2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷02【测试范围：苏教版选择性必修第二册第6~7章】（全解全析）（江苏专用）

高二数学下学期第一次月考卷02（江苏专用）

全解全析

（考试时间：120分钟，分值：150分）

注意事项：

1.答卷前.考牛务必将自己的姓名、准考讦号填写在答题卡卜C

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：苏教版选择性必修第二册第6〜7章。

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.平面。及其法向量入直线。、力及其方向向量3、b，下面推理错误的是（）

A.若bua,则£_1_3B.若q_La,a//b,则右〃〃

C.若Z,bJLa,则工J_GD.若aHa,bua,则）〃石

【答案】D

'【详解】选项A：aLa=>a//ii,又bua=■方J_B，故，则A选项正确；

选项B：aLa=>alln,又a〃6=>G〃5，故5〃万，则B选项正确；

选项C：bLanBHii，又G，故1D，则C选项正确：

选项D：alia,bua时，直线。与人可能为平行、相交或异面关系，

因此它们的方向向量d与B不一定平行，故D选项错误.故选：D

2.已知也〃，攵均为止整数，则卜列各式中运算结果不正确的是（）

A.（〃+l）A：=A；：B.A；+〃&T=A」C.C：+C；-'=C；+1D.比：=〃C：：；

【答案】D

【详解】选项A：«+1A；=z/4-l--———十，A：：：=/~《，两边相等，A

正确.

,彳4Am-l加加加（〃一加+l+〃?）（〃+1）!\m一、…AA

选项B：A；+WA；'=-——-+/«--—————77^=/二、「A：：两边相等，B正确.

选项C：C；+C：T=C：+1这是组合数的杨辉恒等式，直接成立，C正确.

k

选项D：kCn=nC^,取“=5,〃=2,

左边=2C=2xl0=20,右边=5C=5x2O=lOO左右两边显然不相等，等式不成立，D错误.故选：D

3.已知向量G=（1/,O）,5=（LO,1）Q=（1,2,1）,则下列结论正确的是（）

A.向量万与向量B的夹角为:B.川力）

b

C.向量G在向量B上的投影向量为（g,O,g

D.向量d与向量％B共面

【答案】C

ab11一五

【详解】对A：cosa5=百百二k，=7,所以方,〃=；，故A错:

\a\-\b\V2XV223

灼B：因为小,―B）=（l,2,l）（0,L—1）=1/0,所以忑_L（I—B）不成立，故B错误；

对C：因为'即向量万在向量B上的投影向量为（g,。，，故C正确:

x+y=1

x=2,显然无解，

i»二1

所以向量工与向量2B不共面，故D错误.故选：C

4.对于（&+.J的展开式，下列说法正确的是（）

A.（正+x）6的展开式中共有6项.

B.（0十到6展开式中的第四项与卜十瓶丫的展开式中的第四项不同

C.（行+.J的展开式中奇数项与偶数项的系数相等.

D.（加+x『的展开式中系数为有理数的项共有四项.

【答案】D

【详解】由〃=6,可知展开式共7项，故A错误;

（Ji+x）6展开式中的第四项为C*&『x3,（x+&『的展开式中的第四项为C3相同，故B错误；

因为展开式的通项公式为看“=（：义&「'/,所以第一项的系数为8,第二项的系数为24后，不相等，故

C错误；

展开式的通项公式为1+1=C：（正广/,当系数为有理数时，2=（）,2,4,6,共四项，故D正确.故选：D

5.甲、乙、丙、丁、戊、己6人一起报名校运会的跑步项目,跑步项目共有100m短跑、400m短跑和1000m

长跑这3项，每人仅报一个项目，每个项目至少有一人报名，则不同的报名方法有（）

A.450B.540C.630D.900

【答案】B

【详解】先将6人分成3组，即分为2,2,2；3,2,1或4,1,1,共有害Q+C：C；C；+篮毕=90种分组方法,

A3A2

再把三组分配到3个不同项目，则有90A；=90x6=540种不同的报名方法.故选：B

6.空间直角坐标系。-孙z中，经过点尸（无,为/。），且法向最为所=（4'C）的平面方程为

A（x-xQ）+B（y-yQ）+C（z-zQ）=0r经过点尸（%,%）*））且一个方向向量为万=（〃,5/）（〃四二0）的直

线/的方程为二阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面。的方程为

PV（0

3x-5y+z-7=0,经过（0,0,0）的直线/的方程为;=彳，则直线/与平面。所成角的余弦值为

32—1

()

叵而「小9VB

A.B.

535535

【答案】D

【详解】因为平面。的方程为3x-5y+z-7=0,故其法向最为而二（3,-5,1）,

且直线/的方程为3=5=。，故其方向向量为万=（32-1）,

设宜.线/与平面a所成角为，w［。,5，则sin®=^os伍研=：1；=,

可得cos®=Jl-sin2e=+,所以直线/与平面。所成角的余弦值为亚.故选：D.

3535

7.《孙子算经》是中国南北朝时期重要的数学著作，书中的“中国剩余定理”对同余除法进行了深入的研

究.现给出一个同余问题：如果。和力除以加所得的余数相同，那么称。和人对模机同余，记为a三。

(mod切).若o=C；o24+C，x3+C；o24x3?+…+C歌x3?°",a三b(mod17),则b值可以是()

A.2026B.2025C.2024D.2023

【答案】C

2024

【详解】"c；o24+C；必x3+C-x32+…+C歌X3

20242024I0,2，2

=(1+3)=4=16=(17-1)°

,0,,,O,

=1严2_C；012x17+C?012xl7°C；S；JxH'+l

,0,0,

=17(17"-C；012x17°+C?0I2x1产--C盟)+1

因7HH°+C温xlT009-…-C黑)能被17整除,

故17”。"-。"17KH°+《。”1产-…-C黑)+1除以17余数为1,

所以。=C如+C；o24x3+C短x32+…+C歌x32g除以17余数为l,

因为2023+17=119,所以2024=17x119+1,2025=17x119+2,2026=17x119+3,

乂”b(modl7),所以b值可以是2024.故选：C.

8.如图，画在纸面上的抛物线产=81过焦点少的弦4r氏为9,则沿x轴将纸面折成平面角为60”的二面角

【答案】B

【详解】因为尸（2,0）,设直线-3为工=叩+2（/>0）,46,乂）,8（々,1），

2

联立x=〃少+2(〃?>0)与/=8x可得/_8〃?y_]6=0,贝J必+为=8m,则xt+x2=/〃(必+%)+4=8w+4,

故|48|二再+x,+〃=加(必+K)+4+4=8〃?2+8=9,解得〃?=正，

4

故了2-2加了-16=0,解得乂=4立多=一2五，故4(4,4&),8(1,-2五)，

如图，以0为坐标原点，所在直线。尸为X轴，在平面。尸8内俏。尸的垂线为），轴，过点。作平面。沙的

垂线为z轴，建立空间直角坐标系，

过力作力N工平面MV「N,过N作M7_Lx卜，，连接力”，

由干4VJ.X轴，且M7_Lx轴，ANQAH=A,4V,力〃u平面力N”，故x轴J.平面彳

4Hu平面力NH,故/轴，则4〃N=6（r

由于在直角坐标系中J（4,4V2）,5（l,-2>/2）,故0H=4,AH=4&,

因此在直角三角形ANH中，HN=-AH=2A/2,AN=—AH=2yf6,

22

因此在空间直角坐标系中，J（4,-272,276）,5（1,-272,0）,故|/邳=“4—1），+0?+（2〃丫=回，故选:

B

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

11.以下说法正确的是（）

A.若空间四点4B、C、。不共面，则在与而不共面

B.当4B、。三点不共线时，若历=E+x葡+y祝，则4B、C、。四点共面

C.直线/的方向向量为〉，平面a的法向量为G，当/J.a时，£//[

D.若平面。，夕的法向量分别为0=（1,2,3）,送二（2』,3）,则。与夕夹角的正弦值为述

14

【答案】BCD

【详解】选项A：空间中任意两个向量均为共面向量，故A错误；

选项B：若历二方+x而+y%,则才反就，而共面，则4B、C.。四点共面；

选项C、当/la时，7//7正确

选项D：设平面。与尸的夹角为。，则侬。=W智=£故s:n”地，故选：BCD

|7帆1414

12.2025年国庆假期，小张、小李、小王、小刘四人计划去南京旅游.现有玄武湖、明孝陵、牛首山、银杏湖四个

景点可供选择，且每人只能去一个景点，则（）

A.每个景点都有人去的情况共有24种

B.有景点没人去的情况共有256种

C.恰有1个景点没人去的情况共有144种

D.4人只选择“玄武湖”“明孝陵”两个景点的情况有14种

【答案】ACD

【详解】对于A,每个景点都有人员选择去的情况数为A：=4x3x2x1=24,故A正确;

对于B,4人选择四个景点，每人只能去一个的总的情况数为44=256,

结合A,则有景点没人去的情况数为256-24=232,故B错误；

C氾C：

对于C,先将四个人分为3组，见有种情况,

A2

故恰有1个景点没人去的情况数为C；x笠/A；=144,故CE确;

对于D,方法一：4人从“玄武湖川明孝陵”两个景点中，每人选择1个景点，共2"=16种情况,

若4人均选择同一个景点，情况为2和I故4人只选择“玄武湖”“明孝陵”两个景点的情况数为16-2=14；

方法二：将4人分为两组，若其中1组为1人，另一组为3人，则有C；种情况,

若平均分为两组，则有冬种情况,

A2

c2c2

故4人只选择“玄武湖”“明孝陵”两个景点的情况数为C；A；+,A；=14,故D正确.故选：ACD.

II.给定两个不共线的空间向量Z与九定义叉乘运算工x5：

①£走是与G,7都垂直的向量;②—xB三个向量构成右手系（如图1）：（3）|ax^|=|a||6|sin5,S.

如图2,在长方体48co-4圈。1"中，AB=AD=\,A^=2,则下列结论正确的是（）

A.ABxAD=AA]B.ABK~AD=-Abx~AB

C.（荏+而卜熬=赤乂丽+而x麴D.长方体48CQ-481GA的体积/=（而x而卜福

【答案】BCD

【详解】选项A：向量44同时与向量]瓦前垂直，且向量44，48，彳。三个向量构成右手系，

IX；m|=|Z»||^D|sin=1X1Xsin90°=1,|A4,|=2,所以而=；羽，故A不正确，

—_1———一1----——1——

选项B：由48x4。=—4力，ADxAB=——AA.=>-ADxAB-—AA.,

222

所以万x）方=-1万x荔,故B选项正确，

选项C：因为|（万+而卜刀^=[kx麴|=&x2xsin90=26，且祝、麴与方同向共线，

又同x福=lx2xsin9（T=2,且丽x数与方同向共线，

乂因为同x刀;与皮同向共线，所以|荔x五彳+而X]R=2&,故C选项正确，

选项D：长方体力的体积为：lxlx2=2,

（48x40卜44=g"4・44二;x4=2,故V=（44x乂。卜441，所以D选项正确，故选：BCD.

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，则展开式中1的系数是

I2

45

【答案】v

4

【详解】二项式（6-；制"的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，

二项式系数最大值出现在中间项,

当〃为偶数时，最大项为第^-1项，因此有^4-1=6,解得〃=10,

展开式的通项公式为:加=。(4)(_护=/㈠*卜2.

2

令空"=6,解得々=2,代入通项，得系数为：C?0(-l)flf=—xlxl=45xl=^.

2〈2)2x1444

4545

因此，展开式中1的系数为丁故答案为：

13.在如图所示的圆环形花园种花，将圆环平均分成力，B,C,。四个区域，现有牡丹、芍药、月季三

种花可供选择，要求每个区域只种一种花且相邻区域的花不同，则不同的种植方法有种.

【答案】18

【详解】区域种同一种花，不同的种植方法有：3x2x1x2=12；

4c区域种不同的花，不同的种桎方法有：3x2xlxl=6：

由分类加法计数原理可得，共有18种方法.故答案为：18

14.如图，正方体力5。一月百6。的校长为2,动点石，尸在极力高上且叱=1,动点〃，。分别在俊4。，CD

k(均不与点。重合).给出以下四个结论:

③当襦=；方且。为CO中点时，线段QF上一点H到直线力。的距离的最小值为辞;

-...I-

④当=出口凡。分别为力。，CO中点时，若空间中一个动点M满足

(该+砺+赤+诙)“而+/)，则|砺+诉|+2]阿的最小值为5.

其中所有正确结论的序号为.

【答案】②③④

【详解】以。为坐标原点，所在直线分别为MB轴，建立空间坐标系，如图所示:

则力(0,0,0),4(2,0,0),BQ,2,0),C(0,2,0),D,(0,0,2),Ax(2,0,2),4(2,2,2),C,(0,2,2),

设£(2,%2),(0<m<1),则F(2,肋+1,2),设P(%,0,0),。(0,%,0)，Z，%€(0,2],

对于①，因为而=(0,1,0),1=(-/,%,0),所以而质=%*0,

所以方与画不可能垂直，所以直线反与尸。不可能垂直，

即直线反与直线产。所成角的不可能为故①错误：

对于②，因为瓦凡。三点在平面彳蜴。。内，且四边形44。。为矩形，

其中4c=2&，44=2,所=1,所以S.EFQ=；-2近.EF=&，

所以当点。到平面44。。的距离最大时，四面体尸EF。体积的最大，

易知当点产与点/重合时，点尸到平面48co的距离最大，为拉，

此时匕5殖=；1.0.&=；.JL、5=:,故②正确；

———1—13一1

对于③，当4七二2/8且。为6中点时，则£(2,不,2),,F(2,-,2),0(0,1,0),则。£=(2,一弓,2),

―■—11

设QR=4QE=(22,--2,22),则7?(22,1--2,22),0<2<1,

所以痂=(24,1-1,2团，又因为厉=(2,0,0),所以与次共线的单位向量£=(1,0,0),

所以点K到直线AD的距离d=J方铲-(而£)2=J卜T+1=栏(2-$2+||,

所以当％=Q[OJ时，d取最小值，为后=半，故③正询；

对于④，当而=;而且P,。分别为4DCQ中点时，

则£(2,5,2),,尸(2弓,2),。(0』,0),尸。,0,0),所以尸£=。,；,2),。尸=(2,；,2),

乙乙乙乙

——1——3

设M(x,y,z),则ME=(2—X，5—J，,2—Z),MF=(2-x^-y,2-z)i

A/P=(1-x,-y,-z),MQ=(-x,1-y,-z),所以荻+赤+而+近=(5_4x,3—4乂4—4z),

又因为方+/=(3,1,4),由题意可得3(5—4x)+3—4y+4(4—4z)=0,

所以6x+2y+8z=17,所以M的轨迹为一个平面，取E尸中点M连接MN,则N(2,l,2),

所以%+而=2而=2(2-x/-y,2-z),所以|何+而7+21该卜2(|研|+|祝同),

在6x+2y+8z=17所表示的平面中，取三个点”(0,不12),S(L3jl),T(In0,2),

2z6

—>11—._

则HT=(-,--,0),775=(1,1,-1),设此平面的法向最为〃=(x,乂z),

—11,

n-HT=-x—y=0[x=3y_

则J_62，则有[=4，取Wl'则〃=(3,1,4).

n-HS=x+y-z=0-'

又因为屉=(2,0,0),所以点E到平面的距离d=隼©=盘=坐，

|nI72613

设E点关于此平面的射影点为七'(。也c),则能=5-26-/0-2),

又因为砺/而，所以一=8一：=4①，

又因为££的中点之+2h+2。+2在平面内，所以八乂。+23工父乂。+2一②,

?7?9??

8

a=­

13

由①②可得•b=—即“哈小小

26

2

c=­

13

所以当£、M、N三点共线时，|砺|+|庇|取最小值，为|南，

所以此时|A?E+A7F|+2|A7E|=2(|A7^|+|A?E|)=2|A7T|=2X|=5,

即际+行|+2|砺I的最小值为5,故④正确.故答案为：②③④

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（13分）

如下图所示，在平行六面体力BCD-/ECZ）'中，力4=4,力。=3,月H=5,NBAD=90。,NBAA'=

ZDAA1=60°

（1）求而与质的数量积:

（2）求~AD'在AB上的投影向量;

（3）求而的长.

【详解】（1）由/84。=90。，g|JABLAD,则标.万=0；（3分）

(2)由而=加+/，则力。'/8=(4。+力力')・力8=/iOZ8+4H・48=0+5x4xcos600=10,

___A/Jr■A8—10—《—

而诏4,则正在而上的投影向量而（7分）

（3）由石=赤+而+Z7,则而2=（而+而+Z7y

=Z^2+JP2+Z72+2Z5JD+2Z5-Z7+2JDZ7

=16+9+25+0+2x4x5x；+2x3x5x；=85,所以|力4|二%?.（13分）

16.（15分）

某校高二年级安排6名优秀学生按照以下要求报名参加数学、物理、化学竞赛，每名学生限报一科竞赛.

（1）若三科竞赛均有2人报名参加，有多少种不同的报名方法？

（2）若4人报名参加数学竞赛，另外两科竞赛各1人报名参加，有多少种不同的报名方法？

（3）若三科竞赛均有人报名参加，有多少种不同的报名方法？

【详解】（1）若三科竞赛均有2人报名参加，则报名方法有C：C：C；=90种.（4分）

（2）若4人报名参加数学竞赛,另外两科竞赛各1人报名参加,则报名方法有C：A；=30种.：8分）

（3）由题可得报名人数的分配方案可以是1,2,3或1,1,4或2,2,2.

若三科竞赛的报名人数为1,2,3,则报名方法有C；C；C；A；=360种；

若三科竞赛的报名人数为1，1，4,则报名方法有=90种；

若二科竞赛的报名人数为2,2,2,则报名方法有《C；C；=90种.

所以三科竞赛均有人报名参加，报名方法共有360+90+90=540种.(15分)

17.(15分)

2025

已知(1一2x)2°"=%+平+*2+--+a2025x(xGR),求解：

(1)旬+6+生+…+%025；

(2)-+。3+。5+~+。2025；

(3)|%|+同+同+…+|。2025上

(4)q+2%+3%+…+2。25/0：5.

【详解】(1)令x=l,得/+6+4+…+”2025=(T户"=一1(3分)

(2)令工=-1,得％-6+%-&+…-%必=3""5②，

由①-②，得2(%+%+%…+喂)=-1-32°25,

_|_^2025

所以q+%+%+…+a2O23=-------.(7分)

1225

(3)因为(1一2x)2。"=a0+a,x+a-,x+…+(72025A-"(xeR),

25Ak

(l-2xf的展开式通项为7；”=C^25-(-2A)=C£(一2fx(O<k<2025,kGN),

所以4=Go25・(—2)A(0<^<2025,〃GN),

当A为奇数时，4<0;当A为偶数时，&>0.

所以同+同+|出|+…+|。202§|=。0-q+。2----。2025=3"”.(11分)

JL512(>1>

(4)(1-2X)=a()+aix+a1x+--+a2O2Sx(xeR),

两边分别求导，得-4050（1-=q+2a2工+3%―+…+2025〃2025/。“（》£R）,

令I=1,得q+2a2+36+…+2025a2025=-4050.（15分）

18.(17分)

如图，四边形48斯是边长为1的正方形，四边形川"?。是梯形，4)〃8。,力8，力。,“是4。上的点，且

AD=BM=1,平面4%尸_1_平面44CQ.

(1)证明：瓦£仅〃四点共面；

(2)设8。=3,且点48,加,/7均在球。的球面上.

(i)求点O到平面C。”的距离；

(ii)记P为球面上到点C距离最小的点，求直线4尸与平面。”所成角的正弦值.

【详解】(1)因为四边形力8E厂是正方形，所以AB〃EF,

又因为4D=4B=BM,AB上4DJD〃BC,所以四边形4BMD悬正方形,

所以〃44,所以DW〃£7L所以四点共面.(4分)

(2)(i)因为/4_L/O,平面/平面/4CO,平面/平面,44。一/夕，

平面力4£产，所以平面力8£/，

因为力O//C3,所以4CJ■平面同理可得，力少，平面N8CQ,

因为8厂u平面月40匚平面力庆》,所以8c_L8/"AF1AM,

所以△心〃和△口"都是直角三角形，所以M尸的中点就是球心。，(6分)

如图所示，以4为坐标原点，分别以力民力。,力产所在直线为x,),z轴建立空间直角坐标系,

X

则4(0,0,0),8(1,0,0),C(l,3,0),。(0,1,0),F(0,0,1),0||.则而=(-1,-2,0),而=(0,-1,1),

/、(CD/i=-x-2v=0.、

设平面CDE的一个法向量方=MP，z，所以一•,令x=2,所以万=2,-1,-1,

［。尸.万=-y+z=0

所以〃_瓯臼卜＞才1_«，所以点。到平面。尸的距离为好.(10分)

_\n\"V4+1+1~V6~66

(ii)当匕C三点共线时，球血上点P到点。的距离最小，

因为=所以球的半径R=夸，分别取4W,8M中点///,

则oa=g,a〃=；,〃c=3-g4所以*2=。]42+“。2」+"二生,

444

所以"所以"=¥

1rI5I

而

所

以

因为OP=R==,---—----

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所以"利丽心品卜层n=[24n

6j-U，3,3j

rh(i)知平面CD尸的一个法向量五=(2,-1,-1),

所以直线与平面8尸所成角的正弦值为

Vl4