山东省菏泽市某中学2025-2026学年高二年级下册4月教学诊断检测数学试题（试卷+解析）

高二下学期4月份教学诊断检测

数学试题

一、单选题；本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是

符合题目要求的.

/（x）=-x3——x1-vcx+d

1.己知函数32有极值，则。的取值范围为（）

1111

A.c<—B.c<—C.c2—D.c>一

4444

2.如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图现提供4种颜色给“弦图”的5个

区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（）

A.48种B.72种C.96种D.144种

3.若函数/（x）=e'—〃lnx+l在区间（1,2）上不单调，则实数”的取值范围为（）

A.(e,e2)B.(e,2e2)c.(-<»,e)U(e2,4-oo)D.(1,5)

4.已知函数/(x)=x-sinx,若关于x的不等式/(x+lnq)N/'(lnx)恒成立，则实数。的最小值为

()

11।

A.-B.-C.-D.I

3e

-V上任意一点，则点尸到直线/:2x+y—51n2=0的距离的最小值为

A小2^5「5y[541n2

RD.----D.-----

5525

7.拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数/（x）在闭区间上的图象

连续不间断，在开区间（。力）内的导数为/'（X）,那么在区间（。力）内至少存在一点C,使得

/伍）一/（。）=/（。）伍一。）成立,其中c叫做/（X）在上的“拉格朗日中值点”.根据这个定理,

可得函数/（》）=/一3%在［-2,2］上的“拉格朗日中值点”的人数为（）.

A.3B.2C.1D.0

8.已知函数/（x）是定义在R上的偶函数,其导函数为/'（工），且当x＜0时，2/（力+矿（力＜0,则

不等式。一2024）2/（工一2024）-/（-1）＜0的解集为（）

A.(-8,2025)B.(2023,2025)

C.(-oo,2025)U(2023,+00)D.(-oo,2023)11(2025,+oo)

二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

9.下列函数的求导运算正确的是（）

Inx./x2-2\nx

A.(B.(丁-2'+1)'=3/-2'出2

x

、_________l_y__2_

=2f

Cy/x-1\[x+1(X-1)2D.[sin(2x+—)]=2sin(4x+—)

63

lux

10.对于函数/（x）=一，下列说法正确的是（）

X

A./（x）在x=e处取得极大值L

B./（X）有两个不同的零点;

c./(4)</(^)</(3)

D./<4"

11.已知函数/")==」，则下列结论正确的是()

eA

A.函数/(x)存在三个不同的零点

B.函数/(x)既存在极大值又存在极小值

C.若X£/，+◎时，/Wnnx=则，的最大值为2

C~

D.当-e<k<0时，方程/(x)=k有且只有两个实根

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.4、B、。共4名同学参加演讲比赛，决出第一至第四的名次.4和8去询问成绩，回答者对4说：

“很遗憾，你和〃都没有得到冠军.”对月说：“你当然不会是最差的.”从这两个回答分析，这4人的名次排

列有.种(用数字作答).

13.若函数/(x)=(x-〃2f+lnx在区间(1,2)上有单调递增区间，则实数，〃的取值范围是.

14.对于函数/'(x)=e'—-+d8⑴二工此工，若对任意的王w[0,1],存在唯一的々e—使得

e

/(xj=g(%),则实数〃的取值范围是.

四、解答题：本题共5小题，共68分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

2

15.已知函数/(x)=—+〃lnx(〃>0).

X

(1)求函数/(X)的极值；

(2)若函数/(x)无零点，用第(1)问结论求4的取值范围.

16.已知函数/(村=/+加+%,g(x)=2x—4,若/")的图象在点(1J0))处的切线方程为

尸g(x)，

(1)求函数y=/(x)的解析式；

(2)若尸(%)=/。)-4不)-分在区间[2,4]上是减函数，求实数a的取值范围.

17.用具体数字表示下列问题.

(1)从100个两两互质的数中取出2个数，其商的个数：

(2)由0,1,2,3组成的能被5整除且没有重复数字的四位数的个数；

(3)有4名大学生可以到5家单位实习，若每家单位至多招1名实习生，每名大学生至多到1家单位实

习，且这4名大学生全部被分配完毕，其分配方案的个数.

18.已知函数/(x)=〃(e、

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)证明：当。〉0时，/(x)241n〃+2.

19.设函数f(x)=+£R.

x

(1)当加=c(e为自然对数的底数)时，求/(外的最小值；

X

(2)讨论函数g(x)=/''(x)-§零点的个数；

(3)若对任意，1恒成立,求机的取值范围.

高二下学期4月份教学诊断检测

数学试题

一、单选题；本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是

符合题目要求的.

/（x）=-x3——x1-vcx+d

1.己知函数32有极值，则。的取值范围为（）

1111

A.c<—B.c<—C.c2—D.c>一

4444

【答案】A

【解析】

【分析】求导得/'（x）=/-x+c,则A,。，由此可求答案.

【详解】解：由题意得/'（X）=x2-X+C,

若函数/（X）有极值，则A=l-4c>0,

解得

故选：A.

2.如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”.现提供4种颜色给“弦图”的5个

区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（）

A.48种B.72种C.96种D.144种

【答案】B

【解析】

【分析】A区域与其他区域都相邻，从4开始分步进行其它区域填涂可解

【详解】解：根据题意，如图，假设5个区域依次为力、B、C、D、E,分4步分析:

①：对于力区域，有4种涂法，

②，对于8区域，与/相邻，有3种涂法，

③，对于C区域，与A、B相邻，有2种涂法,

④，对于。区域，若其与6区域同色，则E有2种涂法，

若D区域与8区域不同色，则£有1种涂法，则。、E区域有2+1=3种涂色方法,

则不同的涂色方案共有4x3x2x3=72种：

【点睛】本题考查两个计数原理的综合问题

使用两个计数原理进行计数的基本思想：对需用两个计数原理解决的综合问题要“先分类，再分步“，即先

分为若干个“既不重复也不遗漏”的类，再对每类中的计数问题分成若干个“完整的步骤”，求出每个步骤的

方法数，按照分步乘法计数原理计算各类中的方法数，最后再按照分类加法计数原理得出总数.

3,若函数/(x)=ex-〃lnx+l在区间(1,2)上不单调,则实数。的取值范围为()

A.(e,e2)B.(e,2e?)c.(-oo,e)U(e2,+co)D.(l,e2)

【答案】B

【解析】

【分析】对/(x)求导并将问题转化为函数g(x)=xe'-〃在(0,1)上存在变号零点，再应用导数研究的单调

性，结合零点存在性定理列不等式求参数范围.

【详解】由题设,/<x)=e，一色=亘二色,又/‘(X)在(1,2)上不单调，

XX

所以函数y=在。,2)上存在变号零点，

设g(x)=xe、-4,xe(1,2),

x

则^(x)=(x+l)e>0,则g(x)在(1,2)上单调递增,

g⑴<0e-<7<0

所以即2e2j>0'解得e<"2e2,

g(2)>0

则〃的取值范围是(e,2e，

故选：B.

4.已知函数/(x)=x-sinx,若关于x的不等式/(x+ln〃)N/(lnx)恒成立，则实数。的最小值为

)

11I

A.-B.-C.-D.1

3e

【答案】B

【解析】

【分析】先根据导数判断函数的单调性，然后利用函数单调性对已知不等式变形，再通过构造新函数进行

求解即可.

【详解】由题可知，(X)=1-COSX,XGR,

由于一IWcosxWl,故/'(x)在R上恒成立，

故/(x)在R上单调递增，

因为/'(x+lnQ)N/'(lnx),

所以x+ln。21nx,即In。2lnx-x恒成立，

令Mx)=lnx-x,x>0,

LI，，/\1,

则〃(x)=—1=---X-,

XX

由。'(工)>0可得，0cx<1,由可得，x>1,

所以〃(X)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，

故力(X)在X=1处取得极大值，乜是最大值，

即M'Lx=〃⑴=T，

故In。之一1,解得。

e

故实数。的最小值为

e

故选:B

5.函数1)的大致图象是()

【解析】

【详解】函数〃x)=£1生」1的定义域为(—8,l)u(l,+0C),

.V1

当工>1时，/(x)>0,此时函数/")的图象在x轴上方，排除C；

由/'(x)=0,得x=g,因此函数/(x)只有1个零点，其图象与x轴只有1个交点，排除B；

又/(工)=/(2+—匚)，当xT-oo时，0+,2+」一72,因此/(x)->0’，排除A,D符合题

X—1X—1

意、..

6.若点尸是曲线y=41nx-f上任意一点，则点。到直线/：2x+y-51n2=0的距离的最小值为

()

A「ln2口2小r575n41n2

5525

【答案】A

【解析】

【分析】首先求平行于直线/与曲线y=41n》-V相切的切点坐标，再代入点到直线的距离公式，即可求

解.

44

【详解】由函数歹=41nx-/,可得y二一一2x,x>0,令一一2x=-2,解得x=2、或一1(舍去),

XX

X(。，2)2(2,+m)

y+0—

y单调递增41n2-4单调递减

4

设F=g(x)，gz(x)=---2<0,所以图象向上凹,

X

如图画出函数y=41nx--的图象，以及直线/得到图象，以及平移直线/与函数相切的直线,

则y=4In2—4,

即平行于直线/：2x+y—51n2=0的直线与曲线》=4后工一一相切的切点坐标为尸（2,41口2-4）,

2x2+4In2-4-51n2=-ln2<0,所以切点,在直线/的左仰J,

曲线y=4\nx-x2上任意一点到直线/距离的最小值为点P到直线/的距离，

|4+41n2-4-51n2|_V51n2

由点到直线的距离公式，可得点P到直线1的距离为4=

飞5

故选:A

7.拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数/（X）在闭区间［。,可上的图象

连续不间断，在开区间（。川）内的导数为/'（X）,那么在区间（。,6）内至少存在一点八使得

/伍）一/（4）=/'。伍—4）成立，其中C叫做/（X）在［。,目上的“拉格朗日中值点”.根据这个定理,

可得函数/（工）=/一3%在［-2,2］上的“拉格朗日中值点”的人数为（）.

A.3B.2C.1D.0

【答案】B

【解析】

【分析】根据题中给出的“拉格朗日中值点”的定义分析求解即可.

【详解】函数/（入）=/-3人，求导得：/心）=31・3,令/为/（入）在卜2,2］上的“拉格朗日中值点”,

则有（3只一3）（2+2）=（2,—3X2）-（—23+3X2）,即4（3x：—3）=2+2,

整理得片=；解得.=±区3,

所以函数/（%）在卜2,2］上的“拉格朗日中值点”的个数为2.

故选：B.

8.已知函数/'(x)是定义在R上的偶函数，其导函数为/“(X),且当x〈0时，2/(x)+矿(x)<0,则

不等式。一2024)2/(工一2024)-/(-1)<0的解集为()

A.(-如2025)B.(2023,2025)

C.(-oo,2025)U(2023,+OD)D.(-oo,2023)U(2025,+oo)

【答案】D

【解析】

【分析】构造函数9(x)=//(x),根据题意可判断，/(X)是偶函数，在(-8,0)上是增函数，在

(0,+8)减函数，把原不等式转化为解不等式尸(X一2024)</(-1),进而卜-2024|>1,解得即可.

【详解】令/(工)=//(工)，则9(工)=2印/(工)+//，(》)=丫[2/(工)+矿(1：)],

当工<0时，2/(x)+M>'(x)<0,所以当x<0时，/(X)=T[2/(X)+/

即尸(x)在(—8,0)上是增函数，由题意/(x)是定义在R上的偶函数，所以/(—x)=/(x)，

所以尸(一力=(一工)2/(-%)=》/(力=手。),所以尸(X)是偶函数，在(0,+8)单调递减，

所以尸(X—2024)=。—2024)24X—2024),F(-l)=(-1)2/(-1)=

即不等式(4-2024)2/(。-2024)-等价为尸(x-2024)〈尸(一1),

所以,一2024|>1,解得x<2023或x>2025,

所以不等式(,"2024)2/(1一2024)-/(—1)<0的解集为(-8,2023怨(2025,+8).

故选：D

二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

9.下列函数的求导运算正确的是()

/nx、，/-zinx_,,,

A.(―)=------：——B.(x3-2xv+1)=3x--2、ln2

x-x

,ll、,2■»兀,7t

C-E=一百D.回1r(2x+利=2S1n(4x+-)

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用导数运算法则及求导公式，逐项计算即得.

A

【详解】对于A,Anx,_xJ」“人_1—21nx,A错误；

\~/-4-3

X-XX

对干B,(工3一2"+1)'=3/一2/2,B正确；

11、，，2、，2

对于C,(zf---7^—)=(----)=------T，C正确：

Vx-1Vx+lx-\(x-1)-

对于D,[sin2(2x+—)]'=2sin(2x+—).cos(2x+-)-2=2sin(4x+—),D正确.

6663

故选：BCD

Irrv

10.对于函数/(x)=一,下列说法正确的是()

X

A./(x)在x=e处取得极大值1；

c

B./(x)有两个不同的零点；

C./(4)</(^)</(3)

D.兀，<4]

【答案】AC

【解析】

Inx

【分析】A选项，对函数/(力二7求导，可以判断出单调区间，即可求得极值；

InY

B选项，令函数/(x)=——=0,求得零点；C选项，根据A选项得到的单调性来比较大小即可；D选项,

入

根据单调性可知/(4)</(乃)，代入即可比较大小.

【详解】/(X)的定义域为(0,+司，且泊(力=男耳.令/'卜)=0,得x=e.「./(x)在(O,e)上单调递

•X

增，在(e,+8)上单调递减，因此/(X)在X=e处取得极大值/(e)=1,A正确.

e

令.f(x)=0,解得x=l,故函数/(X)有且仅有一个零点，B错误.

由f(x)在(e,+oo)上单调递减,得/(4)</(乃)</'(3),则C正确.

因为/(4)</(4)，即丁<—,所以hvTcIn/，则4"<；AD错误.

471

故选：AC.

11.已知函数/(x)工.+：一〈则下列结论正确的是()

A.函数/(x)存在三个不同的零点

B.函数/(X)既存在极大值又存在极小值

C.若工£［/收)时，/(幻3=导，则/的最大值为2

e-

D.当-e<%<()时，方程/")=上有且只有两个实根

【答案】BCD

【解析】

［分析］求得/'(X):m?,得到函数/(》)的单调性和极值，以及xf-8时，/(x)->+oo,当

eA

xf+00时，/(x)f0,作出函数/'(X)的图象，如图所示，结合图象，逐项判定，即可求解.

【详解】由函数八2二储+1,可得r(x)=x，+x+2,

eeA

令f'(x)=0,解得工二-1或x=2,

当工<一1时，f\x)<0；当-K2时,f\x)>0；当x>2时，/'(x)〈0,

所以函数/(x)在(-8,-1),(2,+8)单调递减，在(-1,2)上单调递增，

当工=T,函数/(%)取得极小值/(-l)=-e；

当工=2,函数/(x)取得极大值〃2)二与，

e

当Xf-oo时，+00,当X7+8时，0,

作出函数/(X)的图象，如图所示，结合图象得：

对于A中，函数/(X)存在两个不同的零点，所以A不正确；

对于B中，函数/(尢)既存在极大值乂存在极小值，所以B正确；

对于C中，当工£也+8)时，/(x)nttx=4»可得f42,所以，的最大值为2,所以C正确；

e~

对干D中，若方程/(工)=左有且只有两个实根，

即P=/(x)与卜二左的图象有两个不同的交点，可得-e<A<0,所以D正确.

故选：BCD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.4、B、C.。共4名同学参加演讲比赛，决出第一至第四的名次/和8去询问成绩，回答者对力说：

“很遗憾，你和4都没有得到冠军.”对4说：“你当然不会是最差的.”从这两个回答分析，这4人的名次排

列有•种（用数字作答）.

【答案】8

【解析】

【分析】依题意力、8不在第一名且4不在第四名，分力在第四名与不在第四名两种情况讨论.

【详解】依题意力、A不在第一名且4不在第四名，

若,4在第四名，先排8到第二、三名中的一个位置，另外两个人全排列，

所以有A；A；=4种排列；

若,4不在第四名，则先排力、8到第二、三名两个位置，另外两个人全排列，

所以有A；A；=4种排列；

综上可得这4人的名次排列有4+4=8种.

故答案为：8

13.若函数/'（x）=（x-〃7）2+lnx在区间（1,2）上有单调递增区间，则实数〃?的取值范围是.

【答案】（一8，3）

【解析】

【分析】根据题意转化为/（丫）>0在（L2）上有解，分离参数后求函数最值即可得解.

【详解】r（x）=2（x-w）+-（x>0）,由题意/'（x）>0在（1.2）上有解，

X

即"7<X+，-在（1,2）上有解，

2x

根据对勾函数的性质可知，y=x+厂在。,2)」二单调递增，所以在工=2时取最大值,

一.\

9,、

198--

故加<2+二=:，故实数”的取值范围是94

447

故答案为：—8，a)

14.对于函数/(x)=e'-犬+4,g(x)=xhix,若对任意的须£[0,1],存在唯一的七£-7»e使得

C

/(x,)=g(x2),则实数。的取值范围是.

【答案】㈠一之」]

e-

【解析】

【分析】借助导数研究单调性，并求出函数在给定区间上的值域，再结合集合包含关系，列已不等式解题

即可.

【详解】函数/(幻=/一/+4,求导/'(x)=e'-2x,

令h{x}=er-2x,求导h\x)=ev-2，

函数”(x)在R上单调递增，当了<1。2时,，〃'(x)<0；当x>ln2时，1(”>0,

则函数/'("在(-叱M2)上单调递减，在(M2,+8)上单调递增，

则/'(x)2/'(ln2)=2(l—ln2)=2(lnc—ln2)>0,因此函数/(x)在R上单调递增，

当司£[0,1]时,/(0)</(^)</(1),即/(石)£[1+〃/-1+司,

函数g(x)=xlnx,xw[5,e],求导得g'(x)=lnx+1,

当工£[，■」)时，g'(x)<。，当x£([,e]时，g'(x)>0,

e“ee

函数g(x)在金」上单调递减，此时g即」Sg(x)S-4；

e~e\e7\e)ee~

在[Le]上单调递增，此时gf』[£g(x)«g(e),即-,(g(x)<e,

e\eJe

由对任意的*e[0,l],存在唯一的乙£[1,可使得/区)=g3),

e

21

得U+a,e—l—a]是(-r,e]D｛一｝的子集，

\+a>——2

即<e2T,解得一l-r<QWl,

e-l+a<e

所以实数。的取值范围是(-1-2,1]•

故答案为：(一1一之』].

【点睛】关键点点睛：本题关键是将题目转化为值域之间的包含关系，再借助导数研究单调性，得到值域.

四、解答题；本题共5小题，共68分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

2

15.已知函数/(x)=-+alnx(〃>0).

x

(1)求函数/(X)的极值；

(2)若函数/(x)无零点，用第(I)问结论求。的取值范围.

【答案】(1)极小值为In2,无极大值.

a

(2)(0,2e).

【解析】

【分析】(1)利用导数求得/(x)的单调区间，进而求得了(x)的极值.

(2)根据/(x)的极小值列不等式，由此求得〃的取值范同

【小问1详解】

由题意得:/(力定义域为(0,+8),/(力=_之+@=竺」;

XXJC

2

令r(x)=o,解得：x=-,

(2、2

则当0,—时，/'(工)<0；当工£—,+oo时，/'(x)〉0；

\a,a

・・・/(x)在(0,g)上单调递减，在(g,+8)上单调递增,

(2、2

.,./(X)的极小值为/-j=a+aln-,无极大值.

【小问2详解】

2

由(1)知：/(力的极小值即为/(X)的最小值，即/(x)=4+41n—；

2921

若无零点，则a+aIn—>0,即In—>—1,/.—>—,解得：0<av2c,

aaae

则〃的取值范围为(0,2e).

16.已知函数g(x)=2x-4,若/(x)的图象在点(1J0))处的切线方程为

y=g(。)，

(1)求函数y=/(x)的解析式；

(2)若尸(4)=/(%)-g(x)一双2在区间［2,4］上是减函数,求实数a的取值范围.

【答案】(1)f(x)=xi+2x2-5x：

57

(2)［―,+x).

O

【解析】

【分析】(1)根据导数的几何意义即可求解.

(2)将问题转化为尸(x)=3x2+(4-2«)x-7<0对x£［2,亘成立求解即可.

【小问1详解】

函数/‘(X)的图象在点。,/'。))处的切线方程为蚣)=2x-4,

又ra)=3f+2bx+c,则3+»+c=2,即2b+c=T,

又g(l)=2xl-4=-2,即切点为(1,-2),于是"c二・3,解得/)=2,c=—5,

所以函数N=/(x)的解析式为./(X)=x3+2x2-5x.

【小问2详解】

由(1)知，/(%)=%3+2炉-5工一(2%-4)--2=X3+(2-〃)%2-7%+4在［2,4］上是减函数,

则E'(x)=3x2+(4-2a)x-7K0对x£［2,4］恒成立，即4一2。42一3x对x£［2,4卜恒成立，

X

77

又y=-3x,y=一在［2,4］上为减函数，则y=—3x在［2,4］上为减函数，

xx

7414157

当％=4时，y=—3x取得最小直----，因此4—------,解得—,

x448

57

所以实数。的取值范围是［彳,+8).

17.用具体数字表示下列问题.

(1)从100个两两互质的数中取出2个数，其商的个数：

（2）由0,1,2,3组成的能被5整除且没有重复数字的四位数的个数；

（3）有4名大学生可以到5家单位实习，若每家单位至多招1名实习生，每名大学生至多到1家单位实

习，且这4名大学生全部被分配完毕，其分配方案的个数.

【答案】（1）9900

（2）6（3）120

【解析】

【分析】（1）由乘法原理可直接求解；

（2）先确定个位数，再结合乘法原理即可：

（3）由乘法原理可直接求解..

【小问1详解】

从100个两两互质的数中取出2个数，分别作为商的分子和分母，其商共有100x99=9900（个）.

【小问2详解】

因为组成的没有重复数字的四位数能被5整除，所以这个四位数的个位数字一定是“0”，

故确定此四位数，只需确定千位数字、百位数字、十位数字即可，共有3x2xl=6（个）.

【小问3详解】

可以理解为从5家单位中选出4家单位，

分别把4名大学生安排到4家单位，共有5x4x3x2x1=120（个）分配方案.

18.已知函数/（x）=〃（e'

（1）讨论/（x）的单调性；

（2）证明：当。〉（）时，/（x）241n〃+2.

【答案】（1）答案见解析：

（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）求出函数的导数，讨论。的正负，判断导数的正负，即可求得答案；

（2）由（1）可得函数的最小值，要证明/（X）241na+2,即证/一3姑4—120；方法一，构造函数

g（x）=x;-31nx-l,（x>0）,利用导数求其最小值，说明大于等于0即可；方法二，利用hirWx-l进行

放缩，证明“3-3In20即可.

【小问1详解】

/（X）的定义域为（V,+8）,/X（x）=acx-1.

若心0,则f'(x)vO,/(X)在(Y0,+oo)上单调递减:

若〃〉0,则由/'(x)=0得x=-lna,当xc-lno时，f\x)<0：当x>-ln〃时，/'(x)>0：

故F(x)在(-8,-In〃)上单调递减，在(一In+8)上单调递增；

故当QWO时，/(》)在(7,+8)上单调递减：

当。>0时，/(x)在(Yo,-ln。)上单调递减，在(-In。,+8)上单调递增；

【小问2详解】

方法1,当。>0时，由(1)知，当x=-Ina时，/(x)取得最小值.

所以f(x)>/1(-Ina)=a3+l+lna,从而/'(x)-(4lna+2)>i/3-31nq-1.

设g(x)=x3-31nx-l,(x>0),则g'(x)=3X2--=.

XX

当0<x<l时，g'(x)<。；当X>1时，g'(x)>(),

所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

故当x>0时，g(x)>g(l)=0,

故当。>0时，tz3-31na-l>0,即/*)24Ina+2；

方法2：当。>0时，由(1)知，当x=-lna时，/(x)取得最小值，

所以/(x)之/(-Ina)=a3+1+Ina,

从而/(x)-(41na+2)>a3-31n^-l,

\—x

令h(x)=lar-x+l,x>0,h\x)=--,

x

当0<x〈l时，h\x)>0；当x>1时，h\x)<0；

所以6(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，

故//(x)</2(1)=0..\lnx<x-1,当X=1等号成立；

所以，当〃〉0时，/26J=/-3。+2=(Q-1)2(a+2)N0,

即f(x)>411167+2.

19.设函数/'(x)=lnx+',〃?ER.

A

(1)当〃7=e(e为自然对数的底数)时，求/(x)的最小值：

Y

(2)讨论函数g(x)=/'(x)-］零点的个数；

(3)若对任意6>。>0,逆二3<1恒成立，求〃?的取值范围.

b-a