2026年上海市杨浦区高考数学二模试卷（含解析）

2026年上海市杨浦区高考数学二模试卷一.填空题（共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）.1．设全集，，，，用列举法表示．2．计算．3．若幂函数的图像经过点，则实数．4．在的二项展开式中，常数项是（用数字作答）．5．设正实数，满足，则的最小值为．6．不等式的解集为．7．已知圆锥的底面半径为1，体积为，则该圆锥的侧面积为．8．直线的一个法向量是，则实数．9．已知随机变量服从二项分布，若，则．10．设集合，，，，若，则实数的取值范围是．11．掷实心球时，将轨迹视为抛物线的一部分，设实心球离手位置在起掷点正上方2米，出手角度即抛物线在该处切线与水平地面所成角，如图所示．已知实心球轨迹最高点距离地面3米，若要成绩不小于10米（实心球落地点到起掷点的距离），则出手角度的最大值为（精确到．12．记是空间中的个不同的非零向量，满足：①其中任意向量在其它向量方向上的投影均为其本身或零向量；②其中任意三个向量均不能使成立，则的最大值为．二、选择题（本题共有4题，满分18分，13、14每题4分，15、16每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑。13．若，则下列不等式成立的是（）A． B． C． D．14．事件、相互独立，若，，则与同时发生的概率为（）A．0 B． C． D．15．已知函数和的定义域都为且都存在导函数．若和的零点均有且仅有，且当时恒有，则下列情形中不可能的是（）A．0是的极大值点，也是的极大值点 B．0是的极小值点，也是的极小值点 C．0是的极大值点，也是的极小值点 D．0是的极小值点，也是的极大值点16．已知数列，给出以下定义：若存在常数，对于任意的，都有，则称数列为“加速数列”，现给出下列命题：①若，则对任意，数列都不是“加速数列”；②若数列是“加速数列”，且，，则数列存在最小项；③若数列是“加速数列”，且，，则存在，使得；④正数列是等比数列且公比，则是“加速数列”的充要条件是．其中正确的命题是（）A．①②③ B．② C．②④ D．③④三、解答题（本大题满分78分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。17．一次考试后，数学兴趣小组分析某班级考试成绩．该班级共40人，将得分由高到低平均分为四组，第一组（均分最高的一组）的数据为141、140、138、134、133、133、133、132、132、132．（1）求第一组的得分的均值与中位数；（2）若从第一组中等可能的选取2名学生，求2人得分都在135分以上的概率；（3）兴趣小组考察某客观题的得分情况．将前15名学生作为高分组，后25名学生作为非高分组；前15名学生中13人答对该题，后25名学生中16人答对该题．据此，填写表格，并判断是否有的把握认为答对该题与进入高分组有关？附：，，，，．高分组非高分组总计某客观题答对某客观题答错总计18．如图，在直四棱柱中，，，，，．（1）设是的中点，求证：平面；（2）若直四棱柱的体积为36，求平面与平面所成的锐二面角的大小．19．已知函数（常数．（1）若，在△中，角、、的对边分别为、、．若，，求角的大小；（2）若的最小正周期为，将其图像向左平移个单位，再向上平移个单位得到函数的图像．当时恒有，求的取值范围．20．（18分）已知、分别是双曲线（常数的右顶点和右焦点，记过一、三象限的渐近线为．（1）求双曲线的离心率和渐近线的方程；（2）设，是上一点，若线段的中点在双曲线上，求点的坐标；（3）设，过作两条相互垂直的直线与双曲线交于、两点在第一象限），若直线、分别与交于、两点，且△与△的面积之比为2，求直线的方程．21．（18分）设函数的定义域为，值域，．若，且满足，则称与构成“函数的线性对”．（1）若，判断与是否构成函数的线性对，并说明理由；（2）若，．若对于任意（常数，都存在，使得与构成函数的线性对，求的取值范围；（3）函数是定义在上的奇函数，且满足：若与构成函数的线性对，则与也构成函数的线性对．求证：对任意，．

参考答案一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果1．设全集，，，，用列举法表示，4，5，．解：全集，，2，3，4，5，，，，则，4，5，．故答案为：，4，5，．2．计算．解：根据题意，．故答案为：．3．若幂函数的图像经过点，则实数3．解：因为点在幂函数的图象上，即，解得．故答案为：3．4．在的二项展开式中，常数项是160（用数字作答）．解：二项式展开式的通项为且，令，解得，所以．即展开式的常数项为160．故答案为：160．5．设正实数，满足，则的最小值为．解：因为正实数，满足，所以，当且仅当，因为，所以时，等号成立，所以的最小值为．故答案为：．6．不等式的解集为．解：令，定义域为，因为函数和在上均为增函数，所以函数在上为增函数，又因为（1），所以不等式可化为：（1），解得，即不等式的解集为．故答案为：．7．已知圆锥的底面半径为1，体积为，则该圆锥的侧面积为．解：设圆锥的高为，因为圆锥的底面半径，体积．所以，解得，所以母线长，故圆锥侧面积为．故答案为：．8．直线的一个法向量是，则实数．解：由题意直线的一个法向量是，又直线的一个法向量可以表示为，所以两向量共线，根据向量共线的坐标表示得，解得．故答案为：．9．已知随机变量服从二项分布，若，则20．解：因为，所以，所以．故答案为：20．10．设集合，，，，若，则实数的取值范围是，．解：集合，，由，即到与距离相等，即的轨迹为与两点连线的垂直平分线，设，所以，所以，化简得，若，则，即的轨迹为直线，，表示的为圆：，即直线与圆有交点，所以，解得，故；若，等式化为，任何都满足，此时为整个复平面，满足；所以实数的取值范围是，．故答案为：，．11．掷实心球时，将轨迹视为抛物线的一部分，设实心球离手位置在起掷点正上方2米，出手角度即抛物线在该处切线与水平地面所成角，如图所示．已知实心球轨迹最高点距离地面3米，若要成绩不小于10米（实心球落地点到起掷点的距离），则出手角度的最大值为（精确到．解：不妨以最高点为坐标原点，以水平向右为轴正方向，以竖直向下为轴正方向，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为．此时，．若要成绩不小于10米，此时，即，所以，取，易知，所以，易知为锐角，所以，所以，则出手角度的最大值为．故答案为：．12．记是空间中的个不同的非零向量，满足：①其中任意向量在其它向量方向上的投影均为其本身或零向量；②其中任意三个向量均不能使成立，则的最大值为12．解：分析条件①：设个向量中的任意两个向量为、，所以向量在向量方向上的投影为，由条件①可知，或，若，则与共线；若，则，即与垂直．分析条件②：设表示三个单位向量，当、不同向时，，则，则，又因为，故不符合，则、同向，则由，可得，同向，由其中任意三个向量均不能使成立，则其中任意三个向量不同向，即同一方向最多两个不等向量；故结合①②可得：这些向量中任意两个向量要么共线，要么垂直，且同一方向最多两个不等向量，例如可取空间中三个两两互相垂直的单位向量及其相反向量，再取，这12个不同向量满足条件①②；若存在第13个向量，则必须与另外12个向量中的任一共线或垂直，由于已有的向量中包含三个互相垂直的方向，则必须与其中一个向量共线才能符合要求，但此时任一方向都有两不同向量，故不存在符合题意，所以满足条件的的最大值为12．故答案为：12．二、选择题（本题共有4题，满分18分，13、14每题4分，15、16每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑。13．若，则下列不等式成立的是（）A． B． C． D．解：由，取，，则可排除．故选：．14．事件、相互独立，若，，则与同时发生的概率为（）A．0 B． C． D．解：因为事件与事件相互独立，所以事件与事件也相互独立，所以事件发生的概率为（B）．所以与同时发生的概率为（A）．故选：．15．已知函数和的定义域都为且都存在导函数．若和的零点均有且仅有，且当时恒有，则下列情形中不可能的是（）A．0是的极大值点，也是的极大值点 B．0是的极小值点，也是的极小值点 C．0是的极大值点，也是的极小值点 D．0是的极小值点，也是的极大值点解：对，取，，两个函数的零点只有，当时，恒有，且根据函数图象，可知是两个函数的极大值点，故可能；对，若取，，两个函数的零点只有，当时，，且根据函数图象，可知是两个函数的极小值点，故可能；对，取，，两个函数的零点只有，当时，，且根据含糊图象，可知是的极大值点，也是的极小值点，故可能；对，又若是的极大值点，结合且只有是零点，可知对任意，；若是的极小值点，结合且只有是零点，可知对任意，；此时必有，即，与题设时不符，故不可能．故选：．16．已知数列，给出以下定义：若存在常数，对于任意的，都有，则称数列为“加速数列”，现给出下列命题：①若，则对任意，数列都不是“加速数列”；②若数列是“加速数列”，且，，则数列存在最小项；③若数列是“加速数列”，且，，则存在，使得；④正数列是等比数列且公比，则是“加速数列”的充要条件是．其中正确的命题是（）A．①②③ B．② C．②④ D．③④解：因为若存在常数，对于任意的，都有，则称数列为“加速数列”，所以设，对于任意的，都有成立，，对于①，，，因为，所以，所以成立，即，因为，所以存在，使得成立，即数列都是“加速数列”，故①错误；对于②，若数列是“加速数列”，则，所以数列是常数列或单调递增数列，因为，若，满足题意，即数列是常数列，，若数列单调递增，则必有，，即数列先单调递减，后单调递增，故数列存在最小项，故②正确；对于③，若数列是“加速数列”，则，且，则，所以，即，当时，，所以不存在，使得，故③错误；对于④，若正数列是等比数列，则，若，则，不等式，等价于，只要，数列是“加速数列”；若，则，不等式，等价于，只要，数列是“加速数列”；所以是“加速数列”的充要条件不是，故④错误；综上所述：正确的命题是②．故选：．三、解答题（本大题满分78分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。17．一次考试后，数学兴趣小组分析某班级考试成绩．该班级共40人，将得分由高到低平均分为四组，第一组（均分最高的一组）的数据为141、140、138、134、133、133、133、132、132、132．（1）求第一组的得分的均值与中位数；（2）若从第一组中等可能的选取2名学生，求2人得分都在135分以上的概率；（3）兴趣小组考察某客观题的得分情况．将前15名学生作为高分组，后25名学生作为非高分组；前15名学生中13人答对该题，后25名学生中16人答对该题．据此，填写表格，并判断是否有的把握认为答对该题与进入高分组有关？附：，，，，．高分组非高分组总计某客观题答对某客观题答错总计解：（1），排序：132、132、132、133、133、133、134、138、140、141，中位数，则第一组的得分均值为134.8，中位数为133；（2）总选法数：，两人都在135分以上的选法数：，所以2人得分都在135分以上的概率为：；（3）根据题意填写列联表：高分组非高分组总计答对131629答错2911总计152540零假设：认为答对该题与进入高分组无关，，可知没有的把握认为答对该题与进入高分组有关．18．如图，在直四棱柱中，，，，，．（1）设是的中点，求证：平面；（2）若直四棱柱的体积为36，求平面与平面所成的锐二面角的大小．解：（1）证明：因为在直四棱柱中，，，，，，所以连接，则，，又是的中点，，所以，所以为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面；（2）若直四棱柱的体积为36，则梯形的面积，所以，所以，过作，交于，连接，直四棱柱中，平面，则为在平面内的射影，由，有，所以即为所求，△中，，，有，又，则，，所以锐角．19．已知函数（常数．（1）若，在△中，角、、的对边分别为、、．若，，求角的大小；（2）若的最小正周期为，将其图像向左平移个单位，再向上平移个单位得到函数的图像．当时恒有，求的取值范围．解：（1）时，，，则，，所以，因为，可得，所以，由，所以．（2）函数的最小正周期为，所以，，所以，时，，则有，此时，，当时恒有，则有，解得，所以的取值范围为．20．（18分）已知、分别是双曲线（常数的右顶点和右焦点，记过一、三象限的渐近线为．（1）求双曲线的离心率和渐近线的方程；（2）设，是上一点，若线段的中点在双曲线上，求点的坐标；（3）设，过作两条相互垂直的直线与双曲线交于、两点在第一象限），若直线、分别与交于、两点，且△与△的面积之比为2，求直线的方程．解：（1）因为双曲线的方程为，即，所以，可得，所以双曲线的离心率，渐近线的方程为；（2）若，此时双曲线方程为，，设，所以线段的中点的坐标为，因为点在双曲线上，所以，解得，则点的坐标为；（3）若，所以双曲线方程为，、，易知直线斜率存在且不为0，设直线的方程为，所以直线的方程为，联立，解得或，即，因为点在第一象限，所以，解得，联立，解得，即，则，即，，即，所以，即，解得，因为，所以，则直线的方程为．即．21．（18分）设函数的定义域为，值域，．若，且满足，则称与构成“函数的线性对”．（1）若，判断与是否构成函数的线性对，并说明理由；（2）若，．若对于任意（常数，都存在，使得与构成函数的线性对，求的取值范围；（3）函数是定义在上的奇函数，且满足：若与构成