特殊三角形-2025年中考数学试题分类汇编（含答案）

专题17特殊三角形-2025年精选中考数学真题分类汇编

一、选择题

1.如图，在△ABC中，AI3=AC,D是边A8上的点，将△ACQ沿直线CD折叠，点"的对应点E恰好落在

边4c上.若乙4=34。，则NAOE的大小是（）

A.35°B.37°C.39°D.41°

2.如图，NMON=100。，点A在射线OM上，以点O为圆心，OA长为半径画弧，交射线ON于点B.若分

别以点A,B为圆心，AB长为半径画弧，两弧在NMON内部交于点C,连接AC,则NOAC的大小为

C.110°D.120°

3.如图，在AABC中，ZB=45°,ZA>ZACB>ZB,尺规作图操作如下：（1）以点8为圆心，适当长为

半径画弧，分别交边84,〃。于点M,N；（2）以点C为圆心，8N长为半径画弧，交边。于点N；再以点

N为圆心，MN长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点M；（3）过点M画射线

CM交边AB于点、D.下列结论错误的为（)

B.N80090。C.DB=DCD.AD+DC=BC

4.在如图的房屋人字梁架中，A8=AC,点。在8。上，下列条件不能说明的是（）

C.BD=CDD.AD平分/BAC

5.如图，在△4BC中，乙4=120°,AB=AC,边AC的中点为D,边BC上的点E满足EO_LAC.若OE=

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百，则AC的长是（)

D

BN-----------------1——

E

A.4\[3B.6C.2A/3D.3

6.如图,在△48C中，乙4c8=90",将△4BC绕点A顺时针旋转得到△AB'C'，点B,C的对应点分别为

B,C',BC'的延长线与边8c相交于点。，连接若力C=4,67）=3,则线段CC'的长为（）

C.4

7.如图,在△48C中，乙4cB=90。,△4=20。，CD为力B边上的中线,DE1ACt则图中与乙4互余的角共

C.4个D.5个

8.如图，在RtaABC中，乙4=35。,乙4c8=90。,CO是力8边上的中线，其中48=2,以C为圆心，CO为半

径画弧交于点孙则蔡的长为（）

A.标B.|TTC.117TD.焉兀

9.如图，在R/AABC中，ZACB=90°,将△ABC沿CB方向向右平移至△EGF处，使EF恰好过边AB的

中点D,连接CD,若CD=1,则GE=（）

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A.3B.2C.1D.±

10.如图，在三角形纸片/IBC中，乙B=57。,zC=38°,将纸片沿着过点A的直线折叠，使点B落在力C边上

的点E处，折痕4。交BC于点。；再将纸片沿着过点E的直线折叠，使点C落在BC边上的点G处：折痕交BC

于点F.下列结论成立的是（）

A.DG=EGB.GELAEC.^DAE=42°D.DE=2GF

二、填空题

11.如图，在△ABC中，点O,E分别是边A8,8c的中点，点尸在线段OE的延长线上，且/3FC=

90°.若AC=4,8c=8,则。尸的长是.

12.如图，在中，AC=3,BC=2,zC=60°„D是线段BC上一点（不与端点B,C重合），连接

AD,以AD为边，在AD的右侧作等边三角形ADE,线段DE与线段AC交于点F,则线段CF长度的最

大值为.

13.在边长为7的等边三角形ABC中，点D在AB上，BD=2.点M是直线BC上的一个动点，连接MD,以

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MD为边在MD的左侧作等边三角形MND,连接BN.当△BND为直角三角形时，则CM的长

是.

14.已知，小b,c是的三条边长，记£=（y+（»,其中k为整数.

（1）若三角形为等边三角形，贝Jf=;

（2）下列结论正确的是.（写出所有正确的结论）

①若攵=2,1=1,则△ABC为直角三角形；

②若k=La=^b+2,c=1-则5V/V11；

③若k=Lta，b,c为三个连续整数，且。＜bVc,则满足条件的△A8C的个数为7.

15.定义：有两个内角的差为90°的三角形叫做“反直角三角形如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=8,

点P为边8C上一点，若A/IPC为“反直角三角形”，则BP的长为.

16.如图，在△48C中，乙4=45。，=60°,=2&,点D、E、F分别是边8C、AB.4c上的动点,

则^OEr周长的最小值是.

17.如图，在平面直角坐标系xOy中，的顶点C,4分别在％轴，y轴正半轴上，^ACB=

90。，乙84c=30。，BC=2.以BC为边作等边△BCD.连接。D,贝UOD的最大值为.

18.如图，在A4/?「中，AC=RC,CDI49于点0,AR=DC=2.以点R为圆心，09的长为半径画弧，交

BC于点场.以点C为圆心.UE】的长为半径画弧.交CD千点Di，过点小作JLOC,交4c于点尸口再以点

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%为圆心，片。1的长为半径画弧，交AC于点尸2，以CF2的长为半径画弧，交0C于点。2，过点。2作。2%，

DC,交。C于点。2；又以点句为圆心……重复以上操作.则。2025/2025的长为

三、解答题

19.图①、图②、图③均是4X3的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点.只用

无刻度的直尺，分别在给定的网格内按下列要求作△/1BC,使△4BC的顶点均在格点上.

图①图②图③

(1)在图①中，AABC是面积最大的等腰三角形;

(2)在图②中，△ABC是面积最大的直角三角形；

(3)在图③中，△48C是面积最大的等腰直角三角形.

20.如图，△48c是等边三角形，D是AB的中点，CE^BC,,垂足为C,EF是由CD沿CE方向平移得

到的.已知EF过点A,BE交CD于点G.

(1)求々DCE的大小;

(2)求证：△<?以；是等边三角形.

21.某小组对分割梯形组成等腰三角形展开研究.

(1)如图I,梯形ABCD中，AD//BC,AB」.BC,点E是AB中点，D是梯形的顶点，将△ADE绕E

旋转18()。得到ABFE,若AD=a,且此时DF=DC,求BC的长(用含a的代数式尝试表示);

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(2)如图2,梯形MNPQ,MN/7PQ,MQ=NP,请设计一种方法，用一条直线或两条直线分割梯形为若

干部分，再进行一系列的图形运动，拼成一个等腰二角形，在图2中画出图形，要求：①所得的部分不重

叠，不间隙地拼；②在答题纸横线上并写出等腰三角形的腰是哪条线段；③在答题纸横线上写出这一或两

条直线的顶点.(模仿1中的表述：点E是AB中点，D是梯形的顶点)

22.如图，在中，ZC=90°,AC=BC=4,点。为边4c的中点，点E为边AB上一动点,连接。E.将

线段DE绕点E顺时针旋转45。得到线段EF.

(1)线段4B的长为；

(2)当EF||AC时，求AE的长；

(3)当点打在边8C上时，求证：&ADE三2BEF；

(4)当点E到8c的距离是点尸到BC距离的2倍时，直接写出AE的长.

(1)如图1,在△48C与△DC8中，乙BAC=^CDB,AC与OB相交于点P,PB=PC,求证：LABC=△

DCB；

(2)如图2,将图1中的△OCB绕点B逆时针旋转得到山，当点。的对应点D,在线段B4的延长线上

时.，8C'与力。相交于点M：若AB=2,BC=3,乙ABC=60°,求CM的长；

(3)如图3,在(2)的条件下，连接CC'并延长，与的延长线相交于点N,连接MN,求△/1MN的面

积.

24.两个智能机器人在如图所示的RC/M8C区域工作，448c=90°,48=40皿8。=30犯直线BD为生

产流水线，旦BD平分△48C的面积(即D为AC中点).机器人甲从点A出发，沿A-B的方向以

%(m/7nin)的速度匀速运动，其所在位置用点P表示，机器人乙从点B出发，沿B-C-D的方向以

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吃（小/而/）的速度匀速运动，其所在位置用点Q表示.两个机器人同时出发，设机器人运动的时间为/

（加，，），记点P到BD的距离（即垂线段PP'的K）为山（崔），点Q至|JBD的距离（即垂线段（QQ，的

长）为d2（m）..当机器人乙到达终点时，两个机器人立即同时停止运动，此时由=7.5m.d2与/的部分对应

（1）机器人乙运动的路线长为3

（2）求V—口的值;

（3）当机器人甲、乙到生产流水线BD的距离相等（即心=在）时，求f的值.

25.己知：如图，△48034B=AC,设=点。是直线8c上一动点，连接AD,将线段4。绕

图①图②图③

（1）若1=60。时，

如图①，点。在C8延长线上时，易证：BF=DF+BC；

如图②，点。在8c延长线上时，试探究线段8F、DF、8c之间存在怎样的数量关系，请写出结论，并

说明理由。

（2）若a=120。，点。在C8延长线上时，如图③，猜想线段BF、DF、8c之间又有怎样的数量关

系？请直接写出结论，不需要证明。

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26.综合与探究

问题情境：如图1，在△ABC纸片中，AB>BC,点D在边AB上，AD>BD.沿过点D的直线折叠该纸

片，使DB的对应线段DB与BC平行，且折痕与边BC交于点E,得到△DBE,然后展平。

(1)猜想证明：判断四边形BDBE的形状，并说明理由；

(2)拓展延伸：如图2,继续沿过点D的直线折叠该纸片，使点A的对应点A，落在射线DB，上，且折痕

与边AC交于点F,然后展平.连接XE交边AC于点G,连接AF

①若AD=2BD,判断DE与AE的位置关系，并说明理由；

②若NC=90。，AB=15,BC=9,当△AFG是以AF为腰的等腰三角形时，请直接写出AT的长.

27.综合与实践

问题提出：探究图形中线段之间的数量关系，通常将一个图形分割成儿个图形，根据面积不变，获得线段

之间的数量关系.

(1)探究发现：如图1,在A/IBC中，AC=BC,P是4B边上一点，过点P作PO_L4C于。，PE工BC于

E,过点A作//J.8C十凡连结CP,由图形面积分割法得：SAABC=S“PC+：则47=

+.

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(2)实践应用：如图2,△48C是等边三角形，力。=3,点G是48边上一点，连结CG.将线段CG绕点C

逆时针旋转60。得CF,连结G/7交GC于P,过点尸作「0_LGC于。，PE±CF^E,当AG=1时，求PO十PE的

值.

(3)拓展延伸：如图3,己知4B是半圆。的直径，AC,BE是弦，AC=BE,P是4B上一点，PD1AC,

垂足为。，48=10,AD=2,BD=求+SAPBE的值.

28.综合与探究

【探索发现】如图I，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形.

【抽象定义】以等腰三角形为边句外作等腰三角形，使该边所对的的角等于原等腰三角形的顶角，此时该

四边形称为“双等四边形“，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形''.如图2,在△4BC中，AB=AC,AC=

AD,NO=N84C.此时，四边形ABCD是“双等四边形”，△48。是“伴随三角形”.

图4图5备用图

(1)【问题解决】如图3,在四边形ABCD中，AB=AC,AD=CD,ZD=LBAC

求：

①AD与BC的位置关系为：；

②AC?AD-8C.(填'(>"，"v”或“=”)

(2)【方法应用】①如图4,△ABC中，AB=BC,将△ABC绕点A逆时针旋转至ZkADE,点D恰好

落在BC边上，求证：四边形ABDE是双等四边形.

②如图5,在等腰三角形ABC中，AC=BC,cosF=iAB=5,在平面内找一点D,使四边形

ABCD是以△A8C为伴随三角形的双等四边形.若存在，请求出CD的长.若小存在，请说明理由.

29.阅读与思考

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下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务,

双关联线段

【概念理解】

如果两条线段所在直线形成的央角中有一个角是60。，且这两条线段相等，则称其中一条

线段是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段。

例如，下列各图中f向线段AB与CD所在直线形成的夹角中有一个角是60。，若AB=CD,则

下列各图中的线段CD都是相应线段AB的双关联线段。

/

/60。

BC

图①图②图③

【问题解决】

问题1：如图1,石:矩形ABCD中，AB<AD,若对角线AC与BD互为双关联线段，则

NACB=▲O

Ar-__________7D

二C

图1

问题2：如图2,在:等边△ABC中，点D,E分别在边BC,CA的延长线上，且AE=CD,

连接AD,BE.

A

X

BCD

图2

求证：线段AD是名龙段BE的双关联线段。

证明：延长DA交BE于点F

♦・・△ABC是等边三角形，

，AB=AC,ZBAC=ZACB=60°.

VZBAC+ZBAE=180°,ZACB+ZACD=180°,

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AZBAE=AACD(依据).

VAE=CD,/.△ABE^ACAD.

..BE=AD,ZE=ZD.

任务：

(1)问题1中的NACB=°,

问题2中的依据是.

(2)补全问题2的证明过程；

(3)如图3,点C在线段AB上，请在图3中作线段AB的双关联线段CD

(要求：①尺规作图，保留作屋痕迹，不写作法；②作出一条即可).

♦♦♦

4CB

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答案解析部分

1.【答案】C

【解析】【解答】解：-：AB=AC,Z.4=34°

1800-34°

••乙4cB=乙ABC==73°

2

•・•将△BCD沿直线CD折叠，点B的对应点E恰好落在边AC上

AZDEC=ZB=73°

・•・ZADE=ZDEC-ZA=39°

故答案为：C

【分析】根据等边对等角及三角形内角和定理可得=4ABe=180°734°=73°,再根据折叠性质可得

ZDEC=ZB=73°,再根据三角形外角性质即可求出答案.

2.【答案】B

【解析】【解答】解：如图，连接AB,AC,BC

由作图可得，OA=OB,AC=BC=AB

・••△ABC为等边三角形

・•・ZACB=60°

・•・△OAC^AOBC(SSS)

-*^ACO=乙BCO=建ACB=30°

1

zL40c=乙BOC==50°

乙

・•・ZOAC=1800-ZAOC-ZACO=100°

故答案为：B

【分析】连接AB,AC,BC,由作图可得，OA=OB,AC=BC=AB,根据等边三角形判定定理可得△ABC为

等边三角形，则NACB=60。，再根据全等三角形判定定理可得^OAC丝△OBC(SSS),则41co=4"。=

=30。，^AOC=乙BOC==50°,再根据三角形内角和定理即可求出答案.

3.【答案】D

【解析】【解答】解：由作图可知乙B=(DCB=45°,

•••DB=DC/BDC=90°,

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故选项A,B,C正确.

故答案为：D.

【分析】根据作图得到=乙DCB=45。,然后根据等角对等边和三角形的内角和定理逐项判断解答即可.

4.【答案】B

【解析】【解答】解：•・•点D在BC上，保存进入下一题

.\ZADB+ZADC=180o,

VZADB=ZADC,

/.2ZADC=180°,

AZADC=90°,

AAD_BC,

故A不符合题意；

VAB=AC,

Z.ZB=ZC,

VZB=ZC与点D所在的位置没有关系，

・••由NB=NC不能说明ADJ_BC,故B符合题意;

VAB=AC,BD=CD,

AAD-BC,

故C不符合题意；

VAB=AC,AD平分NBAC,

・・・AD_BC,

故D不符合题意，

故答案为：B.

【分析】由NADB+NADO180。，且NADB二NADC,求得NADC=90。，则AD_LBC,可判断A不符

合题意；由AB=AC,得NB=/C,可知由NB二NC不能说明AD_LBC,可判断B符合题意；由AB二

AC,BD=CD,根据等腰三角形的“三线合一”得ADJLBC,可判断C不符合题意；由AB=AC,AD平分

ZBAC,根据等腰三角形的“三线合一”得ADJLBC,可判断D不符合题意，于是得到问题的答案.

5.【答案】B

【解析】【解答】解：:△ABC中，AB=AC,ZA=120°,

.\ZB=ZC=1(180°-ZA)=1(180°-120°)=30°,

TDEIAC,点D为AC的中点,

A/EDC=9()°,AC=2DC,

tanz.C=餐即tan30°=第=

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解之：DC=3,

AAC=2x3=6.

故答案为：B.

【分析】利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求出NC的度数，再利用垂直的定义和线段中点的定

义可证得NEDC=90。，AC=2DC,然后利用解直角三角形求出DC的长，即可得到AC的长.

6.【答案】D

【解析】【解答】解：连接AD,NCC于点0

由旋转性质可得AC'=AC=4,ZAC'B=ZACB=90°

/.ZAC'D=90°

在RsACD和RIAACD中

(AD=AD

VAC=AC

ARtAAC'D^RtAACD

・・・CD:CD二3

・,・AD垂直平分CC

ACC=20C,ADICC'

VZACB=90°,AC=4,CD=3

・M0=y/AC2+CD2=5

，

•S^ACD=^AD-OC=^AC-CD

・AC-CD12

・・・CC，=2X.=9

故答案为：D

【分析】连接AD,NCC于点O,由旋转性质可得AC=AC=4,ZAC'B'=ZACB=90°,则NACD=90。，再根

据全等三角形判定定理可得RsACD^RtAACD,则C,D=CD=3,根据垂直平分线判定定理可得AD垂直平

分CC,则CC=2OC,AD1CC,,根据勾股定理可得AD,再根据三角形面积即可求出答案.

7.【答案】C

【解析】【解答】解：・・・41CB=90。,CO为41边上的中线

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:.CD=^AB

Z.CD=AD=BD

AZB=ZBCD

VAD=CD,DEIAC

.\ZADE=ZCDE

VZA+ZADE=90°,ZA+ZB=90°

・•・图中与NA互余的角共有4个

故答案为：C

【分析】根据直角三角形斜边上的口线性质可得CD二AD二BD,根据等边对等角可得NB=NBCD,根据等腰

三角形性质可得/ADE=NCDE,再根据余角定义即可求出答案.

8.【答案】B

【解析】【解答】解：CD是Rt△ABC斜边AB上的中线、AB=2

1

•••DC=DA=AB=1

^DCA=^A=35°

•••Z-CDE=+Z-DCA=70°

，:CD=CE

•••乙CEO=UDE=70°

:.Z.DCE=180°-2/.CDE=180°-140°=40°

-407TX12

=歹

故选：B.

【分析】先由直角三角形斜边上的口线等于斜边的一半，可得DC=DA=1,再由等边对等角得/DC4=〃=

35°,再由三角形的外角性质可得NCOE=70。，又由尺规作图得CD=CE,则々CED=iCDE=70。，再由三

角形内角和得4DCE=40。，最后再应用弧长公式直接计算即可.

9.【答案】B

【解析】【解答】解：•・•点D是AB的中点，

AAB=2CD=2,

由平移可得EG=AB=2,

故答案为：2.

【分析】根据直角三角形的中线性质得到AB=2CD=2,然后根据平移解答即可.

10.【答案】A

【解析】【解答】

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解：C、在△ABC中，ZB=57°,ZC=38°,

・•・ZDAC=180o-57o-38o=85°,

VAADE是由△ABD翻折得到，

・•・ZDAE=ZDAB=等=42.5°,故C错误；

A、VAADE是由△ABD翻折得到,ZDAE=ZDAB=42.5°,

.-.ZAED=ZB=57°,

・•・ZADE=ZADB=180o-570-42.5o=80.5°,

・・・ZEDG=180°-ZADE-ZADB=180°-80.5°X2=19°,

・・•△EFG是由△EFC翻折得到，

・・・NEGF=NC=38。，

・•・ZEGD=180°-ZEGF=18O°-38°=142°,

在^EGD中，ZDEG=180o-142o-19o=19°,

VZEDG=ZDEG=19°,

・・・DG;EG,故A选项正确；

B、,/ZAED+ZDEG=57°+19°=76°,

即NAEG=76。，

・・・GE与AE不垂直，故B错误；

D、过点G作GM_LDE交DE于点M,如图，

假设DE=2GF,

•••△EFG是由△EFC翻折得到，

Z.ZEFC=ZEFG=90°,

VDG=EG,

・•・△DGE为等腰三角形，

VGMIDE,ADM=EM,即DE=2EM,

・・・GF=EM,

在RQEMG中，sinZDEG=sin19°=^

在RtAEFG中，sinZEGF=sin38*嚣

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Vsinl9°#in38°，

，MG处F,

IEM7EG?-MG2丰GFREG?-EF2,与己知不符，故D选项错误.

故答案为：A.

【分析】根据△ADE是由△ABD翻折得到可求解NDAE的度数，由此判断C选项；根据翻折前后角度的求

解，可求解NEDG与NDEG的度数，由“等角对等边”可判断A选项；利用角度的和差运算可求解NAEG的

度数可判断B选项；先假设结论成立，根据直角三角形中的正弦值求解边长即可判断D选项；逐一判断即可

解答.

11.【答案】6

【解析】【解答】解：丁点D,E分别是边AB,BC的中点，

・•・DE是△4BC的中位线，

,11

:.DE=24c=2乂4=2,

在RtABFC中，E是斜边BC的中点，BC=8,

则FE=iFC=1x8=4,

DF=DE+FE=2+4=6,

故答案为：6.

【分析】根据三角形中位线定理求HDE,再根据直角三角形斜边上的中线的性质求出FE,进而求出DF.

12.【答案】1

【解析】【解答】解：如图，过点4作AH_L8C于H,

=90°,

VzC=60°,

"CAH=30°,

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*：AC=3,

1a

-*-HC=^AC=

-AH=yjAC2-HC2=卜_=察

•••△ADE是等边三角形，

：.^ADE=ZC=60°,

*：^DAC=AFAD,

/.△£MC〜△FAD,

.AD_AC

••而f

'：CF=AC-AF=3-AF,

・••当4广取得最小值时，CF取得最大值，

・••当力。取得最小值时，4F取得最小值，

・••当AD1BC时，40取得最小值，此时点。与点H重合，

・・・力。的最小值为力o=4”=萼，

L2

'A尸的最小值为4/）2_（苧）_%

—=~^~=4

・"F的最大值为3—AF=3—?=7,

44

故答案为:1

【分析】过点A作4H_LBC于H,求出QH=30。，根据含30。的直角三角形的性质得HC=/利用勾股定

理得力〃=攀，然后根据等边三角形的性质得乙AOE=△C=60，，于是推出△ZMC~△凡40,根据相似三角

2

形对应边成比例的性质得4尸=竺_，接下来推出当AF取得最小值时，CF取得最大值，当4。取得最小值时，

3

4F取得最小值，当40JLBC时，4D取得最小值，此时点。与点，重合，从而依次求出4D,4F的最小值，进

而求出CF的最大值.

13.【答案】6或8或9

【解析】【解答】解：过点D作DE//BC交BC于点E,

①当/DBN=90。时，如图⑴，

,/△BAC,△DMN是等边三角形，ZDBN=90°,

/.ZARC=/DFR=/MDN=ZRDE=60°.DM=DN.

•••△DBE是等边三角形，

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/.BD=DE=BE=2,

ZNBE=ZDBN-ZDBE=30°,ZEDN+ZNDB=ZNDB+ZMDB=60°

.\ZEDN=ZBDM,

・•・△DEN^ADBM,

・•・ZDEN=ZDBM=180°-60°=120°,BM=NE,

:.ZBEN=ZDEN-ZDEB=60°,

AZBNE=90°,

ANE=iBE=l,即BM=1,

?.MC=BC+BM=7+1=8,

②当/BDN=90。时，如图(2)

同理可得△DENgaDBM,ZNDE=ZBDN-ZBDE=90°-60=30°,

.\ZNED=ZMBD=60°,即NDMB二NDNE=90。，

ABM=BDcos60°=2xl=l,

乙

ACM=BC-BM=6,

③当NBND=90。时，如图(3)

同理可证△DBNgZ\DEM,DE=BD=2,ZDEM=60°,

.\ZDME=ZDNB=90°,

AME=DEcos600=2xl=l,

乙

ACM=BC-BM=6,

④当/BDN=90。时，如图(4)

同理可证△DBN且Z\DME,DE=BD=BE=2,ZDEM=60°,

・•・ZMDE=ZNDB=90°,BE=BC-BE=5,

«.DEA

..MX(Eir=----7-^=4

cos60°

ACM=ME+BE=9,

综上所述，CM的长是6或8或9.

故答案为：6或8或9.

第19页

【分析】题下要求△BND为直角二角形，没有指定直角，因而需要分情况讨论：过点D作DE〃BC交BC

于点E,分当NDBN=90。时；当NBDN=90。时；当NBND=90。时；当NBDN=90。时，逐个分析即可解答.

14.【答案】(1)2

(2)①②

【解析】【解答】解：(D•••△ABC是等边三角形

•­a=b=c

(2)①若k=2,z=1,

••.△ABC是直角三角形

②若k=l,a=ib+2,c=1

乙

则t=g)卜+《)*=Q+b=+2+b=+2

va-b<c

.­.4b+2-b=b解得：b>2

+c>

a

1

h+2+解得<6

2-=

2<<6

33

X2+2<£<

2-2-

5

若£<

-3-。为三个连续整数，且a<b<c,

.••b=a+l、C=Q+2

a+b>c

2a+l>Q+2,解得Q>1

aba+b2a+15

,：F)k+(Rk=k=wrE

3(2Q+1)45(a+2),解得Q47

1<a<7

故满足条件的a的值有6个，即满足条件的△4BC的个数为6个

故答案为：①②.

第20页

【分析】（1）由于等边三角形的三边相等，则&=2=1,而1的任意次第都等于1,故t=2；

cc

（2）①若攵=2,1=1,则*）2+《）2=1，即三边恰好满足勾股定理，故结论正确；

②若k=l,Q=2b+2,c=l,则t=,b+2,此时借助三角形三边关系定理可确定边b的取值范围为2V

b<6,代入计算得5VCV11,故结论正确；

③若k=l"A，a，b,c为三个连续整数，且aVXc,则b=a+l、C=Q+2,由三边关系定理可得

5

a>1,再结合已知可得£3-解得a47,即lva47,则满足条件的△ABC的个数为6个，故结

论错误.

15.【答案】竿或号

【解析】【解答】

解：当乙4PC-4c=90。时，如图所示，分别过点A、P作AEJLBC、PD1AC,垂足分别为E、D,设CD=

•••Z.APD=90°

:.乙DPC=4APC-90°=Z-C

•••DP=DC=x

vAB=AC=5,BC=8

1

BE=CE=TZBC=4、Z-B=zC

乙

:.AE=y/AB2-BE2=Q-42=3

vZ.B=Z-C=Z.DPC

:.PD||AB

...LPAB=LAPD=90°

AP2=AD2-DP2=AE2+PE2

•••Z-DPC=血Z.C=ZC

***ADPC〜人ARC

CD_CP

'"CA=CB

第21页

CB・CD8x

•••CP=ABBC=~5

8x

FE=CE-CP=4-T

(4-^)2+32=(5-X)2-X2»解得：%=

883525

-X8-X-

FpFC5532

当乙4PC-JP4c=90。时，如图所示，分别过点A、P作力EJ.BC、PD1BC,垂足分别为E、D,设CO=

x,则力。=5—x.

A

•••/.DPA=4APC-900=Z-PAC

­.DP=DA=5-x

-AB=AC=5,BC=8

...BE=CE=^BC=4、AE=y/AB2-BE2=V52-42=3

•••乙AEC=/-DPC=90。、4C=乙C

•••△DPC〜△AEC

DPCDCP

"'AE=CA=CE

.•.苧=5=竽，解得：》=学

5

•••CP=5

511

BP=BC-PC=8-2=2

故答案为：竽或号.

【分析】由于△/IPC是“反三角形”，则应分两种情况进行讨论，即当N4PC-zT=90。时，过点P作PD1

4c于点D,MzDPC=zC,即DP=CD,此时设CD为x,则AD=5-x,由等边对等角知=4?=4OPC,

则可证DP//AB,即4PA8=4APO=90。，此时再边点A作BC的高AE,由等腰三角形三线合一知BE等于

CE等十AB的一半即4,由勾股定理可得AE=3；乂=4OPC且NC是公共角，则可证△OPC〜△A8C,由

第22页

相似比可得CP=等，则EP=4-骼再应用勾股定理可得关于X的一元二次方程，解方程求出X,则CP可

得，再利用BP=BC-PC即可；当乙4。。一"4。=90。时，分别过点A、P作/POJ.BC,垂足分别

为E、D,设CO=x,则40=5—不，此时则40P4=々PAC,即OP=04=5—X,再证AOPC〜AAEC,

由相似比可分别求出Cd、CP,则BP可求.

16.【答案】2V3

【解析】【解答】解：如图，作点D关于AB、AC的对称点N、M,连接AN、AM、AD、MN、EN、FM,

•；M、N是点D关于AC、AB的对称点，

・・・AN:AD=AM,NNAB二NBAD,NDAONMAC,EN=ED,FM=FD,

VADEF的周长为DE+EF+DF=NE-EF+FM>MN,

・••当N、E、F、M四点共线时，取得最小值MN,

ZBAD+ZDAC=ZBAC=45°,

/.ZNAB+ZBAD+ZCAD+ZMAC=90°,

・•・△AMN是等腰直角三角形，

AMN=V2AM=>/2AD,

当AD_LBC时，AD取得最小值，即△DEF周长最小，

XVZB=60°,

ADmin=ABxsinZB=ABxsin600=V6>

・•・△DEF周长最小值为V5AO=V2xV6=2V3.

故答案为：2V5.

【分析】如图，作点D关于AB、AC的对称点N、M,连接AN、AM、AD、MN、EN、FM,由轴对称性

质可得AN=AD=AM及EN=ED,FM=FD,ZNAB=ZBAD,ZDAC=ZMAC,则△DEF的周长为

DE+EF+DF=NE+EF+FMNMN,根据两点之间线段最短可得当N、E、F、M四点共线时，取得最小值MN；

易得^AMN是等腰直角三角形，则MN=/AM=/AD,根据垂线段最短，当AD_LBC时，AD取得最小

值，即4DEF周长最小，进而由NB的正弦函数及特殊锐角三角函数值可求出AD的值，此题得解.

17.【答案】V3+V13

【解析】【解答】解：:在RIAARC中./ACR=90。，ZRAC=3D°,RC=2.

-'-AC=BCtan30°=273,

第23页

•・•△BCD为等边三角形,

.\CD=DC=2,ZDCD=60°,

如图，取AC的中点E,连接OE、DE,作EF_LCD交DC的延长线于F,

则4E=CE=OE=^AC=V3,ZFCE=180°-ZACB-ZBCD=303,

：.EF=』CE=§，CF=y/CE2-EF2=|

乙乙J

7

DF-

*2

・，・DE=VEF2+DF2=V13»

根据三角形三边关系可得：ODSDE+OE,

：・0D<V3+V13

，OD的最大值为V5+VI3,

故答案为：V3+,/13.

【分析】解直角三角形得出4c=2冉，由等边三角形的性质可得CD=BC=2,NBCD=60。，取AC的中点

E,连接OE、DE,作EFJLCD交DC的延长线于F,则AE=CE=0E=6，ZFCE=30°,求出E尸=§,

CF=l从而可得由勾股定理可得力叵，最后根据三角形三边关系可得OD<DE+OE,即可得

乙乙

解.

,尸Y、2025

18.【答案】（与1）

【解析】【解答】解：•.•在ZkABC中，AC=BC,CD_LAB于点D,AB=DC=2,

AAD=BD=1,

:・AC=BC=正,

:以点B为圆心，DB的长为半径画弧，交BC于点Ei,

.*.BE（=BD=1,

工CE、=BC-BE1=V5-1，

•・•以点C为圆心，CEi的长为半径面弧，交CD于点D”

・・・皿="1=遥一1，

•・•过点Di作DEJ_DC,交AC于点Fi,

.•.ADZ/DiFu

第24页

/.△CDiFi^ACDA,

・C%__CR即总一

•nr、5-15一西

・・〃1P]=­2—，cF1=―—，

•・•以点Fi为圆心，FQi的长为半径画弧，交AC于点F2,

・JS-1

・・2L

0述1=F1F2=^-

・"尸2=CF1-&尸2=3-收，

;以CF2的长为半径画弧，交DC于点D2,

・"02=CF2=3—遍，

•・•过点Dz作D2E2JLDC,交BC于点E2,

.\ZCDIFI=ZCD2E2=90°,

VZFICD