD·OA=0,因为AB⊥α,CD⊂α,所以AB⊥CD,所以CD·AB=0.因为OA+AB=OB,所以CD·OB=CD·(OA+AB)=CD·OA+CD·AB=0,所以CD⊥OB.定理解读1.三垂线定理可以简记为“垂直射影,则垂直斜线”;三垂线定理的逆定理可以简记为“垂直斜线,则垂直射影”.2.在三垂线定理中,其内涵特征是“三垂”:一垂→直线和平面垂直;二垂→垂直射影;三垂→垂直斜线.特别注意:没有第一垂直(线面垂直),不能体现斜线在平面内的射影,也就没有这样良好的定理了.3.在三垂线定理的逆定理中,其内涵特征是“三垂”:一垂→直线和平面垂直;二垂→垂直斜线;三垂→垂直射影.【典型例题】例1(1)如图所示,PA垂直于圆O所在平面,AB为圆O直径,C为圆O上异于A,B的一点,则图中有个直角三角形.

(2)(多选题)如图,在正方体中,O为底面的中心,P为所在棱的中点,M,N为正方体的顶点.则满足MN⊥OP的是 () A B C D总结反思破解此类问题的关键:一是找或证线面垂直;二是判断斜线与射影;三是用定理,利用三垂线定理或三垂线定理的逆定理,证明线线垂直.但要特别注意解决以(长)正方体为载体的立体几何题,要熟练、准确掌握(长)正方体的有关性质,一定要抓住(长)正方体中棱与面的垂直关系,并能灵活运用.例2在矩形ABCD中,∠BCA=30°,AC=20,PA⊥平面ABCD,且PA=5,则点P到直线BC的距离为.

总结反思破解空间距离、角的问题的关键:一是用定理,三垂线定理及其逆定理都是由“四线、三垂直、一平面”组成的,分析问题时必须先找全条件才能用定理;二是用定义,空间角问题利用定义,找出空间角,距离问题可找垂线,即寻找点到直线的垂线,用三垂线定理及其逆定理来“定位”;三是会计算,会利用解直角三角形,求出空间距离、角.【巩固演练】1.[2025·山东滨州二模]在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=AB=AC=2,BC=22,点D为△PAB内(包含边界)一点,且BD⊥CD,则点D的轨迹的长度为.

2.[2026·上海杨浦区调研]中国古代数学著作《九章算术》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.如图,在堑堵A

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