2025年高考数学培优讲义4-切线与公切线

专题1-4切线与公切线

1/8

1

目录

高考真题梳理.....................................................................................................................................................3

2022年新高考全国I卷T15——已知过某点的切线条数求参..............................................................3

2022·新高考全国II卷——求过原点的切线............................................................................................4

2021新高考1卷·7——已知过某点的切线条数，求参数间的关系......................................................4

2019·江苏卷——已知切线过某点，求切点............................................................................................4

题型一求过某点的切线.................................................................................................................................4

题型二求公切线与确定公切线条数..............................................................................................................4

浙江绍兴二模T15......................................................................................................................................4

浙江嘉兴二模T15......................................................................................................................................4

2023届广东省燕博园高三下综合能力测试T16.....................................................................................5

题型三存在公切线，求参数值或范围..........................................................................................................5

题型四由过某点的切线条数求值或范围......................................................................................................5

2024届广东省六校高三第一次联考T8...................................................................................................5

2024届·广州中山大学附属中学校考.......................................................................................................6

2023届·深圳高级中学高三上学期期中T7..............................................................................................6

安徽省合肥市2022-2023学年高三上期末联考......................................................................................6

题型五由公切线条数求参数范围.................................................................................................................7

2023·广东深圳·统考一模T8.....................................................................................................................7

2/8

1

易混淆知识点补充：

直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，

直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．

过一点A(m,n)的切线方程

①设切点为P()x00，y，则斜率k=f()x0

②利用切点和斜率写出切线方程为：y−y0=f(x0)(x−x0)，

③又因为切线方程过点A()m，n，点入切线得n−y0=f(x0)(m−x0)然后解出x0的值．（x0有几个值，就有

几条切线）

注意：在做此类题目时要分清题目是在点P处（P为切点），还是过点P的切线（P不一定为切点）

求公切线方程

已知其中一曲线上的切点，利用导数几何意义求切线斜率，进而求出另一曲线上的切点；不知切点坐标，

则应假设两切点坐标，通过建立切点坐标间的关系式，解方程.

具体做法为：设公切线在y＝f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))，

f(x12)−g(x)

则f(x12)＝g(x)＝

xx12−

由公切线求参数的值或范围问题

由公切线求参数的值或范围问题，其关键是列出函数的导数等于切线斜率的方程．

高考真题梳理

2022年新高考全国I卷T15——已知过某点的切线条数求参

1．若曲线y=+(xa)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是．

3/8

1

2022·新高考全国II卷——求过原点的切线

2．曲线yx=ln||过坐标原点的两条切线的方程为，．

2021新高考1卷·7——已知过某点的切线条数，求参数间的关系

3．若过点(ab,)可以作曲线y=ex的两条切线，则（）

A．ebaB．eab

C．0eabD．0eba

2019·江苏卷——已知切线过某点，求切点

4．在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对

数的底数），则点A的坐标是.

重点题型·归类精讲

题型一求过某点的切线

1．已知直线y=kx是曲线y=ex的切线，则实数k的值为．

题型二求公切线与确定公切线条数

浙江绍兴二模T15

x2

2．与曲线y=ex和y=−都相切的直线方程为__________.

4

浙江嘉兴二模T15

1

3．已知直线l与曲线C:y=x2和Cy:=−均相切，则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积为

12x

___________.

4/8

1

2023届广东省燕博园高三下综合能力测试T16

4．曲线y=ex与yx=ln的公共切线的条数为________．

题型三存在公切线，求参数值或范围

广东省汕头市2022-2023学年高二下期末

5．已知直线y=ax+b(aR,b0)是曲线fx()=ex与曲线g(x)=+lnx2的公切线，则ab+的值

为.

2023·福建厦门·5月适应性考试T16

6．已知函数f(x)=mx+lnx,g(x)=x2−mx，若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)存在公切线，则实数m的最大

值为__________．

长沙雅礼中学2022届月考（六）T16

1

7．已知函数f(x)=2lnx，g(x)=ax2−x−(a0)，若直线y=−2xb与函数y=f(x)，y=g(x)的图象均

2

相切，则a的值为________；若总存在直线与函数y=f(x)，y=g(x)图象均相切，则a的取值范围是

________

2024届·江苏省南通，连云港质量调研(一)——以公切线为背景的指数对数计算求值问题

12

xx2−

8．已知直线l分别与曲线f(x)=lnx，gx()=e相切于点(xx11,ln)，(x2,e)，则的值为.

xx12−1

题型四由过某点的切线条数求值或范围

2024届广东省六校高三第一次联考T8

9．已知函数f(x)=−x32+2x−x，若过点Pt(1,)可作曲线y=f(x)的三条切线，则t的取值范围是（）

5/8

1

1111

A．(0,)B．(0,)C．(0,)D．(0,)

30292827

2024届·广州中山大学附属中学校考

x

10．过点(3,0)作曲线f(x)=xe的两条切线，切点分别为(x11,f(x))，(x22,f(x))，则xx12+=（）

A．−3B．−3C．3D．3

广东省深圳市2022-2023学年高二下期末T8

11．已知点A在直线x=2上运动，若过点A恰有三条不同的直线与曲线y=−x3x相切，则点A的轨迹长度

为（）

A．2B．4C．6D．8

2023届·深圳高级中学高三上学期期中T7

x

12．若曲线fx()=有三条过点(0,a)的切线，则实数a的取值范围为（）

ex

1414

A．0,2B．0,2C．0,D．0,

eeee

安徽省合肥市2022-2023学年高三上期末联考

1

13．已知函数f(x)=+lnx，过点(0,m)有两条直线与曲线y=f()x相切，则实数m的取值范围是．

x

14．（多选）已知函数f(x)=−x32+23x−x，若过点P(−2,m)(mZ)可作曲线y=f(x)的三条切线，则m

的值可以为（）

A．3B．4C．21D．22

15．（多选）已知函数f(x)=−x3mx，若过点P(−1,1)恰能作3条曲线y=f(x)的切线，则m的值可以为

（）

3453

A．B．C．D．

4335

16．若过点(a,0b)(a)可以作曲线y=−x33x的三条切线，则（）

A．ba−3B．−33aba3−a

6/8

1

C．b−a33aD．ba=−3或b=−a33a

题型五由公切线条数求参数范围

2023·广东深圳·统考一模T8

17．已知函数fx()=+2lnx，g(x)=ax，若总存在两条不同的直线与函数y=f(x)，y=g(x)图象均相

切，则实数a的取值范围为（）

A．(0,1)B．(0,2)C．(1,2)D．(1,e)

3x

18．若曲线C1:y=x与曲线C2:y=ae(a0)存在2条公共切线，则a的值是．

7/8

1

目录

高考真题梳理.....................................................................................................................................................4

2022年新高考全国I卷T15——已知过某点的切线条数求参..............................................................4

2022·新高考全国II卷——求过原点的切线............................................................................................5

2021新高考1卷·7——已知过某点的切线条数，求参数间的关系......................................................6

2019·江苏卷——已知切线过某点，求切点............................................................................................7

题型一求过某点的切线.................................................................................................................................8

题型二求公切线与确定公切线条数..............................................................................................................9

2023届·浙江绍兴二模T15........................................................................................................................9

2023届·浙江嘉兴二模T15........................................................................................................................9

2023届广东省燕博园高三下综合能力测试T16...................................................................................10

题型三存在公切线，求参数值或范围........................................................................................................10

2023·福建厦门·5月适应性考试T16.......................................................................................................11

长沙雅礼中学2022届月考（六）T16....................................................................................................11

2024届·江苏省南通，连云港质量调研(一)——以公切线为背景的指数对数计算求值问题...........13

题型四由过某点的切线条数求值或范围....................................................................................................13

2024届广东省六校高三第一次联考T8.................................................................................................13

2024届·广州中山大学附属中学校考.....................................................................................................14

2023届·深圳高级中学高三上学期期中T7............................................................................................15

安徽省合肥市2022-2023学年高三上期末联考....................................................................................16

题型五由公切线条数求参数范围...............................................................................................................19

2023·广东深圳·统考一模T8...................................................................................................................19

2/22

1

易混淆知识点补充：

直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，

直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．

过一点A(m,n)的切线方程

①设切点为P()x00，y，则斜率k=f()x0

②利用切点和斜率写出切线方程为：y−y0=f(x0)(x−x0)，

③又因为切线方程过点A()m，n，点入切线得n−y0=f(x0)(m−x0)然后解出x0的值．（x0有几个值，就有

几条切线）

注意：在做此类题目时要分清题目是在点P处（P为切点），还是过点P的切线（P不一定为切点）

求公切线方程

已知其中一曲线上的切点，利用导数几何意义求切线斜率，进而求出另一曲线上的切点；不知切点坐标，

则应假设两切点坐标，通过建立切点坐标间的关系式，解方程.

具体做法为：设公切线在y＝f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))，

f(x12)−g(x)

则f(x12)＝g(x)＝

xx12−

由公切线求参数的值或范围问题

由公切线求参数的值或范围问题，其关键是列出函数的导数等于切线斜率的方程．

高考真题梳理

2022年新高考全国I卷T15——已知过某点的切线条数求参

1．若曲线y=+(xa)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是．

【答案】(−,−4)(0,+)

4/22

1

【分析】设出切点横坐标x0，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于x0的方程，根

据此方程应有两个不同的实数根，求得a的取值范围.

【详解】∵y=+(xa)ex，∴y=(x+1+a)ex，

x0x0

设切点为(xy00,),则y00=+(xa)e,切线斜率k=(x0+1e+a),

xx00

切线方程为：y−(x0+a)e=(x0+1+a)e(x−x0),

xx00

∵切线过原点，∴−(x0+a)e=(x0+1+a)e(−x0),

2

整理得：x00+ax−a=0,

∵切线有两条，∴=aa2+40,解得a4或a0,

∴a的取值范围是(−,−4)(0,+)

2022·新高考全国II卷——求过原点的切线

2．曲线yx=ln||过坐标原点的两条切线的方程为，．

11

【答案】yx=yx=−

ee

【分析】分x0和x0两种情况，当x0时设切点为(xx00,ln)，求出函数的导函数，即可求出切线的斜

率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出x0，即可求出切线方程，当x0时同理可得；

【详解】[方法一]：化为分段函数，分段求

分x0和x0两种情况，当x0时设切点为(xx00,ln)，求出函数导函数，即可求出切线的斜率，从而

表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出x0，即可求出切线方程，当x0时同理可得；

解：因为yx=ln，

111

yx=lny|=y−lnx=x−x

当x0时，设切点为(xx00,ln)，由y=，所以xx=0，所以切线方程为00()，

xx0x0

111

又切线过坐标原点，所以−lnxx00=(−)，解得x0=e，所以切线方程为yx−1e=(−)，即yx=；

x0ee

11

yx=−lny|=

当x0时()，设切点为(xx11,ln(−))，由y=，所以xx=1，所以切线方程为

xx1

1

y−ln(−x11)=(x−x)，

x1

111

又切线过坐标原点，所以−ln(−xx11)=(−)，解得x1=−e，所以切线方程为yx−1e=(+)，即yx=−；

x1−ee

11

故答案为：yx=；yx=−

ee

[方法二]：根据函数的对称性，数形结合

5/22

1

111

yx=lny|=y−lnx=x−x

当x0时，设切点为(xx00,ln)，由y=，所以xx=0，所以切线方程为00()，

xx0x0

111

又切线过坐标原点，所以−lnxx00=(−)，解得x0=e，所以切线方程为yx−1e=(−)，即yx=；

x0ee

因为yx=ln是偶函数，图象为：

11

所以当x0时的切线，只需找到yx=关于y轴的对称直线yx=−即可.

ee

[方法三]：

因为yx=ln，

111

yx=lny|=y−lnx=x−x

当x0时，设切点为(xx00,ln)，由y=，所以xx=0，所以切线方程为00()，

xx0x0

111

又切线过坐标原点，所以−lnxx00=(−)，解得x0=e，所以切线方程为yx−1e=(−)，即yx=；

x0ee

11

yx=−lny|=

当x0时()，设切点为(xx11,ln(−))，由y=，所以xx=1，所以切线方程为

xx1

1

y−ln(−x11)=(x−x)，

x1

111

又切线过坐标原点，所以−ln(−xx11)=(−)，解得x1=−e，所以切线方程为yx−1e=(+)，即yx=−；

x1−ee

11

故答案为：yx=；yx=−.

ee

2021新高考1卷·7——已知过某点的切线条数，求参数间的关系

3．若过点(ab,)可以作曲线y=ex的两条切线，则（）

A．ebaB．eab

C．0eabD．0eba

【答案】D

【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定

6/22

1

结果；

解法二：画出曲线ye=x的图象，根据直观即可判定点(ab,)在曲线下方和x轴上方时才可以作出两条切线.

【详解】在曲线ye=x上任取一点P(t,et)，对函数ye=x求导得y=ex，

tttt

所以，曲线ye=x在点P处的切线方程为y−e=e(x−t)，即y=ex+(1−t)e，

由题意可知，点(ab,)在直线y=ettx+(1−t)e上，可得b=aet+(11−t)et=(a+−t)et，

令f(t)=(a+1−t)et，则f(t)=−(at)et.

当ta时，ft()0，此时函数ft()单调递增，

当ta时，ft()0，此时函数ft()单调递减，

ft==faea

所以，()max()，

yb=y=ftb=ftea

由题意可知，直线与曲线()的图象有两个交点，则()max，

当ta+1时，ft()0，当ta+1时，ft()0，作出函数ft()的图象如下图所示：

由图可知，当0bea时，直线yb=与曲线y=f(t)的图象有两个交点.

故选：D.

解法二：画出函数曲线ye=x的图象如图所示，根据直观即可判定点(ab,)在曲线下方和x轴上方时才可以

作出两条切线.由此可知0bea.

2019·江苏卷——已知切线过某点，求切点

4．在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对

7/22

1

数的底数），则点A的坐标是.

【答案】(e,1).

【分析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值可得切点坐标.

1

【详解】设点A(x,y)，则yx=ln.又y=，

0000x

1

当xx=0时，y=，

x0

1

点A在曲线yx=ln上的切线为y−y00=()x−x，

x0

x

即yx−ln0=−1，

x0

−e

代入点(−−e,1)，得−1−lnx0=−1，

x0

即x00lnx=e，

考查函数H(x)=xlnx，当x(0,1)时，Hx()0，当x(1,+)时，Hx()0，

且H'(x)=+lnx1，当x1时，H'(x)0,H(x)单调递增，

注意到H(e)=e，故x00lnx=e存在唯一的实数根xe0=，此时y0=1，

故点A的坐标为Ae(,1).

重点题型·归类精讲

题型一求过某点的切线

1．已知直线y=kx是曲线y=ex的切线，则实数k的值为．

【答案】e

【分析】本题先设切点得到切线方程，再根据其过原点，代入解出切点横坐标，最后得到k值即可.

xxxx0

【详解】若y=e，则y=e，设曲线y=e上切点的坐标为(x0,e)，

则切点处切线的斜率ky=|e=x0，

xx=0

xx00

此时切线方程为：y−ee=(x−x0)，

xx00

切线为y=kx，则切线过坐标原点，即：0−e=e(0−x0),

解得：x=1，则：ky==|=e1e

0xx=0.

8/22

1

题型二求公切线与确定公切线条数

2023届·浙江绍兴二模T15

x2

2．与曲线y=ex和y=−都相切的直线方程为__________.

4

【答案】yx=+1

xx1

【详解】设直线与曲线y=e相切于点(x1,e)，

xxx11xx11

因为y=e，所以该直线的方程为y−ee=(x−x1)，即y=ex+e(1−x1)，

22

xx2

设直线与曲线y=−相切于点x2,−，

44

xxx2xx2

因为y=−，所以该直线的方程为y+22=−(x−x)，即yx=−22+，

242224

x

ex1=−2

2

所以，解得xx12=0,=−2，所以该直线的方程为yx=+1

x2

e1x1(−=x)2

14

2023届·浙江嘉兴二模T15

1

3．已知直线l与曲线C:y=x2和Cy:=−均相切，则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积为

12x

___________.

【答案】2

【分析】由基本初等函数的导数及其的几何意义解得直线l的解析式即可求得结果.

1

【详解】由已知得CC、的导函数分别为：y==2x,y，设CC、上的切点分别为(x,,y)、(xy)，则

12x2121122

21

x1+

有：y1−y21x2，

=2x1=2=

x1−−x2x2x1x2

xy==2,4

11

解之得：1，故l：yx=−44，

xy=,2=−

222

1

与坐标轴交点分别为(1,0)、(0,−4)，围成的三角形面积为：14=2.

2

9/22

1

2023届广东省燕博园高三下综合能力测试T16

4．曲线y=ex与yx=ln的公共切线的条数为________．

【答案】2

x

,e1，,ln

【解析】设公切线关于两函数图像的切点为(x1)(x2x2)，则公切线方程为：

x11

xx1e=

e11eln

y=(x−x1)+=(x−x2)+x2，则x2，

x

2x1

e(1−xx12)=ln−1

xx

e1x=−lnxe11xxln1

注意到x2=1，12，则由12，可得

lnlnln

1+x2=x2x2−x2(x2−1)x2−x2−1=0.

ln

则公切线条数为方程(x2−1)x2−x2−1=0的根的个数，

即函数h(x)=(x−1)lnx−x−1的零点个数.

1111

h(x)=−lnx，令p(x)=−lnx，则px()=+0，

xxxx2

1

得h(x)=p(x)在(0,+)上单调递增.因hh1=−10，e=1−0，

()()e

1

ln

则x0(1,e)，使得h(x00)=x−=0.则hx()在(0,x0)上单调递减，在(x0,+)上单调递增，

x0

1

hx=hx=x−1lnx−x−1=−−x0

故()min(0)(0)000，

x0

3

又注意到he−2=21−e−2−e−2−1=1−0，

()()e2

e2e2e2e2e,−22，,e

h()=2(−1)−−1=−30，则x3(x0)x4(x0)，

使得h(x34)==h(x)0，得hx()有2个零点，即公共切线的条数为2.

题型三存在公切线，求参数值或范围

广东省汕头市2022-2023学年高二下期末

5．已知直线y=ax+b(aR,b0)是曲线fx()=ex与曲线g(x)=+lnx2的公切线，则ab+的值

为.

【答案】2

【分析】由fx()求得切线方程，结合该切线也是gx()的切线列方程，求得切点坐标以及斜率，进而求得直

线y=+axb，从而求得正确答案.

10/22

1

【详解】设(t,et)是fx()图像上的一点，fx()=ex，

所以fx()在点(t,et)处的切线方程为y−eett=(x−t)，y=ettx+(1−t)e①，

1

令gx()==et，解得x=e−t，

x

t

−−tt2e−−t

gt(e)=lne+2=2−，所以=et，

e−t−t

1−tt=(1−)et，所以t=0或t=1（此时①为yx=e，b=0，不符合题意，舍去），

所以t=0，此时①可化为y−1=1(x−0),y=x+1，

所以ab+=1+1=2.

2023·福建厦门·5月适应性考试T16

6．已知函数f(x)=mx+lnx,g(x)=x2−mx，若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)存在公切线，则实数m的最大

值为__________．

1

【答案】

2

【分析】根据导数的几何意义，利用斜率等于切点处的导数，和切线相同即可判断.

1

【详解】f(x)=m+,2g(x)=x−m，

x

假设两曲线在同一点(xy00,)处相切，

1

m+=2x−m

022

则x0，可得1−=lnxx00，即xx00+ln−1=0，

2

mx0+lnx0=x0−mx0

因为函数y=x2+