北师大版八年级数学下学期 第五章 分式与分式方程 第2节 分式的运算知识点+练习试题及答案

分式与分式方程第2节：分式的运算

知识点

（1）两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。

（2）两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。

（3）同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。

（4）根据分式的基本性质，异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程称分式的通分。

（5）异分母的分式通分时，通常取最简单的公分母（简称最简公分母）作为它们的公共分母。

（6）异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算。

注意；不管分式的乘除还是加减，都记的要约分，化成最简分式或整式。

练习题

第1课时分式的乘除与乘方

L化简a子乙的结果是（）

a

A.OB.lC.a2D.*

2.计算1­H的结果是（）

6xy

AAB?C.xyD=

6x6J6

3.计算a24-i-b的结果是（）

b

A.a2B.WC.a2b2D.2a2b2

4.计算8m&•(f)2的结果是()

zm

A.2m2n6B.4m2n6C.4m2n3D.2m3n6

5.计算・的结果是（

a2+6a+9a+2

D.仁

a-3

6.若£4■泞可约分化简,则整式P不可以是（）

A.x-2B.x(x-2)C.xD.x2-4

7.陈老师设计了接力游戏,规则是“每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人,

若结果已是最简，游戏结束”.过程如图:

老师甲乙

整个游戏过程,负责的那一步出现了错误.

8.计算.

/八4m2nAT2—Jx

（21-_-•——-——

（1卜3n4=*天2m？''XX2+2X+1*

/力/-6xy+9y2.2x—6y

'*r.2a+6,IJ/-＜）y2•x2+3xy

9.先化简，再求值:^+吉淇中x=3.

io.佳琪在做作业时发现一道题有一部分被墨滴遮住了，如图所示.

（1淮琪猜测，墨滴遮住的内容是“2a”，请你根据佳琪的猜测完成计算.

⑵第二天，佳琪的同桌告诉她，这道题被墨滴遮住的是一个二次二项式，并且这道题的标准答案是一）,请你

a—2

通过计算说明墨滴遮住的内容是什么.

计算：$+

a-1a~-1

11.下列式子的计算结果与《相等的是（）

Qi

A.a-rxa2）B.a4-（2+小）C.a4--•a2D.aX-^4-a2

a，Q/aa，

12.计算（一?）2+（当）2・（一》的结果是（）

b5bSb

A.-C.--D.--

4b4b4b4b

13若111-11=2,则代数式^^^——•卫■的值是（）

mTn+n

A.-2B.2C.-4D.4

14.甲、乙两个工程队合修一条公路，已知甲工程队每天修（a，4）m,乙工程队每天修（a・2）2m（其中a>2）,则甲工

2

程队修900m所用时间是乙工程队修600m所用时间的倍.

15.己知A为整式，计算芸+W的结果为名.

X^7XXto

(1)求整式A.

⑵嘉嘉说：“因为xK，所以原式的计算结果不可能为士”淇淇说：“嘉嘉考虑得不周全，原式还应有其他无

6

法取得的结果”.请对淇淇的说法进行说理.

16.现有两块钢板，甲钢板是半径为(a・l)m(a>l)的圆，如图1,乙钢板是半径为am的圆去掉中间半径为1m的

小圆后剩下的圆环部分，如图2.

(1底钢板的外圈围上一圈铁片，甲、乙钢板所围铁片的总价分别为18元和42元，乙钢板所围铁片每米的价

格是甲钢板所围铁片每米价格的2倍，求a的值.

⑵当压力F(N)一定时，物体所受的压强p(Pa)与受力面积S(m2)的关系式为p](SK0).现测试甲、乙两块钢

板的抗压性，对

两块钢板施加相同的压力F(N),受力面积均为钢板的面积.

①甲钢板所受的压强p甲二Pa,乙钢板所受的压强p乙=Pa.

②将上化简，当a>3时,直接写出上的取值范围.

P/P乙

第2课时同分母分式的加减

L计算箸+看的结果是(

2•化简言一汽的结果是(

3.下列计算正确的是(

x-yyr

3

4.计算:

5.计算:

...a3a+l2a+3

(〃一Ja2

6.如图，一个正确的运算被盖住了一部分，则被盖住的部分是()

]210二1

A•誉B.aC品D.1

7.计算上J・一J的结果是一个整数，写出一个符合条件的实数a的值:.

(a-2)(a-2)

8•先化简，再求值:三一丹淇中'=3

9.定义:如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关

于B的“雅中值”.例如分式A:名,B=三,A・B=三二^^=4>0,贝UA是B的“雅中式”，A关于B

的“雅中值”为4.

⑴若分式C=芸,D=/,请判断C是不是D的“雅中式”,若是,请求出C关于D的“雅中值”；若不是,

请说明理由.

(2)已知分式M=二,N=与,M是N的“雅中式”，且M关于N的“雅中值”为3,试用含x的式子表示E.

4

第3课时异分母分式的加减

1.分式白与会的最简公分母是（）

4m2m,

A.4m2B.4m3C.8ni2D.8m3

2.分式的最简公分母是___________.

x+1/+x

3.通分:（1/，条（2）

x2—y2，x2+xy,

4.计算午■的结果为（）

a2a

A.-B.—C.-1

a2aa

5・计算舟+缶的结果等于（）

D.l

a+1

6.已知x+y=4,xy=2,则与土的值为（）

xy

A.5B.6C.7D.8

7.计算:5上=______.

4a2ba

8.已知等式“一被墨迹覆盖了一部分，则被覆盖的部分是

a（a+b）a+b

9・计算：（1点七一高.（2屋吉当.

10.先化简，再求值.

（1小丁」淇中X=-1.

x2—3xx

（2冼化简，再求值:必一」-+等）淇中m=2,n=3.

m+nm-nm2-n2

5

11.己知F为整式，若计算占一士的结果为则F=()

a'+abab

A.a-bB.a+bC.bD.a

12.如果人二；,!^々一々，那么代数式A与B之间的关系是()

1~a£a—1a+1

A.A+B=OB.A=BC.A・B=0D.A=2B

13.定义:若两个分式A与B满足|A・B|=3,则称A与B这两个分式互为“美妙分式”.若分式年三与三互为

“美妙分式”，且a,b均为不等于0的实数，则分式土工.

14.先化简,再求值:头一宗，其中x,y满足x2=2xy+y2.

15.定义新运算:对于两个代数式M,N(M#O,NKO),规定:MXN=J一白,例如:3派2三一?4・

NM，36

(1设简:(3+刈※6-3).

(2修※—的结果能否为零?若能，请计算此时x的值;若不能，请说明理由.

16.小明在探究并联电路的总电阻时，发现总电阻R(Q)的倒数等于各并联电阻Ri,

R2的倒数和，即白

nX]r\2

(1)请用含R和Ri的式子表示R2

⑵若Ri,R?均为正整数，探究Ri,R?的值分别为多少时,总电阻R恰好为2Q.

6

17.已知a>b>0.

⑴若m>0,求证:丝%•士

a+mQ

（2）若M=R,N=J-+A，判断M与N的大小并证明.

1+a+D1+a1+b

第4课时分式的运算

1.计算a+1—的结果是()

a—1

A.—B.—C.alD.a2

a-1a-1

2.计算H.x的结果是________.

X

3.计算;一二的结果是.

4.计算：(1--)+工=________.

XX

5.计算：

22

x2x_1^Xx+2x+ltx~1_x

Ux2-1-'Jx+2x-1x+2*

6.化简：

⑴F）・缶・

m

⑵扁+土）in2+2m+r

7

7.请你阅读小明同学的解题过程，思考并完成任务.

先化简，再求值：（三一^）・淇中x=-3.

X1।X/X

AT）Z3XX、X2—1

解：<—^7）•—

3x(x+1)X(x—1))G+l)(x—1，第一步

(x—1)(x+1)(x—1)<x+l)2x

_242+4%.an储1

（X—1）（X+l）2x-

_2x（x+2J.<x+l>（x—UIR.

（x—1）（x+l）2x1'

=x+2.第四步

当x=-3时，原式=-3+2=-l.

任务一:以上解题过程中，第步用到了约分，约分的依据是—.

任务二:请你用与小明同学不同的方法，完成化简求值.

任务三:根据平时的学习经验，就分式化简时需要注意的事项给同学们提一条建议.

8.已知A为整式，若计算荔三一品的结果为9,则A=（）

jfIVJVjf

A.xB.yC.x+yD.x-y

9.化简:二.（x—出之）=_______.

XX

10.已知m2+2m-3=0,则代数式（m+3）・吗的值为—.

mm+2

11.已知W与三的和等于含，则a+b=•

12.化简:1+/+：♦.

X—1x+lx2+lx4+l

13.先化简，再求值：（2+m.）.优其中m=Gl心

8

14.先化简,再求值:3・1）・（劣+1）,其中x=2.

15.先化简，再求值：（\1）・淇中x=-2.

16.已知a+h-1=＜）,求代数式（现叱+G4生吆的值.

a

17,先化简，再求值：（号一号）・富淇中a《=3.

18.先化简，再求值：（1一丝安）+皇,其中a,b满足3ab.3bZ2=0.

a.a£b

9

19.已知A=等■+(1+—).

X2-1X—1

(1叱简A.

(2)若x的值刚好使分式岩的值为0,求A的值.

2。.先化简，再求值：(力1)+鬻,其中心.3)=(a.2)2.

21.先化简，再求值:三等竺+(胃-x+2)+4?其中x与1,3为△ABC的三边长，且x为整数.

人"T"44K、乙入IT

22.先化简,再求值:1一名+与言.求值时请在・2WxW2内取一个使原式有意义的x值(X为整数).

X।/X+4X+4

10

23.先化简（a+2-—三），再从1,2,3三个数中选择一个合适的数作为a的值代入求值.

2a—4a—2

24.先化简（含一土）+与，再从3,-3,-1,2中选一个合适的数作为'的值代入求值.

25,已知衿求b的值.

a+ba—ba2—b2

26.阅读理解.

【提出问题】已知:二喙求分式立的值.

432xy—xz

【分析问题】本题已知条件是连等式，可用设参数法,即设出

参数k,得出x,y,z与k的关系，然后再代入待求的分式化简即可.

⑴【解决问题】设则x=4k,y=3k,z=2k,将它们分别代入空叱中并化简，可得分式巴吐的值为

432,xy-xzxy-xz

⑵【拓展应用】已知色一衿，求分式去翳裳的值・

II

27.已知P=x+2,Q=—.

⑴当x=l时,P・Q的值为.

⑵当x>0时，判断P与Q的大小关系,并说明理由.

⑶设丫三一M求当x为非负整数时，y的整数值.

28.在一条河里，甲、乙两船从A港口同时同向逆流出发，分别航行1小时后立即原路返航，若甲船在静水中的

速度为V1,乙船在静水中的速度为V2,水流速度为Vo(V|>V2>Vo>O),甲、乙两船是否同时返回A港?为什么？

12

答案

2分式的运算

第1课时分式的乘除与乘方

1.C

2.D

3.C

4.A

5.A

6.C

7.解析—小乎=之名・=,甲负责的那一步正确；

X-11-XX-1X2

y・f=y・TH,乙负责的那一步错误；

x-lx£x—1x£

y•==上二・小，丙负责的那一步正确；

X-1X2X-1X2

・妥=（，丁负责的那一步错误.

・・・游戏过程中，乙、丁负责的那一步出现了错误.

故答案为乙、丁.

c/八4m2n2m

8.解析⑴中•嬴二藐,

工2-1

⑵一X=)(x+l)(x-l)X_X~1

X2+2X+1-^x(x+1)2X+1

2Q+3)

⑶=昌

a2-92a+6fa+3；(a-3)a-2

x2~6xy+9y2.2x~6yVx-3yJx(x+3y)1

(4)t•---------------=-X,

x2+3xy(x+3y)(x-3y)2(x-3y)2

2122x-2

9.解析

有£EFh(x+D(x・D=x+l

当x=3时，原式=空了=1

2.2a-4a+l

10.解析（1）原式=

a—1a2—1a—1(a—1)(a+l)

22(a-2)2(a—2)(a+l)2a2—2a—4

(2)V，，墨滴遮住的内容是2a2-2a.

a2-1a2—1

11.D

12.C

13.D

15.解析(1)V

Ax—4

x—3x2—9x+3

•(x+3)

13

-4

x-35

:.A=x-4.

⑵由题意可知xW±3且xW4,

当x=-3时，*无意义；

当x=3时,，■=」-，；

，x+33+36，

当I时,W=*W・

又』。，

・,・原式的计算结果不可能是和科

16.解析(1)设甲钢板所围铁片每米价格为x元，则乙钢板所围铁片每米价格为2x元,

由题意得知QT，"18解得a=7.

(2nax2x=42

(2)@甲钢板所受的压强p甲=-JPa.乙钢板所受的压强p乙=—£~,Pa.

n(a-l)n(a2—1)

••1<1■1——<2,即1<--<2.

a-lP乙

第2课时同分母分式的加减

(a+b)(a—b).

5.解析----------------=-a-b.

(1)a-b

2aI3t3。I1-2。-3_2a-2_2la-1)__2

a2—1a2—1a2—1(a—1)(a+1)a+1*

6.D

7.3(答案不唯一)

Ajjxr-2x38x22x3-8x22x2(x-4).,

8o.解析-----=-----=---------=2x2.

x—4X—4X—4X—4

当x=-3时，原式=2X(.3)2=2X9=18.

9.解析⑴・・©宏|,D=高，

X2+53X2+2

皿一后后1>0,

14

AC是D的“雅中式”，C关于D的“雅中值”为1.

(2)VM是N的“雅中式”，且M关于N的“雅中值”为3,

.*.M-N=3,

E2x.

—————=3

x+3x+3

p—Or

:.i—^=3,:.E-2x=3x+9,:.E=5x+9.

第3课时异分母分式的加减

1.A

2.x(x+l)

3.解析(1)分式高与•磊的最简公分母是a2b今

•1-b2_2a

**a2ba2b29ab2a2b2*

(2)Vx2-y2=(x+y)(x-y),x2+xy=x(x+y),

，两分式的最简公分母是x(x+y)(x-y),

・1______x________1_x-y

x2—y2x(x+y)(x—y)9x2+xyx(x+y)(x—y),

4.D

5.A

6.B

-b2—4ac

7・4a2

9.解析⑴原式=鸿丁47一胃7

12x2y212x2y2l2x2y2

_6y+8y2—9x

12x2y2,

(2)原式•卜/22

x，—yzxz—y£

x2—y2

xy+y2

y(x+y)

(x+y)(x—y)

:上.

x-y

(I)3+Z_3__3_卜」XT二_x_^_

10.解析=

X2-3XXX(X-3)XX(X-3)X(X-3)X(X-3)X-39

当X=-l时,原式二：、=一：•

-1-34

15

2222z

⑵原式nfm+n)2n_m-mn—mn—n+2n_(m—n)_m—n

m2—n2m2—n2m2—n2(m+n)(m—n)m+n

当m=2,n=3时，原式=震言"

m+n2+3S

11.D

12.A

14.解析原式会孙2xy_2xy

(x\y)(x—y)(x\y>(x—y>(x\y>(x—y)x2—y29

Vx2=2xy+y2,/.x2-y2=2xy,:.原式=§=1.

15解析⑴原式=上ia+3)-a-3)x+3—x+3________6

x+3-(X-3)(X+3)(X-3)(X+3)(X-3)(X+3)

（2不能为0,理由如下:

3X+2_3xX+2_2x_2_2小-1乙二

原式=

x-1x2—xx(x-1)x(x-1)x(x-1)~x(x-1)X9

・・・结果不会等于0.

16解析（1）由题意可得止W一:零,

/<2RK-KK

RR、

Ri-R

2RI2(Ri2，+4_c,4

⑵・.・R=2Q,/.R=

2/?!-2/?!-2

易知R1,R2均大于R,

,・*2为正整数,；・R1・2=1或Ri-2=2或Ri-2=4,

①当Ri-2=I时,RI=3,R2=6;②当Rr2=2时,由=4星2=4;

③当R,-2=4时,RI=6,R2=3.

17,解析(1)证明:,:a>b>0,m>0,・'.a-b>0,a+m>0,

•o+mbab+amab+bmm(a—b)

>•.........--=---------------

a+maa(a+m)a(a+m)a>a+m)

a+ma

(2)M<N.

证明:

/.l<a+l<a+b+l,l<b+l<a+b+l,

•aabb

♦♦-->,--->———.

1+a1+a+b1+b1+a+b

a,b、a,ba+b.“八1

+,>,+7,•*NI<N・

l+a1+b1+a+b1+a+b1+a+b

第4课时分式的运算

16

l.A

2.2

3.

X(1+x)

4.x-2

2xx-11

5.解析(1)

x2—1x—1(x+l)(x—1)(x+1)(x-1)x+1

X2+2X+1.x2—1

(2>

x+2-1x+2

xz+2x+l—x(x+1J(x—1)

x+2x—1

X-+X+1,,.

:---------l-x+1

x+2

xz+x+l+(x+2)(x+l)2X2+4X+3

x+2x+2

、2

x+1(x+2—1).x+1(x+2)_

6.解析⑴(一击):—•---------=X+2.

X2+4X+4X+2x+1x+2x+1

⑵扁+高)7n2+Zni+i

m—1+m+l(m+1)

-------------•---------

(m+1)(m—1)7n

2

2m(m+l)2fm+17

------------->---------=--------1

<j7i+l>(m—1)mm—1

7.解析任务一:四;分式的基本性质.

任务二:原式=(*—」A心一"

X—1x+17T2x

=旦・,x+lXxT，・.旦・次+―

x—12xx+12x

3(x+l)x—12x+4,

=----------——=------=x+2.

222

当x=-3时，原式=-3+2=・l.

任务三:答案不唯一，如去括号时不要漏乘，注意变号，结果要化成最简分式或整式.

8.A

9.—

x-y

10.6

11.4

12解析1+1+广+半

X—1x+1x2+lx4+l

(X+l)(X-l)2x4X3

=-------------+--------------11-;——

(x-l)(x+1)(x-1)(x+1)x2+lx4+l

上2x।2x]4—

XZ—1XZ+1*4+1

17

3

??3+2Y,4r

X4-1X4+l

4—+4/।4，一4/

(X4+l；Cx4-1；<X4+1>tx4-1；

13.解析原式:十著.六匕

(m—2)3(m—2).

----------•------------=3m.

Vm=(-l)2025=-l,/.原式=3X(-1)=3

+£”+2

14解法(、2・1)(—I)=(x+l)(x-l)(4?77)=(x+l)(x-l)•—=(x-1)(X+2)=X2+X-2,

人।X人।X4•X

当x=2时，原式=4+2・2=4.

2

15解析（含+1）・x—X_2+x-lx(x-1)

2

X+2X+1X—1(x+l)

14-XX(X—1)X

:•5'=•

X-l(X+l)N+l

2ab+b2、.2a+2b2ab+b2+a2a

16解析--------+a)V-------=------------

aaa2(a+b)

、2

(a-+--b--)------>-----a---------a=+b

a2(a+b)-2

Va+b-1=0,Aa+b=I,

(a+l)(a—l)

17.解析原式引

(a+l)2

(a—1)_1[.a+l_a(a—3).a+l_a2—3a

a+1a-ra-2~(a-¥l)(a~l)a-2~(a-1)(a-2)

Va+-=3,:.a2+l=3a,

a

:.a2.3a=-1,・••原式=——=-1.

-1+2

77727

AOAZJ4-E：2abbx.aba?2ab±bab(ab)ai>-z-x

18.解析(I——-)-r^-=-------2——・一-=——2—•一-=b(a-b),

a2a2ba2a-bci2a-b

V3ab-3b2-2=0,:.3b(a-b)=2,

；・b(a・b)q,；・原式=泉.

.x-i+i

19解析⑴A=FE7

x-l

a+i）（x-i）x+l

（2）二•分式好的值为0,

18

A|x1-3=0且x-3W0,，x=-3,

当x=-3W,A=—^―=—i

-3+12

^2a2+a_a+a+l(a+l)(a~1)

20.解析

a+l'a2—1a+la(2a+l)

_2a+l.(a+l)(a-l，二aT=]£

a+la(2a+l)aa'

Va(a-3)=(a-2)2,

・・・a2.3a=a2.4a+4,解得a=4,

当a=4时，原式=1—

44

21.解析原式="+(三—X+2)4

X2+2Xx+2x+4

(X—4)2.16—x2,1

=-------------+---

x(x+2)x+2x+4

、2

=--(X-—-4-)---------X-+-2-----+--1

X(X+2)—(X+4>(x—4)X+4

-------X-----4----1---1--=-----4-----,

X(X+4JX+4X(X+4)

Vx与1,3为4ABC的三边长,・・・2vxv4,

〈X为整数,；・x=3,・，.原式=为哈

・2X•2xz—4X2X(X^Z)X+2X—2—X-24

22解析1-"-------■----------------------1-----=------------=------•

x+2X2+4X+4x+22x(X-2)X—2X—2X-2

•••K#0,X+2W0,X・2#0,

••・xW0,x#±2,・、x=l或・1,

当x=l时，原式=—/—=4.

1—2

当=・1时，原式=

3-aa-2

23解析*-缶）喏

2a-4,(a+3)(a-3)

]