2026高考数学复习（湘教版）培优课8 构造法求数列通项

培优课8构造法求数列通项

数列中的构造问题是历年高考的一个热点内容，主、客观题均可出现，一般

通过构造新的数列求数列的通项公式.

题型一形如an+\=pa,.十八〃)型

角度1a“+i=pa“+q（p手0,1,夕,0）

典例n（1）数列｛〃”｝满足4al+3（荏22）且ai=0,则。2025等于(）

A.22024TB.42024.1

C.22024+1D.42024+1

(2)已知数列｛小｝的首项m=l,且L=三+2,则数列｛〃”｝的通项公式为_______.

斯+1an

答案：(1)B(2)^,=-^—

2・3‘工―1

解析：(1)因为。〃=4。〃一1+3("22),所以。〃+1=4(与_]+1)(几22),所以｛以+1｝

是以1为首项,4为公比的等比数列，则。〃+1=4”「所以为=4〃「一1,所以02025=42

。24—1.故选8.

(2)因为，=巨+2,等式两边同时加1整理得，+1=3(工+1),又因为0=1,所

斯+iOn%+1)

以2+1=2,所以｛《+1｝是首项为2,公比为3的等比数列.所以2+1

=2夕，所以引=一^.

23”一

角度2an+\=pan+qn+c(j)H0,1,q彳0)

典例❷⑴(2020•全国III卷节选)设数列｛斯｝满足所3,1川=3斯一4%则｛%｝的通

项公式为.

(2)在数列｛斯｝中，m=3,且a”+i=3〃〃+4〃一6(nWN+),则｛斯｝的通项公式

为.

,

答案：⑴a“=2〃+l(2)an=y—2(n—1)

解析:⑴因为。“+1=3M—4〃，设an+\+x(n+1)+y=3(aM+xn+y),则展开利用对应项

系数相等可得出x=—2,y=-1,所以a〃+i—(2几+3)=3[飙一(2〃+1)],此时。]一2

—1-0,所以a”一(也+1)-0,故a〃-2〃+1.

(2)因为an+i=3art+4w—6(nEN+),设a〃+i+x(n+l)+y=3(0n+xn+y),其中x,

2%=4,x=2,

yWR,整理可得。〃+1=3斯+2xn+2y~x,所以解得所以

2y—x=-6,[y=~2,

a,；+i+2(n+1)—2=3(〃”+2〃-2),且m+2xl—2=611=3,所以数列｛斯+2几一2｝是

首项为3,公比也为3的等比数列，所以。〃+2〃—2=3><3〃一]=3〃，解得。“=3〃一

2(几T).

角度3%+1+4"0*0,1,疗0,1)

典例§(1)已知数列｛〃“｝中，a\=3,。"+1=3〃“+2,3",|“EN+.则数列｛为｝的通项公

式为()

A.〃〃=(2几+1)3"B.a〃=(n—1)2〃

n

C.a〃=(2n—1>3"D.atl=(n+l)-2

(2)在数列｛〃〃｝中，m=1,且满足a〃+i=6a〃+3",贝(Ja〃=.

答案:(1)C(2营一3门

解析：⑴由硒=3斯+2・3日得黯号+霁，所以豁一翁=2,即数列偿｝是首

项为1,公差为2的等差数列，所以料2〃一1,故。〃=(2几一1>3〃.故选C.

(2)将已知小+|=6〃〃+3〃的两边同乘歹三，得篝i=2印，令儿则儿+i=2儿+匕

所以儿+旧=2(九+J又/)/号+卜|,所以也+2是以|为首项，以2为公比

的等比数列，所以力〃+洛x2”r4，所以儿所以八卷一3〃1

・规律方法・

1.形如4〃+i=pa〃+(7(p至0,1,疗0)的递推式，一般配凑成。〃+i+x=p(Q〃+x)的形式(利

用待定系数法求x),构造等比数列.

学生用书1第133页

2.形如即+[=pQ〃+q〃+c(p#0,疗0)的递推式，一般配凑成

册+1+工(〃+1)+丁=，(。〃+工〃十歹)的形式(利用待定系数法求》，y)>构造等比数列.

3.形如斯+]=pa〃+q"伊划，1,q#0,1)的递推式，一般两边同时除以p*或q"*】，

再利用累加法或构造法求通项.

对点练1.(1)在数列｛斯｝中，。1=5,斯+i=3〃〃一4,则斯=.

(2)在数列｛〃〃｝中，a\=\,a〃+i=3。〃一2"「，则a,i=.

(3)已知数列｛〃〃｝满足加=2〃“+〃,a\=2,则an=.

答案：(1)3〃+2(2)2"一|(3)2"|一〃一1

解析：(1)由。〃+1=3。〃-4,可得。〃+1—2=3(“一2),又m=5,所以｛斯一2｝是以

0—2=3为首项，3为公比的等比数列，所以期—2=3〃，所以%=3〃+2.

(2)因为用『3。“一2〃，所以第即券—>1像—J•因为*Y=。，

所以翁一吴0,故斯=2〃？

⑶令a„+i+x(n+l)+y=2(a〃+x〃+y),即q〃+i=2q“+x〃+y—x,与原等式比较得，

尸尸1,所以*丹二)+匕,所以数列｛如+〃+1｝是以m+l+l=4为首项，2为公

an+n+l

比的等比数列，所以m+〃+1=4x2〃，即a”=2"7—〃一1.

题型二形如an+\=pal+qa„-\型

典例EJ已知数列｛为｝满足。1=1,。2=2,且。〃+|=24〃+3。〃_1(几22几EN+),则数

列缶〃｝的通项公式为a=.

答案：中

解析：法一：因为。〃+i=2a“+3a〃_i(n22,nGN+),所以Q〃+i+〃”=3(4〃+a〃―/设

’所以自留下又因为i也=3,所以"是以3为首项,

3为公比的等比数列.所以儿=。〃+什斯=3x3门=3〃,从而群+若总不妨令c〃号,

即。〃+[++〃三，故c〃+iT=一»即牝一=$又因为卷一：4,

所以数列值一2是首项为罪公比为3的等比数列，故C〃3*x(—£)'T畤-

3“一(-1)”

1从而a=

4,n4,

n~■1

法二：因为方程/nZt+B的两根为一1,3,可设a〃=cT(—l)+纥3〃,由0=1,

。2=2,解得C|=),C2=1,所以。〃=^~

444

・规律方法・

an+\=pa„+qar.-i(p^o,1；q*0,1)的递推式，可以化为a“+i-x\an=X2(<an

—x\an-\),其中xi,X2是方程/—川一q=0的两个根，若1是方程的根，则直接

构造数列｛。〃一如」｝,若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方

法求数列｛。〃｝.

对点练2.数列｛〃“｝中，a\=\,〃2=|,。〃+2=%〃+1—|飙，则数列｛〃〃｝的通项公式为

答案:3-2唔厂

5

解析：由Q〃+2=；4"+1~-2an,2得4”+2—。”+1=3(即+1一斯)，故｛。〃+1—"〃2｝是以ai-a\=-

为首项，q为公比的等比数列，即即+L。产信y,…，6—上式全部相加,

利用等比数歹I求」和得知+i—m=2—2x(9",所以知=3—2X(|)"T,心2,又m=l

唔)…

符合上式，所以。〃=3-2

题型三形如5箴型

典例❺已知数列｛〃〃｝满足。|=1,。〃+1=+水〃。+),则满足。〃>看的〃的最大耿直

为()

A.7B.8

C.9D.10

答案：C

解析：因为…事所以£=4+3所以在-/4,又白，所以数列启

是以1为首项，4为公差的等差数列，所以工=1+4(九-1)=4〃-3,所以即1

an4n—3

由斯>9即4>9即0<4〃-3<37,解得因为〃为正整数，所以〃

374n—3374

的最大取值为9.故选C.

・规律方法・

对于形如小+1=合的递推式，可以两边同时取倒数转化为‘二'十钠形式,

?Q“+s«n+lPanp

化归为儿+I=p〃〃+q型，求出工的表达式，再求而

an

对点练3.（多选）数列｛〃“｝满足。〃+1=岛型€N+）M=1,则下列结论正确的是（）

A.B.上可是等比数列

a10a3a17（）

C.（2n—1）^,=1D.3〃507=449

答案：ABC

解析：由a，，+产苗一,可得，上泡J+2,所以_L=2,且2=1,所以数列

1+2即«n+lanan。+1即«1

身是等差数列，且该数列的首项为1,公差为2,所以F=1+2（L1）=2〃一1,

]

贝"2〃-其中“WN+,故C正确；^-r-=2^+i同=22=4,所以数列12可是

2诟I）

等比数列，故B正确；由等差中项的性质可得卫=工+工，故A正确：由上可知

a10a3a17

⑦尸亡？贝1」3〃必尸3><公7Tx舟石福，谢有匕.，所以3aM.m故D

错误.故选ABC.

题型四形如Z+i=p咪型

典例a数列｛斯｝中,s=l,。〃+1=2成,则数列｛叫的通项公式为的=

答案:22iT

解析：取以2为底的对数,得Qg2a〃+】=log2（2忌）,则1唯。〃+1=1股2十210g24〃则

log2a〃+i=l+21og2M设仇=log2M则有为+1=1+26〃，则5+i+l=2（g+1）,所以

｛a+1｝是以加+1=1为首项,2为公比的等比数列，所以儿+1=2〃，所以32〃

1—1,即k>g2a〃=2"i—1,故斯=22nl

・规律方法・

对于形如z+l=p琛的递推式，可以两边同时取对数转化为

10&。”+1=10劭〃+〃71。8心的形式，化归为为+1=〃〃〃十］型，求出log/”的表达式，再

求Cln.

对点练4.数列｛〃〃｝中，0=2,an+\=a'n，则数列｛m｝的通项公式为。〃=.

答案：22—

解析：取以。1=2为底的对数得到log2〃〃+l=Iog2a±21og24〃，设仇=10g24〃，则有

be=2bn,所以｛瓦｝是以加=10g2M=l为首项,2为公比的等比数列,所以儿=2〃

2n

所以Iog2〃〃=2〃，a,l=2\

课时测评41构造法求数列通项藉意

（时间：60分钟满分：100分）

（本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订!）

。基础排查练（每小题5分，共60分）

1.已知数列｛〃〃｝满足41=2,〃〃+|=2斯+1,则。4的值为（）

A.15B.23

C.32D.42

答案：B

解析：因为斯+i=2〃〃+l,所以斯+计1=2（即+1）,又〃1+1=3,所以®+1｝是以3

为首项，2为公比的等比数列，所以m+1=33,所以即=32门-1,四=23.故

选B.

2.（原创题）已知数列｛端满足内=3,an+\=5an—S,则6025的值为（）

A.52°24—2B.52024+2

C.52025+2D.52025—2

答案：B

解析：因为即+i=5a〃-8,所以斯+i—2=5（。〃-2）,又m—2=l,所以｛为一2｝是首

项为1,公比为5的等比数列,所以斯一2=5门,斯=51+2,所以。2期=52024+2.

故选B.

3.（2025•江苏南京调研）已知数列。｝满足〃|=1,%+I=2Q〃+2",〃EN+,则。4等于

（）

A.64B.56

C.32D.24

答案C

解析：由斯+尸2斯+2〃，得瑞一黄弓而卜g,所以数列俣｝是首项为占公差为

那）等差数列，所以9|+（Li）xg.,所以。〃=〃・2〃，所以。4=4x21=32.故选

C.

4.已知数列｛斯｝满足0=42=2,an=3an-\+4a„-2（n^3）,则ag+a\o=（）

A.47B.48

C.49D.410

答案：C

Qn+Q”一

解析：由。〃=3a〃_i+4a〃_2（n23）,得a〃+a〃_i=4（a〃_i+a〃_2）,即-------=4（〃》3）,

%一+%-2

又。什6=4,所以数列"+研｝是等比数列，公比为4,首项为4,所以〃9+mo=49.

故选C.

5.（2025•广西玉林模拟）已知数列｛〃〃｝中，a\=^,斯”,则数列｛。〃｝的通

项〃〃=（）

A.；B.牛

3n—13

答案:D

解析：由题意，可得二；一2=-1・又（=1，所以数歹1｛」2｝是以|为首项，一1为公

差的等差数列，所以2=|一（九一1）W一〃，所以。尸六•故选D.

6.在数列｛m｝中，若所3,%+i=成,则为等于（）

A.2"一】B.3〃「

C.23—D.323

答案:D

解析：由。1=3,。〃+|=速知4〃>0,对。〃+1=底两边取以3为底的对数得，

log3%+[=21og30n则数列｛log3为｝是以log3a1=1为首项,2为公比的等比数列，则

2n

104。〃=1・2〃一|二2"1BPan=3।.故选D.

7.（2025•河南安阳模拟）设数列｛小｝的前〃项和为£,若*=2%一2〃+1,则

$0=（）

A.2"-23B.2,0-19

C.3x2l0~23D.3入2°-19

答案：C

解析:当〃=1时，S\=a\=2a\—2+1,解得m=l.当〃22时，Sn-\=2an-\—2w+3r

所以a,i=S,t—Sn-\=2a,t—2n+1—（2。〃」—2/7+3）,即a〃=2a〃_i+2,所以

a〃+2=2（%_]+2）,s+2=3,所以数列但〃+2｝是首项为3,公比为2的等比数列，

则a“+2=3x2"，从而S"=3x2"—2〃-3,故Sio=3x2>—23.故选C.

8.在数歹!）｛如｝中，m=3,a“=2ai—〃+2（n22）,若a,>>980,则n的最小值是（）

A.8B.9

C.10D.11

答案：C

解析：因为。产2al—〃+2（nN2）,所以。〃一〃=2[Q“_I—（〃一l）]（n22）.因为幼=3,

所以m—l=2,所以数列出一〃｝是首项和公比都是2的等比数列，则〃〃一〃=2",

n

即an=2+n，因为小一小」=2〃一]+1>0,所以数列｛斯｝是递增数列,因为f/9=521<980,

00=1034>980,所以满足。〃>980的〃的最小值是10.故选C.

9.设数列｛〃〃｝满足m=l,a„=—a〃-i+2〃（7i22）,则数列的通项公式。〃等于（）

A.B.i-2"+i（-l）n

2"+lI、〃

C.长D・y（z—1）

答案：D

解析：因为。i+〃〃=2"，两边同时除以2〃得，关+^^=1.令c〃号，则金=一%〃

-1+1,两边同时加上一|Wc〃一|=—Ycn_—|）,所以数歹!jg—|｝是以G—|为

首项，u为公比的等比数列，所以夕号=@—9（一»—£•（一31电

C〃=|+g♦（一1）n,所以斯=2〃•金=9+/（—1）”.故选D.

10.已知数列｛。〃｝满足Qi=|,。〃+1=段^，若c〃=1~，则c〃=.

答案：（几+1）3门

解析：因为曲，所以，=宇三+与即,一上毛，所以数列｛工｝

a

2«n+3即+i3an3aran+ln3la浦

是首项为工4公差为」的等差数列，所以工三+乜几-1）=7,则。〃==5+1）3〃

3二Q,?33',3an

11.已知数列｛〃〃｝满足%+i=3a〃-2。〃」（〃22,〃EN+）,且。产0,。6=124,则

a2=.

答案：4

解析：由a”+i=3a〃-2%_1（几22,nGN+）,可得m+i—a〃=2（册一册_]）,若。〃一

。〃」=0,则〃6=。5=・・=。】，与题中条件矛盾，故。〃一所以""+L"=2,即

Q〃-Q,

〃H-1

数列｛斯+1—%｝是以。2-S为首项,2为公比的等比数列，所以斯+1—6=422门，

所以。6~a\=（a2—。1）+（。3—。2）+（。4一。3）+（。5一。4）+（。6—

1234

as）=«2-2°+a2-2+a2*2+ai,2+a2-2=31az=124z所以42=4.

12.在数列｛〃〃｝中，ai=\,且满足an+i=3an+2n,则an=.

答案：|3门一〃V

解析：因为。〃+1=3斯+2〃①，所以a〃=3al+2（几一1）（〃22）,两式相减得，如+1

—a“=3（即一%LI）+2,令b〃=a〃+i—a〃，贝（J儿=36_]+2（九22）,/力=。2—m=2m+2=4,

利用求a〃+i=pa〃+q的方法知，力〃=53门—1,即由+〕一。〃=53"一1一1②,再利用累

加法知，〃=1*3"一|f—X或联立①②解出斯=1-3n-1—n—0.

•综合运用练（每小题8分，共16分）

13.（多选）（2025・湖北武汉质检）已知数列｛〃”｝满足a\=\,4Q〃+I=3Q〃—〃+4,则下列

结论正确的是（）

13

AA.«3=-

pc一29

B.二

C.｛a〃+〃-8｝是等比数列

D.｛a〃+2｝不可能是等比数列

答案：ACD

解析：因为41=1,4〃〃+[=34“一〃+4,所以〃2=弓，Q3=S故A正确，B错误：因

Zo

为4斯+|=3。〃一〃+4,所以a〃+i=%〃-%+1,所以。〃+|+（九+1）—8=4。〃一；〃+1+（九+

4444

1）—83。〃+，一63（。〃+〃一8）,又因为m+l—8=—6,所以数列｛。〃+〃-8｝是首项

为一6,公比为1的等比数列，故C正确；因为内+2=3,6+2],43+2=?显然

3+2）2我S+2）3+2）,所以｛扇+2｝不可能是等比数列，故D正确.故选ACD.

14.侈选）已知数列｛斯｝满足6/1=1,叫二导则下列结论正确的是（）

A.3｝为等比数列

B.｛an｝的通项公式为—

c.｛m｝为递增数列

D.｛J的前n项和D=2,+2—3目一4

答案：AD

解析:因为矶=/一,所以,=3=2+3,所以工+3=2（工+3）,且工+3=4翔,

2+3an即+1«n+lV«n）«1

所以｛2+3｝是以4为首项，2为公比的等比数列，即2+3=4X2LI,所以

一3,可得0尸方故A正确，B不正确；因为上=2田一3单调递增，所以

2'E—3an

。产齐匕单调递减，即｛«,｝为递减数列，c不