总体百分位数的估计课件2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

9.2.2

总体百分位数的估计

学习目标

1.通过类比中位数的定义和意义，能用自己的语言说出百分位数的一般定义，能准确解释“第p百分位数”在具体情境中的实际含义（即至少有p%比例的数据不超过它、至少有（1-p%）比例的数据不低于它）.

2.给定一组原始数据，能独立完成百分位数的计算（排序→计算索引→定位取值）.3.给定一幅频率分布直方图，能运用“面积累计法”准确估计指定的百分位数（第25、第50、第75、第80百分位数等），能阐述估计的原理和步骤.4.通过“制定用水阶梯价格标准”等真实决策情境，理解百分位数作为一种“位置度量”在现实决策中的独特价值.内容解析

核心问题：如何找到一个“分界值”，使不超过它的数据恰好占整体的一定比例？

第一层——从“二分”到“多分”：位置度量的推广。中位数将数据分成前后两半：至少50%的数据不超过它，至少50%的数据不低于它。百分位数是这一思想的自然推广：第p百分位数将数据按比例分割，至少有p%的数据不超过它，至少有(100-p)%的数据不低于它。这一推广体现了数学中“从特殊到一般”的思想方法——将二分法的一般化，获得更精细的位置描述工具。

第二层——百分位数刻画了数据分布的“门槛值”。如果说频率分布直方图给出了分布的“整体画像”，百分位数则为这幅画像标出了关键“刻度”。第10、第25、第50、第75、第90百分位数分别标记了分布的五个关键门槛——这些门槛在现实世界中对应着“低收入线”“下四分位”“中位”“上四分位”“高收入线”等具有明确政策含义的数值。百分位数的本质是在排序数据中寻找“分割点”，使分布信息由图像转化为可直接用于决策的数值。

内容解析

第三层——“至少p%”的定义蕴含着统计的“保守性”思维。百分位数的定义中使用的是“至少”而非“恰好”，这一措辞看似技术性细节，实则蕴含深刻的统计思想：当数据量较大或存在重复值时，“恰好p%”往往无法实现，使用“至少”确保了百分位数定义的普适性和唯一性。这种处理方式体现了统计学在面对现实数据时的务实态度——不追求绝对的精确切割，而追求逻辑上站得住脚的界定，这一思维方式对学生而言是全新的，也是本节数学本质的重要一面。

百分位数是位置量数，不受极端值影响，适合描述偏态分布的位置特征，统计中分位数分层、等级划定、阈值设定的通用数学模型。百分位数是可直接用于政策制定、标准划定、等级评价、阈值管控的量化工具，是统计知识从“数据分析”走向“现实决策”的关键桥梁问题1：体育老师统计了100名学生身高的频率分布直方图。现在，体育老师想选拔“身高位于前20%”的学生进入篮球队训练。怎么确定这个“门槛”身高？追问1：如何理解“身高位于前20%”的学生进入篮球队训练？

80%20%

【环节一】创设情境唤醒经验

80%20%

【环节一】创设情境——唤醒经验

①

把100个样本数据从小到大排序12345...8081...979899100数据1.31.31.82.02.0...13.613.8...24.324.525.628.0②

得到第80和第81个数据分别是13.6和13.8③

取这两数的平均数

【环节二】概念建构——本质深挖——百分位数是什么、怎么算百分位数的定义：

【环节二】概念建构——本质深挖——百分位数是什么、怎么算

百分位数不是单一数值计算，是数据有序排序后的比例分层阈值，双向约束保证了数据划分的公平性与严谨性.问题3：你能概括一下求百分位数的步骤吗？

【环节二】概念建构——本质深挖——百分位数是什么、怎么算例1从某珍珠公司生产的产品中，任意抽取12颗珍珠，得到它们的质量(单位：g)如下：7.9，9.0，8.9，8.6，8.4，8.5，8.5，8.5，9.9，7.8，8.3，8.0.(1)分别求出这组数据的第25，50，95百分位数；解:(1)将所有数据从小到大排列，得7.8，7.9，8.0，8.3，8.4，8.5，8.5，8.5，8.6，8.9，9.0，9.9，因为共有12个数据，所以12×25%＝3，12×50%＝6，12×95%＝11.4，则第25百分位数是

，第50百分位数是，第95百分位数是第12个数据，为9.9.

【环节三】算法建模——从原始数据计算百分位数常用的分位数还有第25百分位数，第75百分位数.这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数.其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等，第1百分位数、第5百分位数，第95百分位数和第99百分位数在统计中也经常被使用.25%第一四分位数(下四分位数)50%75%中位数第三四分位数(上四分位数)中位数：相当于是第50百分位数.

【环节二】概念建构——本质深挖——百分位数是什么、怎么算

根据9.1.2节问题3中女生的样本数据，估计树人中学高一年级女生的第25,50,75百分位数.

女生：例2

【环节三】算法建模——从原始数据计算百分位数例2

【环节三】算法建模——从原始数据计算百分位数估计树人中学高一年级女生的第25,50,75百分位数.例3.根据下表或下图,估计月均用水量的样本数据的80%和95%分位数.分析：统计表或统计图，与原始数据相比，它们损失了一些信息，例如由上表中可以知道在[16.2,19.2)内有5个数据，但不知道这5个数据具体是多少.此时，我们通常把它们看成均匀地分布在此区间上.

【环节三】算法建模——从频率分布直方图估计百分位数解：由表可知，月均用水量在13.2t以下的居民用户所占比例为23%+32%+13%+9%=77%.则13.2+3×=14.2,（小于80%）（大于80%）在16.2t以下的居民用户所占的比例为77%+9%=86%.因此，80%分位数一定位于[13.2,16.2)内类似地，由22.2+3×=22.95,可以估计月均用水量的样本数据的95%分位数约为22.95.可以估计月均用水量的样本数据的80%分位数约为14.2

【环节三】算法建模——从频率分布直方图估计百分位数线性插值

【环节三】算法建模——从频率分布直方图估计百分位数或应用方程的思想方法，设出百分位数，解方程可得

0.30.40.150.10.05xx-50

【环节三】算法建模——从频率分布直方图估计百分位数本节课你学习到了什么？（知识？方法？思想？）

【环节五】课堂小结——回顾提炼，升华认知2.