四边形-2025年中考数学试题分类汇编（含答案）

专题18四边形-2025年精选中考数学真题分类汇编

一、选择题

1.如图，菱形48CD的面积为10,点E,F,G,〃分别为AB,BC,CD,04的中点，则四边形EFGH的面积

2.一人矩形的一条对角线长为1（）,两条对角线的一个交角为6（尸.则这个矩形的面积是（）

A.25B.25V3C.2575D.5073

3.如图，在平面直角坐标系％Oy中，正方形48co的边长为5,48边在y轴上.8（0,-2）.若将正方形

得到正方形/B'C'DI则点方的坐标为（

B.(5,-3)C.(-2,5)D.(5,-2)

4.如图，将矩形43CD沿对角线BD折叠，点4落在4处,交6c于点E.将△COE沿。Z?折叠，点C落在△

B.z.1=a

C.Z2=90°-aD.z2=2a

5.在如图所示的。ABCD中，E,G分别为边AD,BC的中点，点F,H分别在边AB,CD上移动（不与

端点重合），且满足AF=CH,则下列表示定值的是（）

k'B

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A.四边形EFGH的周长B.4£7七的大小

C.四边形EFGII的面积D.线段Fil的长

6.如图，将正方形ABCD沿EF折叠，使得点A与对角线的交点O重合，EF为折痕，则到的值为（）

A

7.如图，在正方形ABCD中，AB=2cm,对角线AC,BD相交于点0,动点P从点O出发沿O—A—B

方向以立cm/s的速度运动，同时点Q从点C出发沿C-D方向以lcm/s的速度运动.当点Q到达点D时，

P,Q同时停止运动.若运动时间为x（s）,ACPQ的面积为y（cm2）,则点P分别在OA,AB上运动时，y

与x的函数关系分别是（）

A,均为一次函数B.一次函数，二次函数

C.均为二次函数D.二次函数，一次函数

8.如图，在四边形ABCD中，z.4=/.ABC=90°,AB=4,BC=3,AD=1,点E为边AB上的动点.

将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF,连接FB,FC,EC,则下列结论错误的是（）

A.EC-ED的最大值是2场B.FB的最小值是V10

C.EC+ED的最小值是4V2D.FC的最大值是V13

9.如图，在正方形中，点尸在边上（不与点B、C重合），点E在CB的延长线上，且BE=BF,

连接AC、AE,AF,过点E作EG_LAF于点G,分别交A3、AC.力C于点M、H、N.则下列结论：

@MN=AF；@/-EAH=^EHA；③EN，BF=EC•HN；④若BF:%=3:4,贝hem/凡4C=卷⑤图中共

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A.①②③⑤B.①②④⑤C.①②③④D.①③④⑤

10.四边形A8CO中，AD//BCt^B=90°,AB=8cmtAD=10cm,BC=16cm.动点M从点8出发，以2cm/s

的速度沿边氏4、边AO向终点。运动；动点N从点G司时出发，以lcm/s的速度沿边C8向终点B运动.规定

其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动.设运动的时间为ts.当t=2s时，点M,N的位置

如图所示.有下列结论：

①当t=6s时，CN=DM；②当时，ZiBM/V的最大面积为26cm2；③t有两个不同的值满足△

8MN的面积为39cmz.其中，正确结论的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

二、填空题

11.已知矩形ABCD中，点E在边CD上，F是点E关于直线AD的对称点，联结EF、AF、BE,若四边形

ABEF是菱形，那么瑞的值为.

12.如图，在菱形A8C0中，对角线4c与80相交于点。，AC=8,80=12,点E在线段。4上，4E=2,点

F在线段0C上，OF=1,连接BE,点G为BE的中点，连接FG,则FG的长为.

13.如图，在菱形A8C0中，AB=4V5,对角线8。的长为16,E是40的中点，F是BD上一点,连接EF.若

BF=3,则E尸的长为.

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14.如图，把平行四边形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点B处.BC与AD相交于点E,此时

△CDE恰为等边三角形，若AB=6cm,则AD=________cm

B'

BC

15.如图，在菱形ABCD中，AC=4,BD=2,E为线段AC上的动点，四边形DAEF为平行囚边形，则

BE+BF的最小值为_________.

R

16.如图，在边长为4的正方形力BC。中，对角线AC、BD相交于点0.点E在线段04上.连接BE,作CF_L

BE于点F,交。8于点P.给出下面四个结论：

①20CP=LOBE；②0E=0P；③当=时，，BP=EF；④点4与点F之间的距离的最小值为

2V5-2.

上述结论中，正确结论的序号有________.

DC

S

AB

17.已知△4BC的面积是I.

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E

BI)

图1图2

（1）如图1,若D,E分别是边BC和AC的中点，AD与BE交于点E则四边形CDFE的面积

为________

（2）如图2,若M,N分别是边BC和AC上距离C点最近的6等分点，AM与BN相交于点G,则四

边形CMGN的面积为.

三、解答题

18.如图，在团ABCD中，E为A8的中点，尸为ED延长线上一点，连接力F,BF,过点B作8G||AF交FE的延长

线于点G,连接力G.

（1）求证：AAEF"BEG；

（2）已知▲（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形4GB5的形状，并

证明你的结论.

条件①：EF=^CD；

条件②：EF1CD.

19.如图，CD是Rt^ABC斜边AB上的中线，过点A,C分别作AE||DC.CE〃AB,AE与CE相交于点

E.现有以卜命题:

命题1：若连接BE交CA于点F,则.SACFB=2SACEF-

命题2：若连接ED,则ED1AC

命题3：若连接ED,则.ED=BC.

任选两个命题，先判断真假，再证明成举反例.

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20.【问题背景】在学习了平行四边形后，某数学兴趣小组研究了有一个内角为60。的平行四边形的折叠问

题.其探究过程如下：

图①图②

(1)【探究发现】如图①，在Q.A8CO中，ZA=60°,AB>AD,E为边A。的中点，点尸在边OC上，

HDF=DE,连接ER将△DEE沿七/翻折得到△GER点。的对称点为点G.小组成员发现四边形OEG/

是一个特殊的四边形，请判断该四边形的形状，不需要说明理由.

(2)【探究证明】取图①中的边8c的中点M,点N在边A5上，旦8N=8M,连接MM将△8MN沿

MN翻折得到△，”从点小的对称点为点儿连接rH,GN,如图②，求证：四边形GF”N是平行四边

形.

(3)【探究提升】在图②中，四边形G尸"N能否成为轴对称组形.如果能，直接写出弟的值；如果不

riD

能，说明理由.

21.如图1,在RSABC中，D是AB的中点，AE=CD,AD=EC

(1)证明：四边形AEBD是菱形.

(2)如图2,O是AB上一点，且E、A、D三点均在。O上，连接OD,CD与。O相切与点D,

①求=.

②若AB=4,求。O的半径.

(3)在(1)的条件下，用尺规作图过D作。尸||48交BC于F.(保留作图痕迹，不用说明做法)

22.【提出问题】数学讨论课上，小明绘制图1所示的图形，正方形ABCD与正方形BEFG(AB>BE),点

E,G分别在AB,BC上.根据图形提出问题：如图2,正方形BEFG绕点B顺时针旋转，旋转角为a(0。

<a<180°),直线AE与CG相交于点H,连接BH,探究线段AH,BH,CH之间的数量关系.

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图1图2图3

(1)【解决问题】小明将上述问题特殊化，如图3,当点G,H重合时，请你写出AH,BH,CH之间的

数量关系，并说明理由；

(2)小明借鉴(1)中特殊化的解题策略后，再解决图2所示的一般化问题，当点G,H不重合时，请你

写出AH,BH,CH之间的数量关系，并说明理由；

(3)【拓展问题】小明将图2所示问题中的旋转角a的范围再扩大，正方形BEFG绕点B顺时针旋转，

旋转角为a(180。<(1<360。)，直线AE与CG相交于点H,连接BH,请直接写出AH,BH,CH之间的数

量关系.

23.如图，在菱形A8C0中，△48c=60。，点P为线段力C卜.一动点，点E为射线8P上的一点(点E与点8不重

合).

士亡」

'图①8图②CB备用图C

(1)【问题解决】

如图①，若点"与线段4c的中点。重合，则乙PBC=度，线段与线段4c的位置关系

是;

(2)【问题探究】

如图②，在点P运动过程中，点E在线段BP上，且乙AEP=3Q。,/PEC=60。，探究线段8E与线段EC的数

量关系，并说明理由；

(3)【拓展延伸】

在点P运动过程中，将线段8E绕点E逆时针旋转120。得到转，射线EF交射线8c于点G,若8E=

2FG.AB=5,求AP的长.

24.综合与实践

在探索几何图形变化的过程中，通过直观猜想、逻辑推理、归纳总结可以获得典型的几何模型，运用几何

模型能够轻松解决很多问题，让我们共同体会几何模型的“数学之美

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图1图2图3备用图

(1)【几何直观】如图1,△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,在△ABC内部取一点D,连接AD,将线

段AD绕点A逆时针旋转90。得到线段AD,连接BD,CD',则CD与BD的数量关系

是;ZAD'C与NADB的数量关系是.

⑵【类比推理】如图2,在正方形ABCD内部取一点E,使NCED=90。，将线段CE绕点C逆时针旋转

90。得到线段CE,连接EB,延长EB交DE的延长线于点F,

求正：四边形CEFE是正方形；

(3)【深度探究】如图3,矩形ABCD中，AB=3,BC=4,在其内部取一点E,使NCED=90。，将线段

CG4

CE绕点C逆时针旋转90。得到线段CE,延长CE至点G,使二-=不，连接GB,延长GB交DE的延长线于

点F,连接AF,若AF=2,则BF二.

(4)【拓展延伸】在矩形ABCD中，点E为BC边上的一点，连接AE,将线段AE绕点A逆时针旋转

60。得到线段AE,连接DE,若AD=3&，AB二通，则DE的最小值为.

25.【问题背景】

如图I,在平行四边形纸片A8CD中，过点B作直线/J_C。于点E,沿直线/将纸片剪开，得到

和四边形A8ED如图2所示.

【动手操作】

现将三角形纸片BiGEi和四边形纸片ABE。进行如卜操作(以卜操作均能实现)

①将三角形纸片a置于四边形纸片48E。内部，使得点b与点B重合，点它在线段A8上，延长

8G交线段AD于点尸，如图3所示；

②连接CG,过点C作直线CMLCD交射线EEi于点M如图4所示；

③在边A8上取一点G,分别连接80,DG,FG,如图5所示.

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图5

【问题解决】

请解决下列问题：

(1)如图3,填空：N4+N4BF=°；

(2)如图4,求证：XCNM必C\E\M；

(3)如图5,=2AD=2yj7AF,/AGO=60。，求证：FG//BD.

26.四边形ABCD是正方形，点E是边AD上一动点(点D除外)、△EFG是直角三角形，EG=EF,点G在

CD的延长线上.

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(1)如图1,当点E与点A重合，且点F在边BC上时，写出BF和DG的数量关系，并说

明理由：

(2)如图2,当点E与点A不重合，旦点F在正方形ABCD内部时，FE的延长线与BA的延长线交于

点P,如果EF=EP,写出AE和DG的数量关系，并说明理由；

(3)如图3,在(2)的条件下，连接BF,写出BF和DG的数量关系，并说明理由.

27.已知点A'在正方形ABCD内，点E在边AD上，BE是线段A4'的垂直平分线，连接AE,

A5-

I)(：I)f(：I)(：

(1)如图1,若'的延长线经过点D,AE=1,求AB的长；

(2)如图2,点F是人力'的延长线与CD的交点，连接CA

(a)求证：z_CA'F=45°；

(b)如图3,设AF,BE相交于点G,连接CG,OG,/M'，若CG=CB,判断△/‘DG的形状,

并说明理由.

28.综合与实践

【问题情境】下面是某校数学社团在一次折纸活动中的探究过程.

【操作实践】如图1,将矩形纸片A8CD沿过点C的直线折叠，使点3落在边上的点B'处，折痕交

A5于点£,再沿着过点，8,的直线折叠，使点。落在B,C边上的点。'处，折痕交C。于点足将纸片展平，

画出对应点炉、及折痕CE、BF，连接B,E、BC、DF.

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图1图2

(I)【初步猜想】确定CE和B,F的位置关系及线段8石和。尸的数量关系.

创新小组经过探究，发现CEII8'凡证明过程如下：

由折叠可知乙。夕尸=々CB午乙ECB'=AECB=3乙BCB'.由矩形的性质，

可知4011BC,:•乙DB'C=cBCB'..•.①▲.CEIIB'F.

智慧小组先测量5E和C”的长度，猜想其关系为②▲.

经过探究，发现验证8E和Cr数量关系的方法不唯一：

方法一：证明△AB'E三△ZTCF,得到8'E=CF,再由8'E=BE可得结论.

方法二：过点炉作45的平行线交CE于点G,构造平行四边形CTPG,然后证炉G=B'E可得结论.

请补充上述过程中横线上的内容.

(2)【推理证明】请你结合智慧小组的探究思路，选择一种方法验证和Cb的数量关系，写出证明过

程.

(3)【尝试运用】如图2,在矩形A8CO中，48=6,按上述操作折叠并展开后，过点炉作8'G||A8交

CE于点G,连接D,G.当△?D'G为直角三角形时，求出8E的长.

29.问题背景：

综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图所示.

外形参数:

如图1,装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线5,中间的矩形48co和卜.方的抛物线人组

成.抛物线刀的高度为8cm,矩形48co的边A8=8c?n,BC=6cm,抛物线人的高度为4cm.在装置内部安

装矩形电子显示屏EFGH,点E,F在抛物线上匕点“，G在抛物线5上.

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问题解决:

如图2,该小组以矩形A8C0的顶点A为原点，以48边所在的直线为％轴，以40边所在的直线为、轴.建立

平面直角坐标系.请结合外形参数，完成以下任务：

图2

(1)直接写出B,C,。三点的坐标；

(2)直接写出抛物线k和人的顶点坐标，并分别求出抛物线6和人的函数表达式；

(3)为满足矩形电子显示屏EFGH的空间要求，需要EH边的长为15cm,求此时E尸边的长.

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答案解析部分

1.【答案】B

【解析】【解答】解：连接AC,BD

•・•四边形ABCD为菱形，且面积为1()

：-AC1BD,^AC-BD=10

VE,F分别为AB,BC的中点

・・・EF是△ABC的中位线

\\AC,EF=

AFF乙

11

同理可得：GHII4C,GH=汕,FG||BD,FG=^BD

・・・EF〃GH,EF=GH,EF±FG

・•・四边形EFGH为矩形

・.・S矩形FEGH=EF-GH=^AC^BD=5

故答案为：B

【分析】连接AC,BD,根据菱形性质可得力CJLBD,>C・BD=10,再根据三角形中位线定理可得EFII

111

AC,EF=^AC,同理可得：GH||AC,GH=^AC,FGIIBD,FG“BD,则EF〃GH,EF=GH,

EF_LFG,根据矩形判定定理可得四边形EFGH为矩形，再根据矩形面积即可求出答案.

2.【答案】B

【解析】【解答】解：已知两条对角线的一个交角为60。，不妨设NAOB=60。，

在^AOB中，AO=BO=5,ZAOB=60°,

・•・△AOB为等边三角形，

.*.AB=AO=5,

另一对角线夹角为180。-60。=120。(邻补角)，

在^AOD中，AO=DO=5,ZAOD=120°,

由勾股定理计算得AD=V75=5V3

・••矩形面积为ABxAD=5x5V3=25V3.

故答案为：B.

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【分析】根据矩形的性质：对角线相等且互相平分，设对角线交点为0,则A0=B0=C0=D0=5,利用勾股

定理计算AD=g=5b，再利用面积公式，即可解答.

3.【答案】A

【解析】【解答】解：•••正方形ABCD的边长为5,AB边在y轴上，将正方形ABCD绕点O逆时针旋转

90°,得到正方形ABCD.

AAB=BC=AB'=B'C,=C,D=5,AB'在x轴上,A'BV/C'D',

VB(0,-2),

0),C'(2,5),

AD'(-3,5),

故答案为：A.

【分析】由正方形与旋转可得AE在x轴上,A'B7/CD',结合B(0,-2),可得B(2,0),0(2,5),进一步可

得答案.

4.【答案】D

【解析】【解答】解：•・•四边形ABCD是矩形

AAD//BC

.*.ZADB=Z1

•・•将矩形力BCD沿对角线BD折叠

.\ZADB=ZA'DB

.*.Z1=ZA'DB

ZDEC=90°-a,即2N1=90。-。

・"1=45°-1a,A错误

VZBDE^ZCDE

/.Zl^a,B错误

•・•将矩形力BCD沿对角线8D折叠

.\ZC'ED=ZCED

Z2=180°-2Z-CED=180°-2(90°-a)=2a,C错误，D正确

故答案为：D

【分析】根据矩形性质可得AD〃BC,则NADB=NI,再根据折叠性质可得/ADB=NADB,则

Z1=ZA'DB,再根据角之间的关系逐项进行判断即可求出答案.

5.【答案】C

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DHC

【解析】【解答】解：连接EG,£

•四边形ABCD为平行四边形,

.AD//BC,AD=BC,

♦E,G分别为边AD,BC的中点,

.AE=DE=BG=CG,

,四边形ABGE和四边形CDEG是平行四边形,

11

.SAEFG=^S四边影ABGE,SAEHG=]S四边界CDEG,

•S四边杉EFGH=SAEFG+SAEHG=/(S四边形ABGE+S四边形CDEG)=4s四边形ABCD,

.四边形EFGH的面积是定值，故C符合题意;

故答案为：C.

【分析】连接EG,利用平行四边形的性质可证得AD〃BC,AD=BC,结合已知条件可推出

AE=DE=BG=CG,由此可证得四边形ABGE和四边形CDEG是平行四边形，可得至I]S则包产并四边彩ABCD,

据此可知四边形EFGH的面积是定值.

6.【答案】D

【解析】【解答】解：由折叠可知：EFLAO

•••四边形ABCD为正方形

/-BAO=/-DAO=45°

AGE=△AGF(ASA)

:.AE=力"同理：EO=FO

•••EO=FO=FA=AE.

••・四边形ABCD为菱形

又♦:Z,EAF=90°

••・四边形AEOF为正方形

11

GO=AO=^AO=^EF

又•:EF=AO=^AC=^BD

EF2

：GC=3

故答案为：D.

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【分析】由折叠的性质知△AGE会△4G9(ASA),可得AEOF为正方形，可得AO=EF,即可得EF与GC的

比值.

7.【答案】D

【解析】【解答】解：

'・•正方形ABCD中，AB=2cm,

:.AB=BC=CD=DA=2cm,

AC=V2AD=V2AB=2V2cm,,

OC=OA=iAC=V2cm,.

当点P在OA上运动时，由题意得CQ=x,CP=OC+OP=V2+V2x,

如图I.

VZPCG=45°,

CP

/.CG=PG=^=x+l

，y三立CTQ=^XCQxPG=4丫2+1丫是二次函数:

当点P在AB上运动时，如图2,

由题意得CQ=x,

・・・y=SncPQ=^xCQxBC=%是一次函数;

故答案为：D.

【分析】当点P在0A上运动时，由题意得CQ=x,CP=OC+OP=V2+V2x,作PG_LCD于点G,求得CG二

PG=x+l,利用丫=5453=卜仪乂8。列式计算即可解答；当点P在AB上运动时，利用三角形面积公式求

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解即可解答.

8.【答案】A

【解析】【解答】解：A、•:点E为边AB上的动点.将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF,

・・・DE=DF,ZEDF=90°,

过点D作DG_LBC于点G,在DG上取点H,使DH=AD=1,延长FH交AB于点I,

A/EB

・•・四边形ABGD是矩形，

易证△DHFZ^DAE(SAS)

AFH1DG,即点F在FH上运动，

VZA=ZABC=90°,

，四边形DAIH,四边形BGHI,四边形ADGB是矩形，

AAD=BG=1H=1,

••・DG=AB=4,

ACG=BC-GB=3-1=2；

:・DE=DF=yjAD2+(AB-BE)2=+(4—8E)2,

CE=y/BE2+BC2=、/BE?+9

•­EC-ED=y/BE2+9-Jl+(4-Bf/，

・•・当BE最大时，EC-ED的值最大，

・•・当点E和点A重合时，点F和点H重合时,BF最小，

C

A(E)/"

U七时EC=x/42+32=5，

r.DE=i,

AEC-ED=5-1=4,故A符合题意；

B、BF=VH/2+BI2=Vl2+32=JIU，故B不符合题意;

C、作点D关于AB的对称点M,连接MC,

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.\ED=EM,AD=AM=1,ZBAM=ZBAD=90°,

过点M作MN_LCB于点N,此时EC+EDKM,

・•・当点C、E、M三点共线时，EC+ED的值最小，即就是MC的长;

易证四边形AMNB是矩形，

Z.BN=AM=1,CN=3+1=4,AB=MN=4,

：-CE+ED的最小值就是VGH2+CG?=74?+42=4企故C不符合题意;

D、当点E和点A重合时，

CF=\fGH2+CG2=V(3-l)2+(4-l)2=底,

当点E和点B重合时，过点C作CQ_LFH于点Q.

易证四边形CQIB是矩形，

.\CQ=IB=4-1=3,QI=BC=3,

.*.△DHF^.ADAE,

.\FH=AE=4,

:.QF=FH+HI-QI=4+1-3=2,

:・FC=+/Q2=加2+32=x<13

练.上所述，FC的最大值为g,故D不符合题意；

故答案为：A.

【分析】利用旋转的性质可证得DE=DF,NEDF=90。，过点D作DG_LBC于点G,在DG上取点H,使

DH=AD=1,延长FH交AB于点I,可证得四边形ABGD是矩形，利用SAS可证得△DHFgADAE,可证

得FHJLDG,即点F在FH上运动；再证明四边形DAIH,四边形BGHL四边形ADGB是矩形，可求出

BG、HI、DG、CG的长，利用勾股定理可表示出DE,CE的长，然后可表示出EC-ED的长，当BE最大

时，EC-ED的值最大，当点E和点A重合时，点F和点H重合时，BF最小，利用勾股定理求出EC的长,

即可求出EC-ED的长及BF的长，可对A、B作出判断；作点D关于AB的对称点M,连接MC,可知

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ED=EM,AD=AM=1,ZBAM=ZBAD=90°,过点M作MNJ_CB于点N,止匕时EC+ED2cM,由此可知当点

C、E、M二点共线时，EC+ED的值最小，即就是MC的长；易证四边形AMNB足矩形，利用矩形的性质可

得到BN、CN、MN的长，利用勾股定理可得到CE+ED的最小值，可对C作出判断；当点E和点A重合

时，利用勾股定理求出CF的长；当点E和点B重合时，过点C作CQ_LFH于点Q,可得到CQ、QI的长，

利用全等三角形的性质可得到FH的长，即可求出QF的长，然后利用勾股定理求出FC的长，综上所述，可

得到FC的最大值，可对D作出判断.

9.【答案】C

【解析】【解答】解：过点B作BK//MN,交直线CD于点K,交AF于点Q,

.\ZBQF=ZEGF=90°,

•・・AB〃CD,

・•・四边形BMNK是平行四边形，

.\BK=MN,

又/CBK+/AFB=90。，ZFAB+ZAFB=90°,

:.ZCBK=ZFAB,

VAB=CB,ZABF=ZBCK=90°,

••・△ABF^ABCK,

AAF=BK,

・・・MN=AF,即①成立；

VBKZ/MN,

・•・ZCBK=ZCEN,

:.ZCEN=ZFAB,

•；BE=BF,

・・・AE=AF,

AZEAB=ZFAB,

ZEAH=ZEAB+ZBAC=ZEAB+45°,

ZEHA=ZCEN+ZACB=ZCEN+453=NFAB+45。，

AZEAH=ZEHA,即②成立；

第19页

VZNEC=ZBAF,ZBCD=ZABC=90°,

・•・△NEC-ABAF,

._ay

''~AF~~BF

，EN.BF=CN.AF,

,/ZEAH=ZAHE=ZCHN=45°+a,ZACE=ZACN=45°,

/.△AEC-AHNC,

.AE_EC

••丽=而

ACNAE=EC.HN,

VAE=AF,

ACN.AF=EC.HN,

...EN.BF=EC.HN,故结论③正确；

过点F作FP_LAC,如图2所示，

设BF=3x,由BF：FC=3：4可得FC=4x,AB=BC=7x,

222

・•・AF=AB+BF=(7x)2+(3x)2=

VPF=FC<sinZACB=4x^=2V^x,

・•・AP=y/^F2-PF2=V58x2-8x2=5印，

.\tanZFAC^=f^=i即结论④正确；

A15v2x3

设NCEN=a,则：ZCNE=90°-a,ZCHN=ZAHE=a+45°,a<45°,

AZCNE^ZCHN,

•••△CNH不一定是等腰三角形，

故等腰三角形有^ABC,△ADC^AEFAAEH共四个，故结论⑤错误

第20页

图2

故答案为：c.

【分析】：过点B作BK〃MN,交直线CD于点K,交AF于点Q,得出平行四边形BMNK,进而得出

BK=MN,然后再通过证明△ABF二△BCK,得出AF二BK,进一步等量代换，即可得出①正确；然后证明

ZEHA=ZCEN+ZACB=ZFAB+450,ZEAH=ZEAB+ZBAC=ZEAB+45°,进一步的得出ZEAH=ZEHA,

即可得出②正确；再通过证明△NEC〜△BAF,△AEC-AHNC,可得出EN.BF=CN.AF,

CN.AF=EC.HN,进一步即可得出EN.BF=EC.HN,即③正确；再过点F作FP_LAC,如图2所示，设BF

-3A,根据勾股定理可求得PF-FC«sinZACB-4x^=2v2x，AP=y]Ab,2-PF2=y/S8x2-8x2=5>/2x>根

据正切定义，即可得出④正确；设/CEN=a,则：ZCNE=90°-(t,ZCHN=ZAHE=a+45°,a<45°,

ZCNE^ZCHN,可得出ZkCNH不一定是等腰三角形，易证AABC,△ADCAAEFAAEH是等腰三角形，故而

⑤不正确，即可得出正确选项。

10.【答案】C

【解析】【解答】解：由题意可得，点M在AB上的运动时间为g=4s

点M在AD上的运动时间为学=5s

点N在CB上的运动时间为16s

①当仁6s时，点M在AD上

此时AM=2x6-8=4cm,CN=6cm

DM=AD-AM=6cm

ACN=DM,①正确

②当时，点M在AB上

此时BM=2tcm,CN=lcm

BN=(16-t)cm

:・S&BMN=QM.BN=等2t(16-t)=-Q-8)2+64

V-l<0

・•・当t<8时，SABMN随t的增大而增大

第21页

・••当t=2时，S.MN取得最大值，最大值为28

即当1＜亡42时，△〃"双的最大面积为28cm',②错误

③当点M在AB上时

二•△BMN的面积为39cm2

:.S^BMN=*BM•BN=机2t(16-t)=-t2+16t=39

解得：t=3或t=13(舍去)

当点M在AD上时

VAD//BC,ZB=90°

.*.ZA=180°-ZB=90°,即ABJLAD

,SABMN=鼻B•BNTx8(16-t)=64-4t=39

乙乙

解得：”今

综上所述，当t=3或y竽时，满足aBMN的面积为39cm2,③正确

故答案为：C

【分析】由题意可得点M在AB上的运动时间为4s,点M在AD上的运动时间为5s,点N在CB上的运动

时间为16s,①当t=6s时，点M在AD上，求出AM,CN长度，再根据边之间的关系即可判断①；②当

14£42时，点M在AB上，此时BM=2tcm,CN=tcm,则BN=(16-t)cm,根据三角形面积，结合二次函数

性质可判断②；③分情况讨论：当点M在AB上时，当点M在AD上时，根据三角形面积建立方程，解

方程即可求出答案.

11.【答案】毕

【解析］【解答】解：・・・E关于直线AD的对称点为F,

设DF=DE=m,贝I」EF=DE+DF=2m,

•・•四边形AFEB是菱形，

.\AB=AF=EF=2m,

•・•四边形ABCD是矩形,

・•・ZADC=90°,

第22页

・•・ZADF=1800-ZADC=90°

•­AD=y/AF2-DF2=有m，

•'•AB:AD=2m:3m=

故答案为：2/3.

【分析】由轴对称的性质可得DF=DE,设DF=DE=m,则EF=DE+DF=2m,由菱形的性质得到

AB=AF=EF=2m,证明NADF=90。，利用勾股定理可得4。=V5m，据此可得答案.

12•【答案】＜13

【解析】【解答】解：如图，取0E中点H,连接GH,

在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,AC=8,BD=12,

OA=yAC=4,OB=^BD=6,AC_LBD,

VAE=2,

.\OE=OA-AE=4-2=2,

,・,点G为BE的中点，点H为OE的中点，

・・・GH是三角形EBO的中位线，

1

GH=^0B=3,GHZ/OB,

.\ZGHE=ZBOA=90°,

VOF=1,

11

HF=OH+OF=*0E+。/=*x2+l=2,

:.GF=7GH2+HF?=V324-22=713，

故答案为：VT3.

【分析】由菱形对角线互相垂直且平分，可得出O4=24C=4,OB=BD=6,AC1BD,取OE中点

H,连接GH,可得GHJOB,GH//OB,再用勾股定理解RsGHF即可.

13.【答案】V85

第23页

【解析】【解答】解：连接AC,交BD于点0,过点E作EH〃AC交BD于点H,

•・•四边形ABCD足菱形，

/.B0=D0=i5Z)=1x16=8,AC.LBD,

在RIA4B0中:AO=,/B2一胡=

•・,£是AD的中点,EH〃AC,

1二

-

22

VBF=3,

.\FO=BO-BF=8-3=5,

.\FH=5+4=9,

:・EF=>JFH2+EH2=V92+22=

故答案为：V85.

过点E作EH〃AC交BD于点H,首先根据菱形的对角线互相垂直平

分，可得出BO=DO=/BO=/X16=8,AC±BD,然后根据勾股定理求得AO的长度，进一步根据三角形

中位线定理，可求得EH的长度，再结合题中已知条件求得FH的长，最后根据勾股定理求得EF的长度。

14.【答案】12

【解析】【解答】解：:四边形4BCD是平行四边形，为等边三角形，力8=6,

・"D=AB=6,=ZD=60°,AB||CD,

：.Z.ACD=乙BAC,

•・•把平行四边形纸片4BC0沿对角线4c折叠，点8落在点夕处,

：./-BAC=乙B'AC,

9：Z-BAC+^.B'AC=180°,

：./-BAC=4B'AC=LACD=90°,

：.^DAC=90。-NO=30°,

：.AD=2CD=12,

故答案为：12.

【分析】根据平行四边形以及等边三角形的性质得CO=AB=6.4B=/D=60。，AB||CD,从而得

第24页

乙4CD=48AC,由折叠的性质求出/8AC=NB'AC=/ACO=90。，进而得乙ZMC=30。，最后利用含30。的

直角二角形的性质求出40的值.

15.【答案】V13

【解析】【解答】解：设BD与AC交点为点O,

•・•菱形ABCD,

.\DO=OB=LOA=OC=2,AC1BD,

・・•四边形DAEF是平行四边形，

/.EF=AD,DF=AE,

••・EF是定线段，

•・•点E是线段AC上的动点，

・•・菱形ABCD在AC的水平线上移动，

・••点B的运动轨迹是线段MN,MN〃AC；

作点E关于MN的对称点E,连接BE

.\BE=BE,EH=HE

，BE+BF=BE+BF=EF,

・•・当点F、B、E在同一直线上时，BE+BF的最小值就是EF的长；

延长EE交FD的延长线于点G,交MN于点H,

AEC1DF,

易证四边形DGHB是矩形，四边形OEHB是矩形，

.\BD=GH=2,GD=OE=BH,EH=BO=HE=1,

GE=2+1=3,GF=DF+DG=AE+OE=AO=2

：-EF=JG/2+GE'2=V22+32=V13»

・・・BE+BF的最小值为VI5

故答案为：g

【分析】设BD与AC交点为点O,利用菱形的性质可证得DO=OB=1,OA=OC=2,AC±BD；利用平行四

边形的性质可知EF=AD,DF=AE,可得到EF的长是定值，利用已知点E是线段AC上的动点，菱形ABCD

在AC的水平线上移动，同时可得到点B的运动轨迹是线段MN,MN〃AC；作点E关于MN的对称点E.,

连接BE,利用轴对称的应用-最短距离问题可证得BE+BF的最小值就是EF的长；延长EE交FD的延长线

第25页

于点G,交MN于点H,易证四边形DGHB是矩形，四边形OEHB是矩形，利用矩形的性质可求出GH,

IIE；歌PEN,GP的长，然后利用勾股定理求出EF的长即可.

16.【答案】①②④

【解析】【解答】解：•・•正方形ABCD,

.\AB=BC=CD=AD,ZDAB=ZABC=ZBCD=ZADC=90°,AC1BD,OA=OB=0C=0D,

VCF1BE,

.\ZCOP=90°=ZBFP,

ZCPO=ZBPF,

••・NOCP=NOBE,故①符合题意；

•・•ZCOP=90°=ZBOE,OC=OB,

.*.△COP^ABOE(ASA),

・・・OP=OE,故②符合题意；

当CE=CB时，CF1BE,

AEF=BF,ZBFP=90°,

・・・BP>BF=EF,

故③不符合题意；

如图，取BC的中点R,连接AF,RF,

•••(CFB=90°,

・・・F在以R为圆心，BC为直径的圆上，当A,F,R共线时，AF最小，

AB=BC=4,

:.RF=RB=2,

:.AR=，42+22=26

•••AF=2遥-2,

・••点A与点F之间的距离的最小值为2匹-2,故④符合题意；

故答案为：①②④.

【分析】根据正方形的性质可得，乙COP=90°=/BFP结合Z.CPO=4BPF,可得乙OCP=zOBE,故①符

合题意；证明ACOP三ABOE,可得OP=OE,故②符合题意；当CE=CB时，CF团BE,可得EF=

第26页

Br,/B"P=90。,可得8P>BF=EF,故③不符合题意；如图，取BC的中点R,连接AF,RF,可得F在以

R为圆心，BC为直径的圆上，当A,F,R共线时，AF最小，再进一步可判断④.

17.【答案】（1）1

(27)—21

【解析】【解答］解：（1）连接DE,

图1

VD,E分别是边BC和AC的中点,

・・・口£是aABC的中位线，

.*.DEZZAB,AB=2DE,

.*.△CDE^ACBA,△DEF^AABF,

•S^CDE_(DE^_1FF_DF_1

••SfBC.(加一4，而一而一夕

.\BF=2EF即BE=3EF,

SADEF-SABDE>

•・•△ABC的面积为1,

••SACDE=^；

・・•点D是BC的中点，

••SABDE=SA

:・S&DEF=Ix*S"BC-吞

••S四边ECDFE=ScDEF+SACDE=1^+4=g

故答案为：I.

(2)连接MN,

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