江苏南京师范大学附属中学2025~2026学年高二下册期中第一次诊断考试数学试卷

/南京师大附中2027届高二下数学期中第一次诊断考试一、单选题（40分）1.现有1个白球、3个黑球，将它们随机放入如图所示的编号为1～6的抽屉内，每个抽屉至多放一个球，且所有黑球均放在白球的左侧.设白球所在抽屉的编号为X，则（）123456A. B. C. D.2.小明在某不透明的盒子中放入4红4黑八个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）.现从剩下7个小球中取出两个小球，结果都是红球，则丢掉的小球也是红球的概率为（）A. B. C. D.3.定义：在空间直角坐标系中、两点的“网线距离”为.设、、，其中、、均为整数，若满足的点的个数为，则的值为（）A. B. C. D.4.甲、乙两人玩一种扑克游戏，每局开始前每人手中各有6张扑克牌，点数分别为1～6，两人各随机出牌1张，当两张牌的点数之差为偶数时，视为平局，当两张牌的点数之差为奇数时，谁的牌点数大谁胜，重复上面的步骤，游戏进行到一方比对方多胜2次或平局4次时停止，记游戏停止时甲、乙各出牌次，则（）A. B. C. D.5.某商店店庆，每个在店内消费到一定额度的顾客都可以参与抽奖活动.组织方准备了个盲盒，其中有个盲盒内有奖品.抽奖规则为：抽奖者从这个盲盒中随机抽取1个盲盒，兑奖后组织方会再补回一个相同的盲盒，充分混合后，再由下一位抽奖者抽奖.抽奖者甲先拿起了一个盲盒，在犹豫是否打开时，组织方拿走了一个没有奖品的盲盒，最终甲选择了另外一个盲盒打开，记甲中奖的概率为.抽奖者乙在选盲盒时不小心碰掉了一个盲盒，并且发现摔裂的盲盒内没有奖品，随后乙从剩下的盲盒中选定一个盲盒打开，记乙中奖的概率为，则（）A. B. C. D.无法确定与的大小关系6.某化工厂园区内有4个仓库，现要将A，B等6种化工原料储存在仓库中.为了方便使用，每种原料平分为2份储存在2个不同的仓库中，每个仓库储存3种不同的原料，且考虑到安全因素，原料A，B不能储存在同一个仓库，则不同的储存方案数为（）.A.240 B.270 C.480 D.5407.设是3，4，5，6，7的一个排列.若对一切恒成立，则称该排列为“起伏排列”.则该起伏排列个数有（）A.32 B.24 C.20 D.368.二项式定理与组合数联系十分紧密，我们可以借助二项式来研究组合数中的某些性质，进而得到一些结论，例如，对于次二项式，取，可以得到．类比此方法，可以求得（）A. B. C. D.二、多选题（18分）9.在研究全概率公式时，我们将对一个事件发生的情况的研究转化为对发生该情况的几个先决条件进行分析，这是一种重要的递推思想.在如图所示的蜂窝形正六边形地图中，左上角与右下角的“○”分别代表起点与终点，蜂窝格中的实心圆点“●”代表地雷，有一个扫雷机器人在起点处接收到指令移动至终点，每一次移动只能按照箭头所示的三个方向运动，若移动到地雷区，则会立即将地雷排除.记移动过程中，该机器人可以排除的地雷数量最多为，现在在图中增加两枚地雷（用叉号“×”表示），则以下方法可以使增加且只增加的是：（）.A. B.C. D.10.已知表示中最小的数，表示中最大的数.若为的任意排列，设，，则（）A.排列总数为720个 B.满足的排列有80个C.的概率为 D.的概率为11.设A，B是一个随机试验中的两个事件，，，则（）A.事件A，B相互独立B.若，则C.D.若，则必有三、填空题（15分）12.考虑一个指标，这指标初始为0，另一个指标初始为1，接下来投掷若干次质地均匀的硬币，每次投掷结束后，都依据投掷的结果做接下来的操作：①掷出反面：把的值变为，例如当时，掷出反面后的值变为；②掷出正面：把的值变为，例如当，时，掷出正面后的值变为2；已知投掷199次硬币后，的值最终变为0，且这199次投掷中，恰好掷出了次正面的概率最大，则的值为______.13.有3个相同的球，分别标有数字1，2，3，从中有放回地随机取5次，每次取1个球．记为这3个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望_________．14.将编号为的个小球放入编号为的个盒子中，其中，要求每个盒子至多放一个小球，且对于任意的号球放入的盒子所对应编号都小于号球放入的盒子所对应编号，则号球放入编号为______________的盒子的概率最大.四、解答题（77分）15.如图所示数阵，第行共有个数，第m行的第1个数为，第2个数为，第个数为.规定.（1）试判断每一行的最后两个数的大小关系，并证明你的结论；（2）求证：每一行的所有数之和等于下一行的最后一个数；（3）从第1行起，每一行最后一个数依次构成数列，设数列的前n项和为是否存在正整数k，使得对任意正整数n，恒成立？如存在，请求出k的最大值，如不存在，请说明理由.16.某班级在课堂上开展传递卡片游戏，规则如下：①将各学生依次编号为，每个学生手中均有红卡、黑卡各一张；②老师先给1号学生随机等可能地发放一张红卡或黑卡；③2号从1号手中的三张卡片中随机抽取一张，接着，3号从2号手中的三张卡片中随机抽取一张，重复上述操作，直至号从号手中的三张卡片中随机抽取一张；④老师从号手中的三张卡片中随机取出一张弃置．则一轮游戏结束．（1）求在一轮游戏结束后，1号学生手中恰有两张红卡的概率；（2）求在一轮游戏结束后，号学生手中红卡张数的期望；（3）在一轮游戏结束后，将手持两张同色卡片的学生淘汰，余下的学生重新编号，并按照游戏规则重新进行下一轮游戏；当且仅当只剩一个学生未被淘汰或所有学生均被淘汰时，游戏终止．求比赛进行两轮后终止，且此时只剩一个学生未被淘汰的概率．17.某校开展科普知识团队接力闯关活动，该活动共有两关，每个团队由位成员组成，成员按预先安排的顺序依次上场，具体规则如下：若某成员第一关闯关成功，则该成员继续闯第二关，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第一关；若某成员第二关闯关成功，则该团队接力闯关活动结束，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第二关；当第二关闯关成功或所有成员全部上场参加了闯关，该团队接力闯关活动结束.已知团队每位成员闯过第一关和第二关的概率分别为和，且每位成员闯关是否成功互不影响，每关结果也互不影响.（1）若，用表示团队闯关活动结束时上场闯关的成员人数，求的均值；（2）记团队第位成员上场且闯过第二关的概率为，集合中元素的最小值为，规定团队人数，求.18.在数轴的坐标原点放置一个机器人，它每过1秒都将以的概率向数轴正方向或负方向移动1个单位长度，机器人每次经过或3时都会向雷达发送一次信息，且雷达会瞬间收到.设事件表示“机器人的前次移动均未向雷达发送信息”.（1）求，（2）已知①②两个结论：①；②设是一列无穷个事件，若存在正数，对于任意的均有，则“中只有有限个事件同时发生”的概率为1.（i）证明：事件；“雷达会收到信息”的概率为1；（ii）求机器人首次发送信息时所在位置为3的概率.19.甲社区有个女生和个男生，且每个女生都认识所有男生；乙社区有个女生和个男生，其中女生认识男生，但不认识其他男生．现从甲社区和乙社区分别选出队选手参加