期末复习：一次函数核心知识必考题训练（35题）-八年级数学下学期（人教版）解析版

一次函数核心知识必考题训练（35题）

题型一：函数图像

1.如图，小颖依据所在城市2021年8月16日连续12个小时的风力变化情况，画出了风力

随时间变化的图象，根据图象进行判断，下列说法正确的是（）

B.在8时至12时，最大风力为5级

C.风力在5级以上持续时间约为3.5小时

D.8时至14时，风力不断增大

【分析】根据函数图象可以判断各个选项中的结论是否止确，本题得以解决.

【解答】解：由图象可得，

20时风力最小，故选项A不合题意；

在8时至12时，风力最大为4级，故选项8不合题意，

在13时至16.5时，风力在5级以上，即风力在5级以上持续时间约为3.5小时，故选项

C符合题意；

8时至II时，风力不断增大，11至12时，风力在不断减小，在12至14时，风力不断

增大，故选项。不合题意，

故选：C.

【点评】本题考杳函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解

答.

2.小开家、加油站和湿抱公园依次在同一直线上.端午节期间，小开一家从家出发开车前

往湿地公园游玩，经过加油站时，加满油后继续驶往FI的地.汽车行驶路程（千米）与

汽车行驶时间x（分钟）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（）

C.汽车加油后的速度比加油前快

D.小开家距离湿地公园45千米

【分析】根据函数图象可以判断各个选项中的结论是否正确，本题得以解决.

【解答】解：由题意可知，汽车经过30分钟到达加油站，故选项A不合题意；

汽车加油时长为40-30=10（分钟），故选项8不合题意；

汽车加油后的速度比加油前慢，故本选项符合题意；

小开家距离湿地公园45千米，故选项。不合题意；

故选：C.

【点评】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解

答.

3.如图，曲线表示一只蝴蝶在飞行过程中离地面的高度/?（/«）随&行时间/（s）的变化情

况，则这只蝴蝶飞行的最高高度约为（）

【分析】根据函数的图象的最高点对应的函数值即可得出答案.

【解答】解：观察图象，当，=3时，仁13,

・••这只蝴蝶飞行的最高高度约为13,〃，

故选：Q.

【点评】本题考查了函数的图象，掌握函数的图象的最高点对应的函数值即为这只蝴蝶

飞行的最高高度是解题的关键.

4.小宇家离学校23?，某天她上学骑自行车，先骑了5分钟，因故停留10分钟，接着乂骑

行了5分钟，下面哪一个图象能大致描述去学校过程中离学校的距离s（km）和所用时

间/（分）之间的关系是（）

5（千米）

B.051。1520M分钟）

（千米）

2

1

D°5IOI52O

【分析】根据题意分析可得：他去学校过程中离学校的距离s（千米）与所用时间，（分）

之间的关系有3个阶段；（1）骑了5分钟，距离s减小：（2）因故停留10分钟，距离

s不变；（3）继续骑了5分钟，距离s继续减小，直到为0.

【解答】解：因为小宇家离学校2千米，某天她上学骑自行车，先骑了5分钟，因故停

留10分钟，接着又骑行了5分钟，

所以图象应分为三段，

因为离学校的距离随骑行时间减小.

故选：C.

【点评】本题考查了函数的图象，要求正确理解函数图象与实际问题的关系，理解问题

的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小，通过

图象得到函数是随自变量的增大或减小的快慢.

5.如图是自动测温仪记录的图象，它反映了某市的春季某天气温T如何随时间/的变化而

变化.下列从图象中得到的信息错误的是（）

A.4点时气温达最低

B.14点到24点之间气温持续下降

C.0点到14点之间气温持续上升

D.14点时气温达最高是8c

【分析】应用函数图象中的信息进行判定即可得出答案.

【解答】解：4.由图象可得，4点时气温达最低为-3C,所以A选项从图象中得到的

信息正确，故A选项不符合题意：

B.由图象可得，14点到24点气温持续下降，所以8选项从图象中得到的信息正碓，故

8选项不符合题意；

C.由图象可得，。点到4点气温持续下降，4点到14点气温持续上升，0点到14点气

温先下降再上升，所以C选项从图象中得到的信息不正确，故。选项符合题意;

D.由图象可知，14点时气温最高是8C,所以。选项从图象中得到的信息正确，故。

选项不符合题意.

故选：C.

【点评】本题主要考查了函数图象，准确理解题目所给函数图象中所给信息进行求解是

解次本题的关键.

题型二：函数自变量取值范围

6.函数），=4£彳中自变量”的取值范围是（）

A.B.工20C.xWOD.

【分析】根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案.

【解答】解：

故选：A.

【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题

的关键.

7.函数），=技丁7+」」的自变量的取值范围是工2工且xr2.

x-22

【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式组求解即可.

【解答】解：由题意得,2%-120且X-2W0,

解得：且

2

故答案为：且xH2.

2

【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握分式和二次根式有意义的条

件是解题的关键.

8.函数的自变量X的取值范围是（)

X2-9

A.xW±3B.xW_2C.xW3D.X2・2且x±3

【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为。列出不等式，解不等式得到答

案.

【解答】解：由题意得：x+220且』-9W0,

解得：-2且xW3,

故选：D.

【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负

数、分母不为。是解题的关键.

9.函数）=x-1的自变量x的取值范围是)

A.B.且.寸2

C.x>\D.x可取任意实数

【分析［根据二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不等于。即可得出答案.

【解答】解：••"-120且

・・・91且xW2,

故选:B.

【点评】本题考杳了函数自变量的取值范围，掌握二次根式的被开方数是非负数，分式

的分母不等于。是解题的关键.

10.已知函数则自变量x的取值范围是（）

V4-x

A.x<4B.xW4C.x<4,且xW3D.XW4,且x¥3

【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答

案.

【解答】解：由题意得：4-x>0,

解得：x<4,

故选：A.

【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负

数.分母不为。是解题的关键.

题型三：一次函数的图像

11.若一次函数丫=履+〃的图象经过点A（2,0）,点8（0,-3）,则该函数图象不经过

的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【分析】描点、连线，画出函数图象，观察函数图象可得出该函数图象不经过第二象

限.

【解答】解：描点、连线，画出函数图象，如图所示.

・••该函数图象不经过笫二象限.

【点评】本题考查了一次函数的图象，依照题意，画出函数图象是解题的关键.

12.如图，若k・b>0,且〃+也>0,则一次函数），=米+"的大致图象是（）

【分析】根据鼠〃的符号确定直线的变化趋势和与），轴的交点的位置即可.

【解答】解：•力>0,且〃+&>（）,

；・k>0,/?>0,

・・・一次函数,=依+。的图象经过第一、二、三象限，

故选：A.

【点评】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，解题的关键是了解系数与图象位置

的关系，难度不大.

13.根据函数>i=5x+6和户=3X+10的图象，当x>2时，yi与”的大小关系是（）

A.y\<y2B.yi>y2C.yi=yiD.不能确定

【分析】先画出函数yi=5x+6和），2=31+10的图象，根据数形结合即可得出答案.

【解答】解：•••函数），|=5上+6和”=3户10的交点为（2,16）,图象为:

故选:B.

【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，展于基础题，主要利用图象用数形结

合解题.

°有意义，则一次函数y=U-2）.什2-k的图象可能是（）

【分析】根据式子正工+*-2）°有意义，可以求得人的取值范围，然后即可得欠-2

和2-k的正负，从而可以一•次函数,，=（h2）1+2-A的图象经过的象限.

【解答】解：•・•式子正工+（八2）°有意义，

.Jk-2>0

lk-27^0

解得心>2,

"-2>0,2-k<(),

・•・一次函数），=（A-2）x+2-k的图象经过第一、三、四象限,

故选：A.

【点评】本题考查一次函数的图象、零指数寻，解答本题的关键是求出k的取值范围,

利用一次函数的性质解答.

15.直线A：y=h-〃和/2：y=-2依+〃在同一直角坐标系中的图象可能是（）

【分析】先看一条直线，得山火和人的符号，然后再判断另外一条直线是否正确，这样

可得出答案.

【解答】解：人、直线八：），=履-力中左>0,bvo,/2：y=-2心+Z?中A>（）,b>0,人的

取值相矛盾，故本选项不符合题意；

B、直线/i：y=kx-+*k>0,bVO,I2：y=-2kx+b+k<0,bVO,々的取值相矛盾，

故木选项不符合题意；

。、直线八：），=履■〃中k>0,b<0,/2：y=-2履+b中ZVO,bVO,k的取值相矛盾，

故本选项不符合题意；

。、直线/I：y=kx-b中k>0,b<0,；2：y=-2fcx+b中k>0,b<0,k、b的取值一

致，故本选项符合题意；

故选：D.

【点评】此题考查了一次函数图象与2和〃符号的关系，关键是掌握当。>0时，（0,b）

在），轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当〃V0时，（0,〃）在y轴的负半轴，直

线与），轴交于负半轴.

题型四：一次函数与一元一次方程（组）不不等式（组）

16.如图，一次函数y=ki+〃与y=x+2的图象相交于点P（/〃，4）,则关于x的方程依+小

=4的解是（)

【分析】先利用y=x+2求得交点P的坐标，然后根据一次函数图象的交点坐标进行判

断.

【解答】解：把PCm,4）代入），=x+2得〃计2=4,解得〃?=2,

所以一次函数）=依+〃与y=x+2的图象的交点P为（2,4）,

所以关于x的方程履+3=4的解是x=2.

故选：B.

【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程，数形结合是解题的关键.

17.如图，一次函数），=⑪+〃的图象与y=cx+d的图象如图所示且交点的横坐标为4,则下

列说法正确的个数是（）

①对于函数尸at+b来说，丁随工的增大而减小；

②函数y=or+d不经过第一象限；

③方程at+/?=cr+d的解是x=4；

④d-Z?=4（«-c）.

【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可

以解答本题.

【解答】解：由图象可得，

①qVO,对于函数）=仆+力来说，y随x的增大而减小，故①说法正确；

②aVO,dVO,则函数y=at+d经过第二、三、四象限，不经过第一象限，故②说法正

确；

③由一次函数y=ax+b的图象与y=cx+d的图象如图所示且交点的横坐标为4知，方程

a.x+b=cx+d的解是x=4,故③说法正确；

④4〃+。=4c+d可以得到4(a-c)=d-b,故④说法正确；

综上所述，正确的结论有4个.

【点评】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象和性质，解答本题的关

键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

18.如图，函数、=依+儿4<0)的图像经过点P,则关于x的不等式匕+b>3的解集为」

【分析】根据函数图象中的数据和一次函数的性质，可以写出等式乙+%>3的解集.

【解答】解：由图象可得，

当x=-1时，)，=3,该函数)，随工的增大而减小，

:.不等式kx+b>3的解集为x<-I,

故答案为：x<-1.

【点评】本题考查一次函数与一元一次不等式，解答本题的关键是明确•次函数与•元

一次不等式的关系，利用数形结合的思想解答.

19.如图，一次函数了=火/+加和)，=履+》的图象分别与x轴交于点A(-1,0)、8(2,0),

‘kx+b>0

则关于K的不等式组I、的解集是(；

k[x+bi>0

C.x<2D.-1<x<2

【分析】根据图象可知尸丘叶历>0的解集和尸质+心0的解集，即可确定不等式组的

解集.

【解答】解：一次函数y=k\x+b\和y=k.x+b的图象分别与x轴交于点4(-1,0)B

(2,0),

根据图象可知，y=%x+〃i>0的解集为：x>-\,

>=4+〃>0的解集为：x<2,

kx+b〉0

・•・不等式组，、的解集是-l〈xV2,

k[x+b]>0

故选：

【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握一次函数的图象是解

题的关键.

20.定义max(a,b),当a2b时，/MX(a,b)=a,当a<b时，max(a,b)=/)：B

知函数尸〃心(-x-3,2x-9),则该函数的最小值是()

A.-9B.-3C.-6D.-5

【分析】根据新定义内容分情况讨论，然后结合一次函数的增减性求得函数最小值.

【解答】解：当-x-322.9时，

解得：xW2,

止匕时y=-x-3,

V-1<0,

；・_y随x的增大而减小，

当工=2时-，y最小值为-5；

当・x・3V2r・9时,

解得：x>2,

此时y=2x-9,

V2>0,

・；v随x的增大而增大，

综上，当x=2时，），最小值为-5,

故选：

【点评】本题考查一次函数的性质，理解新定义内容，分情况列出函数解析式并掌握一

次函数的性质是解题关键.

题型五：一次函数的应用

21.某校组织学生从学校出发，乘坐大巴前往基地进行研学活动.大巴出发1小时后，学

校因事派人乘坐轿车沿相同路线追赶.已知大巴行驶的速度是40千米/小时，轿车行驶

的速度是60千米/小时.

（1）求轿车出发后多少小时追上大巴？此时，两车与学校相距多少千米？

（2）如图，图中OB,AB分别表示大巴、轿车离开学校的路程s（千米）与大巴行驶的

时间，（小时）的函数关系的图象.试求点8的坐标和AB所在直线的解析式；

（3）假设大巴出发。小时后轿车出发追赶，轿车行驶了1.5小时追上大巴，求。的值.

【分析】（1）设轿车出发后x小时追上大巴，根据题意列出方程即可求解；

（2）由图象及（I）的结果可得4（1,0）,B（3,120）,利用待定系数法即可求解;

（3）根据题意列出方程即可求出。的值.

【解答】解：（1）设轿车出发后x小时追上大巴，

依题意得：40（x+1）=60.r,

解得x=2.

・•・轿车出发后2小时追上大巴，

此时，两车与学校相距60X2=120（千米），

答，轿车出发后2小时追上大巴，此时，两车与学校相距120千米；

（2）•・•轿车出发后2小时追上大巴，此时，两车与学校相距120千米,

・・・大巴行驶了13小时,

・・・8（3,120）,

由图象得A（1,0）,

设AB所在直线的解析式为y=ki+b,

.fk+b=O

*，l3k+b=120，

解得（k=60,

b==60

/MB所在直线的解析式为＞'=60/-60：

（3）依题意得：40（d+1,5）=60X1.5,

解得a=l.

4

・•・〃的值为a.

4

【点评】本题考查了一元一次方程的应用，一次函数的应用，解决本题的关键根据函数

图象解决问题，充分利用数形结合思想.

22.某部队加油飞机接到命令，立即给另一架正在飞行的运输飞机进行空中加油.在加油

的过程中，设运输飞机的油箱余油量为yi吨，加油飞机的加油油箱的余油量为.V2吨，加

油时间为，分钟，户、声与/之间的函数关系如图.何答问题：

（1）加油飞机的加油油箱中装载了30吨油:

（2）求加油过程中，运输匕机的余油量.月（吨）与时间/（分钟）的函数关系式；

（3）运输飞机加完油后，以原来速度继续飞行，需10小时到达目的地，油料是否够用？

请通过计算说明理由.

【分析】（1）根据运输飞机在没加油时，油箱中的油量，就可以得到：

（2）可以用待定系数法求解；

（3）加进30吨而油箱增加29吨,说明加油过程耗油量为1吨,依此耗油量便可计算是

否够用.

【解答】解：（1）由图象知，加油飞机的加油油箱口装载了30吨油；

故答案为：30；

（2）设yi=h+b,把（0,40）和（10,69）代入，

Wb=4°,

10k+b=69

解得｛晨。9

・•・输飞机的余油量户（吨）与时间/（分钟）的函数关系式），1=2.9什40（O0W1O）；

（3）•・•加油过程中加油飞机和运输飞机的速度和耗油量是一样的，题目说“运输飞机加

完油后，以原速继续飞行”，

・•・后来的运输匕机的速度和加油的时候的加油飞机速度和耗油量也是相同的，

•・•在加油过程中，余油量由40吨到69吨一共增加了29吨，

・••运输飞机在加油的过程中也有耗油，而在加油过程10分钟内运输飞机一共耗掉了1吨

油（输了30吨油,加完油后余油量为29吨），

・•.每一分钟的耗油量为：1+10=0.1吨每分钟.

・•・运输飞机的耗油量为每分钟0.1吨，

・•・10小时耗油量为：10X60X0.1=60,

V60<69,

，油料够用.

【点评】本题考查了•次函数的应用，难度较大，准确读出图中信息，加入30吨油而油

箱只增加29吨对解好本题很关犍；另外待定系数法乜是本题考查点之一.

23.今年的冬奥会点燃了青少年的“冰雪热”，推动了冰雪产业经济.某体育运动器材商

店的滑雪护目镜和滑雪头盔成了热销商品.已知滑雪头盔比滑雪护目镜的进价高30元，

商店用3600元购进的滑雪头盔与用3000元购进的滑雪护目镜数量一样多.

（1）求每个滑雪护目镜和滑雪头盔的进价；

（2）滑雪护目镜售价为每个200元，滑雪头盔售价为每个240元，该商家计划用不少于

160000元购进两种滑雪用品1000个，且要求滑雪护目镜的数量不少于滑雪头盔的数

量，假设购进的滑雪用品全部可以售出，求获利最多的进货方案及最大利润.

【分析】（1）设滑雪护目镜的进价为每个x元，则滑雪头盔的进价是每个（x+30）元，

根据数量=总价+单价，结合用3600元购进的滑雪头盔与用3000元购进的滑雪护目镜

数量一样多，即可得出关于工的分式方程，解之经检验后即可得出结论；

（2）设店家计划购进滑雪护目镜///个，滑雪头盔（1000-m）个，可得

ri50m+180（1000-in）>160000>有500，W6662,设获得的利润卬元，则“，=-

lm>1000-m3

10,n+60000,由一次函数性质可得答案.

【解答】解：（1）设滑雪护目镜的进价为每个x元，则滑雪头盔的进价是每个（x+30）

元，

依题意得：义”=/叫，

x+30x

解得：x=150.

经检验，x=150是原方程的解，

，"30=180,

答：滑雪护目镜的进价每个150元，滑雪头盔每个180元；

(2)设商家计划购进滑雪护目镜三个,滑雪头盔(1000-m)个,获得的利润w元,

•・•计划用不少于160000元购进两种滑雪用品，滑雪护目镜的数量不少于滑雪头盔的数

量，

...'150m+180(1000-m)>160000

解得：500</7^666^..

3

依题意得：卬=(200-150)m+(240-180)(1000-m)=-10/n+60000,

,:k=-10<0,

w随m的增大而减小，

・•・当加=500时，卬最大，最大值为-10X500+6()000=55000(元)，

该商家应该购进滑雪护目镜500个，滑雪头盔500个，最大利润为55000元.

【点评】本题考查分式方程、一元一次不等式、一次函数的应用，解题的关键是读懂题

意，列出方程、不等式和函数关系式.

24.为全面贯彻党的教育方针，严格落实教育部对中小学生“五项管理”的相关要求和《关

于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》精神，保障学生每天在校1小时体育

活动时间，某班计划采购A、3两种类型的羽毛球拍.已知购买3副A型羽毛球拍和4

副B型羽毛球拍共需248元；购买5副A型羽毛球拍和2副B型羽毛球拍共需264元.

(1)求A、8两种类型羽毛球拍的单价.

(2)该班准备采购A、8两种类型的羽毛球拍共30副，且A型羽毛球拍的数量不少于8

型羽毛球拍数量的2倍，请给出最省钱的购买方案，求出最少费用，并说明理由.

【分析】(1)设4种球拍每副x元，B种球拍每副)，元，根据题意列出二元一次方程组，

解方程组即可；

(2)设购买4型球拍”副，根据题意列出不等式，解不等式求出。的范围，根据题意列

出欲用关干〃的一次函数,根据一次函数的件质解答即可.

【解答】解：(1)设A种球拍每副x元，8种球拍每副)，元，

3x+4y=248

5x+2y=264

解得(x=4。,

1y=32

答：4种球拍每副40元，B种球拍每副32元；

(2)设购买8型球拍。副，总费用w元,

依题意得30-

解得aW10,

卬=40(3()-〃)+32a=-8。+1200,

丁-8<0,

・•・卬随。的增大而减小,

・••当a=10时,w最小,小最小=・8X10+1200=1120（元）,

此时30-10=20（副）,

答：费用最少的方案是购买4种球拍20副，B种球拍10副，所需费用1120元.

【点评】本题考查的是列二元一次方程组、一元一次不等式解实际问题，正确列出二元

一次方程组和一元一次不等式并正确解出方程组和不等式是解题的关键.

25.文美书店准备购进甲、乙两种图书共1200本进行销售.己知甲、乙两种图书的进价分

别为每本20元、14元，不同方案甲、乙两种图书的购进数量和售完后总收入的对应关

系如表所不：

方案一方案二

购进数量（本）甲种图书600400

乙种图书600800

售完后总收入（元）2880027200

（1）甲、乙两种图书的售价分别为每本多少元？

（2）书店决定用不多于20000元来购进这1200本图书，为了让利读者，实际销售甲种

图书售价每本降低3元，乙种图书售价每本降低2元，问书店应如何进货才能获得最大

利润？（购进的两种国书全部销售完.）

【分析】（1）根据题意，列出二元一次方程组，求解即可；

（2）先用进货量表示获得的利润，求函数最大值即可.

【解答】解：（1）设甲种图书售价每本x元，乙种图书售价为每本），元.

由题意得：（600x+600y=2880,

400x+800y=27200

解得：（x=28.

ly=20

答：甲种图书售价每本28元，乙种图书售价每本20元.

（2）设甲种图书进货。本，总利润w元，

贝IJ：卬=（28-20-3）a+（20-14-2）（1200-6?）=〃+4800,

^-1600

V20«+14X(1200-a)<20000,解得:a'——

随4的增大而增大，，当〃最大时w最大，，当”=533本时，卬最大.

此时，乙种图书进货本数为1200-533=667（本）.

答:甲种图书进货533本，乙种图书进货667本时利润最大.

【点评】本题分别考瓷了二元一次方程组和一次函数最值问题，注意研究利润最大分成

两个部分，先表示利润再根据函数性质求出函数最大值.

题型六：待定系数法

26.已知y与x成正比例，且当工=2时，），=4.

（1）求y与x的函数关系式；

（2）当乂总时，求y的值；

（3）请你写出这个函数的一条性质.

【分析】（1）设产人把尸2,y=4代入，求出k即可得出答案；

（2）把x=2代入函数解析式，求出即可：

2

（3）根据正比例函数的性质解答即可.

【解答】解：（1）根据题意，设），=匕（AW0）,

把x=2,y=4代入得：4=2匕

解得：k=2,

即），与工的函数关系式为y=2r；

（2）把■代入y=2x得：y=l；

（3）・1=2>0,

・♦・正比例函数），=2A,的图像经过第一、三象限：），随工的增人而增人.

【点评】本题考查了用待定系数法求正比例函数的解析式，正比例函数的性质，能求出

函数的解析式是解此题的关键.

27.已知一次函数），=（。+2）x+1（。是常数，且启0）.

（I）若该一次函数的图象与x轴相交于点（2,0）,求一次函数的解析式.

（2）当时，函数有最大值5,求出此时。的值.

【分析】（1）待定系数法求解析式即可；

（2）当。+2V0时，根据一次函数的增减性可知当x=-1时，函数取得最大值5：当〃+2

>0时，根据一次函数增减性可知当工=3时，函数取得最大值，分别求解即可.

【解答】解：（1）将（2,0）代入），=（。+2）x+1-a,

得2（。+2）+1-。=0,

解得a=-5,

工一次函数解析式：y=-3A+6；

（2）当a+2Vo时，即aV・2时，

当x=-1时，y=~（。+2）+1-a=5,

解得。=-3,

当a+2>0时,即〃>-2,

当x=3,y=3（。+2）+1-。=5,

解得。=7，

综上，4=-3或-1.

【点评】本题考查了一次函数的解析式，一次函数的性质，熟练掌握待定系数法求解析

式以及一次函数的增减性是解题的关键.

28.已知一次函数的图象经过点（3,3）,（1,-1）.

（1）求这个一次函数的表达式；

（2）画出这个一次函数的图象；

（3）观察函数图象，直接写出x取什么值时，函数值），大于0.

【分析】（1）待定系数法求解析式即可；

（2）根据解析式即可画出函数图象；

（3）根据图象即可确定x取值范围.

【解答】解：（1）设一次函数的表达式：y=kx+b,

代入（3,3）,（1,-1）,

得俨他=3,

Ik+b=-l

解得,

lb=-3

・••这个一次函数表达式：y=2x・3；

（2）函数图象如图所示:

IIIIIIIIO;

（3）观察图象可知，当x>1.5时，函数值）00.

【点评】本题考查了一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，熟练掌握这些知识是

解题的关键.

29.在平面直角坐标系工。,•中，一次函数,，=云+。（ZW0）的图象经过点4（0,-3）和点

B（5,2）.

（I）求这个一次函数的表达式；

（2）当x22时，对于x的每一个值，函数y=mr+2（m#0）的值小于一次函数丫=丘+力

的值，直接写出，〃的取值范围.

【分析】（1）通过待定系数法将人（0,-3）和点B（5,2）代入解析式求解即可.

（2）解不等式wix+2Vx-3,得到：（6-1）X<5,再分情况讨论即可.

【解答】解：（1）将A（0,-3）和点8（5,2）代入y=M+〃,

-3=b

得:

2=5k+b

k=l

解得

b=-3'

・•・一次函数解析式为），=L3；

(2)由题意得：〃?x+2<x-3,得：(m-1),v<-5»

①当〃ll>0时，xV—―（不合题意，舍去）：

②当〃？-1V0时，公>正，

m-l<0

:一5,»解得：1，

—^<22

・•・加的取值范围为：加

2

【点评】本题考查待定系数法解一次函数解析式及一次函数和不等式的关系，解题关键

是熟练掌握一次函数的性质.

30.已知一次函数图象过点（1,-1）和（2,1）,与x轴、）轴分别交于点A、B.

（1）求此•次函数解析式；

（2）对于此函数图象上任意两点尸（XI,户）、Q（A2,）2），当时，都有YI>

”；

（3）直接写出AAOB的面积.

【分析】（1）根据点48的坐标利用待定系数法求出一次函数的解析式，此题得解：

（2）根据二次函数的性质即可得到结论：

（3）根据点的坐标特征求得4、B的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可.

【解答】解：（1）•・•一次函数y=依+方（&W0）的图象过点（1,-1）和（2,1）,

.k+b=-l

••<9

2k+b=l

解得：卜2.

lb=-3

・•・这个一次函数的解析式为：y=2r-3；

（2）在y=2.3中，

•・・k=2>0,

・•・），随x的增大而增大.

对于此函数图象上任意两点P（xi,yi）、Q（X2,”），当xi>x2时，都有户>殍；

故答案为：>：

（3）对于），=213,令），=0,则犬=旦，

2

・・・4（3,0）,

2

令人=0,则,=-2,

：・B（0,-3）,

：.S^OAB=^）A*OB=-X2X3=9.

2224

【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，熟

练掌握利用待定系数法求一次函数解析式的方法是解题的关键.

题型七：一次函数综合

31.如图，直线y《x+3与X轴、y轴分别交十点B、点A，点。在X轴上，沿直线4C翻

折，点B恰好落在y轴负半轴上的点。处.

（1）求线段48的长度；

（2）求直线AC的表达式；

（3）判断在△/WC内部是否存在整点（横纵坐标均为整数的点），如果存在直接写出整

点的坐标，如果不存在，说明理由.

y

*

【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征分别求出点A、B的坐标，根据勾股定理

计算求出八8;

（2）设OC=m,根据折叠的性质求出A。、CD,进而求出0D,根据勾股定理列出方

程，解方程求出〃?，利用待定系数法求出直线AC的表达式；

（3）把x=-3、-2、-I代入一次函数解析式计算，根据整点的定义判断即可.

【解答】解：（1）对于直线y=*+3,当y=0时，x=-4,当x=0时，y=3,

・••点A的坐标为（0,3）,点B的坐标为（・4,0）,

；・OA=3,08=4,

由勾股定理得：^^=^0B2OA2=V42+32=5;

（2）设OC=m,则8c=4・〃?，

由折售性质可知，AD=AB=5,CD=BC=4-

：.OD=5-3=2,

在中，。。。。=。。即）

RtZ\QOC2+22,W2+22=（4-m2,

解得：加=旦，

2

・••点c坐标为（-3,0）,

2

设直线AC的表达式为y=h+），

'b=3

则《3八，

万k+b=0

解得:（k=2.

lb=3

・・・AC的表达式是y=2r+3：

（3）当x=-3时，y=Wr+3=3,

44

则当横坐标为-3时，ZX4BC内部不存在整点;

当x=-2时，j=—A+3=—,

42

则当横坐标为-2时，△48。内部存在整点（-2,1）；

当x=・1时，），=2计3=2,V=2A+3=1,

44

则当横坐标为-1时，△ABC内部存在整点（-1,2）；

综上所述，ZUBC内部存在两个整点（-2,1）（-I,2）.

【点评】本题考查的是一次函数知识的综合运用、翻转变换的性质，掌握待定系数法求

一次函数解析式的一般步骤、一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键.

32.如图：已知在平面直角坐标系中，OAQC是矩形，0A=2,0c=5,点。是边4。边上

一动点，联结CP,将四边形A0CP沿CP所在直线翻折，落在EFCP的位置点A、B

的对应点分别为点E、F,边CF与边AD的交点为点G.

（1）当户坐标为（2,2）时，求G点坐标，和直线C尸的解析式.

（2）过G作G〃_LPC交OC于〃，若P（x,2）,H（＞',0）,求），关于x的函数解析

式，并写出它的定义域；

（3）联结OP并延长与线段CF交于点M,当△尸GM时以MG为腰的等腰三角形时求P

点坐标.

D

Cx

图1图2

【分析】（1）设尸G=m先求I1IGO=3・4,再根据勾股定理求出点G的坐标，由点C

的坐标可求出直线cr的解析式；

（2）由折叠的性质得出。G=5-（5-y）利用勾股定理得出），=生工；

10-2x

（3）分两种情况解答：①当MG=MP时，得到△AP。且△OGC,由AP=DG,得到

21-x.=2r,求解即可；②当MG=PG时，先得出△?!（»,4DPC,△OPC均为直角

10-2x

三角形，利用勾股定理得到人产+4^+川2^方=比?，列出关于X的方程，得出结果.

【解答】解：(1)设PG=m

•・•四边形0人。。是矩形，

：.AD//OC,

:./GPC=/PCO,

由折叠得：NPCO=NPCG,

：・4PCG=/GPC,

：・PG=GC=a,

•••。4=2,OC=,P(2,2),

・・・尸。=5-2=3,

GD=3-a,

在RtAGDC中，GD2WC2=CG2,

/.22+(3-4)=CT,

：・a=PG=¥,

6

：.AG=2+—=—

66

・・.G(空,2)

6

VC(5,0),

f5k+b=0,12

k=

设直线C户为:y=kx+b,贝仪25,解得：，~.

k+6=2

6b=12

・•・直线CF为:y=一

5

:.G(至，2)

6

(2)，：P(x,2),H()，，0),

由对称性可知：40cp=4FCP,OC=CF,

JGHVPC,

:.CG=CH,

：,FG=OH=y,AP=x,

：.CG=CF-FG=5-yt

：・PG=5-y,

:.DG=5-(5-y)-x=y-x,

在Rt4OGC中，CD'DG'CG-

・•・(y-x)2+22=(5->02,

.-21-x2

••v>-------------

10-2x

当C尸与CO重叠时，G与。重合，此时AP=5・2=3,

工厂21-乂2(0WxW3)

10-2x

(3):△PGA/时以MG为腰的等腰三角形，例G=A〃>或MG=PG,

①当MG=MP时，NMPG=NMGP,NAPO=NMPG,NMGP=4DGC,

工/APO=/DGC,

在△APO与△OGC中，

[ZAP0=ZDGC

ZA=ZD，

IAO=DC

:.△NPO9XDGCCAAS),

：.AP=DG,

：.y=2x,

10-2x

A3?-20x+21=0,

・=10±V37

■■人_,,

3

V_1OWL>3(舍去)，

3

...v=10-V37.

3

②当MG=PG时，/MPG=NPMG,NMOC=/MPG,

:.CM=CO,

'：NOCP=NMCP,

；・NOPC=NMPC=90°,

:.CPLOP,

•••△AOP,△OPC,△OPC均为直角三角形，

：,AP1+AO2=OP2,PD1+CD1=CP2,OP1+CP2=OC2,

・•・AP2+AO^DP^CD2=BC2,

A?+22+(5-x)2+22=52,

."v2-5x+4=0,解得：x=l或％=4>3(舍去)，

综上，4P为比叵或1,

3

:.P（也亚1,2）或（1,2）.

3

x

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，一次函数的应用，勾股定理等知识点，

分类讨论是解题的关键.

33.如图，在平面直角坐标系中，△48C的4c边与x轴重合，顶点4在y轴的正半轴上，

线段。8,0C（08V0C）的长是关于x的方程』-7户6=0的两个根，且满足CO=2AO.

（1）求直线AC的解析式；

（2）若P为直线AC上一个动点，过点。作轴，垂足为。，PO与直线A3交于

点、Q,设△CPQ的面积为S（SK0）,点尸的横坐标为a,求S与〃的函数关系式；

【分析】解：（1）用待定系数法求一次函数的解析式；

（2）要学会表示水平的距禽等于两点的横坐标相减的绝对值，竖直的距离等于两点的纵

坐标相减的绝对值，三角形的面枳公式的应用：

（3）分类讨论思想，当NAMB为直角时，以人8的中点为圆心，A8为直径作圆与），=2

相交有两个点，则点，〃的值有两个，当NMAB为直角时，有一种情况，当NMBA为为

直角时，有一种情况.

【解答】解：（1）解方程，-71+6=0,

得XI=6,X2=l.

♦：OBVOC,

：,OB=\,0C=6.

，B(1,0),C(-6,0).

CO=2AO,

：.OA=3.

(0,3).

设直线AC的解析式为)，=丘+力awo).

把点A(0,3),C(-6,0)代入，

得「6k+b=0,

lb=3

f=l

解得k2.

b=3

・•・直线AC的解析式为y」x+&

2

(2)VA(0,3),8(1,0),

・•・直线48的解析式为y=-3x+3.

•••点p(a,~^~a+3>Q'a-3a+3).

•**PQ=|(-3a+3)-(ya+3)|=|ya卜CD=\a+6\,

:，S^-PQ-CD=yXlya|•|a+6|-

乙乙乙

当a<・6时,s]X(—a)[-(a+6)]

乙乙*x乙

当-6V〃V0时，S^-X(—1-a)(a+6)=-^-a2^y-a:

乙乙士乙

当4>。时，S^-X-^-a(a+6)^-a2-»^_a-

(3)m的值-1或2.

VA(0,3),8(1,。)，M(加，2),AM_LMB,

•・•—m—21t

1m-l

解得：〃?i=-1或加2=2,

当/MAB=90°时，不存在这样的点M；

当NMBA=90°时，不存在这样的点M.

【点评】本题主要考查用待定系数法求一次函数解析式，分类讨论思想，一次函数与三

角形面积公式的应用，与直角三角形的应用.

34.如图，在平面直角坐标系中，直线），=05计1与x轴、），轴分别交于A、B两点,过点A

在第二象限内作4C_LA8,且

（1）如图I，①求线段AB的长度；

②设直线BC的解析式为），="+",直接写出关于x的不等式X+b>0.5x+l的解集；

（2）如图2,将△A8C向右平移得到AA，B'C,点A的对应点A'始终在x轴上,

当点C的对应点C'落在直线y=0.5x+l上，求。'的坐标.

【分析1（1）由直线AB的解析式求出点A,8的坐标，再利用勾股定理求出线段A8的

长度.利用图象可得出不等式的解集.

（2）先过点C作轴，构造全等三角形求出C点的坐标，通过平移性质表示出点

C'的坐标，再将点。的坐标代入直线48的解析式中即可求出C'的坐标.

【解答】解：（1）①由y=0.5x+l可知，当x=0时，y=l,即点3（0,1）,当），=0

时，x=-2,即点A（-2,0）,

：.OA=2,OB=1,

・•.在RtAAOB中，AB2=OA2+OB2.