2020年广东省东莞市高考二模数学(理)试卷

2020年广东省东莞市高考二模数学（理）试卷（2020·广东东莞市·模拟）已知集合A=xx2+2x−3<0，B= A．−3,12 B．−3,1 C．12,1（2020·模拟）设复数z满足iz=1+i，则复数z的共轭复数z在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限（2020·模拟）玫瑰花窗（如图）是哥特式建筑的特色之一，镶嵌着彩色玻璃的玫瑰花窗给人以瑰丽之感．构成花窗的图案有三叶形，四叶形，五叶形，六叶形和八叶形等．如图是四个半圆构成的四叶形，半圆的连接点构成正方形ABCD，在整个图形中随机取一点，此点取自正方形区域的概率为   A．2π+2 B．1π+1 C．4π（2020·广东东莞市·模拟）已知定义在R上的奇函数fx，当x>0时，fx=log2x，且 A．14 B．4 C．4或14 D．4或（2020·模拟）已知平面向量a，b的夹角为135∘，且a为单位向量，b=1,1，则∣ A．5 B．3+2 C．1 D．3−（2020·模拟）已知F1，F2分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左，右焦点，过F1且垂直于x轴的直线l交椭圆 A．x24+y23=1 B．x29（2020·广东东莞市·模拟）定义运算a∗b为执行如图所示的程序框图输出的S值，则cosπ12∗ A．−32 B．32 C．1 （2020·广东东莞市·模拟）《尘劫记》中记载了这样一个问题：第1个月，有一对老鼠生了6对小老鼠，两代老鼠加起来共有7对；第2个月，每对老鼠各生了6对小老鼠，三代老鼠共有49对．由此类推，父母，子女，孙子，曾孙辈的大小老鼠们，每个月每对老鼠都会生6对．第6个月，共有  对老鼠． A．66 B．76 C．666−1（2020·模拟）为加强学生音乐素养的培育，信宜市某高中举行“校园十大歌手”比赛，比赛现场有7名评委给选手评分，另外，学校也提前发起了网络评分，学生们可以在网络上给选手评分，场内数百名学生均参与网络评分．某选手参加比赛后，现场评委的评分表和该选手网络得分的条形图如下图所示：评委①记现场评委评分的平均分为x1，网络评分的平均分为x2，所有评委与场内学生评分的平均数为x，那么下列选项正确的是 A．x<x1+x C．x>x1+x22（2020·模拟）已知函数fx=cosωx+φω>0,−π2<φ<π2的最小正周期为 A．关于直线x=−π2对称 B．关于直线 C．关于点π2,0对称 D．关于点（2020·广东东莞市·模拟）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 A．22 B．2 C．3 D．2（2020·广东东莞市·模拟）在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为AB和DD1的中点，经过点B1，E，F A．13 B．14 C．34 （2020·广东东莞市·模拟）各项均为正数的等比数列an中，2a2，a4，3a（2020·广东东莞市·模拟）已知1+ax1+x4的展开式中x2的系数为18，则a=（2020·广东东莞市·模拟）已知三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，PA=BC=2，∠BAC=π3，则三棱锥（2020·广东东莞市·模拟）已知fx=ax+sinπ2x（2020·广东东莞市·模拟）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c−acos（1）求A；（2）若b=4，c=2，AM为BC边上的中线，求AM的长．（2020·广东东莞市·模拟）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中AB⊥BC，AD∥BC，AD=4，AP=AB=BC=2，E是AD的中点，AC与BE交于点O，且(1)证明：平面PAC⊥(2)求直线AB与平面PCD所成角的大小．（2020·广东东莞市·模拟）已知抛物线E:y2=4x，过抛物线焦点F的直线l分别交抛物线E和圆F:x−12+y2=1(1)求证：∣AC∣⋅∣BD∣为定值；(2)若∣AC∣，∣CD∣，∣DB∣成等差数列，求直线l的方程．（2020·广东东莞市·模拟）已知函数fx(1)讨论函数fx(2)若函数fx在区间1,+∞上的最小值为0，求a（2020·广东东莞市·模拟）在党中央的正确领导下，通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力救治，二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制．甲、乙两个地区采取防护措施后，统计了从2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数，绘制成如图折线图：(1)根据图中甲、乙两个地区折线图的信息，写出你认为最重要的两个统计结论；(2)治疗“新冠肺炎”药品的研发成了当务之急，某药企计划对甲地区的A项目或乙地区的B项目投入研发资金，经过评估，对于A项目，每投资十万元，一年后利润是1.38万元、1.18万元、1.14万元的概率分别为16，12，13：对于B项目，利润与产品价格的调整有关，已知B项目产品价格在一年内进行2次独立的调整，每次价格调整中，产品价格下调的概率都是p0<p<1，记B项目一年内产品价格的下调次数为ξ，每投资十万元，ξ取0，1，2时，一年后相应利润是1.4万元、1.25万元、0.6万元．记对A项目投资十万元，一年后利润的随机变量为ξ1（ⅰ）求ξ1，ξ2的概率分布列和数学期望Eξ（ⅱ）如果你是投资决策者，将做出怎样的决策？请写出决策理由．（2020·广东东莞市·模拟）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x=t,y=3+3t（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2asinθ(1)求a；(2)A，B为曲线C上的两点，且∠AOB=π2，求（2020·广东东莞市·模拟）设函数fx=∣3x+1∣+∣3x−a∣，(1)当a=1时，求不等式fx(2)对任意x∈R，恒有fx>2a−1

答案1.【答案】C【解析】A=x−3<x<1所以A∩B=1【知识点】交、并、补集运算2.【答案】A【解析】因为z=1+2所以z=2+【知识点】共轭复数、复数的几何意义、复数的乘除运算3.【答案】A【解析】设“点取自正方形区域”为事件A，设半圆的半径为r，则正方形面积S1=4r2，四叶形面积【知识点】几何概型4.【答案】D【解析】根据题意，当x>0时，fx=log2x，此时若f当x<0时，则−x>0，此时若fm=2，则有f−m=−2，即综合可得：m=4或【知识点】函数的奇偶性5.【答案】C【解析】由题意得∣a∣=1，∣b则∣a【知识点】平面向量的数量积与垂直6.【答案】B【解析】因为△AF2B所以∠AF2F1=于是b2则C的方程为x2【知识点】椭圆的概念与方程7.【答案】C【解析】因为0<α<π4时，所以cosπ所以S=2【知识点】程序框图8.【答案】B【解析】设第n个月小老鼠的共有an由题意得an是以7为首项，7为公比的等比数列，a【知识点】等比数列的基本概念与性质9.【答案】C【解析】x1=10+8+9+8+9+10+9则x1设场内学生人数为aa>100则x=因为a>100，所以x=9.3−【知识点】样本数据的数字特征、频率分布直方图10.【答案】D【解析】因为将fx的图象向左平移π所以fx的图象关于点π【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质11.【答案】B【解析】如图所示，双曲线的两条渐近线交于x轴对称，取y=bax与圆相交于点A，B圆心c,0到直线bx−ay=0的距离d=∣bc∣结合垂径定理可得2a2=所以双曲线为等轴双曲线，其离心率e=2【知识点】双曲线的简单几何性质12.【答案】D【解析】由平面A可得平面B1EF与平面D1过F作B1E的平行线交C1由F为DD1的中点，可得H为连接B1H，过E作EG∥B1从而G为AD的三等分点，则AG=2【知识点】平面与平面平行关系的性质13.【答案】14【解析】各项均为正数的等比数列an的公比设为q，q>0由2a2，a4，3即为2a化为2q2−3q−2=0则a2【知识点】等比数列的基本概念与性质14.【答案】3【解析】原式=所以展开式中含x2的系数为：C解得a=3．【知识点】二项式定理的通项15.【答案】28π【解析】将三棱锥还原成直三棱柱，则三棱柱的外接球即为球O，D，Dʹ为上下底面的外心，O为DDʹ的中点，AD为底面外接圆的半径，由正弦定理得2AD=2由OD=1，AD=2得AO=21所以球O的表面积为28π【知识点】正弦定理、球的表面积与体积16.【答案】(0,1)【解析】依题意，方程ax+sinπ2即sinπ2x亦即函数gx=sinπ2而hx=2x由图可得当h1>g1时符合题意，即2−a>1又因为a>0，所以0<a<1．【知识点】零点的存在性定理、Asin(ωx+ψ)形式函数的性质17.【答案】（1）由题设和正弦定理可得，sinC−因为A+B+C=π所以sinC=于是sinC−因为sinB≠0所以cosA=即tanA=因为A∈0,所以A=π（2）因为b=4，c=2，A=π由余弦定理得a2所以a=23所以b2故B=π在Rt△ABM中，AM=【知识点】余弦定理、正弦定理18.【答案】(1)因为AD∥BC，AD=2BC=4，E是所以四边形ABCE是平行四边形，又因为AB⊥BC，AB=BC，所以四边形ABCE是平行四边形，所以CE⊥AD，又因为CE=AE=ED=2，所以AC=CD=22又因为AD=4，所以AC2+C因为PO⊥平面ABCD，所以CD⊥PO，又因为AC∩PO=O，AC,PO⊂平面所以CD⊥平面因为CD⊂平面所以平面PAC⊥(2)由（1）知PO，AC，BE两两垂直，故以O为原点，OB，OC，OP为坐标轴建立如图坐标系，由已知得△PAC为等腰直角三角形，故PO=1则B2,0,0，A0,−2,0，P所以AB=2,2,0设面PCD的法向量为n=由n⊥PC，n⊥DC得令z=1，则n=设直线AB与面PCD所成角为θ，θ∈0,则sinθ=因为θ∈0,所以θ=π所以直线AB与面PCD所成角θ=π【知识点】利用向量的坐标运算解决立体几何问题、线面角19.【答案】(1)由题意，F1,0，圆F的半径为1①当直线l的斜率不存在时，l:x=1，交点A1,2，B1,−2，C1,1此时∣AC∣⋅∣BD∣=1×1=1；②当直线l的斜率存在时，设直线方程为y=kx−1，Ax1联立y=kx−1,yΔ=16k则x1+x由抛物线的定义，∣AC∣=∣AF∣−∣CF∣=x1+1−1=所以∣AC∣⋅∣BD∣=x(2)由∣AC∣，∣CD∣，∣DB∣成等差数列，得∣AC∣+∣BD∣=2∣CD∣=4，所以弦长∣AB∣=∣AC∣+∣CD∣+∣DB∣=6，由（1）知，显然斜率存在，由抛物线的定义得∣AB∣=x故4+4k2所以直线l的方程为y=±2【知识点】直线与抛物线的位置关系、抛物线中的动态性质证明20.【答案】(1)fx=e①当a≥0时，则fʹx>0，故fx②当a<0时，令fʹx=e当x∈−∞,ln−3a时，fʹ当x∈ln−3a,+∞时，fʹ故fx在−∞,ln−3a(2)当a≥0时，函数fx当a<0时，由（1）可知fx在−∞,ln−3a①当ln−3a≤1时，即−e3≤a<0所以fx由题意可知3a+e=0，即②当ln−3a>1时，即a<−e3时，函数fx所以fx由题意可得−3a+3aln−3a=0综上所述a=−e【知识点】利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值21.【答案】(1)根据图中甲、乙两个地区折线图的信息，得到：①甲地区比乙地区的新增人数的平均数低．②甲地区比乙地区的方差大．(2)（ⅰ）由题意得ξ1的概率分布列为：ξ11.38由题意得ξ∼B2,p，即ξ的概率分布列为：ξ012P1−p22p1−pp2由题意得下调次数ξ（ⅱ）当Eξ1<Eξ2解得0<p<2当Eξ1=E当Eξ1>E所以当0<p<25时，投资B项目；当p=25时，两个项目都可以；当【知识点】离散型随机变量的数字特征、离散型随机变量的分布列22.【答案】(1)直线l的参数方程为x=t,y=3+3t（t曲线C的极坐标方程为ρ=2asinθa>0，转换为直角坐标方程为x由于直线l与曲线C有且仅有一个公共点，所以圆心0,a到直线3x−y+3=0的距离d=∣−a+3∣2(2)A，B为曲线C上的两点，且∠AOB=π2，设点