2026届新高考I卷地区数学最后一卷

第Page\*MergeFormat4页共numpages\*MergeFormat4页2026届新高考I卷地区最后一卷数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合,若,则（

）A． B． C．1 D．32.设复数,则的虚部是（

）A． B． C． D．3.下列命题中的假命题是（

）A．， B．，C．， D．，4.已知，则（

）A． B． C． D．5.在平面直角坐标系中，点P在直线上.若向量，则在上的投影向量为（

）A． B．C． D．6.已知正三棱台的上底面积为，下底面积为，高为2，则该三棱台的表面积为（

）A． B． C． D．187.正整数的倒数的和已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式，当很大时，.其中称为欧拉-马歇罗尼常数，，至今为止都不确定是有理数还是无理数.设表示不超过的最大整数，用上式计算的值为（

）（参考数据：，，）A．10 B．9 C．8 D．78.若函数有两个零点，且存在唯一的整数，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知，则下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．10.已知函数，则（

）A．是偶函数 B．的最小正周期是C．的值域为 D．在上单调递增11.所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫作拟柱体，拟柱体的侧面是三角形、梯形或平行四边形，其体积是将上下底面面积、中截面(与上下底面距离相等的截面)面积的4倍都相加再乘以高(上下底面的距离)的，在拟柱体中，平面//平面，分别是的中点，为四边形内一点，设四边形的面积的面积为，面截得拟柱体的截面积为，平面与平面的距离为，下列说法中正确的有（

）A．直线与是异面直线B．四边形的面积是的面积的4倍C．挖去四棱锥与三棱锥后，拟柱体剩余部分的体积为D．拟柱体的体积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围是．13.已知二项式的展开式中的常数项为，则.14.在等边中，为内一动点，，则的最小值是.四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）15.如图，在菱形中，，是的中点，将沿直线翻折使点到达点的位置，为线段的中点.(1)求证：平面；(2)若平面平面，求直线与平面所成角的大小.16.某地区有小学生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局组织网络“防溺水”网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取220名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率分布直方图所示的频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图，估计该地区所有学生中知识问答成绩的平均数和众数；(2)成绩位列前10%的学生平台会生成“防溺水达人”优秀证书，试估计获得“防溺水达人”的成绩至少为多少分；(3)已知落在60,70内的平均成绩为67，方差是9，落在内的平均成绩是73，方差是29，求落在内的平均成绩和方差.（附：设两组数据的样本量､样本平均数和样本方差分别为：.记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差）17.已知椭圆的离心率为，过点的直线与椭圆相交于两点，当过坐标原点时，．(1)求椭圆的方程；(2)当斜率存在时，线段上是否存在定点，使得直线与直线的斜率之和为定值．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．18.已知函数.(1)求的最小值；(2)设函数，讨论零点的个数.19.对于数列，定义，满足，记，称为由数列生成的“函数”．(1)试写出“函数”，并求的值；(2)若“函数”，求n的最大值；(3)记函数，其导函数为，证明：“函数”．答案与解析1.设集合,若,则（

）A． B． C．1 D．3【答案】C【解析】由已知得,若,解得，此时，符合题意;若,解得,此时,不符合题意;若,解得,此时,不符合题意,综上所述,.故选:C.2.设复数,则的虚部是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】,则,虚部是.故选:A.3.下列命题中的假命题是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】对于A，因为指数函数的值域为，所以，，A对；对于B，当时，，B对；对于C，当时，，C错；对于D，当时，，D对.故选：C.4.已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意，即，即，所以.故选：B.5.在平面直角坐标系中，点P在直线上.若向量，则在上的投影向量为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题可设，则，所以，又，故在上的投影向量为，故选：A.6.已知正三棱台的上底面积为，下底面积为，高为2，则该三棱台的表面积为（

）A． B． C． D．18【答案】A【解析】由面积公式可得正三棱台上下底面边长分别为和，设在底面内的射影为，作于，平面，平面，则有，又，，平面，所以平面，平面，所以，由，，，则，又，所以，则，故三棱台的侧面积为，表面积为.故选：A.7.正整数的倒数的和已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式，当很大时，.其中称为欧拉-马歇罗尼常数，，至今为止都不确定是有理数还是无理数.设表示不超过的最大整数，用上式计算的值为（

）（参考数据：，，）A．10 B．9 C．8 D．7【答案】C【解析】设，则，因为，可知数列为递增数列，且，，可知，所以.故选：C.8.若函数有两个零点，且存在唯一的整数，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题意，得有两个实根，设，则，令，解得，当时，，单调递增；当时，，单调递减；故当时，函数取得极大值，且，又时，；时，；当时，，，作出函数的大致图象，如图所示：直线与的图象的两个交点的横坐标即分别为，由题意知，又，，因为存在唯一的整数，所以，又直线与的图象有两个交点，由图可知：，即.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知，则下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】AB【解析】∵，∴即，∴，A正确；由基本不等式知：，当且仅当时等号成立又，∴∴即,当且仅当时等号成立；已知,故，B正确;令，，C错误；令，，分母为零无意义，D错误．故选：AB．10.已知函数，则（

）A．是偶函数 B．的最小正周期是C．的值域为 D．在上单调递增【答案】AC【解析】对于A，由于的定义域为，且，故是偶函数，A正确；对于B，由于，，故，这说明不是的周期，B错误；对于C，由于，且，故.而对，有，，故由零点存在定理知一定存在使得.所以的值域为，C正确；对于D，由于，，故在上并不是单调递增的，D错误.故选：AC.11.所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫作拟柱体，拟柱体的侧面是三角形、梯形或平行四边形，其体积是将上下底面面积、中截面(与上下底面距离相等的截面)面积的4倍都相加再乘以高(上下底面的距离)的，在拟柱体中，平面//平面，分别是的中点，为四边形内一点，设四边形的面积的面积为，面截得拟柱体的截面积为，平面与平面的距离为，下列说法中正确的有（

）A．直线与是异面直线B．四边形的面积是的面积的4倍C．挖去四棱锥与三棱锥后，拟柱体剩余部分的体积为D．拟柱体的体积为【答案】ABC【解析】A：面面，面面，面面，，即共面，不在面上，故不共面，所以直线与是异面直线，正确；B：设到的距离为，到距离为，同A分析易知，所以四边形是梯形，因为分别是的中点，所以.所以，正确；D：由题意知：拟柱体体积为，错误；C：挖去四棱锥与三棱锥后，拟柱体剩余部分的体积为，正确；故选：ABC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围是．【答案】【解析】如下图，由题意，直线方程可化为，由解得，则直线过定点，又，则由直线与连接两点的线段总有公共点知:直线的斜率满足或，又当直线的斜率存在时，，所以或，则直线的倾斜角为或，又也符合题意，则直线的倾斜角范围是.故答案为：.13.已知二项式的展开式中的常数项为，则.【答案】1【解析】由题意可知展开式的通项为，令，解得，可得，即.故答案为：1.14.在等边中，为内一动点，，则的最小值是.【答案】。【解析】如图所示，以的BC边的中点O为原点，BC为x轴，过O点垂直于BC的直线为y轴，建立建立直角坐标系如图，再将延x轴翻折得，求得的外接圆的圆心为Q，，M点的劣弧上，不妨设等边的边长为2，可得：，，，，点所在圆的方程为：.设参数方程为：，，，其中，即，解得，；故答案：四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）15.如图，在菱形中，，是的中点，将沿直线翻折使点到达点的位置，为线段的中点.(1)求证：平面；(2)若平面平面，求直线与平面所成角的大小.【解析】（1）取线段的中点为，连接，因为为线段的中点，所以，且；又是的中点，所以，且；所以，且，故四边形为平行四边形；所以，因为平面，平面，所以直线平面；（2）因为是的中点，所以，所以；因为平面平面，平面平面，所以平面.以为原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设，则，，，，则，，，设平面的法向量为，则即，取，则，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角为.16.某地区有小学生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局组织网络“防溺水”网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取220名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率分布直方图所示的频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图，估计该地区所有学生中知识问答成绩的平均数和众数；(2)成绩位列前10%的学生平台会生成“防溺水达人”优秀证书，试估计获得“防溺水达人”的成绩至少为多少分；(3)已知落在60,70内的平均成绩为67，方差是9，落在内的平均成绩是73，方差是29，求落在内的平均成绩和方差.（附：设两组数据的样本量､样本平均数和样本方差分别为：.记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差）【解析】（1）一至六组的频率分别为，平均数.由图可知，众数为.以样本估计总体，该地区所有学生中知识问答成绩的平均数为分，众数为分.（2）前4组的频率之和为，前5组的频率之和为，第分位数落在第5组,设为x，则，解得.“防溺水达人”的成绩至少为分.（3）)的频率为，)的频率为，所以的频率与的频率之比为的频率与的频率之比为设内的平均成绩和方差分别为，依题意有，解得，解得，所以内的平均成绩为，方差为.17.已知椭圆的离心率为，过点的直线与椭圆相交于两点，当过坐标原点时，．(1)求椭圆的方程；(2)当斜率存在时，线段上是否存在定点，使得直线与直线的斜率之和为定值．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）直线l过坐标原点O时，，，由椭圆离心率为，得，解得，所以椭圆C的方程为.（2）假设存在定点，，设直线l：，，由消去y得，，，，直线的斜率有，则当时，为定值，所以存在定点，使得直线QA与直线QB的斜率之和恒为0.18.已知函数.(1)求的最小值；(2)设函数，讨论零点的个数.【解析】（1）的定义域为，则当时，；当时，，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，因此的最小值为；（2），且，令，得，令，则与有相同的零点，且，令，则，因为当时，则，所以在区间上单调递增，又，所以，使，且当时，，即；当时，，即，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，因此的最小值为，由，得，即，令，则在区间上单调递增，因为，所以，则，所以，从而，即所以的最小值，所以当时，没有零点；当时，有一个零点；当时，因为，当趋近于0时，趋近于；当趋近于时，趋近于，所以有两个零点