向量线性运算的坐标表示-2026湘教版高中数学必修第二册章节练（含解析）

2026湘教版高中数学必修第二册

1.4.2向量线性运算的坐标表示

基础过关练

题组一平面向量线性运算的坐标表示

1.(2025山东名校联盟校际联考)已知向量荏二(-2,1),%二(3,4),则沅=()

A.(l,5)B.(-l,-5)

C.(-5,-3)D.(5,3)

2.(2025陕西西安月考)已知a=(5,・2),b=(-4,・3),c=(x,y),若a・2b+3c=0,则c=()

MW)B.(甥)

c(p?)D.(TT)

3.(2025江西抚州临川第一中学月考)己知a=(2,l),b=(-3,4),若表示向量3a+4b,-3b,c的有向

线段首尾相接能构成三角形，则向量c=()

A.(-15,31)B.(15,-31)

C.(3,7)D.(・3,-7)

4.(多选题)(2025安徽庐巢联盟联考)已知O为坐标原点，向量37=(2,3),丽=(6,-3)1是线段

AB的三等分点，则P的坐标可能为()

A.(f)B,(|.5)C.(?.-I)D(M

5.(2025江苏徐州铜山月考)如图，在直角梯形ABCD

中,AB〃DC,AD_LDC,AD=DC=2AB=4,E为AD的中点，若*=入厘+/说(入,R),则

1+产()

A.jB.jC.2

6.(2024江苏盐城五校联盟学情调研)已知向量a=(x+3,x2-3x-4)与万相等，其中

A(1,2),B(3,2),则x=.

7.已知A,B,C三点的坐标分别是(-2,1),(2,-1),(0,1)，且守=3*,诙=29,求点P,Q和向量包

的坐标.

题组二平面向量平行的坐标表示

8.（2025甘肃嘉峪关第一中学月考）若@=（6,6）］=（5,7）,.（2,4）,则下列结论成立的是（）

A.a-c与b共线B.b+c与a共线

C.a与b-c共线D.a+b与c共线

9.（2025四川成都树德中学月考）已知向量m=Q,l）,n=（-3,2都），若m与n共线且反向,则实数

入的值为（）

A.3B.lC.-lD「1或3

10.己知a=（l,2）,b=（-3,2）,当k为何值时,ka+b与a-3b平行?平行时是同向还是反向?

能力提升练

题组一平面向量线性运算的坐标表示及其应用

1.如图，在直角梯形ABCD中,AB〃CD,NDAB=90。,AD=AB=4,CD=l,动点P在边BC上（不

包含端点）,且满足加+n而（m,n均为正数），则U的最小值为（）

mn

4

2.(2023浙江杭州九中期中)已知平行四边形ABCD中，配=2万瓦咨2而，吊=2速.

(1)用刀/5表示就；

⑵若而|=6,|而|=3X/5,NBAD=45。,建立如图所示的平面直角坐标系，求瓦和方的坐标.

题组二平面向量平行的坐标表示及其应用

3.(2025甘肃弘毅绿地实验学校月考)向量所=(k,12),而=(4,5),正二(10,k),若A,B,C三点共线,

则k的值为()

A.-2B.11

C.-2或11D.2或11

4.(2025甘肃兰州第一中学月考)已知点A(3,-4)与B(-l,2),点P在直线AB上，且|舒|二2|而

则点P的坐标为()

A.(-5,8)B.Q,0)

C.(7,-10)D.&0)或(-5,8)

5.若a=(2cosa,l),b=(sina-V5,-l),且a〃b,则tana=.

6.(2025甘肃兰州西北中学月考)已知向量a=(m,4-nr),b=(2cos0,l+3sin0),并且a=b,则实数

入的取值范围为.

7.(2025河北邯郸联考)已知ei,e2是平面内两个不共线的向

量，44=2ei+e2,3E=-ei+Xe2,EC=-2ei+e2,且A,E,C三点共线.

⑴求实数九的值；

⑵若ei=(2,1月2=(2,・2),求就的坐标;

(3)设有点D(3,5),在⑵的条件下，若四边形ABCD为平行四边形，求点A的坐标.

答案与分层梯度式解析

1.4.2向量线性运算的坐标表示

基础过关练

l.D2.D3.D4.AC5.B8.C9.A

l.D5C=JC-ZS=(5,3).

2.Da-2b+3c=(5,-2)-2(-4,-3)+3(x,y)=(l3+3x,4+3y尸0,

(13

二了即c』口.

y3,

3.D由题意得3a+4b=(-6,19),-3b=(9,-12),

因为表示向量3a+4b,-3b,c的有向线段首尾相接能构成三角形，

所以3a+4b-3b+c=0,则c=(-3,-7).

4.AC因为7=(2,3),而二(6,-3),

所以刀=砺-3=(4,-6).

因为P是线段AB的三等分点，

所以彳或/0二;

当万三荏时下二G，-4),所以击=为+万=(*/),则点p的坐标为(―；

当布时，/=G，.2),所以而二37+N=(?,i),则点p的坐标为(?/).

综上,点p的坐标为(+1)或得」).

易错警示

若P是线段AB的三等分点，则P有两种可能:一种是靠近A的三等分点，一种是靠近

B的三等分点.

5.B解法一:建立平面直角坐标系工转化为坐标运算.

如图，以D为原点,DC所在直线为x轴,DA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，

则D(0,0),C(4,0),A(0,4),B(2.4),E(0,2),

所以a二(-4,4),在二(-4,2),丽二(2,4).

因为a=①十日函入中eR),

所以(-4,4)=M-4,2)+M2,4),

则C解得《‘吟,

所以

解法二:利用平面向量基本定理求解.

依题意得刀二方不配①，在qDA!5C®JD§=DA+^反③，

由②③得而《丽VCEJ5C=1噪,

将这两个式子代入①，得忑花屈+：丽.

所以X=^,ji=|,

所以入+产|.

6.答案-1

解析因为A(1,2),B(3,2),所以荏=(2,0),

又荏=a二(x+3,x?-3x-4),

所以「：：=2;解得x=l.

(x~-3x-4=0,

解题模板

坐标形式下向量相等，可以通过对应坐标相等建立等量关系，由此可求出参数的值或

点的坐标.

7.解析易得而二(・2,0),而二(2,-2),

・•・CP=3C?=(-6,0),C2=2C5=(4,-4).

设P(x,y)^gx,y-1),

•,•号篇,解得y=i,

AP(-6,1).

同理可得Q(4,-3),AP0=(10,-4).

8.C*.*b=(5,7),c=(2,4),b-c=(3,3),Ab-c=^a,/.a与b-c共线，故C正确.

同理可得A,B,D错误.

9.A由m与n共线可得乂2-1)=-3,故人?-2九-3=0,解得k=-l或九=3,

因为m与n方向相反，所以彳<0,所以X>0,故入=3.

-3

10.解析解法一:ka+b=k(l,2)+(32)=(k-3,2k+2),a・3b=(L2)・3(・3,2)=(10,・4),

若ka।b与a-3b平行,则存在XeR,使得ka+b=X(a-3b),

即(k-3,2k+2)=M10,-4)=(10^-41),

所以疏合，解得｛二

所以ka+b=-j(a-3b),

所以当k二一时,ka+b与a-3b平行，且ka+b与a-3b反向.

解法二:ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),

a-3b=(l,2)-3(-3,2)=(10,-4),

若ka+b与a-3b平行，则-4(k-3)=10(2k+2),

解得k二此时ka+b=-1(a-3b),

所以当k=时,ka+b与a-3b平行，且ka+b与a-3b反向.

能力提升练

l.D3.C4.D

1.D如图，以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系,

则A(0,0),B(4,0),D(0,4),C(l,4),

则荏二(4,0),存二。4),痔(-3,4).

・・・・，——f

设3尸二18。=(-3入,4入)(九e(0,1)),

则N=荏+历1(4-3入,4人).

又因为力尸二11148+M。=(4111,411),

所以配「，

(44=4〃，

消去兀得m+他=1,

因为m>0,n>0,

当且仅当m=^n时等号成立.

故的最小值为一.

mn4

2.解析⑴连接AE,AF,

易得荏二标弓ABJF=\AD-^AB,

因为不;2够

所以前-祸2（方-就），

所以就彳石弓据；刀子而

⑵过点D作AB的垂线交AB于点D：如图所示:

在RtAADD中,NDAD=45。」而|二3近，

所以AD'=DD'=3,

易得A(0,0),B(6,0),C(9,3),D(3,3),E(5,3),F(7,1),所以方层=(4,-2),荏=(6,0),而=(3,3),

所以［G=|AB+^A。=(U，

所以GB=AB-AG=(K)，

故痂的坐标为G9,万户的坐标为(4,-2).

3.C方=而-9=(4-k,-7),就二正-而二(6,k-5),

由题意知在//就，故(4-k)(k-5)・(-7)x6=0,

解得k=ll或k=-2.

4.D令P(x,y),M!|ZP=(x-3,y+4)^=(-l-x,2-y),

由点P在直线AB上,|彳月二2|而得/二±2而.

当N=2而时,(x-3,y+4)=2(-l-x,2-y),

则瞬荔，解得彼则p(M

当乔二-2而时,(x-3,y+4)=-2(-l-x,2-y),

则薜笔y,解得仔丁则P(-5,8).

故点P的坐标为6,0)或(-5,8).

5.答案

解析因为a〃b,所以2cosax(-l)-lx(sina-V5)=0,B|J2cosa+sina=V5,

两边同时平方，得4cos%+4cosasina+sin*12a3*=5,

os2a+4cos«sina+sin2a_4+4tana+tan2

所以生—-a=5c

sin2a+cos2atar2a+l

整理得4tan2a-4tana+l=0,即(2tana-l)2=0,

所以tana=；.

6.答案［4J