高考数学备考热点241

集合与常用逻辑用语第一章章末高考热点链接栏目导航01考情分析02名师讲坛考情分析1集合知识一般以一个选择题的形式出现，其中以集合知识为载体，与不等式、解析几何等知识相结合是考查的重点，为容易题．对常用逻辑用语的考查一般以一个选择题或一个填空题的形式出现，以集合、函数、数列、三角函数、不等式及立体几何中的线面关系为载体，考查充要条件或命题的真假判断等，难度一般不大．名师讲坛2集合背景下的新定义问题解决此类问题，要从以下两点入手：(1)正确理解新定义：分析新定义的表述意义，把新定义所表达的数学本质弄清楚，进而转化成熟知的数学情境，并能够应用到具体的解题之中．(2)合理利用集合性质：运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键，在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，但关键之处还是合理利用集合的运算与性质．【答案】C【点评】本题的难点是理解集合的“长度”，解题时紧扣新定义与基础知识之间的相互联系，把此类问题转化成熟悉的问题进行求解．【易错分析】当A⊆B时，既要注意A＝∅的情形，也要注意A＝B的情形，这是易错的两个地方．【正解】因A∩B＝A，所以A⊆B．又因A＝{x|x<2}，所以a≥2，故选D．【答案】D【点评】①A∩B＝A，A∪B＝B，都要考虑A＝∅的情形．②A⊆B包括A＝∅和A＝B的情形，注意端点值的检验．【易错分析】解答本题易出现的错误是充分条件与必要条件颠倒，把充分条件当成必要条件而致误．【正解】若x＝0，则f(0)＝e0＝1；若f(x)＝1，则ex＝1或ln(－x)＝1，解得x＝0或x＝－e.所以“x＝0”是“f(x)＝1”的充分不必要条件．故选A．【答案】A【点评】判断充分条件、必要条件、充要条件时，常用的方法是通过“⇒”来判断．一方面是要注意箭头的指向(单向或双向)；另一方面是看“p是q的……”或“q是p的……”，p是q的充分条件表示为p⇒q，p是q的必要条件表示为q⇒p.解题时要注意区分p是q的充分条件与p的充分条件是q的不同．逻辑推理——突破双变量“存在性或任意性”问题逻辑推理的关键要素是：逻辑的起点、推理的形式、结论的表达．解决双变量“存在性或任意性”问题的关键是：将含有全称量词和存在量词的条件“等价转化”为两个函数值域之间的关系(或两个函数最值之间的关系)，目的在于培养学生的逻辑推理素养和良好的数学思维品质．【点评】理解全称量词与存在量词的含义是求解本题的关键，此类问题求解的策略是“等价转化”，即“函数f(x)的值域是g(x)的值域的子集”，从而利用包含关系构建关于a的不等式组，求得参数的取值范围．【点评】本类问题的实质是“两函数f(x)与g(x)的值域的交集不为空集”，上述解法的关键是利用了补集思想．另外，若把此种类型中的两个“存在”均改为“任意”，则“等价转化”策略是利用“f(x)的值域和g(x)的值域相等”来求解参数的取值范围．完谢谢观看不等式第二章章末高考热点链接栏目导航01考情分析02名师讲坛考情分析11．以客观题形式考查不等式的性质和解不等式与集合、函数、简易逻辑知识相结合的命题．2．以客观题形式考查基本不等式的应用．名师讲坛2【答案】(1)9

(2){a|a>－3}【点评】本题的解法充分体现了转化与化归思想：函数的值域和不等式的解集转化为a，b满足的条件；不等式恒成立可以分离常数，转化为函数值域问题．【点评】(1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件．(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致．常见不等式恒成立问题的几种求解策略不等式恒成立问题在近几年高考以及各种考试中经常出现，它综合考查函数、方程和不等式等主要内容，并且与函数的最值、方程的解和参数的取值范围紧密相连，本文举例说明几种常见不等式恒成立问题的求解策略，以抛砖引玉．【点评】对于含有两个参数，且已知一参数的取值范围，可以通过变量转换，构造以已知范围的参数为自变量的函数，利用函数图象求另一参数的取值范围．【点评】对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题，可用求函数最值的方法，利用f(x)＞m恒成立⇔f(x)min＞m；f(x)＜m恒成立⇔f(x)max＜m.【点评】本题通过变量分离，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，本题构造的函数求最值时有一定难度，但通过换元后巧妙地转化为“对勾函数”，从而求得最值．【点评】本题通过对已知不等式变形处理后，挖掘不等式两边式子的几何意义，通过构造函数，运用数形结合的思想来求参数的取值范围，不仅能使问题变得直观，同时也起到了化繁为简的效果．完谢谢观看函数第三章章末高考热点链接栏目导航01考情分析02名师讲坛考情分析1高考对本章内容的考查主要有函数的三要素，函数的性质、最值及基本初等函数的图象与性质，以及函数的零点的判定方法、方程的近似解和函数模型的应用．题型以客观题的形式出现，难度以中等难度为主，主要考查学生运用函数性质解决综合问题的能力．名师讲坛2【答案】A【点评】(1)确定函数的图象，要从函数的性质出发，利用数形结合的思想．(2)对于给出图象的选择题，可以结合函数的某一性质或特殊点进行排除．【分析】从y＝f(x)的图象可先得到y＝－f(x)的图象，再得y＝－f(x＋1)的图象．【解析】要想由y＝f(x)的图象得到y＝－f(x＋1)的图象，需要先将y＝f(x)的图象关于x轴对称得到y＝－f(x)的图象，然后再向左平移一个单位得到y＝－f(x＋1)的图象，根据上述步骤可知C正确．【答案】C【点评】(1)对图象的变换问题，从f(x)到f(ax＋b)，可以先进行平移变换，也可以先进行伸缩变换，要注意变换过程中两者的区别．(2)图象变换也可利用特征点的变换进行确定．【答案】[－1，＋∞)【点评】利用函数图象也可以确定不等式解的情况，解题时可对方程或不等式适当变形，选择合适的函数进行作图．【易错分析】解答本题时，易忽视函数在定义域两段区间分界点上的函数值的大小．【答案】B【点评】解决分段函数的单调性问题时，以下几点要高度关注：(1)抓住对变量所在区间的讨论；(2)保证各段上同增(减)时，要注意上、下段端点值间的大小关系；(3)弄清最终结果取并还是交．【易错分析】得出当x>0时的零点个数后，容易忽略条件：定义在R内的奇函数，导致漏掉x<0时和x＝0时的情况．【答案】3【点评】(1)讨论x>0时函数的零点个数也可利用零点存在性定理结合函数单调性确定．(2)函数的定义域是讨论函数其他性质的基础，要给予充分重视．直观想象与数学抽象——数形结合思想在函数与方程中的应用函数与方程中的直观想象素养的培养，运用数形结合思想是解决函数与方程问题的行之有效的思想方法，利用直观想象建立形与数的联系，探索到方程的根，函数的零点，图象的交点之间的关系．通过“挖”题目的信息，培养了学生直观想象力、数学抽象的学科素养．【解析】方法一(从函数性质直观想象图象模型)：因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0，图象关于(0,0)对称，f(1)＝2，所以f(－1)＝－2由f(1＋x)＝f(1－x)，知f(x)的图象关于x＝1对称，故f(2)＝0，f(3)＝－2，进而得周期为T＝4.构造图象如图，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0.所以原式＝f(1)＋f(2)＝2.故选C．【答案】C【点评】方法一是从函数性质着手，寻找特殊的图象，利用图象的直观性，得出函数值．方法二是寻找特殊函数，利用函数的直观性，得出各个函数值．完谢谢观看导数及其应用第四章章末高考热点链接栏目导航01考情分析02名师讲坛考情分析1函数、导数与不等式是高考考查的重点，一般在压轴题的位置，考查的方向主要有：(1)利用导数研究函数的单调性、极值、最值等问题；(2)考查利用导数讨论函数零点的个数；(3)与不等式相结合考查导数的工具性作用等．名师讲坛2思想一分类讨论思想在函数与导数中的运用函数与导数问题中往往含有变量或参数，这些变量或参数取不同值时会导致不同的结果，因而要对参数进行分类讨论．常见的有含参函数的单调性、含参函数的极值、最值等问题，解决时要分类讨论．分类讨论的原则是不重复、不遗漏，讨论的方法是逐类进行，还必须要注意综合讨论的结果，使解题步骤完整．【探究提高】本题求导后，转化为一个二次型函数的含参问题，首先考虑二次三项式是否存在零点，即对判别式进行Δ≤0和Δ>0两类讨论，可归纳为“有无实根判别式，两种情形需知晓”．思想二数形结合思想在函数与导数中的运用在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围．在解答导数问题中，主要存在两类问题，一是“有图考图”，二是“无图考图”．【答案】C【探究提高】讨论方程的根(或函数的零点)可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题．正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，当函数比较复杂时，可借助导数分析其大致图象．⑥当x∈(e－1，＋∞)时，f(x)＝sinx－ln(1＋x)≤1－ln(1＋x)<1－ln(1＋e－1)＝1－1＝0，无零点．综上，f(x)有且仅有2个零点．【探究提高】证明该题时最好针对每个区间画f(x)与f′(x)的草图，更清晰．要注意“唯一”能否取到．零点存在定理表明，若连续函数f(x)在区间[a，b]内有f(a)f(b)＜0，则在区间[a，b]内至少有一个零点，但若要说明一个连续函数f(x)在区间[a，b]内只有一个零点，还需要加上单调条件．【易错分析】由于题目中没有指明点O(0,0)的位置情况，容易忽略点O在曲线y＝x3－3x2＋2x上这个隐含条件，进而不考虑O点为切点的情况．【点评】对于求曲线的切线方程没有明确切点的情况，要先判断切线所过点是否在曲线上；若所过点在曲线上，要对该点是否为切点进行讨论．逻辑推理——两个经典不等式的活用逻辑推理是得到数学结论，构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证．利用两个经典不等式解决其他问题，降低了思考问题的难度，优化了推理和运算过程．(1)对数形式：x≥1＋lnx(x>0)，当且仅当x＝1时，等号成立．(2)指数形式：ex≥x＋1(x∈R)，当且仅当x＝0时，等号成立．进一步可得到一组不等式链：ex>x＋1>x>1＋lnx(x>0，且x≠1)．完谢谢观看三角函数第五章章末高考热点链接栏目导航01考情分析02名师讲坛考情分析1三角函数有关知识主要考查三角函数的图象和性质、三角函数式的化简与求值等，而正弦、余弦定理则是解三角形的主要工具，高考中主要考查用其求三角形中的边和角及实现边、角之间的转化；解三角形是三角函数的知识在三角形中的应用，高考中可单独考查，也可以与三角函数、不等式综合考查．名师讲坛2【探究提高】求解本题(1)的关键是结合三角函数的有界性得到cosC的值，求解本题(2)的关键是由余弦定理结合a＋b＝10，将c转化为a的表达式，进而配方．逻辑推理与数学运算——三角函数中有关ω的求解数学运算是解决数学问题的基本手段，通过运算可促进学生思维的发展；而逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式．运算和推理贯穿于探究数学问题的始终，可交替使用，相辅相成．【点评】这类三角函数题除了需要熟练掌握三角函数单调性外，还必须知晓一个周期里函数最值的变化以及何时取到最值、函数取到最值的区间要求与题目给定的区间的关系如何．【点评】在解决三角函数式的求值问题时，要注意题目中角的范围的限制，特别是进行开方运算时一定要注意所求三角函数值的符号．另外，对题目隐含条件的挖掘也是容易忽视的问题，解题时要加强对审题深度的要求与训练，以防出错．完谢谢观看平面向量、复数第六章章末高考热点链接栏目导航01考情分析02名师讲坛考情分析11．以客观题形式命制考查向量的概念、线性运算、数量积及几何意义的题目，解答这类题目只需熟悉基本概念、运算、公式即可获解，一般为容易题，这是主要考查方式．2．向量与三角函数、函数、数列、解析几何等的综合．其中对向量的考查仍然是基本运算，通过向量运算，把题目从向量中“脱”出来，转化为其他知识解答．客观题、主观题都可能出现，一般为容易题或难度中等题．名师讲坛2数学运算、数学建模——平面向量与三角形的“四心”1．数学运算是指在明晰运算的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．通过学习平面向量与三角形的“四心”，学生能进一步发展数学运算能力，形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神．【审题路线图】【点评】对于在图形中给出解题信息的题目，要抓住图形的特点，通过图形的对称性、周期性以及图形中点的位置关系提炼条件，尽快建立图形和欲求结论间的联系．【点评】(1)本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有一定的难度．(2)易错点是找不到问题的切入口，想不到利用待定系数法求解．(3)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．如本题易忽视A，M，D三点共线和B，M，C三点共线这个几何特征．(4)方程思想是解决本题的关键，要注意体会．【易错分析】两个向量所成角的范围是[0，π]，cos〈a，b〉＜0包括夹角为钝角和夹角为π的情况，容易忽略所成角为π的情况．完谢谢观看数列第七章章末高考热点链接栏目导航01考情分析02名师讲坛考情分析1数列是高中数学的主要内容，是高考的常考内容．数列具有函数的性质，又能构成独特的递推关系，故使得数列与函数、方程、不等式等知识有密切的联系，因此高考命题时常将数列与函数、不等式、向量等交汇，考查逻辑思维能力、运算推理能力，呈现出综合性强、立意新的特点．名师讲坛2(2)(2019年北京东城区模拟)为了观看2022年的冬奥会，小明打算从2018年起，每年的1月1日到银行存入a元的一年期定期储蓄，若年利率为p，且保持不变，并约定每年到期存款本息均自动转为新一年的定期．到2022年的1月1日不再存钱而是将所有的存款和利息全部取出，则可取回________元．【方法技巧】1．数列与数学文化解题3步骤读懂题意会脱去数学文化的背景，读懂题意构建模型由题意，构建等差数列或等比数列或递推关系式的模型求解模型利用所学知识求解数列的相关信息，如求指定项、通项公式或前n项和的公式2．解答数列应用题需过好“四关”审题关仔细阅读材料，认真理解题意建模关将已知条件翻译成数学语言，将实际问题转化成数列问题，并分清数列是等差数列还是等比数列求解关求解该数列问题还原关将所求的结果还原到实际问题中【方法技巧】新定义数列问题的特点及解题思路新定义数列题的特点是：通过给出一个新的数列的概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的．遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以解决．【方法技巧】数列与函数综合问题的类型及注意点类型(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般是利用函数的性质、图象研究数列问题；(2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形注意点解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此掌握递推数列的常用解法有助于该类问题的解决数学运算、数学抽象——等差(比)数列性质的应用1．数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．本系列数学运算主要表现为：理解数列问题，掌握数列运算法则，探究运算思路，求得运算结果．通过对数列性质的学习，发展数学运算能力，促进数学思维发展．2．数学抽象是指能够在熟悉的情境中直接抽象出数学概念和规则，能够在特例的基础上归纳形成简单的数学命题，能够在解决相似的问题中感悟数学的通性通法，体会其中的数学思想．【点评】(1)分类讨论思想在等比数列中应用较多，常见的分类讨论：①已知Sn与an的关系，要分n＝1，n≥2两种情况；②等比数列中遇到求和问题要分公比q＝1，q≠1讨论；③项数的奇、偶数讨论；④等比数列的单调性的判断注意与a1，q的取值的讨论．(2)数列与函数有密切的联系，证明与数列有关的不等式，一般是求数列中的最大项或最小项，可以利用图象或者数列的增减性求解，同时注意数列的增减性与函数单调性的区别．完谢谢观看立体几何第八章章末高考热点链接栏目导航01考情分析02名师讲坛考情分析1立体几何是高考的重要内容，一般每年考一道大题和一道小题，或一道大题和两道小题．小题主要考查学生的空间观念，空间想象能力及简单计算能力；大题一般以多面体为载体，分步设问，既考查综合几何也考查向量几何，诸小问之间有一定梯度，大多模式是：诸小问依次讨论线线垂直与平行、线面垂直与平行、面面垂直与平行→异面直线所成角、线面角、二面角→体积的计算．强调作图、证明、计算相结合．名师讲坛2空间点、线、面的位置关系及空间角的计算空间点、线、面的位置关系通常考查平行、垂直关系的证明，一般出现在解答题的第(1)问，解答题的第(2)问常考查求空间角，求空间角一般都可以建立空间直角坐标系，用空间向量的坐标运算求解．【答题模板】利用向量求空间角的步骤(1)建立空间直角坐标系．(2)确定点的坐标．(3)求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标．(4)计算向量的夹角(或函数值)．(5)将向量夹角转化为所求的空间角．(6)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．题型1平面图形的翻折问题平面图形翻折为空间图形问题重点考查平行、垂直关系，解题关键是看翻折前后线面位置关系的变化，根据翻折的过程找到翻折前后线线位置关系中没有变化的量和发生变化的量，这些不变的和变化的量反映了翻折后的空间图形的结构特征．

(2018年新课标Ⅰ)如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF.(1)证明：平面PEF⊥平面ABFD；(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值．【解析】(1)证明：由已知可得BF⊥PF，BF⊥EF，又PF∩EF＝F，所以BF⊥平面PEF.又BF⊂平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD．【方法技巧】解决平面图形翻折问题3步骤题型2探索性问题探索性问题一般可以分为判断存在型、条件探索型、结论探索型、类比推理型、知识重组型等，立体几何中的探索性问题一般以判断存在型为主．这类问题一般的设问方式是“是否存在……，若存在……，若不存在……”．由于没有一个明确的结论