2026版高考数学复习专题突破：2.3 函数的对称性、周期性、图像（精练）（试卷版）（解析版）

2.3函数的对称性、周期性、图像（精练试卷版）

一．单选题：本题共8小题，每题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。

1．（2024·河南·模拟预测）函数fxlgx22x11x1图象的对称中心是（）

11

A．1,1B．1,C．2,1D．2,

22

【答案】B

2

【解析】易知fxlgx110x1的定义域为R，

2

所以可得f2xlg1x101x，

22

因此fxf2xlg1x101xlgx110x1

2

22

lgx110x1lg101，

1

即函数fx满足fxf2x1，因此fx的对称中心为1,.

2

故选：B

2．（2025·广东·一模）若函数fxex1eax(xb)2关于直线x2对称，则ab（）

A．1B．3C．5D．7

【答案】B

【解析】由题意函数fxex1eax(xb)2关于直线x2对称，

故f4xfx，即e5xea4x(4xb)2ex1eax(xb)2，

即e5x1ea5ea4x1e5a(42b)(42x)0，

即1ea5e5xex142b42x0,

故需满足1ea50且42b0，即a5,b2，

则ab3，

故选：B

3．（2025·天津河西·一模）已知函数fxe2xe2x2，则（）

1

A．fx1为奇函数B．fx为偶函数

2

1

C．fx1为奇函数D．fx为偶函数

2

【答案】D

【解析】fxe2xe2x2,xR，则f01f1ee40，即故A错误；

f01f1e210，故C错误；

1141121111

fee，f1e，则ff，故B错误；

22222222

12x12x112x12x111

fxee，fxee，则fxfx，故D正确.

2222

故选择：D.

4．（2024·陕西商洛·一模）已知函数f(x)2x33x2，若不等式fa21f(a5)4成立，则a的取值范

围是（）

A．(,2)(3,)B．(2,3)C．(,3)(2,)D．(3,2)

【答案】B

【解析】设g(x)f(x)22x33x，则g(x)2x33xg(x)，故g(x)是奇函数．

不等式fa21f(a5)4等价于不等式fa212f(a5)20,

即不等式ga21g(a5)0.

因为g(x)是奇函数，所以ga21g(a5).

易证g(x)是R上的减函数，则a21a5，即a2a60，解得2a3．

故选：B.

exex

5．（2025·湖南长沙·二模）函数fx的部分图象大致是（）

x2x2

A．B．

C．D．

【答案】D

exex

【解析】fx有意义可得x2x20，

x2x2

2

故xx2x1x20，

所以x1或x1，

所以函数fx的定义域为,11,11,，定义域关于原点对称，

xx

exexee

又，

fx22fx

xx2xx2

所以函数fx为奇函数，所以函数fx的图象关于原点对称，

令fx0可得，exex0，所以e2x1，故x0，

所以函数fx有且仅有一个零点，零点为0，

当0x1时，函数yex在0,1上单调递增，函数yex在0,1上单调递减，

所以函数yexex在0,1上单调递增，

1

所以当0x1时，0exexe，

e

又当0x1时，x2x2x1x20，

所以当0x1时，fx0，

选项A的图象不关于原点对称，选项B的图象在0,1内的函数值为负，

选项C的图象对应的函数有3三个零点，

故选项ABC不能同时满足上述所有要求，而选项D同时满足以上所有要求，

故选：D.

x1

6．（2024·江西景德镇·一模）函数f(x)的定义域为R，f(2x1)是奇函数，当x1时f(x)log221，则

f(x)0的解集是（）

A．[0,1)[2,)B．[0,1][2,)

C．(,0)[2,)D．(,0][2,)

【答案】B

【解析】∵f2x1是奇函数，

∴f2x1f2x10，即fx关于1,0点对称．

又函数fx的定义域为R，故f10．

x1

当x1时fxlog221，

x1

log2210

令fx0，即，解得x2．

x1

根据对称性可知当x1时，0x1．

综上所述，fx0的解集是0,12,．

故选：B．

7．（23-24宁夏银川·期中）定义在R上的函数yfx满足以下条件：①fxfx0，②对任意

fxfx

12

x1,x20,，当x1x2时都有0，则f7，fπ，f3的大小关系是（）

x1x2

A．fπf3f7B．fπf7f3

C．fπf3f7D．fπf7f3

【答案】A

【解析】因为定义在R上的函数yfx满足条件fxfx0，

所以函数fx是偶函数，

fx1fx2

对任意x1,x20,，当x1x2时都有0，

x1x2

所以不妨设x1x2，则有fx1fx20fx1fx2，

因此x0,时，函数fx是增函数，

因为函数fx是偶函数，

所以f7f7，f3f3，

因为x0,时，函数fx是增函数，

所以fπf3f7，即fπf3f7，

故选：A

23

8．（2025北京）已知函数fx满足fxyfxyfxfy，f1，则下列结论不正确的是（）

32

1

A．f03B．函数f2x1关于直线x对称

2

C．fxf00D．fx的周期为3

【答案】D

【解析】解法一：

2

令x1，y0，则2f1f1f0，解得f03，A正确；

3

2

令x0，则fyfyf0fy2fy，

3

所以fyfy，即fx是偶函数，

1

所以f2x1f2x1f21x1，所以函数f2x1关于直线x对称，B正确；

2

2

令yx，则f2xf0f2x0，

3

令t2x，则ftf00，所以fxf00，C正确；

令y1，则fx1fx1fx①，

所以fx2fxfx1②，

①②联立得fx2fx1，

所以fx3fx，fx6fx3fx，即fx的周期为6，D错误；

解法二：

π

构造函数f(x)3cosx，

3

3ππππ2

满足f1，且fxyfxy3cosxy3cosxy6cosxcosyfxfy，

233333

f03cos03，A正确；

π2ππ2π1

f2x13cos2x13cosx3cosx，

33332

2π12π

因为f2x1表示y3cosx的图象向右平移个单位，且y3cosx的图象关于y轴对称，

323

1π

所以f2x1关于直线x对称，B正确；由余弦函数的图象和性质可知fxf03cosx10，C正确；

23

2π

T6

fx的周期π，D错误；故选：D

3

二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选

对得6分，不分选对的得部分分，有选错的得0分。

9．（2025云南）已知直线x1是函数fx图象的对称轴，则函数fx的解析式可以是（）

1

A．fxB．fxex1e1x

x1

C．fxcosπxD．fxx22x

【答案】ABC

1

【解析】A：函数图象由y图象沿x轴向右平移1个单位，

x

再把x轴下方的图象关于x轴对称翻折到x轴上方，故关于直线x1对称，故A正确；

B：函数fxex1e1x的图象是由yexex图象沿x轴向右平移1个单位得到的，

而函数yexex是偶函数，关于y轴对称，

其图象沿x轴向右平移1个单位后的图象刚好关于直线x1对称，故B正确；

C：令πxkπ,kZ，则该函数的对称轴为直线xk,kZ，故x1符合题意，故C正确；

D：f11,f33，显然f1f3，

故此函数不是关于直线x1对称的，故D错误.

故选：ABC.

fxf4x

10．（2025哈尔滨）已知函数fx的定义域为R，其图象关于1,2中心对称，若2x，则（）

4

f45xf5x2

A．1B．f2f44

4

C．yfx12为奇函数D．yf2x2x为偶函数

【答案】ACD

【解析】对于A，因为fx的对称中心为1,2，所以f4xfx24，

f45xf5x2

将x变为5x，变形得：1，故选项A正确；

4

对于B，由A选项知f4xfx24，即f4x4fx2，

fxf4xfxfx24

结合已知2x，

44

即fxfx2124x，

令x4，得f4f212444，故选项B错误；

对于C，由fx的对称中心为1,2得f1xfx14，

则f1x2fx12，

令gxfx12，则gxgx，定义域为R，

所以yfx12为奇函数，故选项C正确；

fxf4x

对于D，对2x，

4

fx2f4x2

令xx2得：2x2x，

4

即fx2f2x4x，故fx22xf2x2x，

令hxfx22x，定义域为R，所以hxhx，

所以yf2x2x为偶函数，故选项D正确；

故选：ACD.

11．（2025·安徽·一模）已知定义在R上的偶函数fx满足f02,f3xfx1，设fx在R上的导函

数为gx，则（）

31

A．g20250B．g

22

2025

C．gx6gxD．f(n)1011

n1

【答案】ACD

【解析】由题得fxfx，所以fxfx即gxgx，

所以gx是奇函数，故g00，

31

又由f3xfx1得函数fx关于点,对称，fxfx31，

22

所以fxfx31，故fx3f3xfx3，

所以fx6fx，即函数fx是周期为6的函数，

所以gx也是周期为6的函数，即gx6gx，

由f3xfx1求导得f3xfx0即gxg3x，

所以g3g00，

对于A，g2025g63373g30，故A正确；

3

对于B，由gxg3x,gxgx无法确定g的值，故B错误；

2

对于C，由上gx也是周期为6的函数，即gx6gx，C正确；

对于D，由fxfx31得f1f21，

且f0f31即f31，且f1f41即f41f1，

且f2f51即f51f2，f6f02

所以f5f41f21f1211，

所以f1f2f3f4f5f611123，

202533763

所以f(n)f(n)3373f1f2f31011，故D正确.

n1n1

故选：ACD

三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12．（24-25高三下·山东·开学考试）已知函数fxx22x2axb的图象关于点1,0对称，则

a2b=．

【答案】6

【解析】因为函数fxx22x2axb的图象关于点1,0对称，

所以函数yfx1的图象关于点0,0对称，

所以函数yfx1为奇函数，故fx1fx10，

所以x32x2ax4x2abx32x2ax4x2ab0，

所以2a4x212x262ab0，

所以a10，b8，

所以a2b6.

故答案为：6.

2x1,x0

（新疆模拟预测）已知函数fx，则不等式fx1fx12的解集为

132025··3.

xx1,x0

【答案】0,

【解析】设y12x1,x0，y1均随着x的增大而增大，所以y1在0,为增函数，

3，则2所以y在为增函数，

y2xx1,x0y23x10,2,0

且当分别代入y、y，可得yy1，

x0121x02x0

所以fx在R上单调递增，

令gxfx1fx1，则gx在R上单调递增，

又g0f1f12.

不等式fx1fx12g0的解集为0,.

故答案为：0,.

2x112xππ2

14．（2025·江西上饶·一模）已知函数fxeesinx1，则不等式fx2x3f2x2的

24

解集为．

【答案】2,1

12x2x1ππ

【解析】f1xeesinx1,

24

则fxf1x2，即f1x2fx，

∴2f2xfx1，

∵fx22x3f2x2，

∴fx22x32f2xfx1，

2x112xπππ2x112xππ

∵fx2e2ecosx22e2e40，

22422

即函数fx在R上单调递增，

∴x22x3x1，即x2x20，∴x2x10，

即2x1.

故答案为：2,1.

四．解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

axb

15．（2025黑龙江鹤岗·期末）已知函数fx是定义在1,1上的函数，fxfx恒成立，且

1x2

12

f.

25

(1)确定函数fx的解析式；

(2)用函数单调性的定义证明fx在1,1上是增函数；

(3)解不等式fx1fx0.

x

【答案】(1)fx

1x2

(2)证明见解析

1

(3)0,

2

f00

b0x

【解析】（）由题意可得，解得，所以，经检验满足奇函数

112fx2.

fa11x

25

x1x2x1x21x1x2

（）设1xx1，则fx1fx2，

2122222

1x11x21x11x2

∵1x1x21，∴1x1x21，且x1x20，则1x1x20，

则fx1fx20，即fx1fx2，所以函数fx在1,1上是增函数.

（3）∵fx1fx0，∴fx1fxfx，

1x11

1

∵fx是定义在1,1上的增函数，∴1x1，得0x，

2

x1x

1

所以不等式的解集为0,.

2

16．（2025·上海青浦·模拟预测）对于函数yf(x)，其中f(x)logax(a0,a1).

(1)若函数yf(x)的图像过点(4,2)，求f(2x2)f(x)的解集；

(2)求证：当a2时，存在x使得f(x1),f(ax),f(x2)成等差数列.

【答案】(1)(1,2)

(2)证明见解析

【解析】（1）已知函数yf(x)logax的图像过点(4,2)，

2

所以loga42，即a4，因为a0,a1，所以a2，

则f(x)log2x.

函数f(x)log2x的定义域为(0,)，且在定义域上单调递增.

2x20

由f(2x2)f(x)可得x0，

2x2x

解得1x2，所以不等式的解集为(1,2).

（2）当a2时，f(x)log2x,f(x1)log2(x1)，

f(ax)log2(2x)log22log2x1log2x,f(x2)log2(x2).

若f(x1)、f(ax)、f(x2)成等差数列，则2f(ax)f(x1)f(x2)，

即

21log2xlog2(x1)log2(x2).

所以22log2xlog2[(x1)(x2)]，

即222，

log2(2)log2xlog2x3x2

即22，则22，移项可得2

log22xlog2x3x22xx3x2x3x20.

对于一元二次方程x23x20，(3)24(2)98170，

所以方程有实数解，即存在x使得f(x1)、f(ax)、f(x2)成等差数列.

17．（2025·上海崇明·二模）已知f(x)log3(xa)log3(6x)．

(1)是否存在实数a，使得函数yf(x)是偶函数？若存在，求实数a的值，若不存在，请说明理由；

(2)若a3且a0，解关于x的不等式f(x)f(6x)．

【答案】(1)存在实数a6，使得函数yf(x)是偶函数

(2)答案见解析

【解析】（1）存在实数a6，使得函数yf(x)是偶函数.

xa0xa

要使函数f(x)log3(xa)log3(6x)有意义，须满足，即，

6x0x6

显然a6，即a6，函数yf(x)的定义域D(a,6).

当a6时，函数定义域不关于原点对称，此时必然存在xD且xD，此时函数yf(x)不是偶函数.

当a6时，f(x)log3(x6)log3(6x)，

函数yf(x)的定义域为(6,6)，对于任意的x(6,6)，都有x(6,6)，

并且f(x)log3(x6)log3(6x)f(x)

因此函数yf(x)是一个偶函数

综上所述，存在实数a6，使得函数yf(x)是偶函数

（2）由f(x)f(6x)，得log3(xa)log3(6x)log3(6xa)log3x

xa0,

6x0,

所以且(xa)(6x)(6xa)x①．

6xa0,

x0

由①得，ax3a.

因为a3且a0，

所以当3a0时，ax3，

当a0时，3≤x6.

综上可得：当3a0时，不等式f(x)f(6x)的解集为a,3；当a0时，不等式f(x)f(6x)的解集为

3,6.

2xn

18．（2025山西）已知定义域为R的函数fx是奇函数.

2x1m

(1)求实数m,n的值；

(2)若对于任意的t1,1，不等式ft22f2aat0恒成立，求实数a的取值范围.

【答案】(1)n1,m2

1

(2)a

3

n1

【解析】（1）∵fx是R上的奇函数，∴f00，∴n1，

2m

1

2x11

∴fx，又f1f1，∴122，

x1

2mm4m1

12x12x