苏科八年级数学下册复习-第九章 中心对称图形平行四边形（4类压轴题专练）

第九章中心对称图形平行四边形（4类压轴题专练）

一、旋转（几何问题）

1.如图A8C与AC。为正三角形，点0为射线C4上的动点，作射线（加与直线8C相交于点

E,将射线OM绕点。逆时针旋转60。，得到射线OV,射线QN与直线C。相交于点尺

⑴如图①，点。与点A重合时，点、E,产分别在线段BC,CD±,求证：^EC^FD；

⑵如图②，当点。在CA的延长线上时，E,尸分别在线段BC的延长线和线段8的延长线上,

CE,CF,CO三条线段之间的数量关系；

⑶点。在线段AC上，若43=8,40=7,当b=l时，请直接写出比•的长.

2.在中，ZB4C=90°,/W=AC,点。在线段8c上，点E在射线8C上，ZDAE=45°.

【探究发现】

（1）如图1,当点E在线段BC上时，猜想线段BDDE,反?的数量关系，并证明你的结论;

【类比迁移】

（2）如图2,若点E在8c的延长线上时，（1）中的结论是否成立，若成立，请完成证明，

若不成立，请写出正确的结论并说明理由；

【拓展应用】

（3）如图3,在等功中,点、D,E在边8C匕ZME=30°.BD=2,EC=4,求VAOE的

面积.

A

图1图2图3

3.知：其中ZAC8=NOE8=90。，直线OE交直线AC于点F.

(1)图1中，点七在43上，求证：AF+EF=DE；

⑵若将图1中的石绕点3按顺时针方向旋转，如图2,图3,你认为(1)中的结论还成立

吗？请直接写出AF，石厂与OE之间的数量关系；

⑶若A/、5,DE=8,贝ljEF=

二、最值问题

4.如图，菱形A8C。中，AB=4fZA=120°,点、P、。、K分别为线段BC、CD、BQ上的任

意一点，则PK+QK的最小值为()

A.4B.2旧C.拽D.

3

5.如图，正方形A8CO的对角线交于点。，点E是直线BC上一动点.若A8=4,则A£+O£的

最小值是()

C.2而D.2>/10

6.如图，在直角坐标系中，A(-4,0),B(0,4),。是08的中点，点。在第二象限，

且四边形40co为矩形，P是CQ上一个动点，过点P作尸H_LO4于H,Q是点B关于点A

的对称点，则BP+PH+HQ的最小值为.

7.如图，在长方形A8CO中，AD=6,N力物=30。，点P为边AB上的一个动点，过点尸

作「Q_LE),分别交8。、CD于点E、。，则QP+4Q的最小值为.

DQC

8.如图，菱形ABC。周长为16,ZDAC=30°,七是48的中点，。是对角线AC上的一个动

点，则PE+PB的最小值是.

8.如图，止方形ABCO的边长为8,点七在上,3E=2,点M,N为AC上动点，且MN=2近,

连接8N,EM,则四边形周长的最小值为一.

9.如图，在矩形ABC。中，A8=4,8C=8,E为。。边的中点，若P、。为8。边上的两个

动点，且。。=2,四边形APQE的周长最小值为.

三、（特殊）平行四边形动点问题

10.有一边长为6cm的正方形48CQ和等腰直角dQR,PQ=PR,QR=8cm.点、B,C,Q,R

在同一条直线/匕当C,。两点重合时,等腰直角/。穴以1cm/秒的速度沿直线，按箭头所

示方向开始匀速运动，，秒后正方形月戈。与等腰直角力QR重合部分的面积为Scm：解答下

列问题:

⑴当Q在线段3C上时，BQ=；当Q在线段8延长线上时，BQ=

（用含/的代数式表示）.

⑵当"3秒时，求S的值.

⑶当重合部分为四边形时，请用含，的代数式表示S，并注明，的取值范围.

（4）当点P到正方形的两条竖直的边的距离之比是1:3时，直接写出，的值.

11.有一边长为6cm的正方形A8CO和等腰直角JQR,PQ=PR,QR=8cm.点、B,C,Q,R

在同一条直线/上，当c,Q两点重合时，等腰直角JQR以IcnV秒的速度沿直线/按箭头所示

方向开始匀速运动，/秒后正方形A8C。与等腰直角aPQR重合部分的面积为Sen/,解答下列

问题:

⑴当。在线段8c上时，BQ=；当Q在线段延长线上时，BQ=（用含/

的代数式表示）.

⑵当，=3秒时，求S的值.

⑶当重合部分为四边形时，请用含，的代数式表示S,并注明，的取值范围.

（4）当点〃到正方形的两条竖直的边的距离之比是1:3时，直接写出/的值.

12.如图，在Y48CD中，A5=10.4C=40I。边上的高为8.点P从点A出发，沿4）以每秒5

个单位长度的速度运动.点。从点8出发沿8-以每秒8个单位长度的速度运动./>、。两

点同时出发，当其中一点到达终点时，尸、Q两点同时停止运动.设点运动的时间为，（秒）

…），连结做.

（备用图）

⑴直接写出点。与点C重合时，的值.

⑵当点。沿A-C运动时，求。C的长（用含，的代数式表示）.

（3）当PQ_L8C时，求/的值.

（4）当/。=1。时,直接写出/的值.

13.如图，A8CD是直角梯形，A8=18cm,CD=15cm,A£>=6cm,点P从8点开始，沿班边

向点A以lcm/s的速度移动，点。从。点开始，沿OC边向点。以2cm/s的速度移动，如果P、

0分别从从。同时出发，P、。有一点到达终点时运动停止，设移动时间为九

____c

(11/为_时四边形PQ8是平行四边形;

(21;为何值时四边形尸0M是矩形？

(31/为JJ寸四边形PQCB是等腰梯形.

14.如图，在RtZ\A8C中，?B90?,4C=30cm,NC=30。，点。从点C出发沿CA方向以4cm/

秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿A3方向以2cm/秒的速度向点。匀速运动，

当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点。，E运动的时间是।秒.过点。

作OF_L8C于点尸，连接OE,EF.

⑴四边形A耳7)能构成菱形吗？如果能，求出相应的，值；如果不能;

⑵当，为何值时，厂为直角三角形？请说明理由.

四、四边形综合问题

15.如图1,已知，在平面直角坐标系中，点3(〃?,〃)为第一象限内的一点，过点3分别作x

轴，)，轴的平行线交x轴，y轴于点4、C.点。为射线0A上的一个动点，06与△0(。关

于直线。。对称，连接。'从

(1)请判断四边形0ABC的形状；

⑵若初=10,〃=6,当“/8C为直角三角形时,求。。的长;

(3)如图2,若〃.〃_6,点。：3,0),过点A作A〃_LZR7交，。的延长线于点〃，求A”的长.

16.小明在学习了平行四边形这一章后，对特殊平行四边形的探究产生了兴趣，发现另外一

类特殊四边形，如图1,我们把两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.

(1)【概念理解】在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是________.

(2)【性质探究】通过探究，小明发现了垂美四边形的一些性质：垂美四边形A8C。的面积S

与对角线AC8Q的数量关系为：.

⑶【问题解决】如图2,分别以RSAC〃的直角边AC和斜边A8为边向外作正方形AC/0和

ABDE.连接CG,BE,GE,己知4C=4,A8=5.求证；四边形3CGE为垂美四边形，汴求出它的

面积.

(4)【学以致用】请直接写出(3)中GE的长.

17.【定义学习】

定义：如果四边形有一组对角为直角，那么我们称这样的四边形为“对直四边形

【判断尝试】

(1)在①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“对直四边形”的是;(填序号)

(2)如图1,四边形A8CO是对直四边形，若ZA=90。，AB=6,4)=2,8=1,则边BC的

长是______;

【操作探究】

如图2,在菱形A8CZ)中，AB=6,N8=60°,AE上BC于点E,请在边上找一点尸，使得以

点A、E、C、尸组成的四边形为“对直四边形”，画出示意图，并直接写出样的长是；

【拓展延伸】

如图3,在正方形A灰?。中，A8=6,点E、尸、G分别从点8、B、。同时出发，并分别以每

秒1、1、2个单位长度的速度，分别沿正方形的边胡、BC、。方向运动(保持CG4C0,再

分别过点£、尸作A3、8C的垂线交于点〃，连接A”、HG.

(1)试说明：四边形A”GO为对直四边形.

(2)在此运动过程中，动点”的运动路径长是______；

【实践应用】

某加工厂有一批四边形板材，形状如图4所示，其中A8=2米，8c=6米，Z^=ZC=9(r,ZD=45°.

现根据客户要求，需将每张四边形板材进一步分割成两个等腰三角形板材和一个“对直四边形”

板材，且这两个等腰三角形的腰长相等，要求材料充分利用无剩余•请直接写出分割后得到的

等腰三角形的腰长是.

口47曷/I)/J)

用IM图J图4曾用图

18.(1)问题背景.

如图1,在四边形A8CD中，AB=ADfZB+ZD=180°,E、/分别是线段8C、线段CD上的

点.若=尸，试探究线段跖、EF、FO之间的数量关系.

图1

小明同学探究此问题的方法是，延长尸。到点G.使连接4G,先证明

XAB哙\ADG.再证明工Gb,可得出结论，他的结论应是______.

(2)猜想论证.

4

如图2,在四边形ABCO4,AB=ADfZfi+ZADC=180°,E在线段8c上、r在线段CD延长线

上.若NBAD=2NEAF,上述结论是否依然成立？若成立说明理由；若不成立，试写出相应

的结论并给出你的证明.

图2

（3）拓展应用.

如图3,在四边形A8CD中，NBDC=45。,连接BC、ADfAB:AC:BC=3:4:5fAD=4f且

ZABD+ZCBD=180°.则AC。的面积为.

第九章中心对称图形平行四边形（4类压轴题专练）

答案全解全析

一、旋转（几何问题）

1.如图A8C与AC。为正三角形，点O为射线C4上的动点，作射线OM与直线8c相交于点

E,将射线绕点O逆时针旋转60。，得到射线OV,射线ON与直线CO相交于点F.

⑴如图①，点。与点A重合时，点、E,歹分别在线段8C,CD上，求证：AEC^：AFD；

（2）如图②，当点。在C4的延长线上时，E,尸分别在线段3C的延长线和线段C/）的延长线上，

C£,CECO三条线段之间的数量关系；

⑶点O在线段4c上，若AB=8,BO=7,当b=l时，请直接写出跖的长.

【答案】（1）证明见解答

（2）CF=CE+CO

⑶满足条件的BE的值为4或2或6

【分析】（1）由等边三角形的性质可得A8=AC=8C=AD=CD,

ZBAC=Z8CA=ZADC=ADAC=60°,由旋转的性质可得㈤b二60。，易得NE4C=NE4O,由“ASA”

可证AECg.A㈤；

⑵过点O作OH〃BC交DF与点H,可证.CO”是等边三角形，可得OC=C〃=O"，由“ASA”

可证△0〃/@ZSOCE,可得CE=FH,即可得C£+CO=CF；

（3）分四种情形画出图形分别求解即可解决问题.

【详解】（1）证明：如图①中，

•・•48c与「ACD为正三角形，

AB=AC=BC=AD=CD,ABAC=ZBCA=ZADC=ADAC=60°,

;将射线OM绕点。逆时针旋转60。，

.\ZE4F=60°,

/.ZEAC+ZC4F=ZC4F+NFAD=60°,

^EAC=ZFAD,

•・Z4CS=Z/WF=60。，AC=AD,

:.AEC^,AFD(ASA)；

(2)解：CF=CE+CO,理由如下：，

如图②，过点、。作OH〃BC交DF与点H,

4Hoe=NBCA=60°,ZOHC=^ADC=60°,

vZACD=60°,

「.ACOH是等边三角形，

：.OC=CH=OH,

QZEOF=60°,

ZCOE+ZEOH=ZFOH+ZEOH,

:.KOE=4FOH,

NOCE=1800-N4cB=120°,4OHF=180°-4OHC=120°,

/OCE=/OHF,

,;OH=OC,

.•.QH/FOCE(ASA),

:.CE=FH,

•;CF=FH+CH,

CF=CE+CO；

(3)解：作5〃_LAC于H.

44=8,ABC为正三角形，BH±AC,

：.AH=-AC=-AB=4,

22

BH=《AB?-AH?=7S2-42=46，

如图③T中，当点O在线段A”上，点£在线段8C上时.

A

•••BO=7,

:.OH=ylOB2-BH2=749-48=1，

:.OC=OH+CH=OH+AH=4-\=5,

过点。作ON|/W,交3c于N,

...ONC是等边三角形，

/.ON=OC=CN=5,ZONC=ZOCF=60°,

.•/NOE+/EOC=/E(1C+/COF=60°,

:.小OE=/COF,

,ON=OC,ZONC=4OCF,

ONEROC尸(ASA),

:.CF=NE,

•;CN=CE+NE,

OC=CE+CF,

;CN=5,CF=1,

:.CE=CN-CF=5-\=4t

:.BE=BC-CE=8-4=4；

如图③-2中，当点。在线段4H匕点£在线段BC匕点厂在线段。。的延长线上时,

同法可证：CE—CF=OC,

CE=5+1=6.

.\SE=BC-CE=S-6=2；

如图③-3中，当点0在线段。〃上，点尸在线段OC上，点E在线段BC上时.

vOC=CH-OH=4-\=\CF=\f

:.CE=OC-CF=3-\=2t

:.BE=BC-CE=8-2=6；

如图③-4中，当点。在线段C"匕点尸在线段OC的延长线上，点E在线段BC上时.

同法可知；CE-CF=OC,

而OC=CH-OH=4-1=3,

.-.CE=OC+CF=3+1=4,

:.BE=BC-CE=8-4=4；

综上所述，满足条件的皮:的值为4或2或6.

【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性

质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会

用分类讨论的思想思考问题.

2.在RtZ\ABC中，ZBAC=90°,A8=AC,点。在线段上，点E在射线8c上，ZDAE=45°,

【探究发现】

（1）如图1,当点£在线段8c上时，猜想线段8DDE,EC的数量关系，并证明你的结论;

【类比迁移】

（2）如图2,若点七,在4。的延长线上时，（1）中的结沦是否成立，若成立，请完成证明，

若不成立，请写出正确的结论并说明理由；

【拓展应用】

(3)如图3,在等边乂8。中，点。，E在边BC上，ZZME=30o,BD=2,EC=4,求VAZ)E的

面积.

【答案】(1)EC2+BD2=DE2(2)(1)中的结论成立，EC2+BD2=DE2(3)3历+7石.

【分析】(1)将AABO绕点A旋转至△Ab的位置，使得AB与AC重合，连接CRE/,可得

BD=CF,AO=NB=ZAO',由“SAS”可证，可得小二所，由勾股定理可求解；

(2)把△相力绕点A逆时针旋转90。，得至连接E儿由(1)可知：Z^AE^AFAE,

得出OE=E〃，则可得出结论；

(3)如图3,将△AM沿4。折叠得△钎£),将AACE沿AE折叠得△"E,过点E作£W_LO八

交。尸的延长线于〃，由直角三角形的性质可求/"=2,四=6灯/=26，由勾股定理可求解.

【详解】(1)EC2+BD2=DE2.

证明：如图1,将△A8。绕点A旋转至△ACF的位置，使得相与AC重合，连接C£M,

图1

ABD^^ACF,

BD=CF,AD=AF,NB=乙ACF,

48=AC"AC=90。，

\?B?ACB45?,

；."CB=ZACB+ZACF=90°.

Q/BAC=ZBAD+ZDAE+ZCAE,/DAE=45°,

4-ZC4E=45°,

Q/3AO=NC4尸，

/./EAF=ZC4F+ZCAE=45°,

/./EAF=/DAE,

在△AQ和△AED中，

AD=AF

,/F.AF=/FAD,

AE=AE

ADE^AFE（SAS）y

:.DE=FE,

在MECF中,由勾股定理知：EC2+CF2=EF\

EC2+BD1=DE2;

（2）（1）中的结论仍成立.

理由：把△A8D绕点A逆时针旋转90。，得到△4b,连接E尸,

图2

/ABD=ZACF=45°,BD=CF,

NBCF=NECF=90。,

:.CE2+CF2=FE\

由（1）可知：AZi4E^AM£,

:.DE=EF,

:.CE2+BD2=DE2-,

（3）VZD4E=30°,

・・・N的。+NC4£=30°,将△MD沿AO折叠得△AFO,将AACE沿AE折叠得，过点E作

EHIDFt交。r的延长线于，，

A

;.BD=DF=2,CE=EF=4,ZAFD=ZAFE=NB=NC=#。,

/.Z/)FE=l20°t

ZEFH=60°,

QEHLDF,

/.ZFE/7=3O°,

:.FH=、EF=2,

2

/.EH=邪FII=26

DE=y1DH2+HE2=2a

/.BC=6+2",

如图，过A作AM_L8C,

则/8AM=30o,8M=CM=gBC=3+"

.•“ABC的8c边上的高AM=耳BM=36+后,

/.S,nP=-DEAM=-x2y/lx(373+&T)=3&T+7瓜

【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，折叠

的性质，旋转的性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角

形是本题关键.

3.知：RtAABC^RtADBE,其中ZAC/『二N/儿〃=9。。，直线。£交直线AC于点尸.

（1］图1中，点E在A8上，求证：AF+EF=DE；

（2）若将图1中的绕点“按顺时针方向旋转，如图2,图3,你认为（1）中的结论还成立

吗？请直接写出A尸，与。£之间的数量关系；

⑶若Ab=5,DE=8,则斯=.

【答案】（1）见解析

⑵不成立，见解析

（3）3或13

【分析】（1）连接“，由，可得AC=OE,即可证明Rt△称CgRSB庄（HL）,

有CF=EF,从而AF+EF=DE；

（2）图2中连接防，证明RI△班C4RtZ\8在（HL）,得CF=EF,可得AF—EF=DE；图3中

连接M,证明RSMCgRtzXB/芭（HL）,可得EF-AF=DE；

（3）分为当尸在线段AC上时及当尸在C4的延长线上时，两种情况进行讨论即可.

【详解】（1）证明：连接防.

"8C丝△O8E,

；.BC=BE,AC=DEt

QZACT=ZDEB=90°,

:.NBCF=/BEF=9(r,

BF=BF,

RtBFC^RtBFE(HL),

:,CF=EF,

,AF+CF=ACf

:.AF+EF=DE：

(2)；(1)中的结论不成立，

图2中A厂-麻=/织，理由如下:

连接BF,

图2

mCWADBE,

:.BC=BE,AC=DE,

QZACB=ZZ)Efi=9O°,

Z/?CF=ZBEF=90°,

;BF=BF,

：.RtBFgRtBFE(HL),

;.CF=EF,

AF-CF=ACt

:.AF-EF=DE；

图3中火-人尸=£)石，理由如下:

连接BF，

DR

图3

^AB84DBE,

;.BC=BE,AC=DE,

QZACA=NOEA=90。，

；.NBCF=/BEF=9()0,

BF=BF,

二.RlB产。gR(.AFE(HL),

:.CF=EF,

CF-AF=ACf

.\ET-AF-DE；

（3）解：当尸在线段4c上时，由（1）知A尸+E尸=/汨，

：.EF=DE-AF=3,

当尸在C4的延长线上时，由（2）可知灯-4/=£＞石，

.­.EF=8+5=13；

综上所述，样的长为3或13.

故答案为：3或13.

【点睛】本题考查几何变换综合应用，涉及全等三角形的判定与性质，解题的关键是作辅助

线，构造全等三角形.

二、最值问题

4.如图，菱形A8CO中，49=4,4=120。，点，、Q、K分别为线段8C、CD、BD上的任

意一点，则PK+QK的最小值为（）

A.4B.26C.—D.2G

3

【答案】D

【分析】根据釉对称确定最短路线问题作图，再利用直线外一点到直线的距离垂线段最短确

定最短距离并计算即可.

【详解】解：作点/，关于8。的对称点6,根据菱形的性质，点4落在线段A8I：,

连接RK

/.PK=P、K

PK+QK=P,K+QK

・••当G0，K在同一直线并且4QLC。时，PK+QK最小,

过点A作AE_LCD交CD于点E

v/BAD=\20Q,AB//CD

ZA/X7=180o-120°=60o

AB=4

..AD=4

/.AE=—AD=—x4=25/3

22

・・.PK+QK最小为2。

故选D.

【点睛】本题主要考查轴对称求最短距离以及直线外一点到直线的距离垂线段最短的性质，

菱形的性质，熟练掌握轴对称确定最短路线以及菱形的性质是解决本题的关键.

5.如图，正方形A8CO的对角线交于点。，点E是直线BC上一动点.若A8=4,则AE+OE的

最小值是（）

C.2X/T3D.2>/|0

【答案】D

【分析】本题为典型的将军饮马模型问题，需要通过轴对称，作点4关于直线BC的对称点4,

再连接A0,运用两点之间线段最短得到A0为所求最小值，再运用勾股定理求线段A。的长

度即可.

【详解】解：如图所示，作点A关于直线的对称点A，，连接A。，其与8C的交点即为点

E,再作"交48于点F,

・.・A与4关于8C对称，

：.AE=AEfAE+OE=AE+OEf当且仅当A,O,七在同一条线上的时候和最小，如图所示,

此时AE+OE=ArE+=AO,

•・•正方形A4CQ,点。为对角线的交点，

：.OF=FB=-AB=2

2t

•・•对称，

4M=/3A'=4,

月4'=产B+BA'=2+4=6,

在改中，OA,=ylFO1+FA,2=25/10，

故选：D.

【点睛】本题为典型的将军饮马模型，熟练掌握轴对称的性质，并运用勾股定理求线段长度

是解题关键。

6.如图，在直角坐标系中，A(-4,0),B(0,4),。是OB的中点，点。在第二象限，

且四边形AOC。为矩形，尸是CZ)上一个动点，过点P作于"，。是点B关于点A

的对称点，则BP+PH+HQ的最小值为.

【答案】12

【分析】根据。是03的中点，求出点C的坐标，结合矩形性质得出尸〃=。=2,两点对称公

式得出点9-8,-4)；利用平行四边形的性质构造等量关系40=8,则陟+物+”°=8+〃0+2,

由三点之间直线最短可知C”+〃Q的值最小时，即CQ=10,可得出结论.

【详解】解：连接C"，

・・・8(0,4),0(0,0),。为08的中点,

二点0(0,2).

AOC=2,

•・•四边形A。。。为矩形，

:.ZPCO=ZCOH=90。.

-PHLOA于H,

：.47/0=90。，

:.4PC。=ZCOH=NPHO=90c,

・••四边形?"co为矩形，

:,PH=CO=2,PH//BC,

:.PH=BC=2.

・・・四边形P8C”是平行四边形，

PB=CH,

:。是点B关于点A的对称点，A(-4,0),8(0,4),

・••点0・8,-4).

BP+PH+HQ=CH+HQ+2.

・•・当点C,H,。三点共线，C〃+，Q的值最小，

22

(CH+HQ)min=CQ=7(-8-0)+(-4-2)=10,

.YBP+PH+HQ)min=(CH+HQ)min+2=10+2=12.

故答案为：12.

【点睛】本题考查四边形中的线段最短问题，恰当利用四边形(平行四边形)的性质定性构

造等量关系，理解并掌握三角形三边关系定理(三点共线时取得最值)是解本题的关键.

7.如图，在长方形A8CO中，AD=C，4＞期=30。，点P为边A8上的一个动点，过点P

作PQ_LB£>,分别交CD于点、E、Q,贝IJDP+8Q的最小值为

【答案】4

【分析】在长方形A8C。中，求出A8=j3A£>=3,BD=2AD=?6，设AP=x,用勾股定理可得

80=五一以+7,可得DP+=,3+4+4一©+7=&+（百?+J（2-炉+曲）2,用勾股定理可得

OP+8Q最小值.

【详解】解：在长方形A3CQ中，AD=6，/DBA=30。,

AB=J3AD=3,BD=2AD=2g,

设=pllj13P=3-X,£>P=〃£f+Ap2=J3+V,

在中，

PE=3=99*曲£=¥一十，

乙LLLL

...£>E=BO—BE=2G—（芈一理）=4+华,

在RtZXOEQ中,/QDE=/DBA=30°,

…DE1A-

•3=『”，

在Rl8EQ中，

BQ=西+QEI=J（竽一孚）?+（；+卜了=V.r-4x+7,

DP+BQ=J3+V+VX2-4X+7=&+（扬2+J（2-X）2+（6）2,

如图：'设MN=2,NT=x,MT=2-xtKM=NS=g,KMLMN,SNLMN,

22

贝ljKT=7（2-X）+（>/3）=BQ,ST=6+（扬2=DP,

由图可知，当K、T、s共线时，KTiSr最小，最小值为KS的长，

过S作SWLKM交KM延长线于W,则四边形MNSW是矩形，

在色△-15中，

KW=KM+M\V=2j3,SW=MN=2,

/.KS=ylK\V2+SW2=V(2X/3)2+22=4,

••・C+厂最小值是4,

.•.DP+82最小值是知

故答案为:4.

【点睛】本题考查矩形中的最短路径问题，解题的关键是设人P=x,用含1的代数式表示

DP+BQ，再构造数学模型用勾股定理即可求得答案.

8.如图，菱形ABC。周长为16,ZDAC=30°fE是A8的中点，尸是对角线AC上的一个动

点，则PE+PB的最小值是.

【答案】2逐

【分析】连接3。交4C于点0,连接尸。，DE.由四边形4BC。是菱形，可得：AC1BD,

BO=DC).可知AC垂直平分BD,所以PB=PD.可得PE+PB=PE+PDNDE,WPE-^PB>DE.由

四边形ABC。是菱形，皿。=30\可得/。48=2/"。=60。.由四边形ABC。是菱形且周长是

16,可得A8=8C=C£)=A0=4.结合ND48=60°,可得aAB。是等边三角形.由于点E是A8

的中点，可得DEVA8.所以NOE4=NOE8=9()。.由ND48=60。，可得ZADE=30。.在mAADE

中，由直角三角形性质，可求出4后=：4。=2.由勾股定理可得入序+。炉=4)2,可求出

DE=26.所以尸E+P8的最小值为2打.

【详解】解：连接8。交AC于点。，连接PQ,DE

•••四边形/WCD是菱形

AClBDfBO=DO,AB=BC=CD=AD,ZDAC=ZBAC=-ZDAB

AClBDfBO=DO

••AC垂直平分BD

「•PB=PD

PE+PB=PE+PD>DE

即PE+PB2DE

ZmC=30°,ZDAC=^BAC="ZDAB

2

•••^DAB=2ZDAC=a)°

•••菱形A8C。的周长为16

AB=BC=CD=AD=4

••AAB。是等边三角形

•・•点E是AB的中点

DEJ.AB

，Z£)E4=ZDEB=90°

ZDA^=60°

ZADE=9()°-ZDAB=30°

在Rt/XADE中,ZADE=30°

AE=—AD=2

2

在Rt^ADE中，由勾股定理得AS+DE2=AD2

DE=y/ATf-AE2=V16^4=275

PE+PB>DE

・•.PE+PB的最小值为2G

故答案为：26

【点睛】本题主要考查知识点为：菱形的性质、垂直平分线的性质、等边三角形的性质、直

角二角形的性质，勾股定理.若要PE+P8最小，应让“从PB,在同一直线上，所以需将其

中一条线段进行转移.掌握上述知识点和求最值的思路，是解次本题的关键.

8.如图，正方形ABC。的边长为8,点石在上,BE=2.点M,N为AC上动点，且MN=2&,

连接BN,EM,则四边形周长的最小值为一.

【答案】12+2近

【分析】连接B。、DN,作点E关于3。的对称点F,连接N/、DF,根据正方形的性质和平

行四边形的判定可证明四边形是平行四边形得到历后N凡RN=DN,利用三角形三边

关系可得ME+BN=NF+D%DF（当D、N、尸共线时取等号），利用勾股定理求得。尸即可求

解.

【详解】解：连接3。、DN,作点七关于3。的对称点R贝Ij3f=8"=2,

连接NRDF,

•・•四边形A3CQ是正方形，Z.ZABC=ZBCD=90\DBLAC,BN=DN,点F在BC上,

：.EF//AC,EF=qBE、BFS=MN，

・・・四边形MEFN是平行四边形，

:・ME=NF,

：.ME+BN=NF+DN>DF（当£）、N、/共线时取等号），

在R/ZkOC"中，CQ=8,CF=8-2=6,则^CD2+CF2=10,

:.ME+B股TO,

：.MN+BE+ME+B叱272+2+10=12+2&,

即则四边形3EMN的周长的最小值为12+2&,

故答案为：12+20.

【点睛】本题考查最短路径问题，涉及正方形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、

轴对称性质、三角形的三边关系，熟练掌握正方形的对称性质，会利用三角形的三边关系找

的。尸为最小是解答的关键.

9.如图，在矩形人中，A8=4,BC=8,七为CO边的中点，若P、。为8C边上的两个

动点，且PQ=2,四边形APQE的周长最小值为.

【答案】2a+2+6上

【分析】要使四边形人尸QE的周长最小，由于人E与尸。都是定值，只需人P+EQ的值最小即

可.为此，先在边上确定点P、。的位置，可在4。上截取线段AF二。七二2,作尸点关于

BC的对称点G,连接EG与BC交于一点即为。点，过A点作广。的平行线交于一点，

即为。点，则此时AP+EQ=EG最小，即四边形4PQE的周长最小.

【详解】在AO上截取线段4F=PQ=2,作尸点关于的对称点G,连接EG与BC交于一

点即为。点，过A点作尸。的平行线交8c于一点，即为尸点，过G点作3c的平行线交OC

的延长线于”点.则四边形APQ厂是平行四边形

：.PA=FQ=GQ

・・・E为CO边的中点

：.DE=EC=2

•**AE=yjAlf+DE2=2717

♦；GH=DF=6,EH=EC+CH=2+4=6,Z/7=90°,

；・/GEH=45。,

EG=6叵,

・•・四边形APQE的周长的最小值=QE+EA+PQ+AP

=2^+EQ+2+AP

=2y/V7+EQ+2+QG

=2m+EG+2

=2如+2+6&.

故答案为2«7+2+6上.

【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称-最短路线问题的应用，题目具有一定的代表性，是

一道难度较大的题目，对学生提出了较高的要求.

三、（特殊）平行四边形动点问题

10.有一边长为6cm的正方形AACD和等腰直角MS,VQ-PR,QA—8cm.点/?,C,Q,R

在同一条直线/上，当C,Q两点重合时，等腰直角-P”以1cm/秒的速度沿直线，按箭头所

示方向开始匀速运动，/秒后正方形A8CD与等腰直角一PQ火重合部分的面积为Sen?,解答下

列问题:

D

⑴当。在线段3C上时，BQ=；当。在线段C8延长线上时，BQ=

（用含/的代数式表示）.

⑵当，=3秒时，求S的值.

⑶当重合部分为四边形时，请用含，的代数式表示S,并注明，的取值范围.

（4）当点P到正方形的两条竖直的边的距离之比是1:3时，直接写出，的值.

【答案】⑴6-，；t-6

+8/-16(4</<6)

+6・2(84/<10)

（4"=1或:•或弓或13

【分析】本题考查了正方形性质，等腰直角三角形性质，三角形的面积，分类讨论等知识,

解决问题的关键是正确分类，找出数量关系.

（1）当点。在8。上时，BQ=BC-CQ,当。在C8的延长线时，BQ=CQ-BC;

（2）当，=3时，点P在（%＞的右侧，此时△QC〃的边长是3；

（3）先根据临界确定两种情形：4v/v6和87vl0,进而确定尸的边长，从而求得；

（4）分为点尸在的右侧，在A8和。之间及在A8左侧，设到距离是％,距离48是V,

列出二元一次方程组求得.

【详解】（1）解：当点。在肥上时，

BQ=BC-CQ=6T,

当。在CB的延长线时,

BQ=CQ-BC=l-6.

(2)解：如图1,

作PE_LQ/?于

NQPPR=90°,PQ=PR,

:.QE=ER=-QR=4NPQR=NPRQ=45。，

2f

••・四边形A8CD是正方形，

ZDCe=90°,

：.AQFC=45°f

.,CF=CQ=3t

119

・・.S=]CQ・Cb=1x3x3=；；

(3)解：当点E和点。重合时，点。在。。上，此时r=QE=4,

当点。和小重合时，此时z=〃C=6,

当点R和和点C重合时，此时"QR=8,

当点P在相上时，此时f=10,

图2

CF=CR=QR-CQ=S-t,

・•・5ak=；(8-f)2，

S,，w=gx8x4=16,

.1.5=16-i(8-r)2=-ir+8/-16,

当8q<10时,如图3,

n

BQ=CQ_BC=t_6,

»=：砥？=g(，-6尸，

.­.5=16--(/-6)2=--/2+6r-2,

22

图4

此时是五边形或三角形,

--Z2+8/-16(4</<6)

S=•

--/2+6r-2(8</<10)

(4)解：设点P到C。的距离是工，到"的距离是九

当点P在C。的右侧时,

2=1

5=3，

xI

••------7二一，

x+63

.V—3,

此时/=4-3=1,

当点户在A8和8之间时,

当冷时，

•;%+)，=6,

3

/.x=—,

2

此时/=4+口=:，

当消此

vx+y=6,

9

x=—,

2

,,,4917

llnW?=4+-=—,

当点尸在A8的左侧时，

•/—=3,x-y=6,

）=3,

此时7=3+6+4=13,

综上所述：31或?或:或13.

11.有一边长为6cm的正方形A3CD和等腰直角“PQR,PQ=PR,QR=8cm.点八C,Q,R

在同一条直线/上，当C,。两点重合时，等腰直角/5以1cm/秒的速度沿直线/按箭头所示

方向开始匀速运动，，秒后正方形A8CD与等腰直角JQR重合部分的面积为Sen?,解答下列

问题:

⑴当。在线段4c上时，BQ=；当Q在线段CB延长线上时，BQ=（用含I

的代数式表示）.

⑵当r=3秒时，求S的值.

⑶当重合部分为四边形时，请用含，的代数式表示S,并注明，的取值范围.

（4）当点。到正方形的两条竖直的边的距离之比是1:3时，直接写出，的值.

【答案】（1）6T或-6

“9

⑵5

--r+8r-16(4</<6)

2

⑶s=,

-1r2+6/-2(8<r<10)

(4"=3或?■或弓或13

【分析】（1）当点。在上时，BQ=BC-CQ,当。在CO的延长线时，BQ^CQ-BC.

（2）当，=3时，点尸在CD的右侧，此时的边长是3;

（3）先根据临界确定两种情形:4y<6和8vrvl0,进而确定△CRF的边长，从而求得；

（4）分为点，在CD的右侧，在A8和C。之间及在48左侧，设到C7）距离是x,距离48是

列出二元一次方程组求得.

【详解】（1）解：当点。在8C上时，BQ=BC-CQ=6T,

当。在6的延长线时，BQ=CQ-BC=（-6,

故答案是6T或-6；

（2）如图1,

作此UQR于七，

VZQPR=90Q,PQ=PR,

:・QE=ER=；QR=4,/PQR=NPRQ=45。,

・・•四边形A8CO是正方形，

.・.NDCQ=90。,

：.ZQFC=45°,

:・CF=CQ=3,

I|9

S=-C（2-CF=-x3x3=-；

（3）当点E和点C重合时，点尸在上，止匕时，=QE=4,

当点。和8重合时，此时/=BC=6,

当点R和和点。重合时，此时，=QR=8,

当点尸在A8上时，此时/=1（）,

.••当4</<6时，如图2,

*：CF=CR=QR-CQ=3-t、

.,.5人依=3(8_/)2,

SgQR=-x8x4=16,

2

1,1,

AS=16——(87)2=——r2+8r-16,

22

当8</<10时，如图3,

BQ=CQ-BC=t-6f

：.=g3Q2=((-6尸,.・・S=16-1(/-6)2=-lr2+6/-2,

当6EY8时，如图4,

--r2+8/-16(4<r<6)

S=<；；

——r2+6r-2(8<r<10)

2

(4)设点尸到8的距离是”,到A8的距离是匕

当点”在。。的右侧时，

・・4」

Vy=3，

-.-V-=一I

x+63

x=3,

此时Z=4-3=1,

当点P在那和CD之间时，

当常时，

•：x+y=6t

.3

•・x,

2

此时/=4+白=?,

当时，

x3

•.・X+y=6,

,32,

2

此时r=4+|=],

当点尸在A8的左侧时，

V-=3,x-y=6

yf

x=3,

止阴寸7=3+6+4=13,

综上所述：『=3或?或9或13.

【点睛】本题考查了正方形性质，等腰直角三角形性质，分类讨论等知识，解决问题的关键

是正确分类，找出数量关系.

12.如图，在YA8C。中，A8=1O,3C=4O,3C边上的高为8.点尸从点A出发，沿4。以每秒5

个单位长度的速度运动.点Q从点8出发沿8-C-8以每秒8个单位长度的速度运动.P、。两

点同时出发，当其中一点到达终点时，尸、。两点同时停止运动.设点运动的时间为，（秒）

（1）直接写出点Q与点C重合时，的值.

⑵当点。沿"C运动时，求QC■的长（用含，的代数式表示）.

（3）当时,求f的值.

⑷当尸。=1。时，直接写出/的值.

【答案】（1）5

（2）40-8/

⑶2或1

（4：4

【分析】（1）由题意可得8，=40,即可；

（2）根据题意可得8Q=劭，从而得到2c=8C-BQ=40-8f,即可;

（3）分两种情况，点。沿8-C运动时，如图，过点A作于点M,则四边形4MQ。是

矩形；点。沿C-8运动时，如图，过点。作CNJ.4D于点M则四边形CNPQ是矩形，即

可解决问题；

（4）分两种情况，结合等腰梯形的性质、平行四边形的性质分别求出，的值即可.

【详解】（1）解：点。与点C重合时，

由题意得：8f=40,

解得：，=5,

即点。与点C重合时，，的值为5；

（2）解：当点。沿B-C运动时，

由题意得：畋=&,

:.QC=BC-B（）=40-8t,

即QC的长为40-8,；

（3）解:①・・•四边形ABCQ是平行四边形,

AAD=BC=40,CD=AB=\0,ABCD,ADBC,

分两种情况：

点。沿8-C运动时，如图，过点A作海，3c于点M,则四边形AMQP是矩形，

/1/

AM=8,

：,MQ=AP=5t,

：.BM=BQ-MQ=8i-5i=3t,

,•