2026版高考数学复习专题突破：3.4 导数的综合应用（精讲）（原卷版）

3.4导数的综合应用（精讲）

考向一判断零点的个数

【例1-1】（2025·广东湛江·一模）已知函数fxalnx1x22x，其中aR．

(1)若a8，求函数fx的单调区间；

(2)当a2时，试判断fx的零点个数并证明．

【例1-2】（2025·内蒙古呼和浩特·一模）已知函数f(x)cosxxsinxa.

(1)若a0，求函数f(x)在xπ处的切线方程；

(2)讨论函数f(x)在(0,π)上零点的个数.

【一隅三反】

1．（24-25高三下·甘肃白银·阶段练习）已知函数fxsinx.

(1)证明：x0,1，fx2xtanx；

3x

(2)求函数yfx的零点个数.

x3

2．（23-24内蒙古通辽·期中）已知函数fxax1ex12xlnxx2aR.

(1)当a0时，求函数f(1).

(2)讨论函数fx的极值点个数.

考向二根据零点个数求参数

1

【例2-1】（23-24河南）已知函数fxx3ax2bxc在x及x1处取得极值．

3

(1)求a，b的值；

(2)若方程fx0有三个不同的实根，求c的取值范围．

【例2-2】（2025·四川广安·二模）已知函数f(x)e2xax2（a为常数）.

(1)若曲线yf(x)在x1处的切线在两坐标轴上的截距相等，求a的值；

(2)是否存在实数a，使得f(x)有3个零点？若存在，求实数a的范围；若不存在，请说明理由.

【例2-3】（2025·新疆·三模）已知函数fxxaax，a0且a1．

(1)当ae（e为自然对数的底数）时，求函数fx在x1处的切线方程；

(2)函数fx在0,上有且仅有两个零点，求a的取值范围．

【例2-4】（2025·北京·模拟预测）已知函数fxlnxmx22mx.

(1)若函数fx的极值点在(2,3)内，求m的取值范围；

(2)若fx有两个零点，求m取值的范围.

x

【例2-5】（24-25高三上·山西·阶段练习）若函数fxm2x1恰有2个零点，则实数m的取值范围

ex

是.

【一隅三反】

1．（24-25高二下·山东·期中）函数yx2exmx2lnx有两个零点，则m的取值范围是.

2

2．（2025·河北秦皇岛·一模）已知函数f(x)x(lnx1)2ax．

(1)当a0时，求f(x)的极小值；

(2)若函数g(x)exf(x)有2个零点，求a的取值范围．

1

3．（2025·贵州毕节·二模）已知函数fxx4exa(x3)2aR.

2

(1)当a1时，求函数fx的单调区间；

(2)若方程fx0有两个根，求a的取值范围.

4．（2025·福建福州·模拟预测）已知定义在0,上的函数fxexm(x1)2,mR.

1

(1)若m，判断fx是否存在极小值点，并说明理由；

2

(2)若fx存在两个零点，求m的取值范围.

5．（2025·山东·模拟预测）已知函数fxlnx1ax1lna,a1．

(1)若曲线yfx在点2,f2处的切线的斜率为1e（e是自然对数的底数），求a的值；

(2)若fx有且只有两个零点，求a的取值范围．

考向三恒（能）成立求参数

a

【例3-1】（2025·安徽蚌埠·模拟预测）已知函数f(x)ln(ax)，其中a0．

x

(1)当a1时，求函数f(x)的图象在x1处的切线方程；

(2)若f(x)lna恒成立，求a的取值范围．

1

【例3-2】（2025·湖北·三模）已知函数fxax2exaR（e为自然对数的底数）.

2

(1)当a2时，求曲线yfx在点0,f0处的切线方程；

(2)若当x0时，不等式fxx1恒成立，求实数a的取值范围.

【一隅三反】

1．（2025·河南鹤壁·二模）已知函数fxtxlnxtR.

(1)当t1时，证明:fx1.

(2)若对于定义域内的任意x,fxxe2x1恒成立，求t的取值范围.

lnxa

2．（2025·湖北武汉·二模）已知函数f(x)ex1．

xx

(1)若在(1,f(1))处的切线斜率为1，求a；

(2)若f(x)0恒成立，求a的取值范围．

2

3．（2025·北京·模拟预测）已知函数fxlnx，gxxx1，hxfxgx.

(1)求函数hx的极值；

(2)若2ae2xlnafx恒成立，求实数a的最小值.

考向四隐零点

【例4】（2024湖北）已知函数f(x)lnx.

(1)求函数yf(x)x的单调区间；

(2)求证：函数g(x)exe2f(x)的图象在x轴上方.

【一隅三反】

1.(2025河南)已知a≥1，函数f(x)＝xlnx－ax＋1＋a(x－1)2．

(1)若a＝1，求f(x)的单调区间；

(2)讨论f(x)的零点个数．

1

2.（2023·陕西西安·校联考模拟预测）已知函数f(x)=-2xlnx，g(x)x2x．

2

(1)求f(x)的极值；

(2)证明：当x1时，f(x)g(x)0．（参考数据：ln20.69）

sinxπ

3.（2023·全国·统考高考真题）已知函数fxax,x0,．

cos2x2

(1)当a1时，讨论fx的单调性；

(2)若fxsinx0，求a的取值范围．

考向五不等式的证明

a2

【例5】（2025·湖北鄂州·一模）已知函数fxxx3a1a0有两个零点.

3

(1)求a的值；

(2)证明：当1x3时，fln3xfx.

【一隅三反】

1．（2025·北京顺义·一模）已知函数fx3sinxxcosx.

(1)求曲线yfx在点0,f0处的切线方程；

(2)设gxfx，求证：gx是0,π上的单调递减函数；

(3)求证：当x0时，fx2x.

2．（2025·辽宁锦州·二模）已知fxaexsinxb．

π

(1)若fx在0,上单调递增，求a的取值范围；

2

(2)若fx的图像在0,f0处的切线为y2x，求a与b的值，并证明x0时，fxlnx．

3．（2025·江西南昌·一模）已知fxxlnx1axaR．

(1)若fx在定义域上单调递增，求a的取值范围；

(2)若yfx有极大值m，求证：m4.

考向六极值点偏移

【例6-1】（2025·湖南郴州·三模）已知函数f(x)lnxax2.

(1)当a1时，求函数f(x)的最值；

3

(2)若函数g(x)xf(x)有两个不同极值点x1,x2，证明：x1x2e.

x

【例6-2】（2025·江苏·模拟预测）设fxx2e2，曲线yfx在x2处的切线方程为ykxb.

(1)求k，b的值；

(2)证明：fxkxb；

a

(3)若fxa存在两根x，x，且xx，证明：x2x2.

121212e

【一隅三反】

1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数fxx1lnxx2axaR．

(1)若函数yfx有两个零点，求a的取值范围；

x1x2

(2)设x1,x2是函数fx的两个极值点，证明：224．

2.（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知函数fxexax2aR.

(1)当a0时，若直线l过原点且与曲线yfx相切，求l的方程；

(2)若函数fx在0,上恰有2个零点x1，x2.

①求a的取值范围；

②求证：x1x24.

3．（2025·江苏南京·一模）已知函数fxxexasinx.

fx

(1)当a0时，求证：x1；

x

(2)若fx0对于x0,π恒成立，求a的取值范围；

(3)若存在x1,x20,π，使得fx1fx20，求证：x12x2.

考向七放缩法证明不等式

ax

【例7-1】（2025·湖南·二模）已知函数fxlnx1.

x1

(1)当a1时，求fx的单调区间与极值；

(2)若fx0恒成立，求a的值；

111

(3)求证：sinsinsinln2nN*.

n1n22n

【变式】

1．（2025·浙江宁波·三模）已知函数fxlnx1ax2xaR.

(1)当a1时，讨论fx的单调性；

(2)当x0时，fx0恒成立，求a的取值范围；

*352n1

(3)求证：当nN