九年级数学：二次函数与一元二次方程 （知识清单+10大题型+好题必刷）原卷版

二次函数与一元二次方程

（知识清单+10大题型+好题必刷）

3题型梳理

感冠二…莱朝扬线写丁箱的交点巫标........................................!

题型二求抛物线与y轴的交点坐标:

题型三已知二次函数的函数值求自变量的值j

题型四抛物线与x轴的交点问题:

题型五根据二次函数图象确定相应方程根的情况:

题型六求x轴与抛物线的截线长;

题型七图象法确定一元二次方程的近似根：

题型八图象法解一元二次不等式:

题型九利用不等式求自变量或函数值的范围!

题型十根据交点确定不等式的解集:

①一知质清单.................................................

知识点1.二次函数与一元二次方程的关系

求二次函数（〃，b,c是常数，qWO）与x轴的交点坐标，令y=0,即&，+6+。=（）,解关于工的一元二

次方程即可求得交点横坐标.

（1）二次函数yuaN+bx+c（a,力，c是常数，aWO）的交点与一元二次方程ar2+6x+c=0根之间的关系.

△=启-4ac决定抛物线与x轴的交点人数.

△=乒-4℃>0时，抛物线与x轴有2个交点:

△=乂-4加=0时，抛物线与x轴有1个交点；

△=62-4“CV（）时，抛物线与x轴没有交点.

（2）二次函数的交点式：y=a（x・xi）（x-x2）（。，b,。是常数，,可直接得到抛物线与x轴的交点坐标

（X],0）»（X2＞0）.

知识点2.抛物线与x轴的交点

求二次函数＞=4d+加什。（q,b,c是常数，qWO）与x轴的交点坐标，令歹=0,即a3+外+c=o,解关于X的一元二

次方程即可求得交点横坐标.

（I）二次函数歹naN+bx+c（a,力，c是常数，。#0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系.

△=房-4ac决定抛物线与x轴的交点人数.

△=乂-4的＞0时，抛物线与x轴有2个交点；

△=从-4%=0时，抛物线与x轴有1个交点；

△=乂-4«＜（）时，抛物线与x轴没有交点.

（2）二次函数的交点式：y=a（x-勺）（x-x2）（。，b,。是常数，qWO）,可直接得到抛物线与x轴的交点坐标

（X],0）,（工2，0）.

知识点3.图象法求一元二次方程的近似根

利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是：

（1）作1H函数的图象，并由图象确定方程的解的个数：

（2）由图象与的交点位置确定交点横坐标的范围；

（?）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）.

但题型方法

【题型一】求抛物线与X轴的交点坐标

【例1】（24-25九年级上•湖北荆州•期末）已知二次函数歹=-2/_疝+14,下列说法中不正确的是（）

A.该一次函数的图象的开口向下

B.该二次函数图象的顶点坐标是（-3,14）

C.该二次函数的图象与x轴的交点坐标是（-7,0）和（1,0）

D.已知点（-1,乂）和（2,必）都在这个二次函数的图象上，则%＞出

【举一反三】

1.（24-25九年级上•河北保定•阶段练习）如图，抛物线＞=一7+2丫+《与x轴交于点4B（点力在点3的左侧），

与y轴交于点。（0,3）,点P在y轴右侧的抛物线上，且不与点8重合，当S,"H=6时，点P的坐标为（）

A.（2厂3）或（1+网B.（2,3）或

C.（2,3）或（1+万,-3）,D.（2,3）或

2.（24-25九年级上•吉林长春•阶段练习）抛物线p=2x2-4x+c与》轴的一个交点坐标为（3,0）,则。=.

3.（24-25九年级上•天津滨海新•期中）已知二次函数j，=./-5x+6与x轴交于力，8两点（点力在点〃的左侧），

与y轴交于点C.

（1）求46,C三点的坐标；

（2）求△48C的面积.

【题型二】求抛物线与y轴的交点坐标

【例2】（24-25九年级上•浙江杭州•期末）二次函数》=2一+以-1的图象与歹轴的交点坐标是（）

A.（0,2）B.（0,-1）C.（0,0）D.（0,4）

【举一反三】

1.（2415九年级上♦吉林长春•阶段练习）在平面直角坐标系,抛物线歹=——4与X釉的交点坐标为（）

A.（0,-4）B.（2,0）C.（-2,0）,（2,0）D.（-2,0）,（0,4）

2.（24-25九年级上•广东深圳•期中）二次函数j，=（x-1）2-1的图象与N轴的交点坐标是

3.（24-25九年级上•广东肇庆•期末）如图，抛物线，=-/+2工+3与），轴交于点8,与x轴交于点4C（点力在

点C的右边）.求4点、B点、C点坐标.

【题型三】已知二次函数的函数值求自变量的值

【例3】（24-25九年级上山西临汾•期末）点，（3,必）,8（4,为）,C（T乃）均在抛物线产幺一2丫+1上，则%必，%的大

小关系是（）

A.y2<yt<y3B.）\<y2<y3C.y3<y]<y2D.2VM

【举一反三】

1.（24-25九年级E山西吕梁•期中）已知二次函数y=（x-〃『+1999的图象上的部分点的坐标如下表，其中b>0,

则b的值为（）

X•••aa+b・..

y•••20242024•••

A.5B.10C.15D.25

2.（24-25九年级上•全国•假期作业）二次函数j，=ad+bx+c的图象经过点4（-4,4）,8（2,4）,则关于x的一元二次

方程“x-3）2-4=饵3-x）-c的解为.

3.（24-25九年级上•浙江杭州•期中）已知二次函数加（力、c为常数）的图象经过点。0）,（3,0）.

（1）求该二次函数的表达式和顶点坐标；

（2）当歹=8时，求x的值.

【题型四】抛物线与X轴的交点问题

【例4】（24-25九年级上•北京•期中）已知抛物线y=a/+bx+c（a=0）与直线y=2x+2的交点横坐标分别是T和1,

抛物线与x轴的其中一个交点的横坐标加满足3<〃?<4,那么。的取值可能是（）

A.-3B.1C.2D.--

4

【举一反三】

1.（24-25九年级上•陕西渭南,期中）如图，二次函数歹=x?+x-川的图象与、轴的一个交点的横坐标为-2,则关于工

的一元二次方程./+3x+2-〃?=0的解是（）

A.x,=0,x2=3B.M=T,x2=2

C.X)=-l,x2=-4D.X]=0,x2=-3

2.（2425九年级上•黑龙江大庆•期中）如果一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为“二倍点"，如："（3,6）,

2）,P（0,0）都是“二倍点”.若关于x的二次函数V=-l）/+（〃+2）x+〃（。，6为常数，0工1）总有两个不

同的二倍点，则b的取值范围是—.

3.（24-25九年级上•广东广州•期中）已知抛物线歹=/+4工+%_].若抛物线与x轴有两个不同的交点，求£的取值

范围.

【题型五】根据二次函数图象确定相应方程根的情况

【例5】（24-25九年级上•安徽合肥•阶段练习）下列图中。、。两点横坐标是方程♦+以+°=0两根的有几个？（）

【举一反三】

1.（24-25九年级上,重庆巫山•期中）对于代数式“、N定义一种新运算；A/VN=A〃-3M/V+N2.

①若X=l,则iv（5x）=24；

②若不，与是一元二次方程41-3=0的两个根，则占D々二1；

③若y=|（x-D刊的函数图象与直线P=x+6（人为常数）有三个交点时，则”-1或空.

其中正确的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

2.（24-25九年级上•北京•期中）已知二次函数y=ad-2ax+〃-4的图象与x轴的一个交点坐标是（3,0）,则关于x的

一元二次方程分_2以+”4=0的两个实数根是

3.（24-25九年级上•广西河池•期中）函数y=-Y+2x+3的图象如图所示，结合图象回答下列问题：

（1）方程一/+2工+3=0的两个根为_;

（2）当y>（）时，则x的取值范围为_；当-l<x<2时，则变量y的取值范围为_；

（3）若方程—Y+2x+3=A有实数根，则k的取值范围是_.

【题型六】求X轴与抛物线的截线长

【例6】（2023•广东梅州•一模）已知抛物线y=!/与一次函数y=2x+6交于4B两点,则线段48的长度为（）

4

A.20&B.206C.40>/3D.20

【举一反三】

1.（22・23九年级上•吉林长春•期中）在平面直角坐标系中，将二次函数y="+l）（x-3）+3的图象沿N轴向下平移3

个单位后，所得函数图象与x轴的两个交点之间的距离为（）

A.IB.2C.3D.4

2.（23-24九年级上•河北邢台・阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线），=/+瓜+。的顶点坐标为0,-4）,若抛物线

与X轴相交于A,8两点，则〃=.AB=.

3.（24-25九年级上•辽宁铁岭•阶段练习）已知抛物线L的解析式为y=x2-（2〃-3）x+〃-4（〃为常数）

⑴当〃=2时，求抛物线▲与x轴的两个交点分别为A和B之间的距离；

（2）求证：抛物线〃与x轴必有两个交点.

【题型七】图象法确定一元二次方程的近似根

【例7】（24-25九年级上•江苏南通・期末）下表给出了二次函数队+。中xj的部分对应值，可以估计方程

ad+6+c=0的一个解的取值范围是（）

X・・.0.250.50.751・・・

y•••-1.69-0.251.313•••

A.0cx<0.25B.0.25<x<0.5

C.0.5<x<0.75D.0,75<x<l

【举一反三】

1.（24-25九年级上•海南省直辖县级单位•期中）如图，抛物线y="+c与直线卜=心+〃交于4（Tp）,研3均）两

点，则方程ad+c="Lt+〃的解为（；

A.x=-iB.x=3C.x=-l或3D.x<-l或x>3

2.（24-25九年级上•内蒙古呼和浩特•期末）已知二次函数），="/+反+c（awO）的变量xj的部分对应值如表:

X•・・-3-2-10I••・

y•••1361-2-3,.・

根据表中信息，可得一元二次方程如2+6+。=0的一个近似解天的范围是

3.（24-25九年级上•浙江嘉兴•阶段练习）如图1,在直角坐标系中画出抛物线），=/和直线歹=》+2的图象，利用图

象可以直接得到一元二次方程——X—2=0的解.

（1）根据图1,直接写出一元二次方程/一工―2=0的解;

（2）请参考上述方法，再给出两种作图法求方程犬-》-2=0的解（分别画在图2和图3）.

【题型八】图象法解一元二次不等式

【例8】（24-25九年级上•河南开封•期末）二次函数j，=--x-2的图象如图所示，则函数值时，自变量x的取值

范围是（）

A.x<-1B.x>2C.—1<x<2D.xv-1或x>2

【举一反三】

1.（24-25九年级上•湖北宜昌•期中）已知函数卜=工2+如+力的图象如图所示，当y>0时，则于x的取值范围是（）

A.-1<x<3B.x<-l或x>3C.x<0或x>3D.0<x<3

2.（24-25九年级上•青海西宁•期中）如图，已知关于》的一元三次方程G3+&2+以+左2+]=0的解为再=_3,々=1，

.q=2,请运用函数的图象，数形结合的思想方法，判断关于x的不等式。/+笈2+以+代+|>。的解集.

3.（24-25九年级上•北京海淀•期中）如图，已知二次函数必=ad-2x+c经过点/（TO）和点C（0「3）,

(1)求。的值和点4的坐标;

(2)若一次函数为=6+6经过8、C两点，直接写出不等式qx2-2x+c<6+6的解集.

【题型九】利用不等式求自变量或函数值的范围

【例9】(24-25九年级上•江苏无锡,阶段练习)己知当_]4不工2时，y的取值范围是()

A.-l<y<4B.0<>^<1

C.0”<4D.1<^<4

【举一反三】

I.(24-25九年级上•湖北武汉•期末)已知二次函数y=/+bx+c("O)图象的一部分如图所示，点(-2,0)在该函数

图象上，其对称轴为直线》=-；.则当y>0时，自变量X的取值范围正确的是()

A.-2<x<0B.x<-2或x>lC.x<1D.-2<x<1

2.(22-23九年级上•北京•期中)如图，直线必=心+〃与抛物线为=/+及+。交于人，B两点,其中点月(2,-3),点

倒5,0),当必〉当时，x的取值范围是.

3.(24-25九年级上•河南溺可•期末)已知抛物线》=(."1)(.・5).

(1)用配方法求该抛物线的顶点坐标；

(2)填空：

①点4叫5)和例〃,5)在抛物线上，则线段的长为；

②当0W6时，则y的取值范围是.

【题型十】根据交点确定不等式的解集

【例10】(24-25九年级上•山东济宁•期中)如图是二次函数j，=-/+2x+4的图象，使成立的x的取值范围是

()

C.x<0^x>2D.或x23

【举一反三】

1.(24・25九年级.上•云南昆明期末)如图，直线乂=6+〃与抛物线了2=/।瓜I。交于点，4(%〃)，则不等

式ax2+及+c<h+人的解集为()

A.x<m^x>PB.ni<x<pC.m<x<pD.x<in^x>p

2.（24-25九年级上•江西新余•阶段练习）如图，抛物线y=与直线y=〃?x+〃交于4（-4,p）,8（2闯）两点，则

不等式〃比+〃＞凉+卜的解集为.

3.（24-25九年级上•广东肇庆•期中）如图，直线＞=.”1和抛物线），=、2+云+0都经过点4（1,0）,8（3,加）.

⑴求相的值和抛物线的解析式:

（2）求不笔式+加+c＞x-1的解集.：直接写出答案）

3好题必刷

一、单选题

1.小兰画了一个函数y=x2+ax+b的图象如图，则关于x的方程，+外+6=0的解是（）

A.无解B.x=1C.x=-4D.x=-1或x=4

2.在求解方程aT+bx+e=O（aNO）时，先在平面直角坐标系中画出函数y=“/+队+。的图象，观察图象与x轴的两

个交点，这两个交点的横坐标可以看作是方程的近似解，分析右图中的信息，方程的近似解是（）

A.$=-3,x2=2B.凡=-3,X2=3C.玉=-2,x2=2D.x}=-2,x2=3

3.在平面直角坐标系内，抛物线y=a--4办+2与x轴的一个交点是力（-1,0）,另一交点为8,则48的长为（）

A.2B.3C.6D.8

4.抛物线_），=一/+版+。经过（0,—3）,对称轴直线》=一1,关于k的方程一丁+瓜+。一〃=0在一4<工<1的范围有实数根,

则〃的范围（）

A.-\\<n<-2B.-6<n<-3C.-11<n<-2D.-11<«<-6

5.如图，抛物线y=a/+bx+c的对称轴是x=l,关于x的方程办？十历十仁=0的一个根为x=4,贝J另一个根为（）

6.抛物线y=2x2—2近x+1与坐标轴的交点个数是（）

A.0B.1C.2D.3

7.已知抛物线y=xn-x-l与x轴的交点为（m,0）,则代数式m2-m+2O11的值为（）

A.2009B.2012C.2011D.2010

8.若看,占为抛物线），=2/一5"1与x轴相交的两交点的横坐标，则2x：+3内占+55的值为（）

A.-13B.12C.14D.15

9.如图，抛物线y="2+bx+c（。也。是常数，与x轴交于力1两点，顶点尸（叫〃）给出下列结论：

①2a+cv0：②若乃）在抛物线上，则必＞必＞乃；③关于X的方程/+以+%=。有实数解,

则左④当〃=」时，A48P为等腰直角三角形，其中正确的结论是（）

a

c.②③D.②④

10.已知二次函数y=ad-4〃x（〃是常数，〃＜0）的图象上有4（加J）和8（2加,%）两点.若点45都在直线N=-3。

的上方，且必>外,则〃，的取值范围是（）

,34

A.1<w<—B.—<m<2

23

43

C.—<w<—D.m>2

32

二、填空题

11.已知一元二次方程如2+6x+c=0有两个实数根玉=-1，%=3,则二次函数），=〃/+反+C的对称轴是直线

12.已知抛物线y=『+〃x+c的部分图像如图所示，则方程f+bx+cnO的解是

13.抛物线y=2—+x-3与x轴交点个数为个.

Q

14.当"7=时，函数y=2/+3〃d+2〃?的最小值为g.

15.二次函数y=ax?+bx+c（a,b,c为常数，且a/O）中的x与y的部分对应值如表

下列结论：

©ac<0；②当x>l时，y的值随x值的增大而减小；

③当x=2时，歹=5；④3是方程ax?+（b・1）x+c=0的一个根.

其中正确的结论是（填正确结论的序号）.

16.若二次函数y=a/+云(。和)中，函数值y与自变量x的部分对应值如表:

X•••0231012・..

y•・・002604•••

则当-3<xv2时，y的取值范围为.

17.如图，抛物线y=-/+2x+〃?+l交x轴于点力(〃,0)和川/),0),交V轴于点C,抛物线的顶点为。.下列四