2025-2026学年人教版八年级数学下册同步练习：第1课时 正方形的性质

第1课时正方形的性质

基呢提优题目

1.如图，四边形ABCD是正方形,AD平行于x轴，A,C两点的坐标分别为（-2,2）,（1,-1）,则点B的坐标是（

)

A.(-l,-2)B.(-l,-3)

C.(-2,-l)D.(-3,-D

（第1题）（第2题）（第3题）

2如图，在正方形ABCD中。是对角线AC,BD的交点.过点O作OE_LOF,分别交AB,BC于点E,F,若AE=4,CF=

3.则EF的长为)

A3B.4C.5D.6

3.如图，在周长为16的正方形ABCD中点E是AB边的中点，点P为对角线AC上的一个动点，则PE+P

B的最小值为()

A.2B.V5C.V5D.2V5

4.如图,在正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE,连接BF,则NAFB的度数为

（第4题）（第5题）

5.如图，在正方形ABCD中.点P在AB边上,AE_LDP于点E,CF1DP于点F,若AE=4,CF=7则EF=,

6.（2025广安］如图EF是正方形ABCD的对角线BD上的两点BD=10.DE=BF,连接AE,AF,CE,CF.

⑴求证:△ADE^ACBF.

⑵若四边形AECF的周长为4后，求EF的长.

AD

综合应用题

7.如图,M是正方形ABCD内的一点,且MC=MD=AD.则NAMB的度数为（）

A120°R135°C.145°DISO。

（第7题）（第8题）

8.如图.正方形ABCD的边长为1,E为BC上任意一点,EF_LAC于F,EG±BD于G.则EF+EG的值为（

)

A.V2B.2C.3D.V2

9.（2025内江］如图，在平面直角坐标系中,正方形ABCD的边AB在x轴上点B的坐标为（1,0）.点E在边

CD上将△ADE沿AE折叠点D落在点F处.若点F的坐标为（0.3）.则点E的坐标为.

10-如图，在正方形ABCD中，点M.N是对角线BD上的两点且/MAN=45。.若BM=3.DN=4,则MN的长为

（第10题）（第11题）

11如图.在正方形ABCD中,AB=3,E为对角线AC上与点A,C不重合的一个动点，过点E作EF±AB于点

F,EG±BC于点G.连接DE,FG,则下列结论:①DEnFG;②NBFG=NADE;③DE_LFG;④FG的最小值为2VI

其中正确的结论是.,（填写序号）

12如图①，正方形ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,E是正方形ABCD的边AB下方一点，连接AE,

BEQE,已知0A=0E,且NOAE=75。.

⑴试判断^OBE的形状,并说明理由；

⑵如图②，连接DE,求证：54E+BE=DE.

E

①

创新拓展题

1312025亳州期末］【知识技能】如图①，点P是正方形ABCD的对角线AC上一动点，连接PB,PD.求证:PB=P

D;

【数学思考】如图②，点E是正方形ABCD的边BC的中点，连接DE交对角线AC于点M,连接AE交

对角线BD于点N.

(1)求证:DM=AN:

(2)若NAED=a,求NBDE的度数(用含a的式子表示)；

【柘展研究】如图③，在边长为10的正方形AB-CD中，点E,F分别是边AB.BC上的动点.且满足AE二BF,AF

与DE交于点O,点M是DF的中点，G是边AB上的点，若点G是AB的中点，直接写出2OM+FG的最小值.

第1课时正方形的性质

1.C2.C3.D4.22.5°

5.3【点拨】•・•四边形ABCD是正方形.••.AD=DCNADC=9()o.・・・AE_LDP,CF_LDP,・・・NAED=NDFC=90o.・・・/

ADE+ZCDF=ZCDF+ZDCF=90°,/.ZADE=ZDCF./.△ADE^ADCF(AAS).AAE=DF=4.DE=CF=7.AEF=

DE-DF=7-4=3.

6.(1)【证明】•・•四边形ABCD为正方形.・・.AD=BC,NADE=NCBF=45o^・・・DE=BF,・・・Z\ADE^Z\CBF(SAS).

(2)【解】连接AC交BD于点。，如图.•・•四边形ABCD为正方形,BD=10,・•・BD垂直平分ACQA=OC=OB=；

BC2

3'/.AF二CF,AE=CE,由(1)知4ADEgACBF,,AE=CF,/.AF=CF=AE=CE.AH'D

•••西边形AECF的周长为4旧

□JF=V34.

ffiRtAAOF中，。回=〃产-O/=3.

・•・DE=BF=OB-OF=5-3=2.

.\EF=BD-BF-DE=6.

7.D【点拨】•・•四边形ABCD■方形,，AD=CD,NADC=9D°・又・・・MC=MD=AD,・・・4MDC是等边三角形.

，ZMDC=60°.VZADC=90°,/.ZADM=30°.AZMAD=75°..\NBAM=15°.同理可得NABM=15。,.*ZAMB=180°-l

5°-15°=150°.

8.A【点拨】•・•正方形ABCD的边长为I,，8D=v?,AC与BD相互垂直平分且NDBC=45o.・・・EF_LAC,E

G_LBD,・・・四边形OGEF为矩形.・•・EF=0G.•・•NDBO45。,EG_LBD,・'.易得BG=EG..•・EF+EG=0G+BG=0B=^BD=

立

9.(一》5)【点拨】如图,设CD与y轴交于点G,AB=x，易知DG=OA,AD=AB=OG=xJ.,点B的坐标为(10),.二。

A=x-1.由折叠知AF=AD=x,DE=EF」・•点F的坐标为(0,3),，OF=3.在RtzxAOF中.由勾股定理得AF2=OA2+OF2,x2=

32+6-：?解得x=5.，DG=OA=x-l=4.设EG=a.则DE=EF=4-a,FG=OG-OF=5・3=2在EFG中,由勾股定理得EF2=

EG?+G产,□«-〃=42+22解得T.•.点E的坐标为(-^5).

105【点拨】如图，将△ABM绕点A逆时针旋转9()。得到△ADH,连接NH；AH=AM.BM=DH=3易得/AB

M=ZADH=45°,ZHAM=90°.VZMAN=45°,AZHAN=45°=/MAN.又VAN=AN,.*.AAMN^AAHN(SAS).

/.MN=HN.易得ZADB=45°,ZNDH=ZADH+ZADN=45a+45°=90J.QMN=HN=>!DH2+DN2=5.

11①②③【点拨】连接BE,交FG于点0二・四边形ABCD为正方

JfJ./.ZABC=90°,AB=AD=3,ZBAC=ZDAC=45°.X*/AE=AE,A

△ABE^△ADE(SAS)./.BE=DE.VEF±AB,EG1BC,/.ZEFB=ZEGB=90°.AHiSBEFBG为矩

形.••・FG=BE,OB=OF..・・DE=FG,即Q正确:「△ABEgZXADE,

AZABE=ZADE.•.,OB=OF,・・./OFB=/ABE..，・/BFG=/ADE,即②正确:延长DE.交FG于点M.交FB

于点H.易得NBAD=90。,，ZADE+ZAHD=90°.VZOFB=ZADE,AZOFB+ZAHD=90°.AZFMH=90o,/.DE±FG,

即③正确;・・・E为对角线AC上的一个动点,.••当DE1AC时,DE最小易得AD=CD=3,NADC=9()o,・・・AC=«AD2+CD2

=3皮.，.当DE_LAC时..又:FG=DE./.FG的最小值为:立即④不正确.综上，①②®正确.故答案为

①

12.(1)【解】^OBE为等边三角形理由：

VOA=OE,.\ZOEA=ZOAE=75°.

:.ZAOE=30°.

,:四边形ABCD为正方形，

.\AO=BO,ZAOB=90°.

/.ZBOE=60o.OB=OE,

•••△OBE为等边三角形.

⑵【证明】如图，过点A作AFJ_AE交BE的延长线于点F,；.NEAF=90。.

VAOEB为等边三角形，

AZOEB=60°.

•IZOEA=75°,

/.ZAEF=180°-ZOEB-ZOEA=45°./.ZF=45°=ZAEF.

:.AAEF为等腰直角三角形,AE=AF.

LEF=>/2AE.

丁四边形ABCD为正方形，

工AD二AB,NDAB=90°=ZEAF.

AZDAE=ZBAF.

/.△ADE^AABF(SAS)..*.DE=BF.

VBF=EF+BE..\&AE+BE=DE.

13.【知识技能】【证明】

•••西边形ABCD是正方形，

ACD=CB,ZDCA=ZBCA=45°.

y/CP=CP,AACDP^ACBP(SAS).

APB=PD.

【数学思考】

⑴【证明】•・•点E是BC的中点,・・・CE二BE.

•・•西边形ABCD是正方形.

/.DC=AB,ZDCE=ZABE=90°.

•••△DCEg△ABE(SAS).

AZCDE=ZBAE.

又DC=AB,易得ZDCA=ZABD=45°,

，ADCM^AABN(ASA).DM=AN.

(2)【解】VADCE^AABE,

匚□。七0=匚8"=180；"£"=90

•・•易得NDBO45。，

匚□50618