人教版高中数学必修2考点训练：复数的概念（解析版）

7.1复数的概念

【考点梳理】

＞考点一：复数的概念

＞考点二：复数实部和虚部

＞考点三：根据相等条件求参数

＞考点四：复数的分类问题

＞考点五：已知复数的类型求参数

＞考点六：复数的坐标问题

＞考点七：复数的模的问题

＞考点八：复数的综合问题

【知识梳理】

知识点一复数的有关概念

1.复数

(1)定义：我们把形如。十bi(a,b£R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位,满足］2=二1.

(2)表示方法：复数通常用字母z表示，即z=〃+砥小〃£R),其中。叫做更数z的实部，〃叫做复数z的虚部.

2.复数集

(1)定义：全体复数所构成的集合叫做复数集.(2)表示：通常用大写字母C表示.

知识点二复数的分类

实数S=0),

1.复数z=a+b'\(a,纯虚数〃=0,

虚数

非纯虚数“W0.

2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系

知识点三复数相等的充要条件

设a,b,c,d都是实数，则a+bi=c+diOa=c且b=d,a-\rb\=0^＞a=b=0.

知识点四复数的几何意义

1.复数z=a+历3，1£R)・一一对应・复平面内的点Z(a,b).

2.复数z=a+63，2£R)・一一对应.平面向量5N

知识点五复数的模

1.定义：向量近的模叫做复数z=aIbi（a,〃UR）的模或绝对值.

2.记法：复数z=a^b\的模记为Izl或la+bil.

3.公式：|才=|〃+历|=62+户

知识点六共辗复数

I.定义：当两个复数的实部相等,虚定互为相反数时,这两个复数口L做互为共辗复数.虚部不等于0的两个共规复数

也叫共扼虚数.

2.表示：z的共枕复数用z表示，即若z=a+〃i（a,h^R）,则z=a-bi.

【题型归纳】

题型一：复数的概念

I.（2024高一•全国）给出下列命题:

①若O€R，则（〃+l）i是纯虚数；

②若a,biR且a>b,则a+i>b+i；

③若&!八C,则复数a+〃i的实部为小虚部为公

④i的平方等于-1.

其中正确命题的序号是（）

A.①B.②

C.③D.®

【答案】D

【分析】利用复数的概念逐一判断各个命题即得.

【详解】对于复数加（。&iR）,当。=0且。工0时为纯虚数，

在①中，若。=-1,则（，+l）i不是纯虚数，①错误；

在②中，两个虚数不能比较大小，②错误；

在③中，只有当iR时，复数。+加的实部才为“，虚部为江③错误；

在④中，i的平方等于-1,④正确.

败选：D

2.（22-23高一下•全国•课后作业）下列四种说法正确的是（）

A.如果实数。=2,那么。一匕+（〃+〃）i是纯虚数.

B.实数是复数.

C.如果〃=0,那么z=。+为是纯虚数.

D.任何数的偶数次凝都不小于零.

【答案】B

2

【分析】根据复数的概念及分类，逐项判定，即可看求解.

【详解】对于A中，若。=8=0,那么"一。十（a十勿i=OeR,所以A错误；

灼于B中，由复数的概念，可得实数是好数，所以B正确：

时于C中，若。=0且〃=0时，复数2=。+勿=0GR,所以C不正确；

对于D中，由虚数单位i2=—1,可得D错误.

故选：B.

3.（2223高一下•湖南长沙）已知i为虚数单位，下列说法正确的是（）

A.若』+i=o,则*=iB.实部为零的复数是纯虚数

C.z=（V+i）i可能是实数D.复数z=2+i的虚部是i

【答案】C

【分析】根据复数的概念即可求解.

【详解】A.x=±i,说法不正确；

B.实部为零的复数可能虚部也为零，从而是实数，说法不正确；

C.当x=i时，z=（f+i）i是实数，说法正确；

D.复数z=2+i的虚部是1,说法不正确.

故选：C.

题型二：复数实部和虚部

4.（2324高一下•江苏苏州•期中）若复数z满足z=l-J5，（i是虚数单位），则z的虚部是（）

A.0B.-x/3C.>/3iD.一后

【答案】B

【分析】根据复数的虚部概念求解.

【详解】z的虚部是-6.

故选：B.

5.（2324高一下•广东湛江•期末）以2i-逐的虚部为实部，以近i+2i?的实部为虚部的新复数是（）

A.-x/5+iB.2+iC.2-2iD.石+^i

【答案】C

【分析】首先求出2i-石的虚部，与后i+2i?的实部，即可得解.

【详解】复数2i-6的虚部为2,又指i+2i?=-2+^i,

3

则6i+2/的实部为-2,

所以新复数为2-2i.

故选：C

6.(23-24高一下•江苏镇江.期中)已知复数2=8$。+1€0$2a(0＜。＜2冗)的实部与虚部互为相反数，则a的取值不

可能为()

7ic5兀八一4兀

A.—B.—C.兀D.—

333

【答案】D

【分析】根据题意，可知cosa+cos2a=0,结合倍角公式解方程即可.

【详解】由题意，可知cosa+cos2a=0,

所以cosa+2cos2a-1=0,

解得cosa=-l或cosa=，,

2

因为0＜。＜2兀，所以a=兀或a=々或&=?•.

•JJ

故选：D

题型三：根据相等条件求参数

7.(2023•湖南岳阳•模拟预测)已知i为虚数单位，7y为实数,若((+川+2=(3-旬+2m则x+y=()

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【分析】由复数相等可列出方程组求解.

【详解】由题意(x+yi)+2=(x+2)+yi=(3-4i)+2M=3+(2y-4)i,

A+2=3

所以｛r…解得x=Ly=4,所以x+y=5.

j=2＞'-4

故选：D.

8.(2023・全国•模拟预测)已知£)=1-炉，其中刈y是实数，i是虚数单位，则%-丁=()

A.iB.2C.3D.4

【答案】A

【分析】由复数相等的条件列方程组求解出乂儿从而可求出戈一丁的值.

【详解】由题意得Y五X=1-M，

4

cx=2

所以‘，得一

「Lxy=l

所以x-y=i.

故选：A

9.（21-22高一•全国•课后作业）若bwR,i是虚数单位，〃+2（）21i=2—〃i,则M+句等于（）

A.2021+2iB.2021+4iC.2+202HD.4-2（）21i

【答案】D

【分析】根据复数相等可得。=2,4=2021,进而即得.

【详解】因为。+2021i=2-bi,

所以a=2,-Z?=2021,即〃=2,/?=-2021,

所以M+Z?i=4-2021i.

故选：D.

题型四；复数的分类问题

10.（2024高一下.江苏.专题练习）下列命题：

①若aeR,则（a+l）i是纯虚数；

②若“，Z?GR,且a>〃，则a+i>b+i；

③若卜2_4）+任+3工+2》是纯虚数，则实数X=±2；

④实数集是复数集的真子集.

其中正确的是（）

A.①B.②C.③D.@

【答案】D

【分析】对于①，当。=7时，即可判断；对于②，两个虚数不能比较大小；对于③，当x=-2时，即可判断：对

于④，由复数集与实数集的关系即可判断.

【详解】对于①，若a=T,贝U（ail）i不是纯虚数，则①错误；

对于②，两个虚数不能比较大小，则②错误；

对于③，若x=—2,则/一4=0，/+3X+2=0,此时（丁一4）+12+3]+2》不是纯虚数，则③错误；

对于④，由复数集与实数集的关系可知，实数集是复数集的真子集，则④正确.

故选：D.

11.（22-23高二上•浙江温州・期中）若a,beR,则“复数z=a+历为纯虚数（i是虚数单位）”是“工0”的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

5

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】复数z="+〃i为纯虚数，即。=0,且"HO,判断其与人工0的推断关系.

【详解】复数z=4+加为纯虚数，等价于。=0,且人工0,

a=0,且〃工0可推出〃工0,但不一定得至ija=(),且

所以“复数Z=〃+历为纯虚数”是“〃¥0”的充分不必要条件.

故选：B.

12.(2024高一下•江苏•专题练习)对于复数a+Ai(a酒wR),下列说法正确的是()

A.若。=0,则。+历为纯虚数

B.若a+(〃-l)i=3—2i,则〃=3力=-2

C.若b=U,则。+历为实数

D.i的平方等于1

【答案】C

【分析】根据纯虚数定义、及数相等的定义，结合虚数单位的性质、复数的分类逐一判断即可.

【详解】A：当〃=〃=()时，。+方=0显然是实数，因此本选项说法不正确；

.\(4=314=3

B：a+〃Ti=3—2in=>因此本选项说法不正确；

[b-\=-2[/?=-1

C：b=0,a+bi=aeR,因此本选项说法正确；

D：由虚数单位的定义可知：r=-i，囚此本选项说法不正确，

故选：C

题型五：已知复数的类型求参数

13.(24-25高一下•全国•随堂练习)若复数z=>_i+"一〃一2)i为纯虚数，则实数〃?的值为()

A.-1B.±1C.1D.-2

【答案】C

【分析】根据纯虚数的定义即可列关系求解.

【详解】由于2=4-1+(〃"〃?-2卜为纯虚数，

所以"r-1=0且nr--200,

解得〃?=1,

故选：C

14.(24-25高一下.仝国)设aeR,则”是“复数(a-l)(a+2)+i为纯虚数”的()

6

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合复数的有关概念分析判断即可.

【详解】当。=1时,复数（，-l）（a+2）+i=i,为纯虚数；

当复数（a-l）（〃+2）+i为纯虚数时，有3-1）（。+2）=0,得。=1或々=-2.

所以7=1”是“复数5-l）（a+2）+i为纯虚数”的充分不必要条件.

故选：A.

15.（23-24高三上•山东德州）如果复数z=/+2〃?_3-（〃l）i是纯虚数，-i是虚数单位，则（）

A.工1且，〃工一3B.m=-3

C.m-1D."?=1或〃?=一3

【答案】B

2

【分析】根据纯虚数得到“¥:一3=0,解得答窠.

加一1/0

【详解】复数是纯虚数，则|：二：二。，解得

故选：B

题型六：复数的坐标问题

16.（23-24高一下.内蒙古巴彦淖尔.期末）在复平面内对应的点位于（）

22

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【分析】根据复数的几何意义判断即可.

相在复平面内对应的点为

【详解】i，位于第四象限.

故选：D

17.（2024高一下•江苏•专题练习）在复平面内，平行四边形ABCD的3个顶点A,8,C对应的复数分别是l+2i,-2+i,

0,则点。对应的复数是（）

A.3-iB.-l+3iC.3+iD.-3-i

【答案】C

【分析】设点。的坐标为（x，y）,然后由题意得AO=8C，从而可求出苍）'的值，进而可求得点。对应的复数.

【详解】由题知，点41,2）,B（-2,1）,C（0,0）,设点。的坐标为《y）,

7

则有AD=(x—l,y—2),BC=(2,-1).

又因为四边形ABC。为平行四边形，所以AO=BC，

即'一：I，得所以点。对应的复数为3+i.

y-2=-l[y=I

故选：C.

18.(23-24高三上.江苏常州.期末)在复平面内，复数z=-'+且i对应的向量为3,复数z+1对应的向量为08，

22

那么向量4“对应的复数是()

A.1B.-1C.V3iD.-V3i

【答案】A

【分析】根据复数的几何意义判断即可.

【详解】由题意得4H岑)，用'48=(1,0),

则A8对应复数1.

故选：A.

题型七：复数的模的问题

19.(23-24高二下.云南.期末)已知i为虚数单位，复数z=3-4i,则|z|=()

A.1B.3C.5D.7

【答案】C

【分析】利用复数的模的计算公式求解即可.

【详解】复数z=3—4i,则|z=/+㈠>=5.

故选：C.

20.(23-24高一下•四川遂宁•阶段练习)复数z=2+3i,下列说法不正确的是()

A.z的实部为2B.z的虚部为3i

C.z-2-3iD.同=而

【答案】B

【分析】根据复数的实部、虚部、共匏复数、模等知识确定正确答案

【详解】因为z=2+3i,所以实部为2,虚部为3,之=2-3"曰=炳.

故选：B

21.(23-24而一下•浙江宁波・期末)已知复数z=〃-i的实部与虚部相等，则|z-i|=()

8

A.y/2B.x/5C.2J2D.Vio

【答案】B

【分析】由实部与虚部概念可得。=-1,代入计算可求出结果.

【详解】易知z=a—i的实部为〃，虚部为-1,

由题意可知〃=一1,

则|z_i|=|-IT|=|-]_2i|=J（T）2+（_2）2=5

故选：R

题型八：复数的综合问题

22.（24-25高一下•全国）设O为坐标原点，已知向量OZ2分别对应复数Z，z2,且4=&+（/一皤1，

2

z,=--+（2。-5"（其中aeR）,若Z+々可以与任意实数比较大小.

\-a

⑴求向量ZZ2对应的复数；

⑵设Z乙中点为Z,求|词.

【答案】⑴一2+2i

O

16

【分析】（1）先求出Z1+Z2的表达式，根据马+Z?为实数的条件求出”的值，进而得到4和Z2,再根据向量与复数的

对应关系求出向量ZZ2对应的复数:

（2）利用中点坐标公式求出ZZ?中点Z对应的复数，最后根据复数的模的计算公式求出IOZI

22

【详解】（1）z,+z2=|^-+-^-l+（a-10+2«-5）i=-^^—+（«+2«-l5）i.

l〃+5\-a）\,a-+4a-5'/

•・•Zj+4可与任意实数比较大小，/.Z]+z2为实数,

/+4。-5Ho3

,解得4=3.二.马二一Z=-1+1,

/+2。-15=0O2

.•・向量％对应的复数为（-+）-马卜下方.

（2）4Z2的中点Z对应的复数为_（-1+，）+l8-1J|2O2=-

5_,:.\OZ\=+

Z—16

216

23.(24-25高一下•全国)己知复数z=(〃P+〃L6)+("P-〃?-2)i(mwR).

（1）若z是实数，求实数〃?的值;

9

⑵若Z是虚数，求实数，〃的取值范围；

（3）若z是纯虚数，求实数，〃的值.

【答案】（1）〃?=2或机=一1

⑵且〃？工一1

⑶/〃=-3

【分析】（1）根据复数为实数的充要条件列式求解即可.

（2）根据复数为虚数的充要条件列式求解即可.

（3）根据复数为纯虚数的充要条件列式求解即可.

【详解】（1）若z是实数，则济-〃?-2=0,解得〃7=2或,〃=-1.

（2）若z是虚数，则“一加一2#0,解得，〃工2且〃?工-1.

（3）若z是纯虚数，则解得m=一3.

“广+用—6=0,

24.（23-24高一下•陕西商洛・期末）已知机eR,复数z=（＞_〃-2）+（＞+3〃，+2）i.

⑴若z为纯虚数，求;zi+3-2i；

（2）若z在复平面内对应的点位于第二象限，求整数〃?的值.

【答案】（1）6；

（2）0和1

【分析】（1）由z为纯虚数，求出〃?的值，从而得到复数z,求解!zi+3-2i模长即可；

（2）z在复平面内对应的点位于第二象限，求出机的取值范围，进而得到整数机的值即可.

【详解】（1）由于复数2=（〃/-〃?-2）+（"72+3〃?+2）为纯虚数，

”,〃*-/«-2=0

叫〃2+2工。解得"?=2,此时z=12i,

|zi+3-2i=|-l-2i|=VF+4=＞/5

（2）若z在复平面内对应的点位于第二象限,

A,\m2-m-2<0

m|/zr+3/n+2>0解得-1V"7V2,

故整数，〃的值有0,1.

【高分达标】

10

一、单选题

25.(24-25高一下•全国)复数i+i?在复平面内对应的点在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【分析】依据题意化简复数，求出对应坐标后判断象限即可.

【详解】由题意得i+i'i-l，对应点为(T1),

它在第二象限，故B正确.

故选：R

26.(24-25高一下•全国•课后作业)在复平面内，。为原点，向量04对应的复数为-l+2i.若点A关于虚轴的对称点

为点则向量08对应的复数为()

A.-2-iB.-2+iC.l+2iD.-l+2i

【答案】C

【分析】根据复数的几何意义结合已知条件直接求解即可.

【详解】因为复数-l+2i对应的点为*-1，2),

所以点A关于虚轴的对称点为以1,2),

所以0B对应的复数为l+2i.

故选：C

27.(23-24高一下.甘肃庆阳.期中)已知虚数2是关于1的方程9-21+4=0(蚱2的一个根，且忖=旧，则，=()

A.3B.2C.4D.7

【答案】D

【分析】法一：设2=帆+川(〃7,〃£1t〃/0),代入原方程，根据复数相等和|z|=3n2+/=可得到答案;法二：

解关于X的方程求出对应的含参数〃的虚数根，再由忖=近，求出”的值.

【详解】法—：设2=〃?+川(6,〃£1t〃工0),由工2=(〃?+用『="72一〃2+2〃加，

则Y-2x+a=nr-〃2+2mm-2"?-2相+a=(—〃2—2m+〃)+(2mn-2zz)i=0,

nr-n2-2m+a=0,

2mn-2n=0,m~

则；WO解得一尸=6；

i----------_a—1

|z|=\Jm2+n2=yJ7

法二：由=1-々有虚数根，可知且x=l±Ja-li,

又由国=不，有Jl+a-1=77,解得a=7.

II

故选：D.

28.（23-24高一下.福建福州.期末）若，-4）+（V+3x+2）i是纯虚数，则实数A（）

A.±2B.-2C.2D.-]

【答案】C

【分析】根据纯虚数的定义，列出方程组，求解即可.

X2-4=0

【详解】因为，-4）+（/+3x+2）i是纯虚数，所以解得：x=2,

V+3X+2工0

故选：C

29.（23-24高一下•广东清远•期中）已知好数z=3-4i,则（）

A.z的虚部为TiB.|z|=3+4i

C.z=3+4iD.z在复平面内对应的点在第三象限

【答案】C

【分析】根据复数虚部、共辄复数、模和对应点坐标所在象限的知识，选出正确选项.

【详解】复数z=3-4i的虚部为-4,故A不正确；

0=|3-4"=小32+（-4）=5,故B不正确；

z=3+4i,故C正确；

z在复平面内对应的点的坐标为（3,T）,位于第四象限，故D不正确.

故选：C.

30.（23-24高一下.湖南邵阳.期末）己知〃GN,/={-覃},则“〃为偶数”是（i是虚数单位）的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】由i的运算性质可得答案.

【详解】当〃为偶数时，i"=±le/,则，为偶数''是（i是虚数单位）的充分条件；

当〃为奇数时，i”=±i任/，则i”w/时，〃为偶数，则“为偶数"是（i是虚数单位）的必要条件.

综上，“〃为偶数”是（i是虚数单位）的充要条件.

故选：C

31.（23-24高一下.安徽芜湖.期末）在复平面内，亚数3+4i,-2+i对应的向量分别是。M,ON，其中。是原点,

则向量MN对应的复数为（）

A.-5-3iB.-l-3iC.5+3iD.5-3i

【答案】A

12

【分析】根据复数的几何意义，结合向量的减法运算求解.

【详解】由题意可得0M=（3,4）,W=（-2,l）,

所以MN=ON-OM=（-2,1）-（3,4）=（-5,-3）,

所以向量MN对应的复数为-5-3i.

故选：A.

3

32.（23-24高一下•湖北・期末）当时，复数〃7（4+i）-（3+i）在复平面内对应的点位于（）

4

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

3

【分析】根据复数的运算法则和复数II勺几何意义可得（4，〃-3,,〃-1）,结合即可下结论.

4

【详解】"K4+i）-（3+i）=（4〃L3）+（，〃T）i,

所以该里数在复平面所对应的点的坐标为（4机-3,1）,

31

又一vm<1,所以0v4〃?一3<1,——<>?/-1<0,

44

所以点（4吁3,川-1）位于第四象限.

故选：D

二、多选题

33.（23-24高一下.四川达州•期中）下列四种说法不正确的是（）

A.如果实数。=/九那么。一〃十（。十〃）i是纯虚数.

B.实数是复数.

C.如果。=0,那么Z=4+例是纯虚数.

D.任何数的偶数次第都不小于零.

【答案】ACD

【分析】根据复数的概念及分类，逐项判定，即可求解.

【详解】对A,当a=）=0时，则。一〃+（。+”是实数，故A错误：

对B,根据复数定义可知，故B正确：

对C,a=b=0,那么z=a+5是实数，故C错误；

对D,根据虚数i2=—i，故D错误.

故选：ACD

34.（24-25高一下•全国・单元测试）在复平面内，若z=//（l+i）-制4+i）-6i所对应的点位于第二象限，则实数〃?

的值可以是（）

13

A.—B.—C.3D.4

33

【答案】AB

【分析】先把复数整理成z=（，〃2-4〃?）+（/〃2-/〃-6）i,根据复数对应的点位「第二象限列式，求出实数机的取值范

围，再逐一验证即可.

【详解】整理得z="-4〃7）+6广-〃7-61，对应的点位于第二象限，

r」m2-4/rz<0

则｛,/八，解得3</〃<4.

〃广一〃4-6>0

故选：AB

35.（23-24高一下.河南商丘・期中）已知复数z=/〃2—］+（〃2+］）iQ〃eR）,则下列命题正确的是（）

A.若z为纯虚数，则〃?=1

B.若z为实数，则z=0

3

C.若z在复平面内对应的点在直线y=2x上，贝卜〃=£

D.z在复平面内对应的点可能在第三象限

【答案】AB

【分析】根据复数的分类，即可列出方程或不等式，进而判断A.B;根据复数的几何意义，即可列出方程或不等式，

进而可以判断C,D.

【详解】对于A,若z为纯虚数，则解得〃7=1,A正确；

“7+1W0

对于B若Z为实数，则"7+1=0,厅以机=7,此时z=0,B正确;

对于C,Z在复平面内对应的点为（阳2一1,〃?+］）,

3

所以阳+1=2（〃/一1）,即2加一〃?一3=0，解得帆=-1或小=耳，C错误；

对于D,若z在复平面内对应的点在第三象限，则?"二无解，

所以z在复平面内对应的点不可能在第三象限，D错误.

故选：AB.

36.（23-24高一下呐蒙古兴安盟.期末）已知复数z=l-2i,则（）

A.z的共规复数为l+2i

B.z是纯虚数

C.z的模是5

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D.z在复平面内对应的点位于第四象限

【答案】AD

【分析】根据共轨更数的定义判断A选项，根据系数类型判断B选项，应用模长公式判断C选项，根据复数对应

点判断D选项.

【详解】对于A,由共扼复数定义知z的共规复数为l+2i,故A正确；

对于B.纯虚数要求实部为0,故B错误；

对于C.|z|=J/+(_2)2;方,故C错误；

对于D.z在复平面内对应的点为位于第四象限，故D正确.

故选：AD.

37.(23-24高一下•安徽铜陵・期末)已知复数z=(a-l)+«2+加一31，其中〃为实数，i为虚数单位，则下列说法

正确的是()

A.若z为虚数，贝打工1或"-3

B.若复平面内表示复数z的点位于第二象限，则

C.若z>-2,则a=l

D.若awl且"-3,则d=|z『

【答案】BC

【分析】根据题意，根据亚数的定义，以及复:数的几何意义，以及复数的运算形式，逐项判定，即可求解.

【详解】由复数z=(〃—l)+(4+2〃—3)i,其中。为实数，i为虚数单位，

对于A中，若z为虚数，则满足/+2〃一3/0,解得。工1且aw—3,所以A不正确：

。一1<0

对于B中，若复平面内表示复数Z的点位于第二象限，则满足，c々C，

cr+267-3>0

解得3,所以B正确；

对于C中，若z>—2,可得二3二°,解得a=l,所以C正确：

对于D中，当awl且。工-3,可得z为虚数，z?为虚数，而|z『eR,所以z2w|zf,所以D不正确.

故选：BC.

38.(23-24高一下•重庆•期末)已知复数马=2+3必=3-包2,,22在复平面内对应的点分别为4,4,则()

A.|z,+z2|=|zi|+|z2|

B.|Z,Z2|=5X/2

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C.满足回=忤|的复数Z对应的点z形成的图形的周长是57c

D.满足㈤＜因＜同的复数z对应的点Z形成的图形的面积是12兀

【答案】BD

【分析】根据复数的几何意义可得4=(2,3)Z=(3T).求得|马+22国4|+内即可判断A；求得区4=5夜即可判断

B；求得“2+从=25即可判断C；求得13＜1+从＜25即可判断D.

【详解】由马=2+3i，4=3-4i,得4=(23),=(3,T).

A：z1+z2=5-i,则|马+马|=&^,又忆|=屈,闫=5,

所以卜+马上㈤+闻,故A错误；

22

B：|Z,Z2|=＞/(2-3)+(3+4)=5＞/2,故B正确：

C：设z=a+Z?i(a,〃£R),则|z|=J/+//,

由同=归|,得用否=5,即片+从=25,

所以更数z对应的点Z形成的图形的周长为10n，故C错误；

D：设z=a+〃iS,〃eR),则|z|=J/”，,

又|zj=而,冈=5,所以痴＜5，即＜25,

所以满足|4|＜国＜"|的复数z对应的点Z形成的图形的面积为25n-13元=12*故D正确.

故选：BD

三、填空题

39.(24-25高一下•全国•随堂练习)在复平面内，复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B,若C为线段A3的中点,

则点。对应的复数是.

【答案】2+4i

【分析1写出复数所对应点的坐标，有中点坐标公式求出C的坐标，则答案可求.

【详解】因为复数6+5i,-2+3i对应的点分别为46,5),伙-2,3).

且C为线段AB的中点，所以C(2,4).

则点。对应的复数是2+4i.

故答案为：2+4i.

40.(23-24高一下•安徽马鞍山.期末)已知i是虚数单位，更数z和(z+2『-8i均为纯虚数，则|z+3|=.

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【答案】V13

【分析】先利用待定系数法、纯虚数的概念求出z,然后根据模的计算公式求解即可.

【详解】由题意设2=方()，£艮)冲0),

则(z+2『-81=(24-Ji)2-8i=4-y2+(4)，-8)i是纯虚数当且仅当，,

解得)，=-2,所以|z+3]=|3—2i|=j32+(_2『=9.

故答案为：＞/\3.

41.(2024•福建泉州•模拟预测)已知易函数＞=/*)的图象过点(2,五)，则里数z=/(2)+/(5)-i(其中i为虚数单

位)的模的大小=.

【答案】g

【分析】设出/*)=£,代入(2,&),求出解析式，计算出/⑵=后,/(5)=＞5,求出z=Ji+&-i,计算出模长.

【详解】设新函数/(幻=犬，因为函数图象过点(2,人)，

所以2a=正，解得a=g，所以=

所以/(2)=22=近J(5)=5、=5

.•.z=/(2)+/(5).i=&+6i,

故答案为：币.

42.(23-24高一卜.•广东惠州,期中)在复平面内，把与复数3-6对应的向量绕原点。按顺时针方向旋转90。后，

则所得向量对应的复数为(用代数形式表示).

【答案】一外―3i

【分析】根据复数的几何意义，结合三角形计算即可.

【详解】

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如图所示，复数3-后对应的向量OA=（3,-73），则AAOC=3（）。,同=&+收=26,

绕原点0按顺时针方向旋转90。，得向量OB，则N4OQ=60”,（叫=|。4卜26

则向量08=（-氐-3）,对应的复数为一6_3.

故答案为：-百-3i

四、解答题

43.（23-24高一下•四川内江•阶段练习）已知i是虚数单位，复数z=（〃?2-5〃?+6）+（〃"2〃7）i,,〃eR.

（1）当复数z为虚数时，求〃?的取值范围；

（2）当复数z在复平面对应的点在第二象限，求机的取值范围.

【答案】⑴〃7H2且"?=0

⑵（2,3）

【分析】（I）由虚数的概念列方程求解即可；

⑵由复数的几何意义得卜丁*?<°,解不等式即可得解.

nr-2m>0

【详解】Q）因为复数Z虚数，所以〃?2一2〃?工0

解得，〃?工2且〃iwO

2<zzv

（2）因为复数z在复平面内对应的点在第二象限，所以41一二^+；，

m-2m>0

2<ni<3

解之得得2<<3.

tn>2或〃?