2025年中考数学一模试题分类汇编-二次函数综合题（解答题24题压轴题）原卷版

专题09二次函数综合题（解答题24题压轴题）

1.（2025•上海杨浦一模）在平面直角坐标系大勿中，抛物线尸族+6孙•+〃J”。）与x轴交于点力（-1,0）

和点8,顶点为O.

如

O%

（1）求此抛物线的对称轴及点8的坐标；

（2）点尸是该抛物线上的一点，设对称轴与X轴交于点石，如果3尸恰好平分线段。E,求点尸的坐标（用含〃?

的式子表示）；

⑶在（2）的条件下，连接AP,当NDPB=NP4B时,求加的值.

2.（2025•上海静安•一模）已知抛物线N=a，+队+。（。工0）上，其，与工部分对应值如下表:

X•••-3-1032•••

y・..—80202•・•

（1）求此抛物线的表达式；

（2）设此抛物线的顶点为P,将此抛物线沿着平行于x轴的直线/翻折，翻折后得新抛物线.

①设此抛物线与x轴的交点为力、6（点A在点8的左侧），月748〃的重心G恰好落在直线/上，求此时新

抛物线的表达式；

②如果新抛物线恰好经过原点，求新抛物线在直线/上所截得的线段长.

3.(2025•上海金山一模)在平面直角坐标系立"中(如图)，已知抛物线/(x)=.，+S+l)x-Z)S<0),

/(x)的图像与x轴的两个交点为点户、点。(其中点P在点。左侧).

丁.

1,

⑴若将/(4)的图像向上平移2个单位，得到的新抛物线g(x)经过点(k3),求抛物线g(x)的表达式；

(2)若人力的图像在直线x=l的右侧呈上升趋势，求6的取值范围；

(3)在(1)中所求的g(x)的图像与V轴的交点记为点人与％轴的正半轴交点记为点A,点M在g(x)的图

像上.当直线与直线依垂直，且QP=］。/时，求点M的坐标.

4.(2025•上海嘉定一模)在平面直角坐标系立"中，抛物线昨加+乐-1经过点(2,3)和点(-4,3).

(1)求该抛物线的表达式：

(2)如图，该抛物线上有三个点A、B、C,AB//x^,4a9=90。，/BAC=30°,力4与抛物线的对称轴

交干点"(点A在对称轴的左侧).

①如果点C到抛物线对称轴的距离为1,请用含，的代数式表示点8的横坐标：

②求点。的横坐标.

5.(2025•上海闵行,一模)已知抛物线G：乎=-/+&+0与V轴交于点力(0,3),顶点。在直线x=l上.

(1)求抛物线G的解析式及顶点P的坐标；

(2)将抛物线G向右平移用(〃，>0)个单位，再向下平移〃(〃>())个单位，得到新抛物线G，新抛物线G的顶

点为。，与抛物线G的交点为点3,如果四边形尸49。是平行四边形，求加、〃之间的关系式；

(3)在(2)的条件下，抛物线G的对称轴与直线力尸交于点E，与抛物线G交于点"，且

S4?EQ：S&BFQ=3:\,求此时抛物线G上落在平行四边形44。内部的点(不包括与平行四边形的交点)的

横坐标/的取值范围.

6.(2025•上海普陀•一模)在平面直角坐标系X。)，中(如图).已知抛物线y=云-3(。*0)的顶点力的

坐标为(1,-2),与y轴交于点8.将抛物线沿射线以方向平移，平移后抛物线的顶点记作其横坐标为

机.平移后的抛物线与原抛物线交于点M且设点^^位于原抛物线对称轴的右侧，其横坐标为〃.

(1)求原抛物线的表达式：

(2)求m关于n的函数解析式；

(3)在抛物线平移过程中，如果是锐角，求平移距离的取道范围.

7.(2025・上海崇明•一模)已知在直角坐标平面宜万中，抛物线y=a/+6+c(a¥。)经过点

%(-2,0)、4(2,0)、C(O,-4)三点.

备用图

(1)求该抛物线的表达式：

(2)点P是抛物线上在第一象限内的动点，点P的横坐标为〃】

①如果VP力。是以PC为斜边的直角三角形，求m的值；

②在轴正半轴上存在点“，当线段7W绕点，逆时针方向旋转90。时，恰好与抛物线上的点。重合，此

时点。的横坐标为求〃一加的值.

8.（2025•上海虹口•一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线卜=-丁+6+3与x轴交于点A、B

（点A在点8的左侧），与歹轴交于点C,联结力C,tanNC4O=3,抛物线的顶点为点

（1）求分的值和点。的坐标；

（2）点P是抛物线上一点（不与点8重合），点尸关于X轴的对称点恰好在直线3C上.

①求点。的坐标；

②点M是抛物线上一点且在对称轴左侧，连接8M,如果=求点M的坐标.

9.(2025・上海长宁一模)如图，在直角坐标平面Ml，内，以点。为顶点的抛物线》=/+加+。经过点力(4,3),

且与y轴交于点8,对称轴为直线工=2.

-------------------------►

Ox

(1)求抛物线的表达式；

(2)平移上述抛物线，所得的新抛物线的对称轴为直线》=/,顶点为点P.

①联结月8,如果点，在x轴上且新抛物线与线段N8有公共点，求/的取值范围；

②发新抛物线与直线x=2交于点。，如果点夕在原抛物线》=/+版+。上，且在直线x=2的右侧，

NCPD=2NCBO,求点。的坐标.

10.（2025・上海青浦•一模）在平面直角坐标系X。），中，抛物线J二&，（4<0）经过直线卜=-X上的点A,已

知04=2近.

%

[]]1111111A

OX

（1）求该抛物线的表达式；

（2）将抛物线y=ad（4<0）先向右平移1个单位，再向上平移％（上〉0）个单位后，所得新抛物线与y轴相交

4

于点C,如果tanNOC4=§.

①求左的值；

②设新抛物线的顶点为点。，新抛物线上的点8是点A的对应点.联结O。、CD,在新抛物线的对称轴上

存在点尸，使得NOP4=NOQC,求点尸的坐标.

11.（2025・上海徐汇•一模）通过二次函数的学习，小杰知道形如），=&，（。工0）的函数，其图像始终经过点

（0,0）,也即抛物线^=公2（。工0）经过定点（0,0）.于是他进一步探究了形如^=公2-办+2（。=0）的函数图

像，发现抛物线歹=G2-公+2（。/0）经过定点（0,2）与（1,2）.他探究的思路是：设法找到x的某些取值，

含”的各项之和：。小一。4=412—X）,令x2—X=0，解得玉=。,N2=1.

当工=0时，y=2,得到定点（0,2）：当X=1时，y=2,得到定点（1,2）.

小杰还探究了抛物线歹二口/+（1-。卜-20+1（。。0）,发现它也经过两个定点，其中一个位于x轴上，可记

作点A,另一个位于第一象限内，可记作点8.

⑴求点48的坐标；

⑵当"0时（如图），抛物线歹=尔+（1-4b-2〃+1的顶点为D,与X轴的另一个交点为C.

①如果乙48。=90。，求〃的值；

②当4。8=90。时,求。的值.

12.(2025•上海黄浦一模)在平面直角坐标系XQF中，己知抛物线》=--+4工+(°<0)与x轴交于力、B

两点(点/在点8的右侧)，与》轴交于点C,顶点为尸，直线PC与x轴交于点。.

Ox

⑴用含。的代数式表示点P及点D的坐标；

(2)将该抛物线进行上下、左右两次平移，所得的新抛物线的顶点P落在线段PC的延长线上，新抛物线与y

轴交于点凡且PE1尸P'.

①求该抛物线两次平移的方向和距离；

②点力在新抛物线上的对应点H,如果。H被y轴平分，求原抛物线的表达式.

13.（2025•上海松江一模）在平面直角坐标系xQr中（如图），已知二次函数了=。/+瓜+2的图像与x轴负

半轴交于点A,与歹轴交于点8,且0A=08.

yk

3-

2-

1-

1i1111I.

-3-2-101234x

-1-

（1）当1=-』时，求该二次函数的函数值；

a

（2）定义：对于一个函数，=/（、），满足/（力=》的实数x叫做这个函数的不动点.如果二次函数

y=ax2+bx+2存在唯一的一个不动点，试求出这个不动点；

（3）将V4O8绕点8逆时针旋转,点O落在点。处,点A落在点。处，当四功形48co是梯形时,点。恰好

落在该二次函数图像上，求该二次函数的解析式.

14.(2025・上海宝山•一模)如图，在平面直角坐标系X。＞，中，已知抛物线j，=ad+4的顶点为。，点力、B

在抛物线上，且都在y轴右侧，横坐标分别是〃?，m+L

(1)连接/1。、求C01NOD4-C01NOO8的值(结果用含。的代数式表示);

(2)如果j轴上存在点C,使得力CJL8C,且4C=BC,

①求抛物线的表达式：

②若48=点E在y轴上，且V力OE与V45C相似，求点E的坐标

15.(2025・上海奉贤•一模)在直角坐标平面xO)，中，直线歹=-!4+2向下平移5个单位后，正好经过抛物

4

线7=av2+8冰+2的顶点C,抛物线与y轴交于点B.

N：