云南楚雄州2025-2026学年上学期期末教育学业质量监测高中二年数学（解析版）

楚雄州中小学2025—2026学年高中二:年级上学期期末教育学业质量监测

数学试卷

注意事项：

L答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上

无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册至选择性必修第二册4.2.2.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.在空间直角坐标系如2中，点？（3,4-6）到平面°野，的距离为（）

A.5B.6C.7D.726

【答案】B

【解析】

【分析】空间中点坐标到平面的距离就是该点竖坐标的绝对值.

【详解】因为。（3,4,-6）,所以点P到平面的距离为6.

故选：B.

B.V5

【答案】A

【解析】

【分析】先使用平方差公式消掉分母的i，再使用复数的模的公式即可求解.

5（4-3i）43.3

【详解】---------1

（4+3i）（4-3i）555

故选:A.

3.数列｛〃“｝满足4=2M”+M“=6,则/7=()

A.IB.2C.3D.6

【答案】B

【解析】

【分析】由条件可得数列是周期数列进而可得所求值.

【详解】

由4=2,。〃+回〃=6,所以4+2。»1=6,两个式子相除得an+2=an,

所以数列｛“〃｝是以2为周期的周期数列，fi77=38x2+1,所以％7=%=2.

故选：B

(1

4.若椭圆x2+my1=1的一个焦点坐标为0,—,则〃？二()

4

A1BD.-

4-Z5

【答案】D

【解析】

【分析】由焦点坐标确定焦点所在轴，进而得到的值,结合即可求得用的值.

因为椭圆f+m)，=1一个焦点坐标为°，：1］，所以/="!"

【详解】力?=kc=—,

2m2

贝|」1=〃2_/=__]=_,解得利=9

m45

故选：D.

5.己知直线—2=0,圆。：/+),2=2,则“点A在圆。外”是“直线/与圆。相交”的

()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析1由点在圆外得到"+〃2>2,由直线与圆相交得到/+从>2,再结合充要条件的概念即可判断.

【详解】圆。:『+。=2的圆心为(o,o),半径为0.

点A在圆。外等价干/多〃>2：

直线/与圆。相交等价于/2/vJ5,即

+力

故“点A在圆。外''是"直线/与圆。相交”的充要条件.

故选：C

6.已知为直线/:2x-)，+5=0上的动点，C为A8的中点，记C的轨迹为E，则后的方程为

()

A.2人一)，-1=0B.2人一)'+3=0

C.2x-y+2=0D.2x-y+\=0

【答案】D

【解析】

【分析】设出C点坐标，根据。为A8的中点，表示出3点坐标，根据点8在直线2x-y+5=0上，得到

C点的凯迹方程.

［.一。+1

,、/\12］x=2x-1

【详解】设C(x，#,8(毛,%),因为C为A3的中点，所以；乙,,所以I().,

Iv_Vo-1t%=2y+l

i>-----

所以8(2x-l,2y+l),由点4直线/:2/->+5=0上，得2(2x-1)-(2y+l)+5=0,

化简得2x-y+l-0,故石的方程为2x-y+l-0.

故选：D

Iog(x-I0)+I0^,x>10,

7.已知函数/("=<r;数列/满足/=/(〃),〃£N"若｛a,｝为递增数列,

-x2+2ax-20,x<10,

则〃的取值范围为()

19A

A.(1,10]B.(1,12)C.D.[10,12]

【答案】C

【解析】

【分析】由题意得/(x)的对数函数单调递增，设加〃)=log〃5-10)+10。，则有。>1,二次函数部分在［I［。］

19

上单调递增，设或〃)=-〃2+2初_20,则有g(〃+l)-g(〃)>0,结合〃的取值范围，可得。>万，因为

{qj为递增数列，所以有即力(11)>以10),综上，可求得。的取值范围.

2

【详解】由题意得〃eN"，则有〃<10时.，an=f(n)=-n+2an-20,

当〃之11时，册=/(«)=loga(n-10)+10a,

因为伍"为递增数列，

设g(〃)=一〃2+2an-20,

当〃e{l,2,…,10}时，数列%单调递增,

则有g(〃+l)-g(〃)>o,且1W10,1+1W10,

即一(〃+1)2+2〃(〃+1)-20-(一〃2+2^1-20)>0,1W〃这9,

119

整理得〃>〃+—，因为1W〃W9,所以一，

22

设h(n)=log“(/:-10)+1(k/,易得q>1时h(n)单调递增,

且有即Mll)>g(10),-I024-20«-20<logjll-10)+10t/,解得々<12,

<19、

综上，。的取值范围是［万

故选：C.

2兀

8.在长方形4BCD中，AB=2,AD=\,将/XAB力沿5。所在直线进行翻折，二面角八一5O-C为彳,

则AC=()

A.述B,375C.叵D.眄

555

【答案】D

【解析】

7T・—71

【分析】由题意得异面直线A尸与CG的夹角为彳，即A"与GC的夹角为］，由空间向鼠的运算法则可得

AC=AF+FG+GC-则AC?=(A/+R7+GC)2=A尸++G。2+2A/・GC，结合条件即可计算

AC.

【详解】由题意得:

过点4作垂足为尸，过点C作CG_L8。，垂足为G,如下图:

77[7F

因为二面角A—8O—C为一，则异面直线AF与CG的夹角为一,

33

即AF与GC的夹角为'，易得4尸=JGC|=@—3",

J555

因AC=AF^FG+GC^且A尸•/G=O,GC-FG=O,

则AC2=(AF+FG+GC)2=AF+FG+GC+2AFGC,

nn494c2石2石121型俎—V105

即AC=-+-+-+2x----x----x-=一，解得AC=-----,

55555255

故选：D.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的有（）

A.命题P：对任意xwR,都有GTT〉X，则〃的否定：存在不£R,使得日/

B.函数〃”=优”—1（。>0且"1）的图象恒过定点（一1,0）

C.集合｛乂/7=0｝的子集有4个

D.V/>1”是“a+-^2”的充分不必要条件

a

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据全称命题的否定判定A,应用指数函数定点判断B,应用子集公式计算判断C,结合基本不

等式及充分不必要条件判断D.

【详解】P的否定：存在X0£R,使得Jl+l《题,A正确；

当上=一1时，/（-1）=0,函数/（耳=。川—1（。>0且4W1）的图象恒过定点（一1,0）,B正确;

集合W丁7=0｝=｛-1,0,1｝有三个元素，故有23=8个子集，c错误；

当〃之1时，a+->2^x-=2,当且仅当。=1取等号，即充分性满足，

当时，取。二一，即必要性不满足，

〃2

所以“a21”是“a+->2”的充分不必要条件，D正确.

a

故选：ABD.

S

10.已知数列｛可｝的前〃项和为S”,请是以—2为公差，13为首项的等差数列，则（）

A.S4=44

B.4=-15

C.｛2｝是公差为一2的等差数列

D.Snl1<S.4

【答案】BD

【解析】

【分析】先由|显|是等差数列可得S”=-2M+15〃，进而可列断A,再由S〃与仆的关系可得％,从而

n

可判断BCD选项.

f5]S

【详解】因为产1是以一2为公差，13为首项的等差数列，所以才=13-2（〃-1）=15-2〃，

则5“二-2〃2+15〃，故S4=-32+60=28,所以A错误;

22

当〃=1时，4=13,当〃之2时，an=Sn-Sn_x=-2n+15n-[-2（n-1）+15（H-1）1=-4A?+17,

因为4=13也满足上式，且为=-4/?+17,a,+「atl=-4,所以｛4｝是公差为T的等差数列，

且《=-4x8+17=—15,所以B正确，C错误.

令〃”>。，即-4〃+17>0,解得〃<?,即数列｛〃“｝的前4项为正数，自第5项以后都是负数，所以

Sn<S4,故D正确.

故选：BD.

11.设Q是抛物线C：y2=8x（y>。）上的动点，尸是。的焦点，A（4,4）,3（—2,0）,则（）

A.PBF=sin^PFB

B.NPM的最大值为三

3

c.|AP|+|P周的最小值为6

|PF|五

D・谒的最小值为半

【答案】ACD

【解析】

【分析】设P（xy）（y>0）,过点。作尸N_Lx轴，垂足为N,根据抛物线的定义判断A,由

lan/PBb二复五，利用基本不等式判断B,过点P作准线的垂线加，垂足为根据抛物线的定义

xI2

判断C,由A可得|尸产|=|则，再结合B判断D.

【详解】对于A：由题可知C的焦点户的坐标为（2,0）,准线为直线x=—2,

设P（x,y）（y>0）,则归尸|=x+2.

|叩

y-tan/ZW7,

\PF\x+2

对干B：因为）P=8x（y>0）,所以），=2后,

y2>/2x2yfl

VdnZPBF=二一=巴勺=乙；

所以x+2x+2五+工，

&

=2及，当且仅当4=白

因为।1=—2即x=2时，等号成立,

2x/2

所以tan/PB/、7——<\f所以（）</丹%”四，故B错误.

6飞4

对于C：过点P作准线的垂线垂足为M，所以|尸目=|尸M，

所以|旬+忸同=|朋+忸闸之4一（一2）=6,当且仅当4、p、M三点共线时取等号,

所以MH+归司的最小值为6,故c正确.

对于D：由tanZPBFusinNTYE,可得俨耳=|8V|,

所以因=网7T

所阿网=cos/PBN,且0</尸8/W—,

4

所以巴=8$/尸闻7之8£=二变，故D正确.

\PB\42

故选：ACD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.甲、乙两支足球队进行两场友谊赛，每场比赛两队平局的概率是1,甲队获胜的概率是:，则乙队两场

6~

友谊赛只获胜一场的概率为.

4

【答案】-

【解析】

【分析】先求出乙队在一场比赛中获胜的概率，再根据独立事件概率的乘法公式和互斥事件概率的加法公

式来计算乙队两场友谊赛只获胜一场的概率.

【详解】因为乙队每场比赛获胜的概率为1-!一!=?，

263

12^14

所以乙队两场友谊赛只获胜一场的概率为5X3+3X391

4

故答案为：—.

13.是直线/上一点，4=（1,1,0）是直线/的一个方■向向量，则点*2,1,1）到直线/的距离是

【答案】

【解析】

【分析】先求向量A尸及。的模长，再利用空间点到直线的距离公式求解即可.

【详解】因为AP=(2—l,l—(—1),1—1)=(1,2,0),

AP\=Vl2+22+02=旧,

同=1(1,1,0)|=Vl2+l2+02=0,

APQ=1X1+2X1+()X()=3，

所以点P(2,l,l)到直线/的距离是JA邛一竿色=.可_得'二字

故答案为：也.

2

22

14.己知O为坐标原点，耳，鸟分别为双曲线C：・一齐=1(。>0/>0)的左、右焦点，以。鸟为直径的

圆在笫一象限与C交于点P，延长gp与。的另一个交点为Q,若尸为。居的中点，则双曲线C的离心率

为•

【答案】VB

【解析】

【分析】由题意得OP_LP//&OP//FQ,所以有_LQ'设|P段=加，由双曲线的定义，利用

口△。耳。和RJQG6勾股定理的关系，即可求得双曲线C的离心率.

【详解】因为点尸是以O鸟为直径的圆在第一象限与C的交点，则有OP_LP//

因为OP是AGQ8的中位线，所以OP//ZQ,又。尸1P鸟，所以。耳J_。鸟.

由题意得点尸在双曲线。的右支上.由liPZHP用1=2。,令|尸国=加,则归周=加+2。,

又。为。居的中点，则点。在双曲线C的左支上.

因为||。周一懈。||=2%且尸是QK的中点,

所以|。勾=2|「周=2相，所以|。£|=2加一加.

在Rt△。6尸中，由勾股定理可得|PG「=|KQ『+|PQ|2,

即(利+2.)2=(2〃?-2〃)2+机2,整理可得加=初.

在RtdQFM,由勾股定理可得忸闯2=|602+阴2,

即（2c）2=（2m-2a）2+（2m）2,化简得c2=2nr-2ma+a2，

又〃?=3a,所以c=/a，则6=£=屈.

a

故答案为：y/V3•

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.VABC的内角A&C的对边分别为a，4c，已知加in2C=csinB.

（1）求C；

（2）若VA3C的面积为2GM-JJc,求V43c的周长.

【答案】（1）C=-

3

（2）2A/3+6

【解析】

【分析】（1）由正弦定理，边化角即可求解：

（2）由三角形面积公式得到"二8,再结合余弦定理求得〃+力=6,即可求

解.

【小问1详解】

因为Z?sin2C=csinB,

sinBsin2C=sinCsinB,

故2sinBsinCcosC=sinCsinB,

因为0<C<n,0<B<n,所以£inZ?>O,sinC>O,

所以cosC=，,

2

故c=g.

3

【小问2详解】

因为VA3c的面积为，。加inC=2G，所以(由=8.

2

又c?=0?+62-2abeosC，所以c?=(a+b)2-lab-2abcosC,

则[=3+与2_]6_8,解得。+〃=6,

所以，二^^二26，

所以VA8c的周长为26+6.

16.已知圆。经过A(T-l),B(-l,-5)两点，且圆心。在直线2x+)，+l=0上.

(1)求圆。的方程；

(2)已知圆O:(x+3)2+(y-l)2=8,判断圆。与圆。的位置关系，并写出一条圆。与圆。的公切线

方程.

【答案】(1)(x-l)2+(y+3)2=8

(2)圆C与圆。外切，)'=二

U祸斤】

【分析1(1)由题可知直线43的方程为/二一1,

A8中点的坐标为(―1,—3),线段A8的中垂线方程为y=-3,与已知直线2x+y+l=0联立，解得圆心

C(l,-3),计算|AC|=J(1++(-3+=2五,得到半径r=20；

(2)圆心距|CD|=J(1+3(+(-3—=4及，恰好等于两圆半径之和R+r=4及，因此两圆外切；设

公切线方程为y=kx+b,利用圆心到切线的距离等于半径，列出方程组：

伏：3+切=2叵I-3：11+"=21解得三组解即得

【小问1详解】

由题可知直线的方程为％=—1,

A3中点的坐标为(一1,一3),

线段AB的中垂线方程为＞'=-3,所以圆心C在直线)，二-3上,

又圆心C在直线2x+），+l=0上，所以直线》二-3与直线2x+.y+l=0的交点就是圆心C.

由『=一'得"即。（1,一3）.

[2x+y+l=0,[y=-3,17

又|AC|二J（1+1尸+（-3+1）2=2&,

所以圆C的方程为。-l）2+（y+3）2=8.

【小问2详解】

由题可知。（1,一3）,。（一3,1）,

所以|cq=J（l+3）2+（-3-1）2=4五,

两个圆的半径之和为2G+2&=4夜，

所以圆C与圆。外切,

所以圆C与圆。有三条公切线，设其中有斜率的公切线方程为,，="+〃，

k+3+臼\-3k-\+b\r

由画心到切线的距离等于半径，得」/=2j2,

।Jl/+公JJ1+&2J

k=1火二-1,、伏=-1,

解得…或或《

b=2"[b=-6y

所以公切线的方程为>=x或），=一工+2或），二一工一6,

故其中一条公切线方程为：丫=工（也可答另外两条中的其中一条）

17.记S“为等差数列｛为｝的前〃项和，已知生二-8,S“=0.

（1）求数列｛q｝和｛s〃｝的通项公式：

（2）求数列｛|可|｝的前几项和7；.

2

【答案】（1）4=2〃-12,Sn=n-\\n

一〃2+11/2,//<6

⑵Tn=\,

〃2-15+60,〃>6

【解析】

【分析】（1）将条件转化为首项4和公差，/的方程，解方程求修,d,进而可求得数列｛q｝的通项公式,

再求Sn:

（2）由题意得当为之。时，|。〃|二4，当4<0时，|?|=一（，分别求其前〃项和，即可得到数列{>"}

的前〃项和Tn.

【小问1详解】

设等差数列｛〃〃｝的公差为d，

由胭意得5“=1lq+554=0,4=4+"=-8,

(11囚十55d=0伉-TO

联立，,。，解得C，

4+d=-8[d=2

则-10+(〃-1)x2=2〃-12,故。〃二2〃-12,

且s="(%十%)=〃(T0+2〃T2)=〃2一]]〃，故§=〃2一]]〃

22

【小问2详解】

由(I)得4“=2/2—12,

当〃K6且〃£N"时，〃”《()，当〃〉6旦〃$N"时，〃“>。，

2

当〃K6且〃£N'时，Tn=一(q+&+•・•+牝)=一S“=-n+1\n,

当〃>6且〃£N'时，T“=-(q+%++。6)+(。7+G+…+。〃)，

即T=(4+叼+…+4)—2(4+叼+…+线)=/-11/1+60,

-n2+11〃,〃<6

综上，Tn=\

n~-1b?+60,7?>6

18.如图，在五棱锥尸—A3CDE中，平面P4E_L平面ABCOE,/E43=/AE。90.

(1)证明：ABtPE.

(2)^AE=3>/3,DE=Vn,RC=2AR=4,XARC=]2Ci,PAIAE,PA=2t口点P.B.CO均在

球。的球面上.

(i)证明：点。在平面八AC/加内.

(丁.)求直线AC与P0所成角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)(i)证明见解析；(ii)亚

14

【解析】

【分析】(1)由面面垂直的性质定理可得平面A4ZT，再由线面垂直的性质定理可得A8_LPE；

(2)(i)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设O(x,y,z),球0的半径为「，由

依用=|OB|2=|OC|2=|O叶=尸列式解方程求出0(0,2j5,0),即可证明点。在平面A8CDE内.(ii)求

出,4。二(4,26,0),2。=(0,2行,一2),由异面直线的向量公式即可求出直线4。与夕。所成角的余弦值.

【小问1详解】

证明：因为平面PAE_L平面A4CDK,平面PAE)平面A8CDE=AE,

且AB_LAE,A3u平面A4CDE，所以A8_L平面Q4E

又PEu平面皿:，所以A3_LPE.

小问2详解】

(i)证明：以A为坐标原点，AB,AE,A尸所在直线分别为x轴、＞轴、z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，过点。作CG_Zx轴，垂足为G.

因为NA8C=120，所以/C8G=60，

又8c=4,所以5G=2,CG=2百，则A(0,0,0),B(2,0,0),

D(Vi3,3V3,()),P((),0,2),C(4,2V3,()).

设。(x,y,z),球。的半径为，,

'|OP|2=x2+/+(z-2)2=r2,

||OB|2=U-2)2+y2+z2=r,

则《

[OCf=5—4)2+(),—2后+z?二，，

2222

[|0Q/=(x-V13)+(y-3^)+z=r,

解得x=0,y=2百,z=0,/*=4.

故点0(0.2x/3,0)在平面AHCDE^.

（ii）解：由（i）可知AC=k，26,0）,尸0=（0,26,一2）,

ACPO12_377

cos<AC,PO>

ACPO~2y/lx4~14

所以直线AC与P。所成角的余弦值为封Z.

14

19.在平面直角坐标系中，过点4（-2,0）,8（2,0）的两条直线54与直线53的斜率分别为4次2,旦

k\h=_「记动点S的轨迹为曲线C.

（1）求C的方程.

（2）已知。是线段AB上一点（异于AB）,过点。的直线/与C交于M,N两点，直线8W,8N分别

交直线x=3于石,产两点.

（i）若点。在x轴的正半轴上，则是否存在直线/,使得-BMN的面积是面积的4倍？说明理由.

（ii）是否存在点。，使得MEN/为定值？若存在，求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）三十丁=1且工工9

4’

/X\

（2）（i）不存在，理由见解析（ii）存在，点。的坐标为£,。或（3一石,0）

I。/

【解析】

【分析】（1）根据已知斜率条件，利用过两点的直线斜率公式转化为代数方程，化简即可；

（2）（i）先设直线l'.x=my^t并与椭圆联立，并利用韦达定理得到根与系数的关系，再通过面枳比的

几何关系转化为代数等式，推导出产-4f=机之，最后结合。</<2时/一期<0与nr>0的矛

盾，得出不存在满足条件的直线/;

（ii）先求出E,F坐标并写出向量ME,NF,代入点积公式化筒;再将x,=myx+tyx2=my2+t代

入，利用韦达定理消去y,力，最后通过让表达式与“无关，解得点D的坐标即可.

【小问1详解】