2026版高考数学复习专题突破：2.2 函数的单调性、奇偶性（精讲）（解析版）

2.2函数的单调性、奇偶性（精讲）

考向一具体函数的单调性

1

【例1-1】（2024湖北）函数fx的单调增区间是（）.

x2

A．2,B．,2

C．,22,D．,2，2,

【答案】D

1

【解析】函数fx的定义域为x|x2，

x2

11

又fx的图象是由y向右平移2个单位而来，

x2x

1

y的单调递增区间为,0，0,，

x

1

所以fx的单调递增区间为2,，,2.

x2

故选：D

2x23x11

1

【例1-2】（2025甘肃）函数fx的单调递减区间为（）

3

3333

A．,B．,C．,D．,

2244

【答案】D

33

【解析】因为函数y2x23x11在,上单调递减，在,上单调递增，

44

x

13

y是减函数，根据复合函数的单调性，可得fx的单调递减区间为,．

34

故选：D.

【例1-3】（2025·云南）函数f(x)exln(1x)的单调递增区间为____________．

【答案】0,/0,

11

【解析】由题得函数定义域为(1,),f(x)exg(x),g(x)ex0，

1x(1x)2

所以g(x)在(1,)上单调递增，又g(0)0，所以当x0时，f(x)0，

故f(x)的单调递增区间为(0,)（或[0,)）．故答案为：(0,)

【例1-4】（2025广西）已知函数f(x)xx2x，则下列结论正确的是（）

A．递增区间是(0,)B．递减区间是(,1)

C．递增区间是(,1)D．递增区间是(1,1)

【答案】D

x22x,x0

【解析】因为函数，作出函数的图象，

f(x)xx2x2fx

x2x,x0

如图所示：

由图可知，递增区间是(1,1)，递减区间是(,1)和1,．

故选：D．

【例1-5】（2024安徽）函数fxlog1x的单调递增区间是（）

3

A．,B．1,C．0,1D．0,

【答案】B

logx,0x1

1

3

【解析】fxlog1x，fx的单调递增区间是1,.故选：B.

3

log3x,x1

【一隅三反】

1.（2023云南）下列函数在R上为增函数的是（）

1

A．y=x2B．yxC．yxD．y

x

【答案】B

【解析】y=x2在,0上单调递减，在0,上单调递增，故选项A错误；

yx在R上为增函数，选项B正确；

yx在0,上单调递减，故选项C错误；

1

y在,0单调递减，在0,单调递减，故选项D错误.故选：B.

x

2

2（2025湖南）函数fxlog2x4x5的单调递增区间是

【答案】1,2

2

22x290

【解析】由题意fxlogx4x5logx29，令，

22

x2

2

解得1x2，即函数fxlog2x4x5的单调递增区间是1,2.

lnx

3.（2024江西）函数fx的单调递增区间为__________.

x2

【答案】0,e

lnx12lnx

【解析】函数fx的定义域为0,，则fx，

x2x3

¢

令f(x)>0，解得0xe，故函数fx的单调递增区间为0,e.故答案为：0,e.

4（2025北京）函数fxx23x2的单调递增区间是

3

【答案】1,和2,

2

x23x2,x1

【解析】yx23x2x23x2,1x2如图所示：

2

x3x2,x2

3

函数的单调递增区间是1,和2,．故选：B.

2

5.（2025福建）函数fxx24x3的单调递增区间是

【答案】2,0和2,

x24x3,x0

【解析】因为2，

fxx4x32

x4x3,x0

作出fx的图象，如图所示，

由图象可知：函数fx的单调递增区间是2,0和2,.

考向二已知单调性求参数

【例2-1】（2025·广东茂名·一模）已知函数fxx26x5在区间a,上单调递增，则a的取值范围为（）

A．,1B．,3C．3,D．5,

【答案】D

【解析】由x26x50，可得x1或x≥5，

即函数fx的定义域为(,1][5,)，

又因为tx26x5在[5,)上单调递增，在(,1]上单调递减，

yt在[0,)上单调递增，由复合函数的单调性可知fxx26x5在区间[5,)上单调递增，

a5.故选：D.

x22ax1,x1

【例】（广东韶关一模）已知函数fx在上是单调函数，则a的取值范围是（）

2-22024··2xR

6,x1

x

A．,2B．1,2C．1,D．2,

【答案】B

2

【解析】因为x1时，fx62是单调减函数，

x

2

又因为fx在R上单调，所以，故x1时，fxx2ax1单调递诚，

a1

则只需满足，解得1a2，故选：B.

2a4

x2

【例2-3】（2024·海南·模拟预测）已知a0且a1，若函数fxa与gxlog2x4ax7在1,上

的单调性相同，则a的取值范围是（）

11

A．0,B．,1C．(1,2)D．1,

22

【答案】C

【解析】由题意知yx24ax7在1,上只能是单调递增，

2a1,1

所以gx在1,上单调递增，所以2得a2.

14a170,2

又fxax单调递增，所以a1.综上得1a2.故选：C

【一隅三反】

1．（2025·黑龙江）设函数f(x)ln|xa|在区间(2,3)上单调递减，则a的取值范围是（）

A．(,3]B．(,2]C．[2,)D．[3,)

【答案】D

【解析】设u|xa|，易知函数ylnu是增函数，

因为f(x)ln|xa|在区间(2,3)上单调递减，

所以由复合函数单调性可知，u|xa|在(2,3)上单调递减.

因为函数u|xa|在(,a)上单调递减，

所以3a，即a[3,).

故选：D.

ax1

2.（2024浙江）设aR，则“a1”是“函数fx在1,为减函数”的（）

x1

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分又不必要条件

【答案】B

ax1a1

【解析】由题意可得fxa为减函数，则a10，解得a1.

x1x1

ax1

因为a1推不出a1，a1a1，所以“a1”是“函数fx在1,为减函数”的必要不充分条件，

x1

故选：B

13

,x

4x44

3（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数fx是R上的单调函数，则实数a的取值范围是（）

3

log(4x)1,x

a4

A．0,1B．1,3C．1,3D．1,3

【答案】B

1

33

【解析】根据题意，当x时，14，可得fx在,上递增，

4fx4

4x4x1

13

,x

4x44

要使得函数fx是R上的单调函数，

3

log(4x)1,x

a4

31

loga41

则满足a1，且3，解可得1a3，

444

4

所以实数a的取值范围为1,3.

故选：B.

1

4.（2025·黑龙江）若函数hxlnxax22x在1,4上单调递增，则实数a的取值范围为（）

2

77

A．,1B．,1C．,D．,

1616

【答案】A

1

【解析】因为函数hxlnxax22x在1,4上单调递增，

2

112

所以hxax20在1,4上恒成立，即a在1,4上恒成立，

xx2x

12111

令Gx，x1,4，变形得Gx(1)21，因为x1,4，所以,1，

x2xxx4

1

所以当1，即x1时，G(x)1，所以a1.

xmin

故选：A．

ax1

5.（2025广西）已知函数fx在区间2,上单调递增，求实数a的取值范围．

x2

1

【答案】,

2

1

【解析】∵当a0时，fx在区间2,上单调递减，故a0，

x2

ax1ax212a12a

此时fxa，

x2x2x2

11

反比例函数y在0,上单调递减，则函数y在2,上单调递减，

xx2

12a

而函数fxa在区间2,上单调递增，

x2

11

必有12a0，即a，则实数a的取值范围为,.

22

考向三函数奇偶性的判断

【例3-1】（2024高三·全国·专题练习）判断下列各函数是否具有奇偶性．

32

342xx

(1)fxx2x；(2)fx2x3x；(3)fx；

x1

21x

(4)fxx，x1,2；(5)fxx22x；(6)f(x)(1x)．

1x

【答案】(1)奇函数(2)偶函数(3)非奇非偶函数(4)非奇非偶函数(5)非奇非偶函数(6)非奇非偶函数

3

【解析】（1）定义域：xR∵对于任意xR,xR且fxx2x

x32xfx∴fx为奇函数.

42

（2）定义域：xR∵对于任意xR,xR且fx2x3x

2x43x2fx∴fx为偶函数.

（3）定义域：x10，即xx1，∴fx为非奇非偶函数.

（4）定义域：1,2∴fx为非奇非偶函数.

x20

（5）定义域：，解得x2，∴fx为非奇非偶函数.

2x0

1x

（6）定义域：0，即x1x1，∴fx为非奇非偶函数.

1x

1x

【例3-2】（2025高三·全国·专题练习）（多选）设函数fx，则下列函数中不是奇函数的是（）

1x

A．fx11B．fx11C．fx11D．fx11

【答案】ACD

1x2

【解析】由题意可得fx1，

1x1x

2

fx112，定义域为(,0)(0,)，

x

2

且fx112fx11，所以fx11不是奇函数；

x

2

fx11，定义域为(,0)(0,)，

x

2

且fx11fx11，所以fx11是奇函数；

x

2

fx112，定义域为(,2)(2,)，不关于原点对称，不是奇函数；

x2

2

fx11，定义域为(,2)(2,)，不关于原点对称，不是奇函数．

x2

故选：ACD．

【一隅三反】

1.（2025·山东枣庄·二模）下列函数中，是偶函数且在(0,)上单调递增的是（）

2

A．f(x)xB．f(x)|log2x|

1

C．f(x)xsinxD．f(x)|x|||

x

【答案】D

【解析】对于A，函数f(x)x2在(0,)上单调递减，A不是；

对于B，函数f(x)|log2x|的定义域为(0,)，不具奇偶性，B不是；

对于C，函数f(x)xsinx定义域为R，f(x)xsin(x)f(x)，不是偶函数，C不是；

1

对于D，函数f(x)|x|||定义域为(,0)(0,)，

x

1

f(x)|x|||f(x)，是偶函数；

x

11

当x0时，f(x)x，函数yx,y在(0,)上单调递增，

xx

则f(x)在(0,)上单调递增，D是.

故选：D

2.（2025·贵州铜仁·模拟预测）下列函数在定义域内既是奇函数又是增函数的是（）

1

A．fxx3B．fxx

x

1

C．fxexD．fxtanx

ex

【答案】C

【解析】对于A，函数fxx3定义域为R，

3

且fxxx3fx，则函数fxx3为奇函数，

但函数fxx3在R上单调递减，故A错误；

1

对于B，函数fxx定义域为,00,，

x

11

且fxxfx，则函数fxx为奇函数，

xx

1

但函数fxx在,1和1,上单调递增，

x

在(-1,0)和0,1上单调递减，故B错误；

1

对于C，函数fxex定义域为R，

ex

111

且fxexexfx，则函数fxex为奇函数，

exexex

1

而yex,y在R上单调递增，

ex

1

所以函数fxex在R上单调递增，故C正确；

ex

π

对于D，函数fxtanx定义域为xxkπ,kZ，

2

且fxtanxtanxfx，则函数fxtanx为奇函数，

ππ

但函数fxtanx的单调递增区间是kπ,kπkZ，故D错误.

22

故选：C.

3.（2025高三下·全国·专题练习）下列函数是偶函数的是（）

exx2cosxx2

A．fxB．fx

x21x21

exxsinx4x

C．fxD．fx

x1ex

【答案】B

exx2e11e1

【解析】对A，设fx，函数定义域为R，但f1，f1，则f1f1，故A错

x2122

误；

2

cosxx2cosxxcosxx2

对B，设fx，函数定义域为R，且fx22fx，则fx为偶函数，

x21x1x1

故B正确；

exx

对C，设fx，函数定义域为x|x1，不关于原点对称，则fx不是偶函数，故C错误；

x1

sinx4xsinx4x

对，设，函数定义域为，因为

DfxxRfx

eex

sinx4x

fx，则fx为奇函数，fx不是偶函数，故D错误.

ex

故选：B

4（24-25高三上·北京东城·期末）下列函数中，使yfx1fx1既是奇函数又是增函数的是（）

1

A．fxB．fxx2C．fxexD．fxcosx

x

【答案】B

112

【解析】对于A，yfx1fx1x1，

x1x1x21

22

2

由于22，所以yx1是偶函数，不合题意，故A错误；

x1x1x21

22

对于B，yfx1fx1x1x14x，既是奇函数，又是增函数，符合题意，故B正确；

x1x1x1

对于C，yfx1fx1eeeexR，

e

1x1

当x0时，ye0，所以yee不是奇函数，不合题意，故C错误；

ee

对于D，yfx1fx1cosx1cosx1

cosxcos1sinxsin1cosxcos1sinxsin12sinxsin1xR，

该函数是奇函数，但不单调，不符合题意，故D错误.

故选：B.

5.（2025高三下·全国·专题练习）判断下列函数的奇偶性：

22

lg1xxx,x02

22；；fx；fxlogxx1

(1)fx3xx3(2)fx(3)2(4)2.

x22xx,x0

【答案】(1)既是奇函数又是偶函数(2)奇函数(3)奇函数(4)奇函数.

3x20,

【解析】（）由得2，解得，即函数的定义域为，从而

12x3x3fx3,3

x30

fx3x2x230.

因此fxfx且fxfx，函数fx既是奇函数又是偶函数.

1x20,

（2）由得定义域为1,00,1，关于原点对称.

x22

lg1x2

x20，x22x，fx.

x

2

2

lg1xlg1x

又fxfx，

xx

函数fx为奇函数.

（3）显然函数fx的定义域为,00,，关于原点对称.

2

当x0时，x0，则fxxxx2xfx；

2

当x0时，x0，则fxxxx2xfx；

综上可知：对于定义域内的任意x，总有fxfx，函数fx为奇函数.

（4）显然函数fx的定义域为R，

1

222

fxlogxx1logx1xlogx21xlogx1xfx，故fx为奇

2222

函数.

考向四已知奇偶性求参数

2

1x

【例4-1】（24-25高三下·云南昭通·阶段练习）已知函数f(x)xln(ea)是偶函数，则a（）

4

11

A．B．C．0D．1

42

【答案】D

22

1x1x

【解析】由题意可得f(x)f(x)，即xln(ea)xln(ea)，

44

exaexaexax

xea

整理得xlnxlnexxlnx，恒成立，即ln0，易得：a1，故选：D.

ea1ae1ae1aex

2a

【例4-2】（2025·安徽蚌埠·二模）“a1”是“函数f(x)x1为奇函数”的（）

2xa

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分又不必要条件

【答案】A

2xa2xa2xa

【解析】若函数f(x)x为奇函数，则f(-x)+f(x)=0，即xx0，

2xa2xa2xa

1a2xa2xa21a2xa2xa222a2

整理得0，即0，解得a1，

(2xa)(2xa)(2xa)(2xa)

当a1时，函数f(x)的定义域为x∣x0；当a1时，函数f(x)的定义域为R，都符合题意，

2a

所以“a1”是“函数f(x)x1为奇函数”的充分不必要条件.

2xa

故选：A

ax2b

【例4-3】（2024长沙市）函数f(x)是定义在(,b3][b1,)上的奇函数．若f(2)9，

x

则ab的值为（）

A．6B．5C．4D．3

【答案】A

ax2b

【解析】函数f(x)是定义在(,b3][b1,)上的奇函数，则(b3)(b1)0，解得

x

a222

b2．又f(2)9，则9a4，所以ab6．故选：A

2

【一隅三反】

1（2025·四川宜宾·二模）若fxlne2x1ax是偶函数，则a（）

A．0B．1C．2D．e

【答案】B

【解析】由题，可得fxfx，即lne2x1axlne2x1ax，

1e2x

2axlnln1e2x，2axlne2x2x，即xa10因x不恒为0，故a1.

e2x

故选：B.

1kex

2．（24-25高三下·河北·开学考试）“k1”是“函数fx为奇函数”的（）

1kex

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】A

1ex1exex1

【解析】若k1，则fx，则fxf(x)，故充分性成立，

1ex1exex1

1kex1kex1kex

当函数fx为奇函数，则fxf(x)，

1kex1kex1kex

exkkex1

所以恒成立，则k1，则必要性不成立，

exkkex1

1kex

故k1是“函数fx为奇函数”的充分不必要条件．

1kex

故选：A

2

ln2a

3.（24-25高三下·浙江宁波·阶段练习）已知函数1x为偶函数，则a（）

fx

x

1111

A．B．C．D．

2442

【答案】A

222

ln2aln2aln2a

【解析】因为函数1x为偶函数，所以1x1x，

fxfxfx

xxx

222222

所以ln2a+ln2a=0，所以2a2a=1，所以2a2a=1，

1x1x1x1x1x1x

8a41

所以14a2，所以8a40且14a20，则a.故选：A.

1x22

考向五奇偶性的应用---求解析式

【例5-1】（24-25辽宁）已知函数fx是定义域为R的偶函数，且当x0时，fxx2x1，则当x0时，

（）

A．fxx2x1B．fxx2x1

C．fxx2x1D．fxx2x1

【答案】A

2

【解析】当x0时，x0，则fxxx1x2x1，

2

∵函数fx是定义域为R的偶函数，∴fxfx，∴fxxx1,x0.故选：A.

【例5-2】（2025河北沧州·阶段练习）已知函数fx是奇函数，且当x0时，fx10xx1，那么当x0

时，fx的解析式是（）

11

A．x1B．x1

10x10x

11

C．x1D．x1

10x10x

【答案】B

x

【解析】当x0时，则x0，所以fx10x1，

又因为函数fx是奇函数，所以fxfx，

1

所以当x0时fx10xx1x1．

10x

故选：B

【一隅三反】

1．（2025河南·阶段练习）已知fx为奇函数，当x0时，fxx24xm，则当x0时，fx（）

A．x24x1B．x24x1

C．x24x1D．x24x1

【答案】C

【解析】因为fx为奇函数，所以f0m10，即m1．

2

当时，，x2x．

x0x0fxfxx41x41

故选：C

2.（2025河北）设fx为奇函数，且当x0时，f(x)ex1，则当x0时，f(x)（）

A．ex1B．ex1C．ex1D．ex1

【答案】D

【解析】设x0，则x0，因为函数fx为奇函数，且当x0时，f(x)ex1，

f(x)ex1fx，即：f(x)ex1.故选：D

3.（2024黑龙江哈尔滨）已知fx为奇函数，gx为偶函数，且满足fxgxexx，则gx（）

exexexexexex2xexex2x

A．B．C．D．

2222

【答案】B

【解析】由题意知，f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，则f(x)f(x),g(x)g(x)，

f(x)g(x)exxf(x)g(x)exxxx

所以，即，解得ee故选：

xxg(x).B

f(x)g(x)exf(x)g(x)ex2

考向六奇偶性的应用---求函数值

【例6-1】（2025·四川）若函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x(1x)，则f(1)等于（）

A．2B．1C．0D．2

【答案】A

【解析】因为f(x)为奇函数，所以f(1)f(1)2.故选：A

【例】（高三下全国专题练习）已知2，求

6-22025··fxlog2x1xsinx3fa2024.fa.

【解析】令2，则的定义域为，

gxfx3log2x1xsinxgxR

因为22，

gxlog2x1xsinxlog2x1xsinxgx

所以gx为奇函数，

从而fa3fa3，即fafa6，

因为fa2024，所以fa620242018.

答案：2018.

2(x1)2

【例6-3】（24-25广西玉林·期末）若函数f(x)在区间[2025,2025]上的最大值为M，最小值为m，

x21

则Mm．

【答案】4

2(x1)22x24x24x

【解析】因为f(x)2，

x21x21x21

4x

令g(x),x[2025,2025]，则f(x)g(x)2，

x21

4(x)4x

又因为g(x)g(x)，所以函数g(x)为奇函数，

(x)21x21

所以g(x)maxg(x)min0，所以Mmg(x)max2g(x)min24．

故答案为：4．

【一隅三反】

ex,x01

1．（2025广东深圳·期末）已知函数fx为偶函数，则gln

gx,x02

【答案】2

xxx1

【解析】函数fx为偶函数，当x0时，x0，fxe，fxe，即gxe，又lnln20，

2

1

ln

1ln2

故glne2e2.

2

(x1)2x3

2.（2024高三·全国·专题练习）函数f(x)在2025,2025上的最大值和最小值分别为M,m，则

x21

Mm．

【答案】2

32

x2xx1x32x

【解析】fx