“商中寻零：三位数除以一位数（商中间有0）探究与突破”教学设计（小学三年级数学）

“商中寻零：三位数除以一位数（商中间有0）探究与突破”教学设计（小学三年级数学）

  一、理论依据与设计理念

  本节课的教学设计以建构主义学习理论为核心理论基石，同时深度融合《义务教育数学课程标准（2022年版）》的最新理念。建构主义强调，知识并非通过教师单向传递获得，而是学习者在特定的社会文化情境中，借助必要的学习资源，通过意义建构的方式主动获得。因此，本设计将摒弃传统的“讲授-模仿-练习”机械模式，致力于创设富有挑战性且贴近学生现实认知冲突的问题情境，引导学生亲身经历算法的探索、质疑、验证与优化的完整数学化过程。

  具体而言，本设计的核心理念体现为以下三个方面：一是“算法理解优先于算法熟练”。将教学重心从单纯训练计算速度与准确率，转向深度理解“为什么商的中间需要写0”这一算理本质。通过直观模型（如小棒图、方块图）、算式表征与数学语言表达之间的多重关联与转换，帮助学生构建关于“不够商1就商0”的深刻认知图式。二是“错误资源化”。预设并积极捕捉学生在探索过程中可能出现的典型错误（如漏写商中间的0、将0写在错误的数位上等），将这些错误视为揭示思维障碍、引发深度讨论、促进概念澄清的宝贵教学资源。三是“发展数感与运算推理能力”。本课内容不仅是除法计算技能的一个特殊节点，更是培养学生数感、发展逻辑推理能力的绝佳载体。通过引导学生分析被除数、除数和商之间的关系，特别是当被除数十位或百位不够除时商的位数与数字特点，提升其基于算理进行合理预测与判断的数学素养。

  二、学习者特征分析

  本节课的教学对象是小学三年级上学期的学生。经过前一阶段的学习，他们已经掌握了以下关键知识与技能：能够熟练进行表内乘法和相应的除法计算；理解了除法作为平均分和包含除的基本含义；掌握了两位数除以一位数的笔算方法，包括从被除数高位除起、除到被除数的哪一位商就写在哪一位上、余数必须比除数小等基本法则。同时，他们也初步接触了商末尾有0的除法。

  然而，学生的认知结构中尚存在以下可能的学习障碍：首先，从两位数除以一位数过渡到三位数除以一位数，数位的增加本身就带来了认知负荷。学生需要将已有的两位数除法算法迁移到三位数情境，并处理更高数位上的计算步骤。其次，本节课的核心难点——“商中间有0”的算理，与学生之前建立的“哪一位上有数就商几”的直观经验相冲突。学生容易产生疑问：“明明十位上有数字（即使是0），为什么不能直接跳过或忽略？”这种认知冲突是教学需要着力解决的关键点。最后，三年级学生的抽象逻辑思维仍处于初步发展阶段，对“0”在数位中所代表的“占位”意义的理解，需要借助具体、半具体的模型支撑，才能实现从直观到抽象的顺利过渡。他们的注意力持续时间有限，但对探究性、游戏化的学习活动有较高兴趣。

  三、教学内容与目标解析

  （一）教学内容深度解析

  本节课是冀教版小学数学三年级上册“两、三位数除以一位数”单元中的关键课时。在此之前，学生已经学习了整十、整百数除以一位数的口算，以及两位数除以一位数的笔算（包括能整除和有余数的情况），并初步接触了商末尾有0的除法。本节课的核心内容是三位数除以一位数时，当被除数十位上的数不够商1（即小于除数），需要在商的十位上写“0”占位的笔算方法。这是除法笔算规则中的一个重要特例，也是后续学习多位数除法，乃至小数除法中类似情况的基础。其算理本质是除法运算的连续性和数位原则的体现：每一步的除法都是基于当前被除数剩余部分与除数的比较，当某一位不够分得1个计数单位时，必须用“0”来占据该数位，以保证商的位置正确，确保计算的连续性。

  从知识结构看，它深化了“从高位除起”、“除到哪位商哪位”、“余数要比除数小”等基本计算法则，引入了“不够商1就商0”的新规则，是对除法计算体系的完善。从思想方法看，它渗透了位值制思想、化归思想（将复杂问题转化为已掌握的步骤）和程序化思想（严格按照计算步骤操作）。

  （二）教学目标

  基于以上分析，确立以下三维教学目标：

  1.知识与技能：

  （1）理解并掌握三位数除以一位数，商中间有0的除法的笔算算理和算法。

  （2）能够正确、规范地笔算商中间有0的三位数除以一位数，并能进行验算。

  （3）能够运用所学知识解决简单的实际问题，并解释计算结果的合理性。

  2.过程与方法：

  （1）经历探索商中间有0的除法计算方法的完整过程，通过动手操作（如分小棒、圈画图）、观察比较、讨论交流，主动建构新知。

  （2）学会利用估算、验算等方法判断计算结果的合理性，培养初步的检验意识和计算习惯。

  （3）在解决实际问题的过程中，发展分析数量关系、提出问题和解决问题的能力。

  3.情感、态度与价值观：

  （1）在克服认知冲突、解决计算难题的过程中，体验成功的喜悦，增强学习数学的信心。

  （2）养成认真、细致、严谨的计算习惯和独立思考、合作交流的学习态度。

  （3）感受数学与生活的联系，体会除法在解决实际问题中的应用价值。

  （三）教学重点与难点

  教学重点：理解“当被除数的某一位不够商1时，要商0占位”的算理，掌握商中间有0的除法的笔算方法。

  教学难点：理解“0”在商中间所起的占位作用，并能清晰表述计算过程；避免在计算中漏写商中间的0。

  四、教学策略与方法

  为有效达成教学目标，突破重难点，本设计将综合运用以下教学策略与方法：

  1.情境创设法：创设“学校跳绳队购买跳绳”的连贯性真实问题情境，贯穿探究、应用与拓展全过程，使数学学习具有现实意义和目的性。

  2.直观模型支撑法：充分利用小棒图（以百、十、一根为单位）、点子图或方格图等直观学具和表象，将抽象的笔算过程与具体的“分物”操作相对应，实现“分物-图式-算法”的有效勾连，化抽象为具体，助力算理理解。

  3.对比辨析法：精心设计对比性材料，例如：将被除数十位够除与不够除的情况进行对比；将正确算法与学生可能出现的典型错误算法（如漏0、商的位置错误等）进行对比。通过观察、讨论、辨析，突出关键步骤，澄清模糊认识。

  4.探究发现法：改变“告知-接受”的模式，将核心问题（如“十位上2除以4不够商1，怎么办？”）抛给学生，引导其以小组为单位，借助学具操作、旧知迁移展开自主探究和合作讨论，经历“发现问题-提出猜想-验证猜想-得出结论”的探究历程。

  5.讲练结合，及时反馈：在关键算理明晰后，设计有层次、有针对性的练习，从模仿巩固到变式应用，再到综合拓展。利用实物投影、同伴互评、即时评价等方式，对学生的学习过程与结果给予及时反馈，巩固算法，形成技能。

  6.信息技术融合：适时使用交互式白板或平板电脑，动态演示分物过程与竖式计算步骤的同步对应关系；利用反馈器进行全班快速检测，收集学情数据，实现精准教学。

  五、教学资源准备

  教师准备：多媒体课件（内含情境动画、动态分物演示、对比练习题组等）；交互式电子白板及书写工具；磁性小棒图或方块图教具；预设的学生典型错误案例卡片。

  学生准备：每小组一套小棒（可用橡皮筋捆成百、十根）或点子图学习单；常规文具（练习本、笔、尺子）。

  六、教学过程实施

  （一）创设情境，孕伏冲突（预计时间：5分钟）

  1.情境导入：课件出示学校跳绳队准备购买跳绳的图片和信息。“学校跳绳队为了备战比赛，计划购买一些新跳绳。体育老师带了612元去体育用品店，如果每根跳绳3元，可以买多少根？”

  2.复习激活：教师提问：“这是一个什么问题？怎样列式？”学生口答：612÷3。“这是我们学过的除法吗？我们之前主要学的是几位数除以一位数？”（回顾两位数除以一位数）。“请大家先估算一下，大约能买多少根？”引导学生估算：612≈600，600÷3=200，所以大约能买200多根。此环节旨在唤醒除法意义、估算意识，并为后续笔算结果的合理性判断埋下伏笔。

  3.尝试计算，引发冲突：“估算给了我们一个大致范围，要想知道精确结果，需要精确计算。请大家在练习本上尝试用竖式计算612÷3。”教师巡视，有意识寻找两种典型做法：一种是能正确计算（包括商中间有0）的；另一种是可能出现的错误，如直接将十位上的1落下来与个位2组成12再除，得出商24或类似错误。

  4.展示对比，聚焦问题：教师选择有代表性的正确竖式和错误竖式（隐去姓名）投影展示。提问：“观察这两个竖式，结果不一样。哪个对？哪个错？到底十位上的‘1’除以3，该怎么处理？这就是我们今天要一起攻克的难题。”板书课题：“商中寻‘零’——三位数除以一位数”。

  （二）操作探究，理解算理（预计时间：15分钟）

  1.动手操作，直观感知：

  （1）任务驱动：教师分发学具或学习单。“光看算式有点抽象，让我们请出老朋友小棒来帮忙。612用小棒怎么表示？”（引导学生用6大捆（每捆100根）、1小捆（每捆10根）和2根单根小棒表示）。

  （2）小组合作分一分：要求“请同学们以小组为单位，把这612根小棒，平均分成3份，看看每份是多少。边分边思考：你是先分什么？再分什么？遇到了什么情况？是怎么解决的？”

  （3）学生操作，教师巡视指导，重点关注学生分“百位”后，分“十位”时的处理。

  2.交流汇报，建立联系：

  （1）请一组学生上台演示分小棒的过程，并同步用语言描述。

  预计过程：先分6大捆（百位），每份分得2大捆（200根）。分完百位后，剩下1小捆（10根）和2根单根，合起来是12根？不，这里是一个关键点：剩的1小捆是“1个十”，无法直接与2个一合并。需要将1小捆拆开，变成10个单根，再和原有的2根单根合在一起，总共是12根单根。然后把这12根单根平均分成3份，每份得到4根单根。

  （2）教师追问：“在分十位的时候，1小捆（1个十）够平均分成3份吗？每份能分到整捆的吗？”（不够，每份分不到1个整十）。“那怎么办？”（必须拆开，化成更小的单位——10个一来分）。“在分的过程中，有没有哪一份在十位上是空着的、没有分到整十的？”（有，十位上没有分到整捆）。教师适时指出：这个过程在竖式计算中，就体现为“不够商1”。

  3.数形结合，算法抽象：

  （1）教师同步课件动态演示：将612的方块图（百、十、个）与竖式计算步骤一一对应。

  第一步：先分6个百，平均分成3份，每份2个百，在竖式百位上商2。分掉了6个百（2×3=6），没有剩余。

  第二步：把十位上的1落下来。问：“这1表示什么？”（1个十）。“1个十除以3，够商1个十吗？”（不够）。“不够商1怎么办？”学生可能会说“商0”。追问：“为什么商0？这个0写在什么位上？”强调：因为不够商1个十，所以在商的十位上写0占位，表示十位上分到了0个十。

  第三步：十位上的1个十没有分掉，怎么办？结合操作：把它和个位上的2合起来。在竖式中体现为：将十位上剩下的1（实际是1个十，即10）与个位落下来的2（2个一）合起来，是12。这里要强调“合起来”的意义是1个十和2个一合起来是12个一。

  第四步：12除以3，商4，写在个位上。4×3=12，全部分完，没有剩余。

  （2）引导学生完整口述计算过程：612除以3，从百位除起，百位上6除以3商2；十位上1除以3不够商1，商0；把十位上的1和个位上的2合起来是12，12除以3商4；结果是204。

  （3）对比验证：我们的计算结果204，与刚才的估算（200多）相符吗？符合。再用乘法验算：204×3=612。确认计算正确。

  4.讨论归纳，提炼法则：

  组织学生小组讨论：“通过刚才的研究，在笔算三位数除以一位数时，遇到被除数十位上的数比除数小，不够商1，该怎么办？”引导学生用自己的语言总结关键点：当除到被除数的某一位（这里是十位）不够商1时，就在这一位上面商0占位，然后把这一位上的数和下一位上的数合起来继续除。

  教师板书核心要点：某一位不够商1，就商0占位。

  （三）对比辨析，深化理解（预计时间：8分钟）

  1.变式对比，巩固新知：

  出示另一道题：632÷3。让学生独立尝试笔算。算完后，与612÷3进行对比。

  提问：“同样是三位数除以3，632÷3的商中间有0吗？为什么？”（没有，因为十位上是3，除以3够商1）。通过对比，强调“够除就商，不够除就商0”的条件判断，避免学生形成“只要看到中间数字小就商0”的刻板印象。

  2.错例分析，防患未然：

  课件出示几种预设的错误竖式，例如：

  错误一：漏写商中间的0，写成24。

  错误二：商中间的0写在了百位或个位上。

  错误三：十位不够除，直接把十位数字和个位数字写在一起除，但商的位置写错。

  组织学生充当“数学小医生”，诊断错误原因并改正。通过分析错因，如“忘记0占位”、“不明白0为什么要写在这个数位上”、“数位没有对齐”等，进一步巩固正确算法，强化规范书写意识。

  3.沟通联系，形成网络：

  提问：“我们今天学习的商中间有0的除法，和我们之前学的商末尾有0的除法（如120÷3），在计算方法上有什么相同和不同？”引导学生发现相同点：都是从高位除起，哪一位不够商1就商0。不同点：0出现的位置不同（中间或末尾）。从而将新知纳入已有的除法计算知识网络中，构建更完整的认知结构。

  （四）分层练习，应用提升（预计时间：10分钟）

  遵循由易到难、由仿到创、层层递进的原则设计练习。

  1.基础巩固层：“我会算”。

  （1）竖式计算：609÷3，824÷4，721÷7。重点关注十位或百位不够商1的情况，强调计算过程和书写规范。

  （2）森林医生：判断并改正竖式中的错误。集中针对本节课的易错点进行辨析。

  2.综合应用层：“我会用”。

  （1）解决问题：回到情境，变换数据。“如果体育老师带的钱可以买4元一根的跳绳，能买多少根？还剩多少元？”（数据设计为被除数十位是0或不够除的情况，如612÷4）。要求列竖式计算并验算，完整作答。

  （2）开放连线：将算式（如306÷3，312÷3，408÷4，412÷4等）与相应的商（102，104等）连线。考察学生快速判断商中间是否有0的能力。

  3.思维拓展层：“我能想”。

  （1）□里填几？6□2÷3，要使商的中间有0，□里可以填几？（0，1，2）。引导学生思考：要使商中间有0，被除数十位上的数必须小于3。沟通被除数、除数与商之间的关系。

  （2）挑战题：小明在计算一道三位数除以一位数的除法时，把被除数328错看成了382，结果得到的商比正确的商多3，但余数相同。请问除数和正确的商各是多少？此题为学有余力的学生设计，涉及除法各部分关系及错中求解，富有思维挑战性。

  （五）总结反思，评价延伸（预计时间：2分钟）

  1.总结收获：引导学生从知识、方法、体验等多维度进行课堂小结。“今天这节课，我们共同探索了什么？你学会了什么？在探索过程中，你印象最深的是什么？（可能是分小棒的操作，可能是发现错误的原因，可能是解决难题的快乐）计算时，要特别提醒自己和同学注意什么？”

  2.评价反馈：采用多元评价。教师点评学生课堂表现（探究的积极性、合作的成效、思维的深度等）。学生可以进行自我评价或小组互评。

  3.布置作业与延伸：

  （1）必做作业：完成课本相关练习题，包括计算和简单应用题。

  （2）选做作业（实践探究）：寻找生活中的实例，编一道需要用“商中间有0的除法”解决的实际问题，并解答。下节课与同学分享。

  （3）预习提示：思考“如果除到被除数的某一位，不仅不够商1，而且它和下一位合起来还是不够除，该怎么办？”为后续学习（商中间有0且有余数，或连续商0的情况）做铺垫。

  七、板书设计

  板书设计力求突出重点，清晰呈现探究过程与核心法则，形成结构化知识。

  主标题：商中寻“零”——三位数除以一位数

  左侧：探究区（与操作对应）

   612÷3=204

   分小棒过程简图：（图示百位分6捆，十位1捆拆开与个位2根合为12根再分）

  中间：算法区（规范竖式）

    2 0 4

   3) 6 1 2

    6

    ————

      1 （1个十，除以3，不够商1个十，商0占位）

      0 （0×3=0）

     ————

      1 2 （把十位的1和个位的2合起来，是12个一）

      1 2

      ———

       0

  右侧：法则区（提炼要点）

   •从高位除起，除到哪位商哪位。

   •哪一位不够商1，就在那一位商0占位。

   •然后把这一位和下一位的数合起来继续除。

   •计算要细心，验算保正确。

  八、教学特色与反思预评估

  （一）教学特色

  1.深度的算理探究：本设计将“商中间为什么要写0”这一核心问题作为教学逻辑起点，通过“情境冲突-操作感知-数形对应-算法抽象-对比辨析”的完整探究链条，引导学生亲历知识的形成过程，实现算理与算法的有机统一，避免机械记忆。

  2.有效的认知冲突管理：充分利用学生尝试计算中产生的不同结果作为认知冲突的源泉，并使之贯穿教学始终。在冲突中激发探究欲望，在解决冲突中建构新知，符合儿童的认知发展规律。

  3.多元表征的灵活转换：精心设计了“实物操作（小棒）-图形表征（点子图/动态演示）-符号运算（竖式）-语言描述”之间的多重转换活动，帮助学生在不同抽象水平的表征之间建立牢固联系，深化对位值制和计算程序的理解。

  4.错误资源的系统化利用：不仅预设典型错误，更在课堂