鲁教版（五四制）八年级数学下册一课一练-相似三角形判定定理的证明 同步练习

第九章图形的相似

9.4探索三角形相似的条件

*9.5相似三角形判定定理的证明

第一课时相似三角形的判定定理1

基础过关全练

知识点1相似三角形的有关概念

1.如图,△ADEsaABC,若AD=1,BD=2』IJAADE与△ABC的相彳以比是（）

知识点2相似三角形的判定定理1

2.下列各组图形中不一定相似的是（）

A.各有一个角是45。的两个等腰三角形

B.各有一个角是45。的两个直角三角形

C.各有一个角是60。的两个等腰三角形

D.各有一个角是120。的两个等腰三角形

3.（2022江苏淮安模拟）如图，在△ABC中，高BD、CE相交于点F,则图中一定与△AEC相似的

三角形有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.（2021山东滨州无棣一模）如图，在。ABCD中,AE：DE=2：1,连接BE,交AC于点F,AC=12,

则AF的长为（）

A.4B.6C.5.2D.4.8

5.如图所示，己知NA=5（r,NB=65o,NADC=l15。4必ABCs.

6.如图，在平行四边形ABCD中,E为DC上一点，连接AE,F为AE上一点，且NBFE=/C.求

证:△ABF^AEAD.

7.将一个含45。角的直角三角板如图所示放置在矩形纸板上,NMEF=90。,已知AB=4,BC=6,E是

BC的中点，求DF的长.

第二课时相似三角形的判定定理2

基础过关全练

知识点3相似三角形的判定定理2

1.能判定^ABC和^ABC相似的条件是（）

□□□□

A.,,

□□□□

B.—=-且NA=NC,

□□□□

一□□□□口/czA■

C.—r7=—r-.B.ZB=ZA

□□□□

D-且NB二NB'

2.（2022四川成都天府新区期末）如图，添加下列条件后，不能判定△ADB^AABC的是（)

A.ZABD=ZACBB.ZADB=ZABC

D.AB2=ADAC

3加图，若AD与BC相交于点O,OA=20QB=30QD=22,OC=33,AB=24,则CD的长是)

c240c480

A.—B—C.—D—

511511

4.如图,AB=3AC,BD=3AE,BD〃AC,点B,A,E在同一条直线上.求证:△ABD^ACAE.

5.（2022福建福州鼓楼模拟）如图，点D为〉ABC的边AB上一点,AD=2,BD=6,AC=4.求

证:△ACD^AABC.

6.如图，网格中的每个小正方形的边长都是1,每个小正方形的顶点叫做格点.△ACB△DCE

的顶点都在格点匕ED的延长线交AB于点F.

⑴求证:△ACB^ADCE;

⑵求证:EFJ_AB.

第三课时相似三角形的判定定理3

基础过关全练

知识点4相似三角形的判定定理3

1.已知△ABC的三边长分别为6cm,7.5cm,9cm,ADEF的一条边长为4cm,当^ABC.^jADEF

相似时,△DEF的另外两条边长是（）

A.2cm,3cmB.4cm,5cm

C.5cm,6cmD.6cm,7cm

2.（2019四川雅安中考汝I图，每个小正方形的边长均为1,则下列选项中的三角形（阴影部分）与

△ABC相似的是)

3.在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，“马”落在下列哪

个位置，能使“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成

的三角形相似)

A.①D.@

4.如图，四边形ABCD为矩形，一一「则NMAN=度.

5.如图所示，在正方形网格中有6个斜三角

形:①△ABC,②△CDB、③△DEB,④△FBG,⑤△HGF,⑥Z\EKF.请你写出与△ABC相似的三角

形（写序号即可）,并进行简要的证明.

6.如图，己知点A,B,C的坐标为A（0,・2）,B（・2』）,C（3,2）.

⑴求线段AB,BC,AC的长.

⑵把A,B,C三点的横坐标、纵坐标都乘2,得到ABC的坐标，求ABBUAC的长.

⑶以上六条线段成比例吗？

（4；IAABC与二ABC的形状相同吗?

能力提升全练

7.（2022山东德州宁津期末）如图，点D、E分别在△ABC的边AC、AB上，要使△ABC^AADE,

需添加一个条件，则下列条件不正确的为（）

A.ZB=ZADEB.ZC=ZAED

□□□□□□□□

8.（2022黑龙江哈尔滨中考）如图,AB〃CD,AC,BD相交于点E,AE=1,EC=2,DE=3,则BD的长为

()

B.4D.6

9.（2020云南昆明中考）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形

叫做格点三角形.如图,△ABC是格点三角形，在图中的网格中作出格点△ADE（不含△ABC）,使

得仆ADEs/^ABC（同一位置的格点三角形ADE只算一个），这样的格点三角形一共有（）

10.（2022山东德州齐河一模）在4ABC中,NACB=90。,用直尺和圆规在AB上确定点D,使

△ACDsaCBD,根据作图痕迹判断，正确的是（）

11.（2022上海静安二模）在RtAABC和RtADEF中,NC=/F=90°,AC=3,BC=4,DF=6,DE=8,!JliJ

这两个三角形.（填“相似”或“不相似”）

12.（2020山东威海中考）如图，点C在ZAOB的内部,NOCA=NOCB,NOCA与ZAOB互补.若

AC=1.5,BC=2,贝ijOC=.

13.（2022山东济南莱芜期末）如图，等边△ABC的边长为6,P、D分别是BC、AC边上的点，且

ZAPD=6（）o,BP=2,求CD的长.

14.（2022浙江杭州下城二模）如图,△ABC中,D、E分别是AB、AC卜的点，月BD=2AD,CE=2AE.

⑴求证:△ADE->AABC;

⑵若DF=4,求FC的长度.

15.（2022上海中考）如图所示,在等腰三角形ABC中,AB=AC,点E,F在线段BC上，点Q在线段

AB上，且CF=BE,AE2=AQAB.求证:

(1)ZCAE=ZBAF;

(2iCFFQ=AFBQ.

素养探究全练

16.如图，在RtAABC+,ZB=90°,AB=6cm,BC=8cm,点P由点A出发沿AB方向向终点B匀

速移动，速度为1cm/s,点Q由点B出发沿BC方向向终点C匀速移动,速度为2cm/s.如果动点

P,Q同时从A,B出发，当P或Q到达终点时停止运动.经过几秒时，以Q,B,P为顶点的三角形与

△ABC相似?

17.(2022湖北武汉矫口模拟)

［问题背景］

如图1,在4ABC中，点D,E分别在AC,AB±,2ZEDB+ZBDC=180°,ZDEB=90°^iiE:AE=BE.

［变式迁移］

如图2,在四边形DEBC中,2/EDB+NBDC=18()o,NDEB=90o,DF〃EB,DF分别交CE,BC于点

G,F,求证:DG=FG.

［拓展应用］

如图3,在四边形DECB中,2NDBE+NEBC=1M);N£DB=NDCB,—且n>l,直接写出一的

第九章图形的相似

9.4探索三角形相似的条件

*9.5相似三角形判定定理的证明

答案全解全析

第一课时相似三角形的判定定理1

基础过关全练

II

1.B△ADE与^ABC的相似比为一=—=-=1：3.

□□1+23

2.A选项A,因为没有指明45。的角是顶角还是底角，所以这组图形不一定相似.故选A.

3.CZA=NA,ZAEC=ZADB=90°,AAADB.

9

ZACE=ZABD^：ZAEC=ZBEC=90°i：.AAEC^AFEB,

*//ACE=/ACE,NAEC=/FDC=90。,：・/XAECs△尸。0,故选c.

4.D:四边形ABCD为平行四边形,・・・A£>=8Q4D〃8c

VAE：DE=2：h.•.?!£=-□□=-BC,

33

・・•A。〃BC,:.ZAEF=ZCBF,ZFAE=ZFCB,

AAFE00△CFB,——=—=I，

2

•・・AC=12,・・・AF=「-xl2=4.8.故选D.

3+2

5.答案△CBD

解析,/ZA=50o,ZB=65o,AZACB=18()°-5()°-65°=65°,

■:ZADC=115°,AZCDB=65°,

・•・ZACB=ZCOB,又・・,：.XABCs△CBD.

6.证明因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB//CDAD//BC.

所以N8AF=NAEQ,NC+ND=180。.

因为/BFE+NBFA=180。,/BFE=/C,所以/BFA=ND,

所以△A8/SAEAD

7.解析・・•四边形ABC。是矩形，

：.CD=AB=4,ZB=ZC=90°,Z.ZBAE+ZAEB=90°.

,:BC=6,E是BC的中点,・•・BE=EC=3,

•・•NMEF=90。,：.NAEB+/CEF=90。,；.NBAE=NCEF,

・・・AABEsAECF,

□□□□

.3x39.497

..C?=-------=—=-..Db=CD-Cb=4--=

4444

第二课时相似三角形的判定定理2

基础过关全练

1.C选项C,根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，可判定^A3C和必ABC相似，故

选C.

2.CA.VZABD=ZACB,ZA=ZA,A/\ADB^AABC;

B.VZADB=NABC,ZA=NA,AADB^△ABC;

C.添加一=—,不能判定aADB^^ABC;

□□□□

D.'：AB2=ADAC,：.—=一,又：ZA=ZA,：.△ABCS^ADR故选C.

□□□□

3.A•・・04=20,08=30,00=22,0033,A—=—=又：^A0B=ZD0C,：./^AOB^^DOC,

.□口10.「八U□口132

11105

4.证明•:BD//AC、点、8,A,E1在同一条直线上，

:.ZDBA=ZCAE.XVAB=3AC,BD=3AE,

□□□□

—=—=3,•*.AABD00△CAE.

□□□□

5.证明:40=2,40=6,J43=8,

..□□2_1□□4_1.

.—4-2,00-8-2',•口口-nn,

又<ZA=NA,:.MACDs/\ABC.

3□□_6_3,

6.证明⑴,瑞

20□42

又NACB=NDCE=90°,；・AACB^ADCE.

(2),/XACBs△DCE,：.ZABC=ZDEC.

又/A8C+N4=90。,，ZDEC+ZA=90°.AZEFA=90°y：.EFA.AB.

第三课时相似三角形的判定定理3

基础过关全练

1.C当^DE尸的另外两条边长为5cm,6cm时，由6：4=7.5：5=9：6可判定△45。和4DEF

相似，故选C.

2.B解法一:题图中三角形的三边长分别为1,V2,V5.

选项A,因为三边长分别为，1逐,3,三边长小能与已知三角形三边长成比例，所以两个三角形小

相似；

选项B,因为三边长分别为6,2,06,三边长与已知三角形的三边长成比例，所以两个三角形相

似；

选项C,因为三边长分别为1,逐,20,三边长不能与已知三角形三边长成比例，所以两个三角形

不相似；

选项D,因为三边长分别为2,逐,三边长不能与己知三角形三边长成比例，所以两个三角形

不相似.

故选B.

解法二:因为△ABC中有一个角是135。,选项中，只有B选项中的三角形有一个角是135。,满足两

边成比例且夹角相等，所以选B.

3.B令象棋盘中各个小正方形的边长为1,则“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形的三

边长分别为2,26,4e,“车”“炮”之间的距离为1,“炮”与②之间的距离为逐，“车呜②之间的距

离为26,因为卑=半=1,所以“马”应该落在②的位置，故选B.

2V54V22

4.答案90

解析V—=—=ADAMsMAN,，/DAM=/BAN.

□□□□□□

•・•四边形ABCD是矩形,，ZDAB=90°,

：.C+NMAB=90°,・・・NM43+NBAN=90。，

・・・NAWV=900.

5.解析③④⑤.证明:①△ABC中,AB：AC：BC=1:0：逐;②△CD3中,CO:BC：BD=\:

V5：2G③4DEB中：BD:BE=2:272:720=\:近:瓜④AFBG中,FB：FG:

BGM：VTo：5=1：V2：6;⑤△“G产中,HG:HF:FG=^2：2：V7o=1：V2：V5;@A

EKF中,EK：EF:FK=H：：3=1：—：士3故与△ABC相似的三角形的序号是③④⑤.

22

6.解析⑴由勾股定理，得4加万百=713,

BC=y/52+I2=V26,>4C=V32+42=5.

⑵由题意得点A'WC'的坐标分别为A'(0,-4),

"4,2),C(6,4),

由勾股定理，得43三V42+62=2713,

BC=\\®+22=2而,AC=\g+82=10.

JU□□□□□□1

⑶因m为一,=-=—=

所以这六条线段成比例.

/,、中斗，口口□口口口1

(4」因为=p

所以△ABCsAAEC；所以△ABC与△A®C的形状相同.

能力提升全练

7.D由乙4=NA,N8=乙4。£可以推出△ABCSAM)E,A选项不符合题意;由乙4=/A,NC=

NAEO,可以推出△A8csA40EB选项不符合题意;由/A=NA,—=—用以推出△ABCs4

□□□□

ADE.C选项不符合题意;由T-=一，推不出aA6cs△AO£,D选项符合题意，故选D.

8.C*：AB//CDS-/A=4C、4B=4D,：・4ABEsXCDE、：•一=一，即!=

□□232

9

BD=BE+DE=-；故选C.

2

9.C如图，

这样的格点三角形一共有6个，故选C.

10.C此题借助尺规作图考查相似三角形的判定.

当直线CD是AB的垂线时,△ACDsACBD,

'：CDLABS-NCDA=/BOC=90°,・・・/A+/ACD=90。.

*：/AC8=90。,，乙4co+/8»90。，

:.ZA=ZBCD,：./\ACD^/\CBD.

根据作图痕迹可知，

A选项,CO平分NACB,不符合题意；

B选项,CQ不与AB垂直,不符合题意；

C选项，直线CD是的垂线，符合题意；

D选项,CD不与AB垂直,不符合题意，

故选C.

11.答案不相似

解析ZF=90°,DF=6,DE=8,

：.EF=y/\J\J2-DD2=V82-62=25：・一=奈=孑，

在RtAABC中,・・・AC=3,8O4,・・・一=,

4

ARtAABC和RSDEF不相似.

12.答案V3

解析ZOCA与/AOB互补,JNOC4+NAOB=18()。，

即ZOCA+ZAOC+ZBOC=180°,

•；ZOCA+ZCOA+ZOAC=\80°,/.NOAC=/COB,

XZOCA=ZOCB,：./XACO^△OCB,：.—=—,

・•・OC2=ACBC=1.5X2=3,OC=J5(负值舍去).

13.解析:△ABC为等边三角形，JZB=ZC=60°AB=BC=6.：.ZB=ZAPD=60°,ZPC=Z

B+NBAP,；.ZB+ZBAP=ZAPD+ZCPD,

SPNBAP=/CPD,又N8=NC,・・・△/180「八△PCD、

.—

VAB=BC=6,BP=2,/.CP=BC-BP=6-2=4,=—,ACD=-.

4□□3

14.解析(1)ffi:*.*BD=2AD,CE=2AE,：.—=—=",

3

VZDAE=ZBAC.：.△ADEs^ABC.

(2IVZADE=ZABC—=—=

□□□□3

・•・DE//BC,：.ZDEF=ZCBF,NEDF=ZBCF,

:•△DEFsXCBF、：.——=—,

□□□□

I4

VDF=4,A-=—：.FC=[2,

15.证明(1)•・•C,/.ZB=ZC,

•/CF=BE,・•・CF-EF=BE-EF,即CE=BF.

在仆ACE和△中，

=□口，

■□□=□口，

=□口，

AAACE^AABF(SAS),AZCAE=ZBAF.

(2iV△ACE^BF,AE=AF,

XAEr=AQABAC=AB,：.—=—,

:AACEsAAEQ,：.ZAEC=ZAQF,：./AEF=/BQF,

•：AE=AF,：.ZAEF=ZAFE,：.NBQF=NAFE,

■:/B=/C,：.ABFQs4CAF,：・一=—,

:.CFFQ=AFBQ.

素养探究全练

16.解析设经过/s时，以Q,B,P为顶点的三角形与△48C相似，则AP=fcm,P8=(6-/)cm,伙2=2/

cm.

因为NB=90。,所以分两种情况：

①当△BPQS/\BAC吐一=—BP—=二解得占2.4;

□□□□68

②当△BQPSABAC时,—=—，即—=二，解得t="