培优06 全等三角形 章末18题型归类（专项训练）-人教版（五四制）七年级数学下册

培优06全等三角形章末18题型归类（专项训练）数学新教材

人教版五四制七年级下册

一、单选题

1.在VAAC和△£）£?中，给出下列四组条件：

①AB=DE,BC=EF,AC=DF,

②AB=DE,4=N£BC=EF；

@ZB=ZE,BC=EF,NC=N尸：

®ZA=ZD,/B=/E,NC=NF；

其中，能使△ABCg.DEF的条件共有（）

A.1组B.2组C.3组D.4组

2.如图，AC、8。交于点0,BO=DO,添加：①NR4C=NOC4；②A8=CD；③AB〃CD；

®AO=CO,四个条件中的一个，能使ZVIBO且△86的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题

3.已知VABC中，AB=2,ZC=40°,现有以下这些条件：①NA=30。：@ZA=90°；③

/笈=12伊；@ZB=140°.要使VABC的形状和大小都是确定的，可以添加的条件是

.（写出所有正确结论的序号）

三、解答题

4.数学课上，老师提出了一个问题：如图，已知/。=//=90。，BC=EF,请补充一个

条件，使得△ABC出△OE/L三位同学展示了自己补充的条件：

甲补充条件4C=。厂，全等的判定依据是SAS；

乙补充条件N4=NE,全等的判定依据是「

丙补充条件二全等的判定依据是HL.

(I)请补全乙、丙同学展示的答案：

(2)请在甲、乙、丙三位同学中任选一种情况，写出完整的全等证明过程.

5.如图，在VA8C中，AB=AC,AQ为8C功上的中线.以点8为圆心，AO长为半径画

弧，与AB交于点、E,连接OE.

⑵若4=50",求NAPE的度数.

6.如图，VA8C和△&「£)都是等腰直角三角形，求证：“DC沿ABEC.

7.如图，在VA8C中，Z4CB=90°,AC=BCfBE工CE于E,AO_LCE于。.

CA

试卷第2页，共26页

(1)求证：AADC@ACEB.

(2)AD=l5cm,DE=10cm,求跖的长度.

8.如图，在V48c中，ZC=90°,AZ)是NC48的角平分线，DEJ.AB于E,点、F在边AC

上，连接。/，且DF=QB.

(I)求证：4CFDm△EBD；

(2)若NBAC=40。，求4”7)的度数;

四、单选题

9.如图，在VAO8和△COD中，OA=OB,OC=OD（OA<OC）,/M）B=〃X）C=a,直

线AC,8。交于点M,连接,下列结论:①AC=8。,②NOAM=ZOBM,③ZAMB=a,

®ZOCM=a,其中正确结论的个数是（）

A.4B.3C.2D.1

10.如图，在VAKC中，Z4«C=60°,AO平分N84C交于点。，CE平分NACB交AB

于点E,AD、CE交于点儿①NA尸C=120。：②若CEJ48,则AB=2AE;③工人不=

®CD+AE=AC⑤S"S△皿=AQ.FC.则上列说法一定正确的是()

A.①②④B.①©④©C.①②③④D.①②③④⑤

II.如图，在等边三角形ABC中，AB=2,。为VAAC内一点，且。A=Q5,E为VABC外

一点，BE=ABRNEBD=NCBD,连接。石，CE,有下列结论：①/DAC=ZDBC；②

BELACx③NO£8=30＞：④若EC〃A。，则其中正确结论的个数为（）

五、填空题

12.如图，。为ABAC外角平分线上一点并且满足80=CQ,过。作OESAC于七，DFLAB

交BA的延长线于F,则下列结论：①△CDE些ABDF；②CE=AB+AE；③NBDC=ZBAC；

④ZABD=NBDE；其中结论正确的是.

13.如图，点A,B,。在同一直线上，在这条直线同侧作等边△A3。和等边连

接AE和C。，交点为M,AE交BD于点P,CD交BE于点Q,连接也、BM,有4个结

论：①AABEqADBC,②△QQ8ZAAP8,③/E4C=30。，@ZAMC=120°,请将所有

正确结论的序号填在横线上__________.

六、解答题

14.如图，在V48c中，D为边8C上一点，E为边BA上一点,且A£=C£）,连接AO,F

试卷第4页，共26页

为A。的中点.连接Er并延长，交AC于点G,在FG上截取点"使"/=正，连接GO,

若HG=CG.

(I)求证：^AEF^^DHF：

(2)求证：N8=2NG0C.

15.如图，点B在线段AC上，点£在线段8。上，08为△ACD的高，AB=DB，EB=CB.

⑴求证：4ABE'DBC；

⑵如图：BF工AE于F,BG上CD于G,探究跖与3G的关系，并证明你的结论.

16.如图，点8、F、C、E在直线/上(尸、C之间不能直接测量)，点A、。在/异侧,

测得A3=O£,AB\\DE,ZA=ZD.

⑴求证：AABC”ADEF；

⑵若以：=10m,4尸=3m,求的长度.

17.如图，已知4c平分/84。，CELAB于E,C/_LA力于入且8C=C。.

⑴求证：4BCEADCF；

(2)若4)=10,BE=6,求A8的长.

18.如图，在平面直角坐标系中，点A、3分别在第一、二象限，轴于点。，连接人/)、

04、0B,且。4=08.

中

图1图2

⑴如图1,若408=90。，NAOO=135。，A(4,A),探究。、〃之间的数量关系，并证明

你的结论；

(2)如图2,若408=60,》,4400=120。，探究线段O。、A力之间的数量关系，并证明你

的结论.

19.如图，在VA4c中，ZC=90°,40是—84C的平分线，于点E,点尸在AC

上，BD=DF,证明：

A

层

CDb

⑴CF=EB；

(2)AB=AF+2EB.

20.如图，C为线段AB上一点，分别以AC,CB为边,在AB的同侧作等边三角形ACO和

等边三角形8CE,AE交OC于点G,DB交CE于点H

E

Z1cO

求证：

⑴VAC£^VDC8：

(2MCG/7为等边三角形：

试卷第6页，共26页

（3）GH//AB.

21.如图，在VABC中，4。为AC边上的高，4E是一孙。的角平分线，点尸为AE上一

点，连接M,ZBFE=45°.

（2）连接CF交人。于点G,若A8=8C,求证：ZAFC=90°.

22.综合与实践：

【问题情境】如图所示，池塘的两端有A,8两点，现需要测量该池塘的两端A,8之间的

距离，需要如何讲行呢？

【提出方案】同学们想出了如下的两种方案：

甲同学：如图（1）所示，先在平地上取一个可直接到达A,3的点C,再连接AGBC,并

分别延长AC至点。，BC至点E,使OC=AC,EC=BC,最后量出OE的距离就是八4的

距离；

乙同学：如图（2）所示，过点B作AB的垂线3F，在所上取C,。两点，使8C=CD,

接着过点。作5D的垂线DE,在垂线上选一点E,使A,C,E三点在一条直线上，则测出

OE的长即是48的距离.

【问题解决】请你选择一位同学的方案，判断其是否可行，并说明理由.

23.如图，这是脊柱侧弯则量显示的示意图，。仍角（NO）是一个测量侧弯曲角度的方

法，用于评估脊柱侧弯的严重程度，当co仍角＞10。为脊柱侧弯.已知4C_LBO,BDA.AO,

8=DO,AD=BC.

(I)△八CO与△800全等吗？请说明理由.

(2)若小明是轻度脊柱侧弯(10°<ZO<25°),直接写出与NO相等的角:

24.【问题情境】

图1图2图3

(1)如图1，A,B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A,3间的距离，(H

绳子不够长，一个叔叔帮他出了这样一个主意：先在地上取一个可以直接到达A点和B点

的点C，连接AC并延长到D,使CD=CA；连接8C并延长到E,使CE=CB,连接。石并

测量出它的长度，如果OE=100m,求A8间的距离.

【探索应用】

(2)如图2,在VA3C中，若A3=5,AC=3,求8。边上的中线AO的取值范围.解决此

问题可以用如下方法：延长AO到点石使OE=AO,再连接相(或将△AC。绕着点。逆时

针旋转180。得到△£%),把A8,AC,24)集中在AABE中，利用三角形三边的关系即可

判断，中线A。的取值范围是什么？并说明理由.

【拓展提升】

(3)如图3,在VA6C中，ZAC6=9Qc,AB=AD,AC=AE,NfiA。=NC4E=90。，CA

的延长线交OE于点尸，求证：DF=EF.

25.小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究.在一个支架的

横杆点O处用一根细绳悬挂个小球A,小球A可以自由摆动，如图，0A表示小球静止时的

位置，当小明用发声物体靠进小球时.，小球从。4摆到。4位置，此时过点B作BO_LOA于

点。，且测得到点B到的距离为8cm；当小球摆到。。位置时，与。。恰好垂直(图

中的A,H,O,C在同一平面上)，过点C'作CE_LOA于点&测得点C'到办的距离为14cm.

试卷第8页，共26页

(1)判断CE与O。的数量关系，并证明；

⑵求两次摆动中点8和C的高度差OE的长.

26.小丽与小琳在公园里荡秋千.如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直,

两脚在地面上用力一蹬，小琳在距OA水平距离0.9m的8处接住她后用力一推，当秋千摆动

到最高点C处时，小丽距离地面的高度为0.9m,已知/3OC=90。，3。_1_。4于点。,

CEJ.Q4于点E.

(1)求证：KEOAODB；

(2)为了安全考虑规定户外秋千设置高度在2m以下，小丽所在公园的秋千高度设置是否合理？

为什么？

27.如图，./WC和△A0E中，AB=AD,4=ND,BC=DE,边40与边8C交于点P

(不与点B，C重合)，点依E在AD异侧.

(1)若/8=30。，/42。=70。,求/。4石的度数：

(2)当N8=30。，ABLAC,A8=6时，设=请用含x的式子表示?。=_；并写出尸。的

最大值为「若三角形4PC的三条高的交点在三角形内部，则x的取值范围是

28.已知NABC为等边三角形，点。为边BC上一动点,£为NABC下方一点，连接AE、OE,

ZA£D=ZABC.

A

AA

图1图2图3

(1)如图1,若点。与点C重合，求证：.AE=CE+BE；

(2)如图2,若/4。8=90。一；/8。石，求证A5=AE；

(3)如图3,A8=8,若点。为AC中点，连接0。，则。。+：w)的最小值为.

29.已知线段/W,点C是平面内一动点，连接AC、BC,且A8=AC,过点3作加_L8C,

且BD=BC,连接C。，AD,交BC于点E.

(I)如图1,若N8AC=60。，求NAE8的度数；

(2)如图2,过点B作3HLAB,且使3H=3A,连接AH,若4力=6,求AH+AC的最小

值.

8S，0）且（4+））2=0.

(2)如图1.若40,4),C为。8中点，连接AC,过点4向右作4O_LAC,且4)=AC,连CD.过

点M(l,0)作直线垂直于x轴，交C。于点N,求证：CN=ND.

(3)如图2,E在A3的延长线上，连接EO,以EO为斜边向上构等腰直角三角形£7；O,连接

试卷第10页，共26页

AF,若AB=8,EB=6,求AAE尸的面积.

31.【问题背景】

数学活动课匕“智慧小组''将一副三角尺按不同的摆放位置来探究三条线段的数量关系.

【特例探究】

(1)“智慧小组”的同学决定从特例入手探究，他们将含45。的三角尺按如图1所示的方式摆

放在直线/上，ZB4C=90°,AB=AC,直线/经过点A"OJ•直线/,CE_L直线/,垂足分别

为D、E,则。EBRC后之间的数量关系为.

【类比探究】

E

图2

(2)“智慈小组”的同学将一副三角尺按如图2所示的方式叠放在一起，当顶点8在线段DE

上，且顶点A在线段E/上时，过点C作CP_LOE,垂足为人猜想AEPE/C之间的数量

关系，并说明理由；

【拓展应用】

(3)“智慧小组”的同学将一副三角尺按如图3所示的方式叠放在一起，当顶点A在线段OE

上，且顶点4在线段E『上时，连接CE,若8£=4,求△4CE的面积.

32.感知：

图(1)图⑵

如图(1),在VA4c中，分别以AB、AC为边在VA4c外部作等边三角形△Ab。、△ACE,

连接CO、BE.求证：BE=DC；

应用：

如图(2),在VABC中，A5>AC,分别以AB、4C为边在NABC内部作等腰三角形△A5O、

△ACE,点E恰好在BC边上，使A5=4),AC=AE,且N84Q=NC4£,连接CO,

CE=3cm,CD=2cm,VA8C的面积为10cn?,求△相£：的面积.

33.综合与实践：

(1)某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形.如图1.已知：

在VA8c中.NB4C=90。，AB=AC,直线/经过点A,瓦)工直线/,CEJ■直线/,垂足

分别为点。、E.证明：DE=BD+CE.

(2)组员小刘对图2(NR4C=90。，AB=AC,直线/经过点4,BD上直线/,CE_L直线

/,垂足分别为点。、区)进行了探究，他发现线段。E、BD、CE之间也存在着类似的数

量关系，请你耳毯写出这个发现.

数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：

(3)如图3,已知VA4C,A”是3。边上的高，AH=\.过V/WC的边A8、AC向外作

正方形A超陀和正方形ACFG,延长HA交EG于点I,若4=2,请直谈写出AAEG的面

积.

(4)如图4,在VA8C中，/BAC是钝角，AB=AC,ZBAD>ZCAE,NBDA=ZAEC=NBAC,

直线〃?与8C的延长线交于点凡若BC=2CF,VA3C的面积是12,请亶毯写出445。与

△CM的面积之和.

试卷第12页，共26页

合条件的△8C。(用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹)

(2)请用两种不同方法作出4c边上的中点E.(用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图

痕迹)

35.如图，在下列带有坐标系的网格中，VA4c的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上,

A(-3,3),8(*2),C(O,-1).

⑴直接写出VABC的面枳为；

(2)画出VA8C关于>轴的对称的AOEC(点。与点A对应，点£与点B对应)，点E的坐标

为:

⑶用无刻度的直尺，运用所学的知识作出VA8C的高线AF'(保留作图痕迹并写出理由).

36.如图，在R^ABC中.ZC=90°,AC=BC,在线段CB延长线上取一点P,以"为

直角边，点。为直角顶点，在射线C8上方作等腰RtzMP。，过点。作OEJ_C8,垂足为点

E.

⑴依题意补全图形；

⑵求证：AC=PE；

(3)连接03,并延长交AC的延长线于点尸，用等式表示线段CF与AC的数量关系，并证

明.

37.如图I和图2,V48C是边长为6的等边三角形，P是AC边上一个动点，。是CB延长

线上一点，当点P从点A出发向终点C运动时，点Q同时以与点P相同的速度由点B沿射

线。4方向运动，过点夕作庄J_A8丁点E,连接PQ交AB于点。.

图1图2

(1)过点。作尸产〃8c交至于点尸，如图2,求证：△"b是等边三角形；

⑵在点。(不与点A,C重合时)与点。的运动过程中.

①嘉嘉说：”点。始终是线段的中点.”你是否同意她的说法？说明理由；

②淇淇说：“线段OE的长度始终不变请你帮淇淇求HIDE的长度；

⑶当NPQC=30。时，请耳毯写出AE的长.

38.如图①，在RtZXABC中，NC=90。，BC=9cm,AC=12cm,AB=15cm,现有一动点P,

从点A出发，沿着三角形的边ACf84运动，回到点A停止，速度为女nVs,设运动

时间为rs.

试卷第14页，共26页

AA

图①图②

(1)如图①，当/二时，△APC的面枳等于VA6c面积的一半;

(2)如图②，在4EF中,ZE=90°,DE=4cm,DF=5cm,NO=NA.在VA8C的边上,

若另外有一个动点。与点P同时从点A出发,沿着边运动，回到点4停止.在

两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ9WEF,求点。的运动速度.

39.如图，在V/WC中，AB=6,8c=5,点。为边A8的中点.动点尸从点8出发，以每

秒2个单位的速度沿射线8c运动，同时动点Q从点C出发，以每秒。个单位长度的速度沿

线段C4向终点A运动，设点。运动的时间为f秒。＞0).

⑴用含/的代数式表示线段PC的长：

(2)若AC=48,且点P在边8C上时，若ABPD与ACPQ全等,求，和。的值;

⑶当NAC8=70。，且ACP。为等腰三角形时，直接写出NCP。的度数.

40.如图，在心中，ZACB=90°,直线/过点C.

(I)当AC=8C时，如图1,分别过点4,8作AO_L/于点。，BEL于点、E,求证：

△ACDW4BE.

(2)当AC=8,8C=6时，如图2,点3与点/关于直线/对称，连接3尸，CF,动点时从

点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AC边向终点C运动，同时动点N从点厂出发，以

每秒3个单位长度的速度沿尸-CfBfCfF向终点厂运动，点M,N到达相应的终

点时停止运动，过点M作MZ)_L/于点。，过点N作NE工/于点E,设运动时间为，秒.

①CM=,当N在/tC路径上时，CN=，(用含/的代数式表示)

②直接写出当八MDC与△CEN全等时/的值.

41.【方法呈现】

如图：在VA8C中，若A8=6,4c=4,点。为8c边的中点，求3c边上的中线AO的取

值范围.

E

解决此问题可以用如下方法：延长A。到点E使。£=4),再连接用"可证△ACO四△E8O,

从而把A8、AC,2AO集中在aAbE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AO的取值

范围为,这种方法我们称为倍长中线法；

【问题背景】

在△A8M中，AMLBM,垂足为M,,点D是线段AM上一动点.

(1)如图1,点。是助W延长线上一点，MD=MC,连接AC,若加-17,求4C的长；

图1

【构建联系】

(2)如图2,在(1)的条件下，点E是△48W外一点，EC=AC,连接EO并延长交8c于

点F,且点“是线段4c的中点，求证：NBDF=NCEF.

试卷第16页，共26页

E

A

BFMC

图2

42.中线是三角形中的重要线段之一.在利用中线解决几何问题时，当条件中出现‘'中点””中

线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已

知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题,

这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”.

H

图1

(I)如图1,在V/1BC中，AB=6,AC=4,。是的中点，求边上的中线AO的取值

范围.嘉淇在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点从使。H=

连接可以判定从而得到AC=M?=4.这样就能把线段AB,AC,

24)集中在中，利用三角形三边的关系，可得中线八。的取值范围是.

(2)如图2,在RtZ\ABC中，ZACB=90。，D为边AB的中点,求证：CD=^AB.

(3)如图3,在V48C中，AB>AC,A。为角平分线，E为边8c的中点，过点£作AD的

平行线，交AB于点F,交C4的延长线于点尸.

①判断8b和CP的数量关系，并说明理由；

②若NBAC=900,5办8c=3。，BF=8,则AP的长为.

43.阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法.截长就是在长边

上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等,

从而解决问题.依据上述材料，解答下列问题：如图1，在VABC中，A。平分NB4C,交

BC于点、D,且4=2NC,求证：AB+BD=AC.

D

⑴为了证明结论“AB+3Z)=AC"，小亮在AC上截取AE,使得人£=人8,连接DE,解答了

这个问题，请按照小亮的思、路写证明过程；(提示：如果一个三角形有两个角相等，那么这

两个角所对的边也相等)

(2)如图2,在四边形A8CD中，已知N84O=60。，ZD=II(P,ZACD=40°,NAC8=80。，

CE是VA3C的高，AO=10,EB=2,求A3的长.

44.【材料阅读】

截长补短法主:要用于证明线段的和差关系，具体分为截长法和补短法两种：

①截长法：在长线段上截取一段等于另两条线段中的一务，然后证明剩下线段的长等于另一

条线段的长；

②补短法：将一条短线段延长，延长部分的线段的长等于另一条短线段的长，然后证明新线

段长等于原线段长.

【问题呈现】

(1)如图①，在四边形力88中，A3=A£>,ZB=ZD=90°,E,产分别是边“C,CO上的

点，且NEA产=求证：EF=BE+FD.

图①图②图③

【问题启发】

李老师提出可以利用数学里的转化思想，将三条线段的数量关系转化为两条线段的数量关系,

请你完成上面的证明过程；

【迁移应用】

(2)如图②，NABC是等边三角形，^ADC是等腰直角三角形，其中AC=AO,ZCAD=90。，

试卷第18页，共26页

AE是NCA。的平分线，连接4。交AE与点凡猜想8F,。尸之间的数量关系，并证

明你的猜想；

【能力提升】

（3）如图③，在VA8C中，AC=BC,NAC8=90。，点。在AB边上，过点8作BE_LCZ）,

交CD的延长线于点£,延长所至点尸，连接CT,连接“交。。于点G,使CE=2GE+BE,

若BE=8,BF=12,求V4b的面积.

45.通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：

（模型呈现）

（1）如图I,/班。=90。，AB=AD,过点B作BC_LAC于点C,过点。作。石工4c于

点E.由N1+N2=N2+ND=9O°,得N/=N。.又NAC8=ZATO=90。，可以推理得到

^ABC^DAE.进而得到AC=,BC=.我们把这个数学模型称为“K

字''模型或"一线三等角“模型：

（模型应用）

（2）如图2,Z^D=ZC4E=90°,AB=AD,AC=AEf连接8C,DE,且8C_LAF于

点F,OE与直线"'交于点G.求证：点G是£＞£的中点；

（深入探究）

（3）如图，已知四边形A3CD和。EG尸为正方形，/XAF。的面积为S,△OCE的面积为邑，

则有SS2（填“＞、=、＜"）

“一线三等角”是一个常见的数学几何模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的

全等图形（以及以后要学习的相似图形），这个角可以是直角（此时也称“--线三垂直”模型），

也可以是锐角或者钝角.对于“一线三等角“，有的叫“K型图”，也有的叫“M型图

B

BF

'二//,

DCE1DCEDCE1

图1图2图3

（I）如图I,已知：在VAAC中，ZACT=90°,AC=BC,直线/经过点C,AO_L直线/,BE±

直线/，垂足分别为点。，E.求证：Z^DC^ACEB：

（2）如图2,将（1）中的条件改为：在VA3C中，AC=BC,。、C、E三点都在直线/上，

并且有NAOC=NAC3=/CE8=。，其中。为任意锐角或钝角，则△AOC与是否全

等？若仍全等，请你给出证明；若不全等，请说明理由.

（3）拓展与应用：如图3,D、E是D、C、E三点所在直线/上的两动点（。、C、E三点互不

重合），点”为—AC4平分线上的一点，且△4b和V8c/均为等边三角形，连接AD,BE,

若ZADC=ZACB=NCEB,试猜想。厂与EF的关系，并说明理由.

47.通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：

【模型呈现】某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图I,由外到内含三个正方形）中

提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3）,即“一线三等角”模型和“K字”模型.

【问题发现】（1）如图2,已知VA3C中，CA=CB,ZACB=90°,一直线过顶点C,过A,

8分别作其垂线，垂足分别为E,F,求证：VAECACFB；

【问题提出】（2）如图3,若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出痔，AE,BF

之间的数量关系，并说明理由.

48.如图1：在四边形A8CO中，AB=AD,ZA?AD=120°,ZZ?=ZAPC=90°,E、尸分

别是8C,C。上的点，且N£4尸=60。，探究图中线段BE,EF,尸。之间的数量关系.

试卷第20页，共26页

G

图1

小王同学探究此问题的方法是：延长FO到点G,使DG=BE,连接AG,先证明

△人3匡再证明即可得出3E,EF,FQ之间的数量关系，他的结

论应是

像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的•半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型

称为半角模型.

拓展:如图2,若在四功形A8C。中，AR=AD,N8+NO=180。，E、尸分别是8C,CD

上的点，且/£4/=；/侬。，则4石，EF,尸。之间的数量关系是请证明你的结论.

49.问题背景：“半角模型”问题.如图1,在四边形A8co中，AB=AD,ZBAD=120°,

Zfi=Z4£>C=9(r,点£,尸分别是BC,C。上的点，且“4/=60°,连接所，探究线段

BE,EF,之间的数量关系.

(I)探究发现：小明同学的方法是延长尸。到点G.使Z)G=8£.连结AG,先证明

△ABE乌△47G,再证明△AEFgzXAG产，从而得出结论：；

(2)拓展延伸：如图2,在四边形A8C。中，AB=AD,4+/〃=18(T,《、户分别是边6C,CD

上的点，且请问(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，

若不成立，请说明理由.

⑶尝试应用：如图3,在四边形"CD中，AIi=AD,ZB+ZADC=180°,石、尸分别是边8GCD

延长线上的点，且“4F1/胡。，请探究线段3E,EF,。E具有怎样的数量关系，并证明.

50.(I)阅读理解：问题：如图1,在四边形人BCO中，对角线4。平分/ABC,

Z4+ZC=180°.求证：DA=DC.

思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题.

方法1：在8c上截取8M=BA,连接。M,得到全等三角形，进而解决问题；

方法2：延长刚到点N,使得BN=BC,连接ON,得到全等三角形，进而解决问题.

结合图1,在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明.

(2)问题解决：如图2,在(1)的条件下，连接AC,当ND4C=60。时，探究线段A3,

BC,8。之间的数量关系，并说明理由；

(3)问题拓展：如图3,在四边形4BCD中，NA+NC=18Q。，/)A=ZX?,过点。作。E_L8C,

垂足为点七，请写出线段AB、CE、BC之间的数量关系.

图3

51.(1)特例探究：如图①，在正方形A8c。中，E,尸分别为BC,C。上的点，NE4/=45。，

探究BE,EF,。产之间的数量关系.小明是这么思考的：延长77),截取。G=8E,连接

AG,易证0ziAAE,从而得到AG=A£，再由“S45”证明AAG尸2ZXAEF,从而得

出结论：.

(2)一般探究：如图②，在四边形AKC。中，AD=AB,与—O互补，E,尸分别是BC,

CO上的点，且满足NE4F=g/8A。，探究跳，EF,之间的数量关系.

(3)实际应用：如图③，在四边形ABCO中，AB=AD,AC=6,NDAB=/DCB=^)0,

则四边形48CO的面积为一.

试卷第22页，共26页

52.在学习全等三角形知识时、数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角

相等的等腰三角形构成.在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形.通过资料查询，

他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作:

图1图2图3

(1)如图1、两个等腰三角形△AAC和“IDE中，AI3=AC,AE=AD,NR4C=ND4E连接

BD.CE.如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等

腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手,这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和闻用

全等的三角形是,此时和CE的数量关系是_；

(2)如图2、两个等腰直角三角形和1中，

AB=AC,AE=AD,NB4C=N£HE=9O。,连接8。，CE,两线交于点P,请判断线段8。

和CE的数量关系和位置关系，并说明理由；

(3)如图3,已知，以A3、4C为边分别向△回(?外作等力△回£＞和等边ZXACE,连接8£,

CD,两线交于点P,请直接写出线段4E和C。的数量关系及NO总的度数.

53.【问题提出】如图1,AABD、Z\AC七都是等边三角形，求证：BE=DC.

【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在对全等三

角形，即如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看

作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手''基本图形，当图形中只有一个

等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手''基本图形，从而

解决问题.

【方法应用】

图1图2图3

(I)等边三角形4BC中，E是边AC上一定点，。是直线上一