2025-2026学年上海市某中学高二年级上册数学期末试卷（含答案）

市二中2025-2026学年第一学期高二年级数学期末

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1・6题每题4分，第7・12题每题5分）

1、半径为3的球的表面积为.

2、已知事件A与事件B相互独立，如果P（4）=0.5,P（/!B）=0.4,那么。（"）=.

3、直线2x-.v-3=0与直线x-3j，-5=0的夹角大小为.

4、现从编号为01,02,…,50的50支水笔中抽取10支水笔进行书写长度检测，若从以下随

机数表第1个数字开始由左向右读取，则抽取的第4支水笔的编号为.（以下随机

数表第7行）.

398322763991853532591131404692350498221220671263

5、用“市”、”二“、”中”、”学“、”顶”、”四”、“呱"、这七个字可以组成种

不同的七字短语.（不考虑短语的含义）

6、某校高二年级为选拔参加数学竞赛的学生组织了一次考试，最后选出13名男生和7名

女生，这20名学生的考试成绩如茎叶图所示（单位：分），学校规定：成绩不低于130分

的人到A班培训，低于130分的人到B班培训，如果用分层抽

男女

样的方法从到A班的人和到B班的人中共选取5人，则5人中831II5

9651112489

到A班的有人.6421327

50143

7、在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献

血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为.（结果用数值表示）.

8、已知力（-5,2）、B两点关于直线x+j，-10=0对称，则点B的坐标为.

9、当一个不均匀的骰子滚动的时候，出现偶数的概率是奇数的3倍.骰子滚动了两次则出现

的数字之和为偶数的概率是_______.

10.一盒子里有编号1,2,3的红球和编号1,2,3的白球各一个，随机取出4个球排成一列，

则相同颜色和相同编号均不相邻的排法有种.

1

11、如图，有一边长为2的正方形分别为，0,”的中点.按图中的虚线翻折,

使得4&0三点重合，制成一个三棱锥，并得到以卜.四个结论:

①三楂锥的表面积为4;

②三棱锥的体积为:；

③三棱锥的外接球表面积为6兀;

④三棱锥的内切球半径为1；则以上结论中，正确结论是.（请填写序号）

12、已知直线/(:mx-y+nt=0,/2:x+my-m{in+1)=0,/3:(/«+l)x-j，+(，〃+1)=0,

三条直线围成A/18C,则当HABC面积取得最大时m的值为.

二、选择题（本大题共4题，满分14分，第13-14题每题3分，第15-16题每题4分）

13、在以下调杳中，适合用普杳的是（）.

A.调查某批次汽车的抗播击能力B.调查一批LED灯的寿命

C.调查某城市居民的食品消费结构D.调查一个班级学生的身高情况

14、已知直线/"2的斜率分别为船胡，倾斜角分别为四,%,则“k、>kj是"a,>a2"

的（）条件.

A.充分而不必要B.必要而不充分C.充分必要D.既不充分也不必要

15、为调研某地空气质量，连续10天测得该地PM2.5的日均值（单位为依

次为36,26,17,23,33,106,42,31,30,33,则下列四个结论中正确的个数为（）.

①前4天的极差大于后4天的极差；②前4天的方差小于后4天的方差；

③这组数据的中位数为31或33;④这组数据的第60百分位数与众数相同；

A.4B.1C.2D.3

16.对于一个四棱锥P-ABCD,已知二面角A-PB-C、B-PC-D、C-PD-A、

D-PA-B大小都相等，有下列两个命题：①底面ABCD可以是等腰梯形；

②若底面ABCD是平行四边形，则ABCD是矩形.F列说法正确的是（）.

A.①②都是真命题B.①是真命题，②是假命题

C.①是假命题，②是真命题D.①②都是假命题

2

三、解答题(本大题共有5题，满分44分).

17、(本题满分6分，第1小题满分3分，第2小题满分3分)

34s

已知(1+2x)5=〃0x++ayx+a4x+a5x.

(1)求巴的值.

(2)求“I+42+“3+。4+%的值；

18、(本题满分8分，第1小题满分3分，第2小题满分5分)

已知直线人：依+2尸+6=0,直线l)j，+/-l=O.

(1)当时,求。的值.

(2)当//〃2时，求。的值;

3

19、(本题满分8分，第1小题满分3分，第2小题满分5分)

为了了解某校高二年级学生的体育成绩，随机选取100名学生参加考核，将考核的成绩(满

分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六组：[40,50),[50,60),[60,70),

[70,80),[80,90),[90,100],得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求频率分布直方图中〃的值；

(2)若落在[50,60)学生的平均成绩是54.4,方差是5.2,落在[60,70)学生的平均成绩为

66.4,方差是9.2,求落在[50,70)的学生的成绩的平均数和方差.(结果精确到0.1)

4

20、(本题满分10分，第1小题满分4分，第2小题满分6分)

在信道内传输o,i信号，信号的传输相互独立.发送。时，收到1的概率为;，收到。的

概率为:；发送1时，收到0的概率为!，收到1的概率为］

233

(1)重复发送信号1三次，计算至少收到两次1的概率；

(2)依次发送1,1,0,判断以F两个事件：①事件A:至少收到一个正确信号：

②事件B:至少收到两个0,是否互相独汇，并给出证明.

5

21、(本题满分12分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分4分)

如图1,在边长为4的菱形ABCD中，NO48=60。，点分别是边AC,CO的中点,

ACcRD=O、，ACcMN=G.沿MN将ACMN翻折到APMN的位置，连接PA,PB,PD,

得到如图2所示的五棱锥P-ABMND.

(1)在翻折过程中是否总有平面280平面PAG?证明你的结论：

(2)当四棱锥体积最大时，求直线PB和平面MNDB所成角的正弦值;

(3)在(2)的条件下，在线段PA上是否存在一点Q,使得二面角。-MN-P的平面角

的余弦值为甘？若存在，试确定点Q的位置；若不存在，请说明理由.

6

参考答案

一、填空题

1.36九；2.0.8;3.-;4.32;5.2520;6.2;7.120;

4

8.（8,15）；9.-;10.12;11.①②③12.1

8

11、如图，有一边长为2的正方形分别为,40,44的中点.按图中的虚线翻折,

使得4区0三点重合，制成一个三棱锥，并得到以下四个结论:

①三棱锥的表面积为4;

②三棱锥的体积为:；

③三棱锥的外接球表面积为6冗;

④三棱锥的内切球半径为1;则以上结论中，正确结论是.（请填写序号）

【答案】①②③

【解析】根据题意可知三棱锥的表面积与正方形/BCO的面积相

等为4,即①正确；

设4B,0三点重合于点P,则制成三棱锥P-COE如下图所示:

易知CP=2,PD=PE=1,DE=G,且CPJ_平面POE

所以三棱楼的体积P=从・CP=；x；xlxlx2=；,即②正确；

JJ/J

根据题意可知三棱锥的外接球即为以CP,PD,PE为棱的长方体的外接球,

设三棱锥的外接球半径为R,则满4/?2=CP2+PD2+PE2=4+1+l=6,

所以其表面积为4冗斤=6%故③正确；

设三核锥的内切球半径为，•，由①知三楂锥的表面积为£=4,

利用等体积法可知V=必以+；，枭8£+，得「=；，

333334

所以三棱锥的内切球半径为J,即④错误.故答案为：①②③.

4

7

12、已知直线/[:rnx-y+in=0,72:x+my-m(ni+1)=0,:(/«+1)x-j+(/«+1)=0,

三条直线围成A48C,则当zMBC面积取得最大时m的值为.

【答案】1

【解析】直线11：〃江一『+/〃=0,即〃i(x+l)-=0,恒过定点(-1,0),

直线，3:(x+l)X-^+(/；f+1)=0,Bp/M(x+l)+(x-J+1)=0,

也恒过定点（-1,0）,所以直线L与直线4相交于定点力（-1，0），

1x+(miy-，m(/w++(Ll)=0).=。,叫x=0

由，可知直线/与直线/,相交于点6（0,，〃+1）,

y=，〃+12

又因为直线人与直线"相互垂直，所以&48c是C为直角的直角三角形,

,、..1—1-m（m+1）|I///2+m+11

因为点力到4：X+〃IJ，-/W（〃l+l）=0的距离---1~■=■—I,

V1+/H*VI+W2

点B到乙：mx-j，+川=0的距离\BC\=卜：+,“川=,1,

\Jni2+1\ltti2+1

所以MBC的面积S=•忸

"+切+1|11川+川+1）

2J1+〃/J”/+12/w2+l

旭・0时，A/1BC的面积不可能取到最大值；

机＞0时，-^―=当且仅当〃，=1时，等号成立.

胆+12V/M22

因此，当〃，=1时，A/18C的面积S有最大值;（1+；）=：,故答案为：1.

二、选择题

13.D14.D15.C16.A

15、为调研某地空气质量，连续10天测得该地PM2.5的日均值（单位为〃依

次为36,26,17,23,33,106,42,31,30,33,则下列四个结论中正确的个数为（）.

8

①前4天的极差大于后4天的极差;②前4天的方差小于后4天的方差;

③这组数据的中位数为31或33;④这组数据的第60百分位数与众数相同;

A.4B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】前4天的极差36-17=19,后4天的极差42-30=12,①正确;

刖4天的平均数25.5,方差---------------------=47.25,

4

后4天的平均数34,方差必当"t=22.5,

4

前4天的方差大于后4天的方差，②选项错误；

数据从小大排列17,23,26,30,31,33,33,36,42,106,

这组数据的中位数为包产=32.③错误；

这组数据的第60百分位数10x0.6=6是第6个数和第7个数的平均数笞史=33与众数

33相同，④选项正确.故选：C.

三、解答题

17.(1)4=80(2)242

2

18.(1)a=-(2)a=-\

3

19.(1)a=0.03(2)62.4;39.9

20、(本题满分10分，第1小题满分4分，第2小题满分6分)

在信道内传输0,1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为收到。的

概率为:；发送1时，收到。的概率为不收到1的概率为1

(1)重复发送信号1三次，计算至少收到两次1的概率;

(2)依次发送1,1,0,判断以下两个事件：①事件A：至少收到一个正确信号:

②事件B：至少收到两个0,是否互相独立，并给出证明.

【答案】⑴(2)事件力与事件b不相互独立.

9

【解析】(1)重复发送信号1三次，

"至少收到两次1”的可能情况为(1,1,1),(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),因为信号的传输相互独立,

故"至少收到两次1"的概率为MOMWMZx里.

33333333333327

(2)事件力与事件B不用互独立，证明如下：

若依次发送1J0,则三次都没收到正确信号的概率为!x|xl=-l,

故至少收到一个正确信号的概率为==

loIo

若依次发送IJO,“至少收到两个。”的可能情况为(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),

根据事件的相互独立性，故尸(B)=!X；X；+；X；X；+!X：X；+<X；X：=^=

33Z332332332183

若依次发送1,1,0,"至少收到两个0且至少收到个正确信号”的可能情况为

(0,0,0),(0,1,0),(1,0,0),根据事件的相互独立性,

M”小1111212115

P(/4B)=-x-x-+-x-x-+-x-x-=—,

',33233233218

因为尸(力)尸(月)/P(AR),所以事件A与事件B不相互独立.

21、(本题满分12分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分4分)

如图1,在边长为4的菱形ABCD中，NO/B=60°,点M,N分别是边8C,C。的中点，

ACfyBD=O„ACoMN=G.沿MN将NCMN翻折到NPMN的位置，连接PA.PB.PD,

得到如图2所示的五棱锥P-ABMND.

(1)在翻折过程中是否总有平面050J.平面PAG?证明你的结论：

(2)当四棱锥尸-MNO8体积最大时，求直线PB和平面MNDB所成角的正弦值；

(3)在(2)的条件下，在线段PA上是否存在一点Q,使得二面角。-尸的平面角

的余弦值为吟？若存在，试确定点Q的位置；若不存在，请说明理由.

10

【解析】(1)在翻折过程中总有平面尸8。_L平面HG,证明如下：

•.•点M,N分别是边BC,C。的中点，BD//MNf

♦.在菱形/AC。中，ND44=60。，APMN是等边三角形，

G是MN的中点，」.MN1PG,

•••菱形的对角线互相垂直，.•・BDLAG,：.MN1AGf

■/力GcPG=G，力Gu平面以G,PGu平面21G,

:.MN±平面PAG,：.BDJL平面PAG：：BDu平面PBD,：.平面PBD1平面PAG.

(2)由题意知，四边形MN08为等腰梯形，ILDB=4、MN=2,O&=6,

(2+4)x百I-

所以等腰梯形MNO8的面积S=^—j——=3百,要使得四棱锥P-MNO月体积最大,

只要点P到平面MNDB的距离最大即可，

当尸G_L平面MNDB时，点P到平面MNDB的距高的最