2026版高考数学复习专题突破：4.2 诱导公式及恒等变化（精讲）（解析版）

4.2诱导公式及恒等变化（精讲）

考向一诱导公式、两角和差与二倍角

π

cos

2

【例1-1】（2025·山东烟台·一模）已知tan2，则（）

3π

sinπsin

2

22

A．B．C．2D．2

33

【答案】C

sinsintan2

【解析】原式2.

sincossincostan121

故选：C

【例1-2】（2025·江西·一模）化简tan35tan100tan35tan80（）

A．tan65B．tan65C．1D．1

【答案】D

【解析】由两角和的正切公式得tan35tan100tan(10035)1tan35tan100

tan1351tan35tan10011tan35tan100tan35tan1001

由诱导公式得tan80tan(180100)tan100，

则原式可化为tan35tan1001tan35tan1001，故D正确.

故选：D.

1

【例1-3】（2024广东佛山·期中）（多选）下列选项中，值为的是（）

2

A．2cos215B．sin27cos3cos27sin3

tan22.5

C．2sin15sin75D．

1tan222.5

【答案】BCD

3

【解析】选项A：2cos2151cos301，故选项A不符合题意；

2

1

选项B：sin27cos3cos27sin3sin30，故选项B符合题意；

2

1

选项C：2sin15sin752sin15cos15sin30，故选项C符合题意；

2

tan22.512tan22.511

选项D：tan45，故选项C符合题意.

1tan222.521tan222.522

故选：BCD.

1

【例1-4】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知sin，tan2tan，则sin（）

5

1123

A．B．C．D．

5555

【答案】D

11

【解析】sin()，sincoscossin,

55

sinsin

tan2tan,2，即sincos2cossin,

coscos

123

cossin,sincos,sin()sincoscossin.故选：D.

555

【一隅三反】

π

cos1sin2

2

1.（2025·山东·模拟预测）若tan3，则（）

3π

sinπsin

2

6336

A．B．-C．D．

5555

【答案】C

π

cos1sin22

2sinsincos2

【解析】sinsincos

3πsincos

sinπsin

2

2

sin2sincostan2tan333

2222.

sincostan1315

故选：C.

2．（2025·广东茂名·二模）若1tan1tan2，则tan（）

1

A．0B．C．1D．4

2

【答案】C

【解析】1tan1tan2，即tantantantan1，

则tantan1tantan，

tantan1tantan

tan1.故选：C.

1tantan1tantan

π3π42

3．（2025·浙江杭州·模拟预测）（多选）已知π，π，sin2，cos，则下列结

42510

论正确的是（）

35

A．cos2B．sincos

55

723π

C．sinD．

104

【答案】BD

ππ4π3

【解析】由π22π，sin2，所以2π，即cos2，故A错误；

42525

πππ2

由于2π，所以，则有sincos，

2422

245

即sincossincos1sin21，故B正确；

55

ππ3π5π

因为，π，所以2π，

4224

2272

又因为cos，所以sin1cos21，故C错误；

1010010

由sinsin2sincos2cossin2

723242522

，

105105502

ππ3ππ5π

因为，π，所以，

42224

3π

则，故D正确；

4

故选：BD.

11

4．（2025·湖北宜昌·二模）（多选）已知coscos,cos，则（）

34

11

A．sinsinB．cos

126

15

C．tantanD．cos2cos2

424

【答案】ACD

11

【解析】由cosαβcosαcosβsinαsinβ，且coscos，

43

1

则sinsin，故A正确；

12

115

由coscoscossinsin，故B错误；

31212

1

sinsin1

由tantan12，故C正确；

coscos14

3

2222155

由cos2cos22cos()cos()2，故D正确.故选：ACD.

2241224

考向二辅助角

（24-25高一下·北京·期中）把下列各式化成Asin+B或Acos（ɑ+∅）+B的形式.

（1）f(x)=2cos23sin；

3

（2）fxsinxcosx3cos2x．

2

2π

（3）fx2cosxcos2x1

3

tan2x1

（4）fx23sinxcosx

tan2x1

【答案】见解析

2

213

【解析】(1)因为2234，所以2cos23sin4cossin4sin.

226

2313

（2）fxsinxcosx3cosxsin2xcos2xsin2x

2223

π2ππ13

（3）fxcos2x2cosx1cos2xcossin2xsincos2xcos2xsin2xcos2x

33322

33π

cos2xsin2x3cos2x，

226

sin2x

21

tanx12

（4）fx23sinxcosx3sin2xcosx

tan2x1sin2x

1

cos2x

sin2xcos2x

2

cosx22π

3sin2x3sin2xsinxcosx3sin2xcos2x2sin2x

sin2xcos2x6

cos2x

【一隅三反】

将下列函数化简成yAsin(x)B或yAcos(x)B的形式

（1）f(x)sin2x3sinxcosx

π

（2）f(x)cosxsinx

3

ππ

（3）f(x)cosxsinx3sinxsinx

22

4xxπxπ4x

（4）f(x)cos2sincossin，xR

222222

【答案】见解析

21cos2x3π1

【解析】（1）f(x)sinx3sinxcosxsin2xsin2x

2262

2π

sinx3cosxsinxcosx3cosxsin2x3cos2x3sin2x

（2）f(x)cosx33

2222444

24

21cos2x3π1

（3）f(x)cosx3sinxcosxsin2xcos2x

2232

（4）

4xxπxπ4x2x2x2x2xxx

f(x)cos2sincossincossincossin2sincos

222222222222

π

cosxsinx2cosx

4

考向三给角求值

sin703cos70

【例3-1】．（2025·江西·模拟预测）的值为（）

cos220

A．1B．2C．1D．2

【答案】D

sin703cos702sin70602sin130

【解析】2.

cos220cos90130sin130

故选：D.

3

【例3-2】（24-25江苏宿迁·阶段练习）sin401tan10（）

3

1236

A．B．C．D．

3333

【答案】C

33sin10sin403sin103cos10

【解析】sin401tan10sin401

33cos103cos10

23sin40sin106023sin40sin5023sin40sin9040

3cos103cos90803sin80

23sin40cos403sin803

.

3sin803sin803

故选：C.

【一隅三反】

2sin2281

1．（2025·四川南充·三模）已知a2cos73，则（）

a4a2

11

A．2B．1C．D．

24

【答案】C

2sin22812sin2281cos56

【解析】

a4a22cos7344cos2732cos732sin73

cos56sin9034sin341

.

2sin1462sin180342sin342

故选：C

sin50sin70

2．（2025·安徽六安·模拟预测）（）

sin80

A．23B．3C．2D．1

【答案】B

sin50sin70sin6010sin6010

【解析】

sin80sin9010

sin60cos10cos60sin10sin60cos10cos60sin10

2sin603.

cos10

故选：B.

3．（24-25高三上·河北石家庄·期末）sin240sin220cos50cos70（）

13

A．1B．2C．D．

44

【答案】D

【解析】因为cos50cos9040sin40，同理可得cos70sin20，

sin240sin220cos50cos70sin240sin220sin40sin20

sin26020sin220sin6020sin20

2

3131

2

cos20sin20sin20cos20sin20sin20

2222

31331

cos220sin220sin20cos20sin220sin20cos20sin220

44222

33

cos220sin220.

44

故选：D.

4．（24-25四川）（多选）下列各式正确的是（）

1tan1531

A．B．cos20cos40cos80

1tan1538

sin50sin70

C．1D．sin40tan1031

sin80

【答案】ABD

1tan15tan45tan153

【解析】对于A：tan4515tan30，故A正确；

1tan151tan45tan153

sin10cos10cos20cos40

对于B：cos20cos40cos80

cos10

1111

sin20cos20cos40sin40cos40sin80cos10

1，故正确；

2488B

cos10cos10cos10cos108

2

对于C：因为sin45sin50sin90，即sin501，

2

2

sin45sin70sin90，即sin701，

2

2

sin45sin80sin90，即sin801，

2

所以2sin50sin702，所以sin50sin70sin80，

sin50sin70

所以1，故C错误；

sin80

sin103cos10

对于：

Dsin40tan103sin40

cos10cos10

13

2sin10cos10

sin103cos1022

sin40sin40

cos10cos10

2sin10602sin50sin402cos40sin40

sin40

cos10cos10cos10

sin80cos10

1，故D正确.

cos10cos10

故选：ABD

1

5．（24-25江苏）tan10．

cos50

【答案】3

1sin101sin10sin40cos10

【解析】tan10

cos50cos10sin40cos10sin40

sin10sin40sin80sin10sin402sin40cos40sin102cos40

cos10sin40cos10sin40cos10

31

sin102cos10sin10

sin102cos301022

cos10cos10

3cos10

3.

cos10

故答案为：3.

考向四给值求角

【例4-1】（2025·黑龙江·二模）已知tan23,tan23，且为钝角，则.

5π

【答案】

6

2323

tantan

【解析】由题意可得，tan2tan3

1tantan12323

π5π5π

因为钝角，即,π，则2π,2π，则2，即.

236

5π

故答案为：.

6

21

【例4-2】（2025·重庆·模拟预测）已知，均为锐角，sin，cossin，则2.

312

5

【答案】/150

6

2

【解析】因为sinsinsincoscossin，

3

217

所以sincos，

31212

711

所以sin2sinsincoscossin，

12122

1π

因为，均为锐角，cossin0，所以π，

122

π3π5π

所以2，所以2.

226

5π

故答案为：

6

【一隅三反】

π3125

1．（24-25江苏扬州·期中）已知0，π2π，tan，sin，则的值为.

2235

7

【答案】π

4

2

325255sin

【解析】因为π2π，，则，所以tan2，

sincos1

2555cos

1

2

tantanπ335

则tan31，且0，π2π，ππ，

12

1tantan12222

3

77

则π.故答案为：π

44

5ππππ

2．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知π,，,，且sincos，则

4424

3π

【答案】

4

ππ5πππ

【解析】因为sincossin，π,，,，

42442

π3ππ3πππ3π

所以,π，,π，所以，则αβ．

4424424

ππ1

3．（2025·广东珠海·模拟预测）设0,，0,，且tantan，则（）

22cos

ππππ

A．3B．2C．3D．2

2222

【答案】D

sinsinsincoscossinsin1

【解析】由题设，

coscoscoscoscoscoscos

所以sincos，

πππ

因为0,，0,，则0,π，又sincossin，

222

ππππ

所以或π，即2或（舍），

2222

π

故2．故选：D

2

考向五角的拼凑

π1π

【例5-1】（2025·甘肃白银·模拟预测）若sin，则cos（）

434

112222

A．B．C．D．

3333

【答案】A

πππππ1π1

【解析】sincoscoscos，cos．故选：A

42444343

ππ1

【例5-2】（2025·安徽蚌埠·模拟预测）已知x0,，sinx，则cosx（）

233

322322126126

A．B．C．D．

6666

【答案】A

πππππ1

【解析】因为x0,，所以x,，又因为sinx，

233633

π2π22

所以cosx1sinx，

333

ππππππ22113223

所以cosxcosxcosxcossinxsin.故选：A.

33333332326

π3π

【例5-3】（2025高三·全国·专题练习）已知sincos，则cos2的值为（）

633

7117

A．B．C．D．

9339

【答案】A

π33π3π1

【解析】由sincossincos3sin得sin，

6223333

π2π2π2π7

所以cos2cosπ2cos22sin1．

33339

故选：A．

π

cos2

π13

【例5-4】（2025·山东·模拟预测）已知sin，则（）

332π

sin

3

7377

A．B．C．D．

9733

【答案】D

π1

【解析】因为sin，

33

ππππ2

cos2π21

cos2cos212sin12

33337

所以3.

2ππππ13

sinsinπsinsin

33333

故选：D

3335

【例5-5】（2025安徽）已知，0，且cos，sin，求sin=

44445413

56

【答案】

65

33

【解析】0，，

444

3532312

sin，cos1sin，

4134413

3

，0，

4424

324

cos，sin1cos，

45445

3

所以sincoscos

244

33123545656

coscossinsin即sin.

44441351356565

【一隅三反】

π1π

1．（2025·福建莆田·二模）已知sinx，则cosx（）

346

151115

A．B．C．D．

4444

【答案】C

ππππ1

【解析】cosxcosxsinx.故选：C.

62334

π2π

2．（2025·黑龙江大庆·三模）若cos，则cos2（）

333

1155

A．B．C．D．

9999

【答案】A

ππ2π

【解析】cos2cos2πcos2

333

2

2π21

2cos121.

339

故选：A.

3