2026年上海市静安区高考数学二模试卷（含解析）

2026年上海市静安区高考数学二模试卷一、填空题（共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）.1．直径为的球的表面积为．（计算结果保留2．设是虚数单位，计算：．3．在的二项展开式中，的系数为．（用数字作答）4．双曲线的渐近线夹角大小为．5．若，则．6．某汽车制造厂生产一种用于发动机的活塞销，其设计标准直径为，根据长期生产数据，该活塞销的实际直径服从正态分布，标准差为，规定：活塞销的直径在到之间为合格品．随机抽取一个活塞销，其为合格品的概率是．（结果保留三位小数）参考数据：若随机变量，则，，．7．现有两个罐子，都放有3个球，这些球除颜色外，大小与质地都相同，罐中放有2个红球，1个白球，罐中放有3个红球，从两个罐子中各摸出1个球并交换，这样交换2次后，白球还在罐子中的概率是．8．已知定义在上的偶函数的最小正周期为2，当时，，则当时，．9．在代表我国古代数学成就的经典著作《九章算术》中，称如图中的多面体为“刍甍”．若底面是边长为4的正方形，，且，△和△是等腰直角三角形，，则与底面所成角的正弦值为．10．如图所示，在△中，，，，为边的中点，在边上，且，交于点，则．11．若满足，且的复数有两个，分别设为、，则．12．设，函数，给出下列三个结论：①在区间上单调递减；②当时，存在最大值；③设，，，，则．其中所存正确结论的序号是．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置上，将代表正确选项的小方格涂黑。13．函数的大致图象是（）A． B． C． D．14．已知集合，，则（）A．， B． C． D．15．袋子里装有四枚围棋子，其中两枚黑色棋子、两枚白色棋子，从中随机取出两枚棋子，那么互斥而不对立的事件是（）A．“至多有一枚白色棋子”与“至多有一枚黑色棋子” B．“至多有一枚白色棋子”与“都是黑色棋子” C．“恰好有一枚白色棋子”与“都是黑色棋子” D．“至多有一枚白色棋子”与“都是白色棋子”16．设、分别是棱长为1的正方体的两个不同顶点，点在该正方体的表面上（含棱和顶点）运动，且不与、两点重合．关于，给出下列两个结论：①存在最小值，且最小值小于零；②存在最大值，且最大值大于零．则下列判断正确的选项是（）A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①和②都错误 D．①和②都正确三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。17．如表是某品牌净化器的年销售量与年份的统计表．年份20212022202320242025年份代码12345年销售量（万台）23.52.589（1）用计算器计算净化器的年销售量关于年份代码的线性回归方程；（回归系数计算结果保留两位小数）（2）为了调查、两地区人群对该品牌净化器的了解情况，调查机构在、两地区的人群中分别进行品牌知晓情况的问卷调查．统计知晓与不知晓的人数，得到如下列联表．知晓不知晓合计地区8020100地区4060100合计12080200试根据表中数据判断、两地区的人群对该品牌净化器的知晓情况是否有显著差异．（规定显著水平附：关于回归方程，回归系数的计算公式，其中为样本点的中心；的计算公式；0.050.010.0013.8416.63510.82818．已知等差数列的首项，公差为2，等比数列的首项，公比为2，数列满足为正整数）．（1）依次写出数列的前6项；（2）设数列的前项和为，求．19．如图，在长方体中，，，，是的中点．（1）求四棱锥的体积；（2）求平面与平面所成的锐二面角的大小．（结果用反三角函数值表示）20．（18分）在平面直角坐标系中，为坐标原点．设椭圆，的左、右焦点分别为、，，的离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）过原点作两条相互垂直的射线，与椭圆分别交于、两点，证明：原点到直线的距离为定值；（3）过椭圆的右焦点且不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于、两点，点是点关于轴的对称点．在轴上是否存在一个定点，使得、、三点始终共线？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．21．（18分）已知函数．（1）当时，求函数的极值；（2）若直线是曲线的切线，求实数的值及切点坐标；（3）若函数的图象与的图象有两个不同的交点，求实数的取值范围．

参考答案一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果。1．直径为的球的表面积为．（计算结果保留解：根据题意知球的半径，因此球的表面积．故答案为：．2．设是虚数单位，计算：．解：，所以．故答案为：．3．在的二项展开式中，的系数为15．（用数字作答）解：二项展开式的通项公式为．令，解得，则．故在的二项展开式中，的系数为15．故答案为：15．4．双曲线的渐近线夹角大小为．解：因为双曲线，所以渐近线方程为和，设两条渐近线的夹角为锐角，则，所以夹角为．故答案为：．5．若，则．解：因为，所以，故．故答案为：．6．某汽车制造厂生产一种用于发动机的活塞销，其设计标准直径为，根据长期生产数据，该活塞销的实际直径服从正态分布，标准差为，规定：活塞销的直径在到之间为合格品．随机抽取一个活塞销，其为合格品的概率是0.954．（结果保留三位小数）参考数据：若随机变量，则，，．解：由题可得，，故．故答案为：0.954．7．现有两个罐子，都放有3个球，这些球除颜色外，大小与质地都相同，罐中放有2个红球，1个白球，罐中放有3个红球，从两个罐子中各摸出1个球并交换，这样交换2次后，白球还在罐子中的概率是．解：用，分别表示交换1次，2次后白球还在罐中的事件，则，，由全概率公式得．故答案为：．8．已知定义在上的偶函数的最小正周期为2，当时，，则当时，．解：当时，所以，所以，又因为的最小正周期为2，又是在上的偶函数，所以，所以．故答案为：．9．在代表我国古代数学成就的经典著作《九章算术》中，称如图中的多面体为“刍甍”．若底面是边长为4的正方形，，且，△和△是等腰直角三角形，，则与底面所成角的正弦值为．解：在多面体中，设、的中点为、，、在底面的投影为、，如图，由对称性可知、在上，所以就是与底面所成角，又因为，所以，，又△是等腰直角三角形，，所以，，所以．故答案为：．10．如图所示，在△中，，，，为边的中点，在边上，且，交于点，则．解：易知，建立平面直角坐标系，如图所示，，，，，，直线，即．直线，即．联立，解得，即．故．故答案为：．11．若满足，且的复数有两个，分别设为、，则．解：设，，，，由，得，可知点的轨迹是以为圆心，半径为5的圆，即；又，则，可知点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支，则，，，可得，联立方程和，解得，，且，则，，可得，，所以．故答案为：．12．设，函数，给出下列三个结论：①在区间上单调递减；②当时，存在最大值；③设，，，，则．其中所存正确结论的序号是②③．解：对①：若，即时，有，，则在区间上单调递增，故①错误；对②：由，则当时，单调递增，当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递减，则时，，当时，，当时，，要使得存在最大值，则，解得，故②正确；对③：由题意可得，若，则在上，则，由，则；若，则，有，故．综上可得：恒成立，故③正确．故答案为：②③．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置上，将代表正确选项的小方格涂黑。13．函数的大致图象是（）A． B． C． D．解：，函数为偶函数，图象关于轴对称，故排除，，，当时，的变化是越来越快，故排除故选：．14．已知集合，，则（）A．， B． C． D．解：集合，，；所以．故选：．15．袋子里装有四枚围棋子，其中两枚黑色棋子、两枚白色棋子，从中随机取出两枚棋子，那么互斥而不对立的事件是（）A．“至多有一枚白色棋子”与“至多有一枚黑色棋子” B．“至多有一枚白色棋子”与“都是黑色棋子” C．“恰好有一枚白色棋子”与“都是黑色棋子” D．“至多有一枚白色棋子”与“都是白色棋子”解：记随机取出两枚棋子，均为黑色棋子是事件，一枚黑色棋子、一枚白色棋子是事件，均为白色棋子是事件；对于，“至多有一枚白色棋子”包含事件和事件，“至多有一枚黑色棋子”包含事件和事件，两个事件都包含事件，能同时发生，不是互斥事件；对于，“至多有一枚白色棋子”包含事件和事件，“都是黑色棋子”是事件，两个事件都包含事件，能同时发生，不是互斥事件；对于，“恰好有一枚白色棋子”是事件，“都是黑色棋子”是事件，两个事件不能同时发生，且并集不是全集（缺少事件，是互斥而不对立事件；对于，“至多有一枚白色棋子”包含事件和事件，“都是白色棋子”是事件，两个事件不能同时发生，且并集是全集，是对立事件．故选：．16．设、分别是棱长为1的正方体的两个不同顶点，点在该正方体的表面上（含棱和顶点）运动，且不与、两点重合．关于，给出下列两个结论：①存在最小值，且最小值小于零；②存在最大值，且最大值大于零．则下列判断正确的选项是（）A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①和②都错误 D．①和②都正确解：因为、分别是棱长为1的正方体的两个不同顶点，设中点为，当、为同一平面的相邻顶点，则，所以，所以，所以，此时存在最小值，且最小值小于零，存在最大值，且最大值大于零；当、为同一平面的不相邻顶点，则，所以，所以，，此时存在最小值，且最小值小于零，存在最大值，且最大值大于零；当、为体对角线上两顶点，则，所以，所以，则，此时存在最小值，且最小值小于零，存在最大值，最大值等于零；综上可得：①正确；②错误．故选：．三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。17．如表是某品牌净化器的年销售量与年份的统计表．年份20212022202320242025年份代码12345年销售量（万台）23.52.589（1）用计算器计算净化器的年销售量关于年份代码的线性回归方程；（回归系数计算结果保留两位小数）（2）为了调查、两地区人群对该品牌净化器的了解情况，调查机构在、两地区的人群中分别进行品牌知晓情况的问卷调查．统计知晓与不知晓的人数，得到如下列联表．知晓不知晓合计地区8020100地区4060100合计12080200试根据表中数据判断、两地区的人群对该品牌净化器的知晓情况是否有显著差异．（规定显著水平附：关于回归方程，回归系数的计算公式，其中为样本点的中心；的计算公式；0.050.010.0013.8416.63510.828解：（1）由表知，，，，，所以，，所以净化器的年销售量关于年份代码的线性回归方程．（2），故依据的独立性检验，判断、两地区的人群对该品牌净化器的知晓情况有显著差异．18．已知等差数列的首项，公差为2，等比数列的首项，公比为2，数列满足为正整数）．（1）依次写出数列的前6项；（2）设数列的前项和为，求．解：（1）已知等差数列的首项，公差为2，等比数列的首项，公比为2，根据等差数列和等比数列的通项公式可得，，又数列满足为正整数），所以，，，，，，所以数列的前6项依次为1，2，5，8，9，32；（2）设数列的前项和为，则．19．如图，在长方体中，，，，是的中点．（1）求四棱锥的体积；（2）求平面与平面所成的锐二面角的大小．（结果用反三角函数值表示）解：（1）底面是直角梯形，上底，下底，高，梯形面积，四棱锥的高为到底面的距离，即，体积．（2）以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，，0，，，2，，，4，，，0，，平面的一个法向量为，在平面中，向量，，设平面的法向量为，则，令，得，，即．设锐二面角为，则，锐二面角大小为．20．（18分）在平面直角坐标系中，为坐标原点．设椭圆，的左、右焦点分别为、，，的离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）过原点作两条相互垂直的射线，与椭圆分别交于、两点，证明：原点到直线的距离为定值；（3）过椭圆的右焦点且不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于、两点，点是点关于轴的对称点．在轴上是否存在一个定点，使得、、三点始终共线？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．【解答】（1）解：由题意得，即，椭圆的离心率，可得，所以，可得椭圆的方程为．（2）证明：设，，，，根据，可得，设直线的方程为，联立方程组，消去得，可得，，结合，可得，化简得，根据原点到直线的距离，可得，即，综上所述，原点到直线的距离为定值．（3）解：存在定点，使、、三点共线，理由如下：设直线的方程为，，，，，则，，联立方程组，消去，可得，可得，，设，若、、三点共线，则，即，整理得，即，化简得，所以，结合，化简得，解得，故存在定点，使、、三点共线．21．（18分）已知函数．（1）当时，求函数的极值；（2）若直线是曲线的切线，求实数的值及切点坐标；（3）若函数的图象与的图象有两个不同的交点，求实数的取值范围．解：（1）