甘肃定西市渭源县2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷（试卷+解析）

甘肃省定西市渭源县2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项.

1.在下列各组图形中，一定相似的是（）

B，PQ

2.下列事件中，必然事件是（）

A.2025年有A个月

B.长江是我国最长的河流

C.打开电视，正在播放新闻

D.任意抛一枚均匀的硬币，正面朝上

3.二次函数y=（x-2『一6的最小值是（）.

A.-6B.2C.6D.-2

4.若点（1,2）在反比例函数>（%为常数，且4#0）的图象上，则上=（）

X

A.1B.2C.3D.4

5.如图，风力发电机的叶片在风的吹动下转动，使风能转化为电能.图中的三个叶片组成的图形绕着它的

中心旋转角。后，能够与它本身重合，则角a的大小可以为（）

A.90°B.150°C.120°D.135°

6.若关于x的一元二次方程一-2工+〃=0有实数根，则〃的取值范围是（）

X.a>\B.a<\C.a>\D.a<\

7.如图，正比例函数必=外气<0）的图像与反比例函数为=8■的<°）的图像交于力、目两点，点力

X

的横坐标为-1.当必<为时，X的取值范围是（）

8.如图，4与O。相切于点力，P。的延长线交。。于点C.AB//PC,且交。。于点出若

4P=30°，则/BCP的大小为（）

A.30。B.45°C.60°D.75°

9.如图，在V44C中，N4=800,AB=8,4C=6,将V/4C沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角

形与VN3C不相似的是（）

A

B・.

ncRC

BF-4.一气/?c

10.如图：菱形48CQ的对角线NC上有一动点尸，8P的长y关于点尸运动的路程X的函数图像如图，则

该菱形的面积为（）

D

二、填空题；本大题共6小题，每小题3分，共18分.

11.已知关于x的一元二次方程的一个根是2,写出一个符合条件的方程：.

12.为了解某花卉种子的发芽情况，研究所工作人员在相同条件下，对该花卉种子进行发芽试验，相关数据

记录如下:

种子总数100400800140035007000

发芽种子数91358724126431606400

发芽的频率0.910.8950.9050.9030.9030.914

根据以上数据，可以估计该花卉种发芽的概率为（结果精确到0.1）.

13.若。。的半径为5,OP=m,且点尸在。。外，则〃?的取值范围为.

14.己知点力（1,%），8（5,%）在反比例函数〉=々女=0）的图象上，如果%>为，那么〃的值为

X

（写出一个符合条件的9的值即可）.

15.若LABCs^DEF,且相似比为1:2,V48C的周长为10,则的周长为

16.如图，在平面直角坐标系中，点G，G……都在V轴正半轴上，点4在二次函数歹=f（x>0）的图

象上，以04，OG为邻边作平行四边形O44G，且OG二技％,延长G片与二次函数y=9（x〉o）

的图象交于点4；以G4，GG为邻边作平行四边形G482c2,且GC2=0G42,延长G4与二次

函数v=/（x>o）的图象交干点4……按此协律讲行下去，若点4的横坐标为1,则点4的坐标为

三、解答题：本大题共6小题，共32分.解答时，应写出必要的文字说明，证明过程或演

算步骤.

17.解一元二次方程：5X2-3X=X+1.

18.已知抛物线y=mx2—5x—2的对•称轴是直线x=l,求〃?的值和抛物线的解析式.

19.如图，在V44c中，ZACB=90°,BC=3,AC=4,将V/14c绕点。顺时针旋转90。得到

△EDC,连接4E,求V4。E的面积.

C

（1）请用无刻度的直尺和圆规作出圆心。（保留作图痕迹，不写作法）.

（2）若点后是力。的中点，连接O4CE.求证：四边形/1OCE是平行四边形.

21.小华和小亮到定西金逸影城看电影，4B,C,。四个放映室分别播放《731》《志愿军浴血和平》《流

浪人生》《刺杀小说家2》四部电影，他们各自任选一部电影进行观看，每部电影被选中的可能性都相同.

（1）小华选择《731》的概率为.

（2）用画树状图或列表的方法，求小华和小亮选择看同一部电影的概率.

22.如图，王先生想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为1600N,阻力臂长为0.5m.设动力为V（单位

N）,动力情长为x（单位：m）.（杠杆平衡时，动力X动力博=阻力X阻力臂，图中撬棍本身所受的重力

略去不计）

（1）求y关于x的函数表达式.

（2）当动力臂长为2m时，撬动石头至少需要多大的力？

（3）王先生若想使动力不超过310N,在动力臂最大为2.5m的条件下，他能否撬动这块石头？请说明理

由.

四、解答题：本大题共5小题，共40分,解答时，应写出必要的文字说明，证明过程或演

算步骤.

23.如果圆锥的底面半径是4,母线长是16,求这个圆锥侧面展开图的扇形的圆心角的度数.

24.如图，直线y=-x+4与坐标轴交于力，8两点，点M（2.）在直线力〃上，点N与点"关于V轴对

求〃的值.

x

（2）若线段被反比例函数y二人的图像分成两部分，且这两部分长度的比为1:3,求女的值.

x

25.如图，是V48C的外接圆，ZBAC=45°.过点。作。尸_L/8,垂足为E交/。于点。，交

。。于点尺过点尸作的切线，交C4的延长线于点G.

c

GF

(1)求证：FD=FG；

(2)若48=12,FG=\O,求OO的半径.

26.如图，在等腰直角三角形力BC中，N力=90。，BC=4,,点M是44的中点，点。和

点N分别是AC和BC上的动点.

(1)当点。和点N分别是4C和8C的中点时，求。的值；

(2)当〃=时，以C,。，N为顶点的三角形与△3MN相似，求8N的长.

27.如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=Qx2-2x+c(a=0)与x轴交于点力和点8,与歹轴交于点

(2)如图2,连接占C,点。为直线6c卜.方抛物线上的动点，求△PAC面积的最大值及此时点『的坐

标；

(3)如图3,将抛物线^二。—-2工+。(。。0)先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到

新的抛物线产，在抛物线"的对称轴上有一点Q,坐标平面内有一点石，使得以8,C,D,E为顶点

的四边形是矩形，求点E的坐标.

甘肃省定西市渭源县2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项.

1.在下列各组图形中，一定相似的是（）

A・7口口口C.2D.QC

【答案】D

【解析】

【分析】根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案.

【详解】解：A.形状不相同，不符合相似图形的定义，此选项不符合题意；

B,形状不相同，不符合相似图形的定义，此选项不符合题意：

C.形状不相同，不符合相似图形的定义，此选项不符合题意；

D.形状相同，但大小不同，符合相似图形的定义，此选项符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查的是相似图形的定义，即图形的形状相同，但大小不一定相同的两个图形是相似图形，

掌握相似图形的定义是解题的关键.

2.下列事件中，必然事件是（）

A.2025年有13个月

B.长江是我国最长的河流

C.打开电视，正在播放新闻

D.任意抛一枚均匀的硬币，正面朝上

【答案】B

【解析】

【分析】必然事件是指在一定条件下一定会发生的事件.选项力是不可能事件，因为一年只有：2个月：选

项B是事实，总是成立；选项C和。是随机事件，不一定发生.

本题考查了事件的分类，熟练掌握定义是解题的关键.

【详解】解：•・•必然事件是必定会发生的事件，

A中一年只有12个月，不可能有13个月，为不可能事件；

B中长江是我国最长的河流，是客观事实，必然发生；

C中打开电视可能播放新闻或其他节目，为随机事件；

D中抛硬币可能正面或反面朝上，为随机事件.

・•・只有B是必然事件.

故答案为：B.

3.二次函数》二（%-2『一6的最小值是（）.

A.-6B.2C.6D.-2

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查二次函数的顶点式的图像和性质.熟悉对于二次函数的顶点式

>二。（工一力）2+攵①00）,当。>0时，抛物线开口向上，函数在顶点仇攵）处取得最小值h是解题的

关键.

根据二次函数的顶点式y+攵伍工0）和〃〉0,得到顶点处的函数值攵即为最小值.

【详解】解：•：y=（x-2）2-6的顶点坐标为（2,-6）,且二次项系数为1>0,

：•当义=2时，y取最小值一6.

故选：A.

4.若点（1,2）在反比例函数y=g（攵为常数，旦女。0）的图象上，则女=（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握知识点是解题的关键.

将已知点的坐标代入反比例函数解析式，直接计算即可求出k的值.

【详解】解：•••点（1,2）在反比例函数y=2（左为常数，且〃工0）的图象上，

X

kk

，将x=l,y=2代入y=—,得：2=—

x1

解得：k=2,

故选:B.

5.如图，风力发电机的叶片在风的吹动下转动，使风能转化为电能.图中的三个叶片组成的图形绕着它的

中心旋转角a后，能够与它本身重合，则角a的大小可以为（）

3

A.90°B.150cc.120°D.135°

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了旋转的性质，根据图象判断旋转角度是解题关键.

根据图象，判断两个相邻叶片之间的度数，再逐项判断是否与该度数相同即可.

【详解】解：由图象可知，相邻两个叶片之间的度数为360。+3=120。，

故该图形旋转120。或其整数倍，能够与它本身重合，

故选：C.

6.若关于X的一元二次方程工2一2工+4=0有实数根，则4的取值范围是（）

X.a>\B.a<\C.a>\D.a<\

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了一元二次方程Qf+6x+c=0（。工0,”，b,c为常数）根的判别式.当△〉（），方

程有两个不相等的实数根：当A=0,方程有两个相等的实数根；当A<0,方程没有实数根.

根据一元二次方程有有实数根，满足△="-4碇20,解答即可.

【详解】解：•・•关于x的一元二次方程2x+〃=0有实根，

A=Z>2—4ac=4—4«>0»

解之，得.

故选:B.

7.如图，正比例函数乂=4工（匕<0）的图像与反比例函数%=%（七〈0）的图像交于小E两点，点力

的横坐标为-1.当必<以时，x的取值范围是（）

A.x<-1或x>1B.x〈一1或

C.—lvx<0或x>lD.-1<x<0^0<x<\

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查由函数图像解不等式，熟练掌握不等式与函数图像的关系是解决问题的关键.根据不等

式与函数图像的关系，当乂时，入.的取值范围是指反比例函数在一次函数上方图像对应的x的取值范

围，数形结合即可得到答案.

【详解】解：由图可知，正比例函数必=力（尢<0）的图像与反比例函数必=，化<0）的图像相交于

45两点，点力的横坐标为-1,

・••点4的横坐标为1,

.•.当一1vx<0或x>1时，有反比例函数图像在一次函数图像上方，

即当必时，x的取值范围是-l<xvO或x>l，

故选：C.

8.如图，尸4与OO相切于点儿尸。的延长线交。。于点C.AB//PC,且交。。于点&若

NP=30。，则4BCP的大小为（）

A.30°B.45°C.60°D,75°

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查切线的性质，等边三角形的判定和性质，连接。1,0B,切线得到04_LZP,求出

ZP^=90°-30°=60°,平行，得到NPO4=NO48=60。，进而得到V408为等边三角形，推出

"OC为等边三角形，即可得出结果.

【详解】连接04,OB,则：OA=OB=OC,

•・・「力与。0相切于点/1,

・•・0ALAP,

•・•ZP=30°,

・•・/00/=90。-30。=60。，

VAB//PC,

・•・APOA=ZOAB=60°,

:.YAOB为等边三角形，

・•・4A0B=60°,

・•・Z.BOC=180°-NPOA-NAOB=60°,

・•・48OC为等边三角形，

・•・/8CP=60。,

故选C.

9.如图，在V/3C中，乙4=80°,48=8,力C=6,将VZ4C沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角

形与V/I3C不相似的是（）

【答案】C

【《祸斤】

【分析】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法.

根据相似三角形的判定方法••判断即可.

【详解】解：选项A、根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可，本选项不符合题意；

选项B、根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可，本选项不符合题意；

选项C、不满足相似三角形的条件，本选项符合题意；

选项D、根据两边成比例夹角相等两三角形相似判断即可，本选项不符合题意，

故选：C.

10.如图：菱形48C。的对角线NC上有一动点尸，8。的长关于点尸运动的路程N的函数图像如图，则

该菱形的面积为（）

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了函数图象，菱形的性质，点到直线的距离，逢接4"，根据函数图象知当8尸_L4C时,

BP=6,-JC=8,即可得到8。=12,根据菱形的面积公式即可求解.

2

【详解】解：连接8Q,交BD于点、O,

由函数图象知当5P1/C时，BP最短,

此时80二6,即8。=6,彳0=8,

二.BO=12,/C=16,

该菱形的面积为：-ACBD=96,

2

故选：D.

二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.

II.已知关于x的一元二次方程的一个根是2,写出一个符合条件的方程：.

【答案】X2-4=0（答案不唯一）

U新斤】

【分析［本题考查的是一元二次方程的解•，有一个根是2的一元二次方程有无数个，只要含有因式工-2的

一元二次方程都有一个根是2,写出一个符合条件的方程就行.有一个根是2的一元二次方程有无数个，写

出一个符合条件的方程就可以.

【详解】解：形如*-2）（&丫+〃）=0的一元二次方程都含有一个根是2,

所以当6=2时，可以写出方程：X2-4=0.

故答案可以是：x2-4=0（答案不唯一）.

12.为了解某花卉种子的发芽情况，研究所工作人员在相同条件下，对该花卉种子进行发芽试验，相关数据

记录如下：

种子总数100400800140035007000

发芽种子数91358724126431606400

发芽的频率0.910.8950.9050.9030.9030.914

根据以上数据，可以估计该花卉种发芽的概率为（结果精确到0.1）.

【答案】0.9

【解析】

【分析】仔细观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在0.9左右，从而得出结论.

【详解】解：•.•观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在0.9左右，

•••该花卉种发芽的概率为0.9,

故答案为：0.9.

【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率.

13.若。。的半径为5,OP=m,且点尸在。。外，则〃?的取值范围为.

【答案】m>5

【解析】

【分析］根据点在圆外时，点到圆心的距离大于半径，即可求出〃，的取值范围.

【详解】解：OO的半径为5,0尸=〃7,且点P在。O外，

0P>5,即机>5.

14.已知点4（1,必），8（5,%）在反比例函数丁二々攵=0）的图象上，如果必〉乂，那么左的值为

X

（写出一个符合条件的人的值即可）.

【答案】1（答案不唯一）

【解析】

【分析】本题考杳了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数的性质，由点力和点夕的横坐标大

小关系及y>%，可知函数图象在每个象限内y随工的增大而减小，故人>0.

【详解】解：•••点力（1,必），矶5,%）在反比例函数歹=与左=0）的图象上，月.iv5,乂>必，

，在同一象限内，y随工的增大而减小，

.•.攵>0,

.次可取任意正数，如k=l.

故答案为：1（答案不唯一）.

15.若且相似比为上2,V4BC的周长为10,则SEE的周长为.

【答案】20

【解析】

【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形的周长比等于相似比，由此可求解.

【详解】解：•••△48Cs△。用，且相似比为1：2,

・•・MABC的周长与QEF的周长的比为1:2,

・・・V48c的周长为10,

・•・的周长为20,

故答案为：20.

16.如图，在平面直角坐标系中，点£,C2……都在V轴正半釉上，点同在二次函数歹=/（尢>0）的图

象上，以。4，OG为邻边作平行四边形O4&G，且OG=6o小延长G4与二次函数歹=/（x>0）

的图象交于点4；以G4，GG为邻边作平行四边形G482c2,且GC2=J5G4,延长G为与二次

函数〉二"2（%>0）的图象交于点次……按此规律进行下去，若点4的横坐标为1,则点4的坐标为

【答案】(6,36)

【解析】

【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，平行四边形的性质，两点间的距离公式，可求出

4。』)，=则可计算出。G的长度，得q(o,2),利用平行四边形的性质及两直线平行，其解

析式的系数左相等的特性，可知直线C片解析式，则可求得4(2,4),同理可求得4(3,9),进而得到

4(〃，〃2)，据此可得答案.

【详解】解：・・・4的横坐标为1,且在>=/(1>o)图象上，

.­•4(1,1),

・•・OAi--Of+(1-0)2-y/2，

设直线的解析式为y=云，则1=hl,即〃=1

・•・直线的解析式为卜=工，

又1•OG=亚。4

OC}=5/2x5/2=2,

AC,(0,2)；

・.・。4"G为平行四边形，

可设直线G4解析式为y=x+〃，则2=0+6,即6=2,

・•・直线CM解析式为y=x+2,

y=x+2

联立《

y=x2

x=2x=-\

解得…或i(舍去),

y=l

・・.4(2,4),

・•・CM=7(2^0『+(4-2『=2&，

:.GG=yf^C]A2—4,

AC2(O,6),

同理可得直线解析式为

C2B2y=X+6,

V=X4-6

联立《

y=x2

x=3x=-2

解得一或…（舍去）’

・•・4(3,9),

以此类推，可知/“（〃,二）,

.・・4（6,36）

故答案为：（6,36）.

三、解答题：本大题共6小题，共32分.解答时，应写出必要的文字说明，证明过程或演

算步骤.

17.解一元二次方程：5X2-3X=X+1.

【答案】

x]=——,x2=1

【解析】

【分析】本题考查了用因式分解法解一元二次方程，解题关键是理解并掌握常用的解一元二次方程的方

法.直接用因式分解法即可得到答案.

【详解】解：5?-3x=x+b

整理，得5.一-4》-1=0,

/.(5x+l)(x-l)=0,

二5x+1=0或x—1=0

18.已知抛物线y=〃a2-5工-2的对称轴是直线工=1,求机的值和抛物线的解析式.

55

【答案】〃？=一，y=-x~-5x-2

22

【解析】

【分析】本题考查抛物线的对称轴，掌握抛物线的对称轴与解析式中系数的关系是解题关键.

根据抛物线的对称轴公式X=-2,代入求解即可得到机，再代入机的值，即可得到抛物线的解析式.

2a

【详解】解：抛物线y=mx2-5x-2的对称轴为直线x=l,

=1,

2〃7

解得加=2,

2

二.抛物线的解析式为y=-x2-5x-2.

19.如图，在V48c中，ZACB=90°,BC=3,4c=4,将V4BC绕点。顺时针旋转90。得到

△EDC,连接力E,求V/OE的面积.

C

【答案】2

【解析】

【分析】利用旋转性质求出各对应线段长度，利用面积公式解答即可.

【详解】解：在V力BC中，ZACB=900,BC=3,AC=4,将V4BC绕点。顺时针旋转90。得到

△roc,

•••/4"=90。，CE=AC=4,CD=BC=3,

'.AD=AC-CD=\,

，

.-.5iziL^c=-2JDC£=-2xlx4=2.

20.如图，四边形48CO是平行四边形，以8C为直径的圆交4。于点E.

（1）请用无刻度的直尺和圆规作出圆心。（保留作图痕迹，不写作法）.

（2）若点E是力。的中点，连接O4CE.求证：四边形4OCE是平行四边形.

【答案】（1）作图见详解（2）证明过程见详解

【解析】

【分析】本题主要考查圆的基本性质，尺规作垂线，平行四边形的判定和性质，掌握以上知识是关键.

（1）运用尺规作直径3c的垂直平分线即可；

（2）根据平行四边形的性质结合题意得到力E||OC,AE=-ADOC=-BC,即力七=0。，由一组

2y2

对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求证.

【小问1详解】

解：如图所示，

•••BC是直径，

.•.运用尺规作直径BC的垂直平分线交BC于■点O,

•・•点。即为所求点的位置；

【小问2详解】

证明：如图所示，

ED

•••匹边形45co是平行四边形,

：.AD^BC,AD=BC,

•.•点O,E分别是BC,AD的中点，

AE||OC,AE=-AD,0C=-BC,即力£=0C,

22

•••匹边形AOCE是平行四边形.

21.小华和小亮到定西金逸影城看电影，J,B,C,。四个放映室分别播放《731》《志愿军浴血和平》《流

浪人生》《刺杀小说家2》四部电影，他们各自任选一部电影进行观看，每部电影被选中的可能性都相同.

(1)小华选择《731》的概率为.

(2)用画树状图或列表的方法，求小华和小亮选择看同一部电影的概率.

4

1

2

4-

【解析】

【分析】本题主要考杳了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率计算公式是解题的关键.

(1)根据概率计算公式求解即可；

(2)先画树状图得到所有等可能性的结果数，再找到小华和小克选择看同一部电影的结果数，最后根据概

率计算公式求解即可.

【小问1详解】

解：•・•一共有四部电影，且每部电影被选择的概率相同，

・••小华选择《731》的概率为

【小问2详解】

解：I网树状图如下：

由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中小华和小亮选择看同一部电影的结果有4种,

41

・•・小华和小亮选择看同一部电影的概率为h.

164

22.如图，王先生想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为1600N,阻力臂长为0.5m.设动力为V（单位

N）,动力普长为x（单位：m）.（杠杆平衡时，动力X动力臂=阻力X阻力臂，图中撬棍本身所受的重力

略去不计）

（1）求y关于x的函数表达式.

（2）当动力臂长为2nl时，撬动石头至少需要多大的力？

（3）王先生若想使动力不超过310N,在动力臂最大为2.5m的条件下，他能否撬动这块石头？请说明理

由.

【答案】（1）y=—

x

（2）撬动石头至少需要400N的力

（3）不能撬动这块石头，理由见解析

【解析】

【分析1本题考查反比例函数的应用，根据题意中给出的等式，表示出两变量之间的关系是解题关键.

（1）根据杠杆定理的等式，表示出x与y的关系即可：

（2）代入x=2,求此时y的值即可；

（3）根据x的取值范围，求出y的取值范围，与王先生的要求进行比较即可.

【小问1详解】

解：由题意可得孙=1600x0.5=800,则卜=^^,

x

.•.），与X的函数表达式为^=&.

X

【小问2详解】

当x=2时，歹=目”二400,

「•当动力臂长为2m时，撬动石头至少需要400N的力.

【小问3详解】

他不能撬动这块石头,

800

理由如下:y=----

x

又70<工W2.5,

根据反比例函数的增减性,

v^>320>310,

・..他不能撬动这块石头.

四、解答题：本大题共5小题，共40分.解答时，应写出必要的文字说明，证明过程或演

算步骤.

23.如果圆锥的底面半径是4,母线长是16,求这个圆锥侧面展开图的扇形的圆心角的度数.

【答案】90°

【解析】

【分析】本题主要考查了求圆锥侧面展开图的塌形的圆心角度数，圆锥的底面圆周长等于其侧面展开图的

扇形弧长，据此根据弧长公式建立方程求解即可.

【详解】解：设这个圆锥侧面展开图的扇形的圆心角的度数为“。，

~小c/兀，•16

由题意得，2HX4=———,

180

解得〃二90,

・••这个圆锥侧面展开图的扇形的圆心角的度数90。.

24.如图，直线y=-x+4与坐标轴交于力，8两点，点."(2,〃!)在直线力8上，点N与点用关于V轴对

称.

(1)若点N在反比例函数歹=与的图像上，求上的值.

x

(2)若线段被反比例函数"的图像分成两部分，且这两部分长度的比为1:3,求人的值.

x

【答案】(1)-4

(2)—2或2

【解析】

【分析】本题是反比例函数与一次函数综合，掌握一次函数与反比例函数的性质，分类讨论是解题的关键.

（1）利用点在函数图像上的特点求出机，根据点N与点“关于丁轴对称得到点N的坐标，代入反比例函

k

数了=一即可解答;

（2）利用点的对称点的坐标特点求出N点的坐标，线段A/N被反比例函数歹二一的图像分成两部分，并

x

kND1

且这两部分长度的比为1:3,设反比例函数y二—的图像与线段A/N交点为Q,分两种情况——二不或

xDM3

ND二3计算即可.

DM

【小问1详解】

解：•.•A/（2,机）在直线》=-工十4的图象上,

..阳=-2+4=2,

••点N与点A/关于V轴对称,

•・N(-2,2),

••点N在反比例函数y二一的图喙上,

x

,乙1—29

♦/=—4；

【小问2详解】

•・/(-2,2),

..MN=4,

k

.•线段MN被反比例函数y=-的图像分成两部分，并且这两部分长度的比为1:3,

x

k

设反比例函数y=—的图像与线段A/N交点为。,

x

八、，ND14ND1

①当----=一时，即nn：----=-,

DM3MN4

:.ND=\,

.*.£>(-1,2),

Z:=-1x2=-2,

・•.D（l,2）,

/.Z:=1x2=2.

故上的值为一2或2.

25.如图，0。是V4BC的外接圆，ZBAC=45°.过点。作。尸_L48,垂足为E,交4C于点力，交

0。于点足过点尸作。。的切线，交。力的延长线于点G.

(1)求证：FD=FG；

(2)若45=12,FG=10,求。。的半径.

13

【答案】（1）见解析（2）。。的半径为一

2

【解析】

【分析】（1）根据垂直，切线的性质得到4811G夕，可得AO/G是等腰直角三角形，由此即可求解;

（2）根据垂径定理得到力■阴・6,V/1QE是等腰直角三角形,由（1）得到正。二10,则七/二4,

如图所示，连接6M,设。E=x，则Ob=OE+E/=x+4=O4,由此勾股定理即可求解.

【小问1详解】

解：•：DFA.AB,G/是。。的切线，即。R1GP,

:.AB\\GF,

.•./84C=NG=45。，

:"FDG=90°-45°=45°,即△。yG是等腰直角三角形，

:.FD=FG；

【小问2详解】

解：48,

；"E=RE==4R=6,

2

VZBAC=45°,

ZADE=90°-45°=45°,即VAQE是等腰直角三角形，

EA=ED=6，

由(1)得FD=FG=10,

.'.EF=DF-DE=\0-6=4,

如图所示，连接04,设O£=x,则Ob=O£+£/=x+4=O4,

・••在RtZ\/OE中，OA2=AE2-i-OE2»

.,.(x+4)2=62+x2,

解得，x=-,

2

.-.0A=x+4=-+4=—,

22

13

•••OO的半径式.

2

26.如图，在等腰直角三角形片3c中，Z^=90°,8c=4,/。=,点M是48的中点，点。和

点N分别是AC和6c上的动点.

（1）当点。和点N分别是力。和8C的中点时，求。的值;

（2）当〃=加时，以C,D,N为顶点的三角形与△3MN相似，求3N的长.

【答案】（1）a=—

2

（2）BN的长为3-册

【解析】

【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质和线段的中点的定义解答即可;

（2）没BN=x,则4。=缶，CN=BC—BN=4—x,利用等腰直角三角形的性质得到

BM=LAB3,再利用相似三角形的性质解答即可.

2

【小问1详解】

解：•・•三角形力8C为等腰直角三角形，ZJ=90°,BC=4,

・•・Z5=ZC=45°,

…人生=四"也.

BC42

；・AB=AC=2y[i；

•・•点。是AC的中点,点N是8c的中点,

BN」BC=2,

AAD=-AC=yf2t

22

VAD=aBN,

ADy/2

a=-----=-----;

BN2

【小问2详解】

解：•：a=6,AD=aBN,

・・・,4Q=&8N，

设BN=x,则/。=缶，CN=BC-BN=4-x,

•・•等腰直角三角形48C,ZA=90°,BC=4,

°：AB=AC=2CD=AC-AD=2yf2-y[2x^ZZ?=ZC=45°,

•・•点M是/b的中点,

:・BM=>AB=6,

2

CDCN

①当△CDNs^MN时，可得：——=—

BMBN

272-721-4-£此方程无解,

=>不符合题意;

V2x

L>YJTX

②当KNDSABMN时,可得J二——

BMBN

,4-x_2^2-y/2x

5/2X

解得：x=3+V5（不符合题意，舍去）或X=3-J5,

・•・BN=3-亚，

综上可得，BN的长为3-下.

27.如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=。/-2%+。（。=0）与x轴交于点力和点8,与V轴交于点

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图2,连接8C,点尸为直线6c下方抛物线上的动点，求△P8C面积的最大值及此时点产的坐

标:

（3）如图3,将抛物线>2X+C（QH0）先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到

新的抛物线产，在抛物线"的对称轴.上有一点Q，坐标平面内有一点£,使得以“，C,D,E为顶点

的四边形是矩形，求点E的坐标.

【答案】（1）y=x2-2x-3

27（315、

（2）△26C面积的最大值为一，P—

8U4J

Z或…加

（3）存在，点E的坐标为（5,-2）或或1,—

X2

【解析】

【分析】（1）利用对称轴公式可得一1=1,再结合点。的坐标利用待定系数法求解即可；

2a

（2）先解得直线8c的解析式为y=x-3,设产（区标一2。一3）,〃（凡〃-3）,得到的PM的值，当

时，PM最大,进而根据三角形的面积公式，即可求解；

2

（3）分情况讨论，当3C为矩形一边时，且点。在％轴的下方：当4C为矩形一边时，且点。在x轴的

上方：当3c为矩形对角线时，分别求解即可.

【小问1详解】

解；•••抛物线丁=a1-2