2026版高考数学复习专题突破：2.4 指数运算及其指数函数（精讲）（原卷版）

2.4指数运算及指数函数（精讲）

考向一指数的运算

【例1-1】（2025高三·全国·专题练习）[多选]下列运算正确的是（）

1

A．(0.25)2(5π)0210

2

0.52

3

．27493101

B(0.008)(π1)

89259

C．23a2b(6a3b)36a6b51

1

11

xx1

D．若22，则．

xx6x2x223

【一隅三反】

（2026高三·全国·专题练习）化简与求值．

3

213

4

32116；

(1)8100

481

9

3．

(2)a2a33a73a13(a0)

3

abab43

(3)化简：4ab3ab0ab；

3abab

11

23

计算：252640；

(4)0.13π

927

33

11

已知，求x2x22的值．

(5)x2x23

x2x23

1

02

(6)83π3πeln3；

12

2

23

90273

(7)(9.6)

482

2

0.5

（）求值：252732310

80.1π

9649

2

0

273

（）2n31n1log29

915392

8

111

1

3234112

（10）(10)14

0.756103216

24300

考向二指数函数的图像

且

【例2-1】2025湖北）函数yloga(x3)1(a0a1)的图象恒过定点P，若点P在直线mxny10上，

11

其中mn0，则+的最小值为___________.

mn

【例2-2】（24-25高三上·山东·阶段练习）如图所示，若0a1，函数yax与yxa的图象可能是（）

A．B．C．D．

【一隅三反】

x2

1．（24-25高三上·山东·阶段练习）函数fxa1的图象恒过的定点是（）

A．(1,2)B．(1,2)C．(0,2)D．(2,2)

x

2．（2025高三·全国·专题练习）已知a0,b0且ab1，则函数fxa与函数gxlogbx的图象可能的

是（）

A．B．C．D．

exex

3．（2025高三·全国·专题练习）函数fx的大致图象为（）

x1

A．B．C．D．

考向三指数函数定义域

fx1

【例3】（24-25江苏）已知函数fx的定义域为0,，则函数y的定义域是（）

162x

A．1,4B．1,4C．1,4D．1,4

【一隅三反】

2x4

1．（23-24四川）函数fx的定义域为（）

x5

A．,2B．,55,C．2,D．2,55,

11

2．（23-24·福建漳州·期末）函数fx的定义域为（）

3x13x

11

A．,B．,

33

11

C．,D．,

33

x

3.（2024湖南）设函数fx42x，则函数f的定义域为（）

2

A．2,B．4,C．,2D．,4

考向四指数型函数的值域

18

【例4-1】（1）（24-25高三下·甘肃白银·阶段练习）函数yx2的值域为

3x

2

（2）（2024·贵州·模拟预测）已知函数f(x)2x2x3，则f(x)的最大值是.

2x,x0

（3）（2024上海虹口·期中）已知函数f(x)1，则f(x)的值域为．

x,x0

x

（4）（2025湖北）函数fx9x43x9的值域为

2

【例4-2】（1）（2024·四川成都·二模）已知函数fx2axx1的值域为M.若1,M，则实数a的取值范

围是（）

11

A．0,B．,

44

111

C．,,D．,

444

e2x41

（2）（2024·陕西榆林·模拟预测）已知函数fxx1在区间a,b上的值域为m,M.若ab4，

ex2

则mM的值为（）

A．8B．6C．4D．2

x1

a1,x1

41

（3）（2024·河北保定·三模）已知f(x)a1的值域为D，D[,)，则a的取值范围是

a2

x1,x1

x

（）

35537

A．[,2]B．[,)C．[,2)D．[,2]

24324

【一隅三反】

1

x

2

1．（2024·全国·模拟预测）函数fx4,x0的值域为．

log2x2,x0

2．（2025·宁夏）已知函数fx4x2x21，x0,3，则其值域为_______．

2x,0x3

（广东）已知函数存在最大值，则实数的取值范围是

32025fx22a

2xa,3x0

x

,x1

4（2025·甘肃）已知函数f(x)x1的值域为R，则实数a的取值范围是

x

2a,x1

4x2x2m,x0

5（2025河北）已知fx1的最小值为2，则m的取值范围为

x,x0

x

考向五指数型函数的单调性

82xx2

1

【例5-1】（2024上海静安·阶段练习）函数y的严格增区间是.

2

2

【例5-2】（2025·青海西宁·二模）已知函数f(x)exax在区间(2,1)上单调递减，则实数a的取值范围是（）

A．[0,)B．[2,)C．(,0]D．(,2]

ax1,x1

【例】（高三下北京阶段练习）已知函数在上单调递增，则的取值

5-324-25··fx2Ra

xax4a5,x1

范围为（）

33

A．1,2B．1,2C．,2D．,2

22

【一隅三反】

x22x3

1

1.（2024湖南岳阳·期中）已知函数f(x)，则函数f(x)单调递增区间为（）

3

A．,1B．1,C．1,D．,1

xxa

1

2（2025·河北秦皇岛·一模）设函数fx在区间1,2上单调递减，则实数a的取值范围是（）

2

A．,4B．4,C．,2D．2,

3．（2025·贵州毕节·二模）已知函数fxe2xm在区间1,3上单调递增，则实数m的取值范围是（）

A．,2B．2,6C．2,6D．6,

4x1,x2,

4．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知函数fx在R上单调递增，则a的取值范围是．

ax3,x2

考向六指数型函数的奇偶性

2

【例6-1】（24-25高三上·河北唐山·阶段练习）已知函数f(x)a为奇函数，则a（）

2x1

A．2B．1

C．0D．1

m

【例6-2】（2025·江苏）若函数f(x)x(1)是偶函数，则m（）

1ex

A．2B．1C．1D．2

【一隅三反】

x

x3

1．（2025河北）已知函数f(x)xa3，则“a1”是“函数fx为偶函数”的（）

a

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

2

2.（2025北京）已知函数fxxa为偶函数，则a（）

12x

A．-1B．-2C．2D．1

3（2025·辽宁）函数fx是定义在R上的偶函数，且f1xf1x，若x0,1，fx2x，则f2023

（）

A．4B．2C．1D．0

考向七指数型函数性质的应用---比较大小

【例7-1】（24-25高三上·山西大同·期中）设a0.30.2,b1.10.2,c1.10.3，则（）

A．abcB．acbC．bcaD．cab

【例7-2】（2025·河北唐山·一模）已知fxex，则下列说法正确的是（）

A．f5f3f2B．f3f2f5

C．f5f2f3D．f2f5f3

【一隅三反】

ba

111

1.．（2025河北）若1，则（）

333

A．aaabbaB．aabaabC．abaabaD．abbaaa

11121

2.（23-24高三下·河南周口·开学考试）若ae3,be5,c，则（）

563

A．bcaB．cab

C．abcD．acb

5

1

（河北）已知2，77，，则a、、c的大小关系为

3.2025a2.55bc33b_____________

5

考向八指数型函数性质的应用---解不等式

【例8-1】（2025·浙江嘉兴·三模）关于x的不等式elog2x1的解集为（）

11

A．0,B．(0,1)C．,D．(1,)

22

2x,1x1

【例】（四川德阳一模）函数单调递增，且，则实数的取

8-22024··fxxf2m1fm1m

3m,x1

值范围为（）

A．2,1B．2,1C．0,1D．0,1

【一隅三反】

1.（2025·湖南·模拟预测）设函数fxex11，则使得fx1fx成立的x的取值范围是（）

11111

A．0,B．,C．,D．,

22222

21x,x0

（辽宁模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（）

22024··fx1xf2xfx

2,x0

A．,1B．,1

C．1,D．1,

xx2

3（24-25高三上·江苏·开学考试）设函数f(x)22，则使得f(x)f(2x3)0成立的x的解．集．

是．

考向九指数函数的实际应用

【例9】（2024·云南楚雄·一模）垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公

共资源的一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务．已知某种垃圾的分解率v与时间t（月）近似满

足关系vabt（其中a、b为正常数），经过5个月，这种垃圾的分解率为10%，经过10个月，这种垃圾的分

解率为20%，则这种垃圾完全分解大约需要经过（）个月（参考数据：lg20.3）

A．20B．22C．24D．26

【一隅三反】

1.（2024·贵州）某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：mg/L)与时间t（单

kt

位：h）间的关系为PP0e，其中P0，k是正的常数．如果在前5h消除了10%的污染物，则10小时后还剩

下百分之几的污染物？（）

A．5%B．45%C．81%D．85%

2．（24-25江西赣州·期末）某科研小组培育一种水稻新品种，由第1代1粒种子可以得到第2代120粒种子，

以后各代每粒种子都可以得到下一代120粒种子，则第10代得到的种子数为（）(参考数据：1.295.16，

1.2106.19)

A．5.16109B．6.191010C．5.161018D．6.191020

3．（24-25湖南）生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量P会按确定的比率衰减，大约每经过5730年，碳

t

含量衰减为原来的一半，这个时间称为半衰期，与死亡年数之间的函数关系式为1a（其中a为

14P“”PtP

2

常数）.2024年考古学家挖掘出某生物标本，经研究发现该生物体内碳14残余量约占原始含量的81%，则可推

断该生物死亡时间属于（）附：①参考数据：log20.810.3，②参考时间轴如图：

A．东汉B．三国C．西晋D．东晋

4．（24-25高三上·北京·阶段练习）德国科学家WilhelmPeukert于19世纪末提出蓄电池的容量C（单位：Ah），

放电时间t（单位：h）与放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式：CIpt，其中p为Peukert常数，不

同材料的Peukert常数不一样.有两块不同材料的蓄电池，第一块蓄电池的容量为C1，Peukert常数为p1；第二块

蓄电池的容量为C2，Peukert常数为p2.第一块电池测试：当放电电流I20A时，放电时间t20h，当放电电

流I30A时，放电时间t10h；第二块电池测试：当放电电流I20A时，放电时间t20h，当放电电流I30A

20

时，放电时间th，则（）

3

A．p1p2，C1C2B．p1p2，C1C2