2027届新高三数学热点复习 导数与函数的极值、最值

2027届新高三数学热点复习导数与函数的极值、最值知识清单1.函数的极值(1)函数的极小值函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧________，右侧________．则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．f′(x)＜0f′(x)＞0(2)函数的极大值函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧________，右侧________．则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．(3)极小值点、极大值点统称为______________，极小值和极大值统称为______________．f′(x)＞0f′(x)＜0极值点极值剖析对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．极大值与极小值之间没有必然的大小关系．2．函数的最值与导数(1)如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条________的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的________，f(b)为函数的________；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的________，f(b)为函数的________．连续不断最小值最大值最大值最小值剖析若函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．极值有可能是最值，若函数在闭区间[a，b]内的最值点不是端点，则其最值点亦为其极值点．自主诊断1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的.(

)(2)导数等于0的点一定是函数的极值点．(

)(3)函数的极大值不一定比极小值大．(

)(4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．(

)××√√2．(人教A版选修二P92T1改编)函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)(

)A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点、一个极小值点C．有两个极大值点、两个极小值点D．有四个极大值点、无极小值点答案：C解析：由题图可知极大值点有两个，极小值点有两个．故选C.

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4．(人教A版选修二P95例7(1)改编)函数f(x)＝(x＋1)ex的极小值为________．

命题点一导数与函数的极值考向1由函数图象判断极值(点)例1：(多选)已知f′(x)为函数f(x)的导函数，若函数y＝f′(x)－1的图象大致如图所示，则(

)A．f(x)有3个极值点B．x＝3是f(x)的极大值点C．x＝－4是f(x)的极大值点D．f(x)在(0，4)上单调递增答案：ACD解析：根据函数y＝f′(x)－1的图象得，当x∈(－∞，－4)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(－4，0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(0，4)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(4，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以f(x)有3个极值点，其中x＝－4和x＝4是f(x)的极大值点，且f(x)在(0，4)上单调递增，x＝0是f(x)的极小值点，结合选项，可得ACD正确，B错误．故选ACD.学霸笔记：(1)涉及与极值有关的函数图象问题，首先要分清给的是f(x)还是f′(x)的图象，若给的是f(x)的图象，应先找出f(x)的单调区间及极(最)值点．(2)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点．(3)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性．两者结合可得极值点．跟踪训练

(2026·齐齐哈尔模拟)已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列选项正确的是(

)A．f(x)有2个极值点B．f(x)在x＝2处取得极大值C．f(x)在(－∞，2)上单调递增D．f(x)有极小值，没有极大值答案：D解析：由题图得，当x<4时，f′(x)≤0，当且仅当x＝2时取等号；当x>4时，f′(x)>0，函数f(x)在(－∞，4)上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增．因此函数f(x)有一个极小值，没有极大值，ABC错误，D正确．故选D.

学霸笔记：求函数极值的步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)解方程f′(x)＝0，求出导函数的定义域内的所有根；(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号；(5)求出极值．跟踪训练求函数f(x)＝ex(4x＋4)－x2－4x的极值．

答案：BCD

(2)(全国Ⅱ卷)若x＝2是函数f(x)＝(x－1)(x－2)(x－a)的极值点，则f(0)＝________．－4

真题探源

(源自人教B版选修三P101B组T3)设函数f(x)＝ax3＋3x＋2有极值，求a的取值范围，并求出函数的极值点．

学霸笔记：(1)已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验．

x0(0，2)2(2，3)3f′(x)

－0＋

f(x)4单调递减单调递增1学霸笔记：求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值．考向2含参函数的最值例5：已知a∈R，函数f(x)＝ae2x＋(a－2)ex－x.(1)讨论函数f(x)的单调性；解析：由题意可得f′(x)＝2ae2x＋(a－2)ex－1＝(2ex＋1)(aex－1)，注意到ex>0，2ex＋1>0，①若a≤0，f′(x)<0，则f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减；②若a>0，令f′(x)＝0时，解得x＝－lna.当x>－lna，f′(x)>0；当x<－lna，f′(x)<0.所以f(x)在(－lna，＋∞)上单调递增，在(－∞，－lna)上单调递减．综上，a≤0时，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减；a>0时，f(x)在(－lna，＋∞)上单调递增，在(－∞，－lna)上单调递减．(2)当a>0时，求函数f(x)在区间[0，1]上的最小值．

学霸笔记：(1)由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致函数最值的变化，故函数含参数时，需注意是否需要分类讨论．(2)已知函数最值求参数，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值，结合已知求出参数，进而使问题得以解决．跟踪训练已知函数f(x)＝4x3－ax2＋3在[0，2]上的最大值为3，则实数a的取值范围是(

)A．(0，8) B．[12，＋∞)C．[8，12) D．[8，＋∞)答案：D

若a≥12，当0≤x≤2时，f′(x)≤0，函数f(x)在[0，2]上单调递减，函数f(x)在[0，2]上的最大值为f(0)＝3，满足条件，所以a≥12时，函数f(x)在[0，2]上的最大值为3.综上所述，a的取值范围是[8，＋∞)．故选D.1．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，若函数f′(x)的图象如图所示，则f(x)的极小值点为(

)A．x1

B．0C．x2或x3

D．x4答案：D解析：由题图可知，当x∈(－∞，x1)∪(x4，＋∞)时，f′(x)>0，当x∈(x1，x4)时，f′(x)≤0，当且仅当x＝0时，f′(x)＝0，所以f(x)在(－∞，x1)和(x4，＋∞)上单调递增，在(x1，x4)上单调递减，所以f(x)的极小值点为x4.故选D.2．(2026·中山模拟)函数f(x)＝ex－ln(ex)在其定义域上(

)A．有最小值，有最大值 B．有最小值，无最大值C．无最小值，有最大值 D．无最小值，无最大值答案：B

3．若x＝2是函数f(x)＝x3－ax2的极小值点，则实数a＝(

)A．6 B．3C．2 D．4答案：B解析：由题易得f′(x)＝3x2－2ax，则f′(2)＝3×4－4a＝0，解得a＝3.当a＝3时，f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，所以当x∈(－∞，0)和x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，当x∈(0，2)时，f′(x)<0，故x＝2是f(x)的极小值点，符合题意．所以a＝3.故选B.

答案：A解析：将原函数求导得f′(x)＝x2－2ax＝x(x－2a)，因为函数在x＝－4处取得极大值，则f′(4)＝4(4－2a)＝0，解得a＝－2.当a＝－2时，f′(x)＝x(x＋4)．令f′(x)>0，得x>0或x<－4；令f′(x)<0，得－4<x<0.所以函数f(x)在(－∞，－4)上单调递增，在(－4，0)上单调递减，所以f(x)在x＝－4处取得极大值，满足题意．故选A.

答案：C

答案：D

7．(2026·芜湖模拟)若函数f(x)＝(sinx－a)3的最小值为1，则f(x)的最大值为(

)A．2 B．4C．8 D．27答案：D

答案：C

答案：BC

答案：AC

－1

13．(13分)已知函数f(x)＝－xlnx＋2x＋1.(1)求函数f(x)的单调区间以及极值；解析：函数f(x)＝－xlnx＋2x＋1的定义域是(0，＋∞)．又f′(x)＝1－lnx，令f′(x)>0，得0<x<e，令f′(x)<0，得x>e，故函数f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，＋∞)，所以函数f(x)的极大值为f(e)＝e＋1，无极小值．(2)求函数f(x)在[1，e2]上的最小值．解析：由(1)可知，f(x)在[1，e]上单调递增，在(e，e2